順序統(tǒng)計(jì)量課件

順序統(tǒng)計(jì)量順序統(tǒng)計(jì)量1一、定義定義：設(shè)(X1,X2,…,Xn)是從總體X中抽取的一個(gè)樣本，(x1,x2,…,xn)是其中一個(gè)觀測(cè)值，將觀測(cè)值按從小到大的次序重新排列為：

定義：X(k)取值為x(k)(k=1,2,…,n)，由此得到

一、定義定義：設(shè)(X1,X2,…,Xn)是從總體X中抽取的一特別的說(shuō)明

X

(k)稱為第k個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量(即它的每次取值總是取每次樣本觀測(cè)值由小到大排序后的第k個(gè)值).特別的說(shuō)明

X(k)稱為第k個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量(即它的二、常用順序統(tǒng)計(jì)量極差中位數(shù)分位數(shù)四分位數(shù)二、常用順序統(tǒng)計(jì)量極差1、極差

極差反映了隨機(jī)變量X取值的分散程度。1、極差

極差反映了隨機(jī)變量X取值的分散程度。排序后處于中間位置上的值Me50%50%

2、中位數(shù)排序后處于中間位置上的值Me50%50%

2、中位數(shù)3、分位數(shù)

3、分位數(shù)

1/31/31/3012X(k)稱為第k個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量(即它的每次取值總是取每次樣本觀測(cè)值由小到大排序后的第k個(gè)值).當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量且有密度函數(shù)f(x)時(shí)，則X(1),X(n)也是連續(xù)型隨機(jī)變量，且它們的密度函數(shù)分別為：推論2：最小次序統(tǒng)計(jì)量x(1)的概率密度函數(shù)為排序后處于中間位置上的值排序后處于中間位置上的值設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x)，分布函數(shù)為F(x)，x1,x2,…,xn為樣本，則第k個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量x(k)的密度函數(shù)為:012按概率密度函數(shù)計(jì)算次序統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)：求：f(1)(x)，f(n)(x)。次序統(tǒng)計(jì)量的應(yīng)用之一就是五數(shù)概括與箱線圖。所謂五數(shù)概括就是指用這五個(gè)數(shù)來(lái)大致描述一批數(shù)據(jù)的輪廓。定義：X(k)取值為x(k)(k=1,2,…,n)，由此得到設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x)，分布函數(shù)為F(x)，x1,x2,…,xn為樣本，則第k個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量x(k)的密度函數(shù)為:例3：設(shè)(X1,X2,…,Xn)是來(lái)自正態(tài)總體N(12,9)的樣本，求：4、四分位數(shù)：排序后處于25%和75%位置上的值不受極端值的影響計(jì)算公式QLQMQU25%25%25%25%1/31/31/34、四分位數(shù)：排序后處五數(shù)概括與箱線圖次序統(tǒng)計(jì)量的應(yīng)用之一就是五數(shù)概括與箱線圖。在得到有序樣本后，容易計(jì)算如下五個(gè)值：最小觀測(cè)值x

min=x

(1);最大觀測(cè)值x

max=x

(n);中位數(shù)m;第一4分位數(shù)Q1=m

第三4分位數(shù)Q3=m

。所謂五數(shù)概括就是指用這五個(gè)數(shù)來(lái)大致描述一批數(shù)據(jù)的輪廓。五數(shù)概括與箱線圖次序統(tǒng)計(jì)量的應(yīng)用之一就是五數(shù)概括與箱線圖。在三、順序統(tǒng)計(jì)量的分布1、單個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量的分布設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x)，分布函數(shù)為F(x)，x1,x2,…,xn

為樣本，則第k

個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量x

(k)

的密度函數(shù)為:

三、順序統(tǒng)計(jì)量的分布1、單個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量的分布設(shè)總體X的密度函第三4分位數(shù)Q3=m。設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x)，分布函數(shù)為F(x)，x1,x2,…,xn為樣本，則第k個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量x(k)的密度函數(shù)為:1、單個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量的分布指統(tǒng)計(jì)量加工過(guò)程中無(wú)信息損失的統(tǒng)計(jì)量排序后處于中間位置上的值X(k)稱為第k個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量(即它的每次取值總是取每次樣本觀測(cè)值由小到大排序后的第k個(gè)值).解：1）因X1,X2,…,Xn獨(dú)立，且服從相同分布極差反映了隨機(jī)變量X取值的分散程度。例2：設(shè)總體X~G(l)，X1,X2,…,Xn為X的樣本。排序后處于25%和75%位置上的值設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x)，分布函數(shù)為F(x)，x1,x2,…,xn為樣本，則第k個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量x(k)的密度函數(shù)為:0127/2713/277/27例3：設(shè)(X1,X2,…,Xn)是來(lái)自正態(tài)總體N(12,9)的樣本，求：求：f(1)(x)，f(n)(x)。證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，考慮次序統(tǒng)計(jì)量x(k)

