大連市第十五-十八屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題(理工科)

PAGEPAGE10）一、填空題（本大題共10小題，每小題2分，總計(jì)20分）1．已知y2tanx，則dy 2．20

2xx2dx 3．x1t2，則d2y ycost

d2x1設(shè)f(x) 1ex ，則x0為f(x)的 124ex

型間斷點(diǎn)。函數(shù)yyx)2y32y22xyx21yyx)的駐點(diǎn)為冪級(jí)數(shù)n0

axn在x2處條件收斂，則此級(jí)數(shù)的收斂半徑為 n2L:x2y2

1

xdy4ydx 4 xL

y2曲線(xiàn)yex2的凸區(qū)間為 xt,yt2,zt3x2yz4平行的切線(xiàn)只有 條x2y2．2dxx2y2

)dy化為極坐標(biāo)系下的先對(duì)后對(duì)的二次積分為0 3x（8分）已知limx0

e3x1

2，求lim f(x).1f1f(x)sin2x1（9分fx)在區(qū)間))fx)以T為fx)的周期為T(mén)f(0)f(T)。（8分fx)x1

t|t|dtx1)fx)x軸所圍成的封閉圖形D的SDx軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積V。（9分fx,y)x22y2x2y2Dx,y)|x2y24,y0上的最大值和最小值。（本題8分）通過(guò)xeuyev

,變換方程z22x2 x2

z2 yxy

2 0y2七（本題10分）設(shè)u 1,u 2,n3時(shí)，u u u 。求證：1 2 n n1 n2八（本題8 分）求下列曲面積分

n（1）3uu 2u；（2）（1）3uu 2u；（2）1收斂。2n1nn1n1u

(x2(x2y2z2)3zy0

1x1x2（10分）fx)在ab上連續(xù),且單調(diào)增加,求證:bxf(x)dxaba 2 a

f(x)dx。（10分fx)在abab)內(nèi)二階可導(dǎo),fa)f(b)，f'(a)f

'(b)0

，試證：在ab內(nèi)至少存在一點(diǎn)f)=0。）一、填空題（本大題共10小題，每小題2分，總計(jì)20分）1函數(shù)ye3x31的值域?yàn)?1設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(x)x2limf(x)，則f(x) x1ddx

0x2x2

cost3dt f(x)(x2x)tan2

x的第一類(lèi)間斷點(diǎn)為x 5y5x 9

5(x1)3的凹區(qū)間是 _6．設(shè)為球面xa2(yb2(zc2R2R0的外側(cè)，則曲面積分xdydz

ydzdx zdxdy 設(shè)xf(x)dxarcsin xC，則

1f(x

dxb設(shè)b

為非零向量，夾角為4

，且b

axbaxbx0 x若f(x)limxt

)2tx，則f(x) 1t1使二重積分(44x2y2)d達(dá)到最大的平面區(qū)域D為 D（9分）fx)在區(qū)間aaa0上連續(xù)，證明aa

f(x)dxf(x)f(x)]dx；0利用（1）的結(jié)論，計(jì)算定積分

sin

xdx。（8分已知極限lim

n2009

1ex4是不為零的有限數(shù)，試求以及極限值。nn

(n1)（8分）求函數(shù)zx4y4x22xyy2的極值。（9分設(shè)ux,y),vx,yD:x2y22x2y上具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，D的邊界曲線(xiàn)C上ux,y)xvx,y)y，求uu)v(v

v)u]dxdy 。x yD

x y六（本題8分計(jì)算 (x2z2)dv其中是球面x2y2(zR)2R2（R0）所包圍的區(qū)域。（本題10分）（xtanx在(0,)內(nèi)的有無(wú)窮多個(gè)可由小到大排列的正根x x1 2