取值落在小區(qū)間(x,x+x]內(nèi)這一事件，它等價(jià)于“樣本容量為n的樣本中有1個(gè)觀測(cè)值落在區(qū)間(x,x+x]之間，而有k-1個(gè)觀測(cè)值小于等于x

，有n-k個(gè)觀測(cè)值大于x+x

”，其直觀示意圖見(jiàn)下圖

x

x+xn-kk-11x

(k)

的取值示意圖第三4分位數(shù)Q3=m。證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x

兩邊同除以x,并令x→0,即有推論1：最大次序統(tǒng)計(jì)量x

(n)

的概率密度函數(shù)為推論2：最小次序統(tǒng)計(jì)量x

(1)

的概率密度函數(shù)為

兩邊同除以x,并令x→0,即有推論1：最大按概率密度函數(shù)計(jì)算次序統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)：設(shè)F(x)是總體X的分布函數(shù)，X1，X2，…,Xn為X的樣本，X(1),X(2),…,X(n)為順序統(tǒng)計(jì)量，F(xiàn)(1)(x),F(n)(x)分別表示隨機(jī)變量X(1),X(n)的分布函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x有：按概率密度函數(shù)計(jì)算次序統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)：

按概率密度函數(shù)計(jì)算次序統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)：

按概率密度函數(shù)計(jì)算次序統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)：當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量且有密度函數(shù)f(x)時(shí)，則X(1),X(n)也是連續(xù)型隨機(jī)變量，且它們的密度函數(shù)分別為：

當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量且有密度函數(shù)f(x)時(shí)，則X(1),X(例1：設(shè)總體X

分布為U(0,θ),X1,X2……,Xn是取自總體的樣本，試寫(xiě)出X(1),X(n)的密度函數(shù).例1：設(shè)總體X分布為U(0,θ),X1,X2例2：設(shè)總體X~G(l)，X1,X2,…,Xn為X的樣本。求：f(1)(x)，f(n)(x)。

例2：設(shè)總體X~G(l)，X1,X2,…,Xn為X的樣本。例3：設(shè)(X1,X2,…,Xn)是來(lái)自正態(tài)總體N(12,9)的樣本，求：

解：1）因X1,X2,…,Xn獨(dú)立，且服從相同分布

例3：設(shè)(X1,X2,…,Xn)是來(lái)自正態(tài)總體N(12,9)

解：我們首先應(yīng)求出x

(2)

的分布。由總體密度函數(shù)不難求出總體分布函數(shù)為可以得到x

(2)

的密度函數(shù)為

解：我們首先應(yīng)求出x(2)的分布。由總體密度函數(shù)不于是于是四、思考

四、思考

設(shè)總體X

的分布如下:X012p1/31/31/3現(xiàn)抽取容量為3的樣本,共有27種可能取值,列表如下x1x2x3x(1)x(2)x(3)000000001001010001100001002002020002200002011011101011x1x2x3x(1)x(2)x(3)110011012012021012102012201012120012210012022022202022x1x2x3x(1)x(2)x(3)220022112112121112211112122122212122221122111111222222例5：設(shè)總體X的分布為僅取0,1,2的離散均勻分布，設(shè)總體X的分布如下:X01X(1)012p19/277/271/27X(2)012p7/2713/277/27X(3)012p1/277/2719/27其分布各不相同進(jìn)而可得X(1)與

X(2)

的聯(lián)合分布如下:X(1)與X(2)并不獨(dú)立

1/270023/274/27013/279/277/270210

X(2)X(1)由此可得X(1),X(2),X(3)的分布列如下:X(1)012p19/注:在一個(gè)樣本中,X1,X2，……,Xn是獨(dú)立同分布的,而次序統(tǒng)計(jì)量X

(1)

,X(2)……,X(n)

則可能既不獨(dú)立,分布也不相同.注:在一個(gè)樣本中,X1,X2，……,Xn是獨(dú)立充分統(tǒng)計(jì)量指統(tǒng)計(jì)量加工過(guò)程中無(wú)信息損失的統(tǒng)計(jì)量是不合格品率p的充分統(tǒng)計(jì)量來(lái)自正態(tài)總體的樣本，若總體期望已知，是總體方差的充分統(tǒng)計(jì)量，若總體方差已知，是總體期望的充分統(tǒng)計(jì)量。充分統(tǒng)計(jì)量指統(tǒng)計(jì)量加工過(guò)程中無(wú)信息損失的統(tǒng)計(jì)量謝謝！謝謝！謝謝觀看！謝謝觀看！感謝觀看感謝觀看順序統(tǒng)計(jì)量順序統(tǒng)計(jì)量30一、定義定義：設(shè)(X1,X2,…,Xn)是從總體X中抽取的一個(gè)樣本，(x1,x2,…,xn)是其中一個(gè)觀測(cè)值，將觀測(cè)值按從小到大的次序重新排列為：

定義：X(k)取值為x(k)(k=1,2,…,n)，由此得到

一、定義定義：設(shè)(X1,X2,…,Xn)是從總體X中抽取的一特別的說(shuō)明

X

(k)稱為第k個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量(即它的每次取值總是取每次樣本觀測(cè)值由小到大排序后的第k個(gè)值).特別的說(shuō)明

X(k)稱為第k個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量(即它的二、常用順序統(tǒng)計(jì)量極差中位數(shù)分位數(shù)四分位數(shù)二、常用順序統(tǒng)計(jì)量極差1、極差

極差反映了隨機(jī)變量X取值的分散程度。1、極差

極差反映了隨機(jī)變量X取值的分散程度。排序后處于中間位置上的值Me50%50%

2、中位數(shù)排序后處于中間位置上的值Me50%50%

2、中位數(shù)3、分位數(shù)

3、分位數(shù)

1/31/31/3012X(k)稱為第k個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量(即它的每次取值總是取每次樣本觀測(cè)值由小到大排序后的第k個(gè)值).當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量且有密度函數(shù)f(x)時(shí)，則X(1),X(n)也是連續(xù)型隨機(jī)變量，且它們的密度函數(shù)分別為：推論2：最小次序統(tǒng)計(jì)量x(1)的概率密度函數(shù)為排序后處于中間位置上的值排序后處于中間位置上的值設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x)，分布函數(shù)為F(x)，x1,x2,…,xn為樣本，則第k個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量x(k)的密度函數(shù)為:012按概率密度函數(shù)計(jì)算次序統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)：求：f(1)(x)，f(n)(x)。次序統(tǒng)計(jì)量的應(yīng)用之一就是五數(shù)概括與箱線圖。所謂五數(shù)概括就是指用這五個(gè)數(shù)來(lái)大致描述一批數(shù)據(jù)的輪廓。定義：X(k)取值為x(k)(k=1,2,…,n)，由此得到設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x)，分布函數(shù)為F(x)，x1,x2,…,xn為樣本，則第k個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量x(k)的密度函數(shù)為:例3：設(shè)(X1,X2,…,Xn)是來(lái)自正態(tài)總體N(12,9)的樣本，求：4、四分位數(shù)：排序后處于25%和75%位置上的值不受極端值的影響計(jì)算公式QLQMQU25%25%25%25%1/31/31/34、四分位數(shù)：排序后處五數(shù)概括與箱線圖次序統(tǒng)計(jì)量的應(yīng)用之一就是五數(shù)概括與箱線圖。在得到有序樣本后，容易計(jì)算如下五個(gè)值：最小觀測(cè)值x

min=x

(1);最大觀測(cè)值x

max=x

(n);中位數(shù)m;第一4分位數(shù)Q1=m

第三4分位數(shù)Q3=m

。所謂五數(shù)概括就是指用這五個(gè)數(shù)來(lái)大致描述一批數(shù)據(jù)的輪廓。五數(shù)概括與箱線圖次序統(tǒng)計(jì)量的應(yīng)用之一就是五數(shù)概括與箱線圖。在三、順序統(tǒng)計(jì)量的分布1、單個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量的分布設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x)，分布函數(shù)為F(x)，x1,x2,…,xn

為樣本，則第k

個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量x

(k)

的密度函數(shù)為:

三、順序統(tǒng)計(jì)量的分布1、單個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量的分布設(shè)總體X的密度函第三4分位數(shù)Q3=m。設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x)，分布函數(shù)為F(x)，x1,x2,…,xn為樣本，則第k個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量x(k)的密度函數(shù)為:1、單個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量的分布指統(tǒng)計(jì)量加工過(guò)程中無(wú)信息損失的統(tǒng)計(jì)量排序后處于中間位置上的值X(k)稱為第k個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量(即它的每次取值總是取每次樣本觀測(cè)值由小到大排序后的第k個(gè)值).解：1）因X1,X2,…,Xn獨(dú)立，且服從相同分布極差反映了隨機(jī)變量X取值的分散程度。例2：設(shè)總體X~G(l)，X1,X2,…,Xn為X的樣本。排序后處于25%和75%位置上的值設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x)，分布函數(shù)為F(x)，x1,x2,…,xn為樣本，則第k個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量x(k)的密度函數(shù)為:0127/2713/277/27例3：設(shè)(X1,X2,…,Xn)是來(lái)自正態(tài)總體N(12,9)的樣本，求：求：f(1)(x)，f(n)(x)。證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，考慮次序統(tǒng)計(jì)量x(k)

取值落在小區(qū)間(x,x+x]內(nèi)這一事件，它等價(jià)于“樣本容量為n的樣本中有1個(gè)觀測(cè)值落在區(qū)間(x,x+x]之間，而有k-1個(gè)觀測(cè)值小于等于x

，有n-k個(gè)觀測(cè)值大于x+x

”，其直觀示意圖見(jiàn)下圖

x

x+xn-kk-11x

(k)

的取值示意圖第三4分位數(shù)Q3=m。證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x

兩邊同除以x,并令x→0,即有推論1：最大次序統(tǒng)計(jì)量x

(n)

的概率密度函數(shù)為推論2：最小次序統(tǒng)計(jì)量x

(1)

的概率密度函數(shù)為

兩邊同除以x,并令x→0,即有推論1：最大按概率密度函數(shù)計(jì)算次序統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)：設(shè)F(x)是總體X的分布函數(shù)，X1，X2，…,Xn為X的樣本，X(1),X(2),…,X(n)為順序統(tǒng)計(jì)量，F(xiàn)(1)(x),F(n)(x)分別表示隨機(jī)變量X(1),X(n)的分布函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x有：按概率密度函數(shù)計(jì)算次序統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)：

按概率密度函數(shù)計(jì)算次序統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)：

按概率密度函數(shù)計(jì)算次序統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)：當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量且有密度函數(shù)f(x)時(shí)，則X(1),X(n)也是連續(xù)型隨機(jī)變量，且它們的密度函數(shù)分別為：

當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量且有密度函數(shù)f(x)時(shí)，則X(1),X(例1：設(shè)總體X

分布為U(0,θ),X1,X2……,Xn是取自總體的樣本，試寫(xiě)出X(1),X(n)的密度函數(shù).例1：設(shè)總體X分布為U(0,θ),X1,X2例2：設(shè)總體X~G(l)，X1,X2,…,Xn為X的樣本。求：f(1)(x)，f(n)(x)。

例2：設(shè)總體X~G(l)，X1,X2,…,Xn為X的樣本。例3：設(shè)(X1,X2,…,Xn)是來(lái)自正態(tài)總體N(12,9)的樣本，求：

解：1）因X1,X2,…,Xn獨(dú)立，且服從相同分布

例3：設(shè)(X1,X2,…,Xn)是來(lái)自正態(tài)總體N(12,9)

解：我們首先應(yīng)求出x

(2)

的分布。由總體密度函數(shù)不難求出總體分布函數(shù)為可以得到x

(2)

的密度函數(shù)為

解：我們首先應(yīng)求出x(2)的分布。由總體密度函數(shù)不于是于是四、思考

四、思考

設(shè)總體X

的分布如下:X012p1/31/31/3現(xiàn)抽取容量為3的樣本,共有27種可能取值,列表如下x1x2x3x(1)x(2)x(3)000000001001010001100001002002020002200002011011101011x1x2x3x(1)x(2)x(3)110011012012021012102012201012120012210012022022202022x1x2x3x(1)x