xn

（2）級(jí)數(shù) 1x2n1 n

收斂。（8分）求閉曲線(xiàn)x2y23x4y4D的面積。xueuv（本題10分）設(shè)以u(píng)v為參數(shù)的方程組

yuv

zfx,y)，求 zeuvzfx,y)在uv1處的切平面和法線(xiàn)方程。（10分fx)x0limx0

f(2x)f(x)x

Af(0存在，且f(0)A。）（一、填空題（共10小題，每題2分，共20分）極限limex0

esinx3

；積分x2x22xx22x

(xcosx)2dx；

arctan

lnx2x22

y

；fx)有一個(gè)原函數(shù)為sinx

，則cosxcosx

xf'(x)dx；1xarcsin x5.x0x)kx2與1xarcsin x

是等價(jià)無(wú)窮小則k= ；n1

(x2)2n的收斂域；n4nx2y2z2R2設(shè)是 一周(R0)，其線(xiàn)密度為1，則其關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 xyz0I= ；

( )x3

的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ；xsinxx設(shè)zz(x,y) 由方程x；

2 y

3z2

x

確定，則z(x,y) 的駐點(diǎn)積分xx6

1dx；1（9分）fx)在(0,上有定義，fx)x1f(1)4x1

0,x2

0，有f(xx12

)x1

f(x2

)x2

f(x1

)fx)在(0,)fx)。（8分）設(shè)正值序列{xn

}滿(mǎn)足lnxn

1 1，xn1證明：limxn

存在，并求其值。（8分）Lx2y21I（9分）

xdyydx Ax22BxyCy2L

，(A0,ACB20)。設(shè)f(x)在[0,1]連續(xù)，且f(x)0，證明：ln1f(x)dx1lnf(x)dx。00（8分）yfx)是區(qū)間[0,1]上任一正值連續(xù)函數(shù)。x0

(0,1)[0,x0

]上以f(x0

)為高的矩形面積等于在區(qū)間[x0

,1]上以yf(x)為曲邊的曲邊梯形面積。fx)區(qū)間[0,1]上單調(diào)增加，試證（1）x0（10分）

是唯一的。fx,y)ax22bxycy2x2y21上的最大值，最小值，其中abc0,b2ac0。（8分）設(shè)級(jí)數(shù)

(a a )收斂，n n1

b 絕對(duì)收斂，證明：n

ab 絕對(duì)收斂。nnn1 n1 n1（10分）fx,yD{0x1,0y1}上有四階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，fx,y)D的邊界上恒2fx2y2為2fx2y2D

f(x

y)

1 。48（本題10分）設(shè)fx)0，它在區(qū)間ab]上的任一子區(qū)間上不恒為0，且在ab]上二階可導(dǎo)，fx)0fx)0在ab上最多只有一個(gè)根。大連市第十六屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽理工科一、填空（5*2=10分）設(shè)函數(shù)fx)x0點(diǎn)連續(xù)，且limx0

f(2x3x

1yfx在(0,f(0處的切線(xiàn)方程為 。設(shè)f(x

3xetdt2且yf(x)的反函數(shù)是yg(x)則g(2) 。0若函數(shù) f( x

在區(qū)域

D: 0 x 1 ,0 連續(xù)，且f( x, y) d x dy,ff(x,)dxdy 。Dyx/2

Dcostdt的全長(zhǎng)為 。z

f(xy,

yx

有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則xy

= 。二、選擇題（5*2=10分）

f(x

x3x)sinx

，則其（）有無(wú)窮多個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn) B.只有一個(gè)可去間斷點(diǎn)C.有兩個(gè)跳躍間斷點(diǎn) D.有三個(gè)可去間斷點(diǎn)a 1naa 1na結(jié)論：a.ann1

收斂，則

(1)nann1a a 1na

收斂；b.若n

1收斂，則a 發(fā)nn1c.

1收斂，則an

收斂；d..若a2n

收斂，則a

3收斂，nn其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3

n1

n1 n13（1）f在x,y0 0連續(xù)（）

)（）f(x,y0

)xx0

（3）f(x0

,y)關(guān)于y在y0或（3）滿(mǎn)足時(shí)（1）成立 成立時(shí)（2）或（3）中至多一個(gè)成C. （2）與（3）均滿(mǎn)足時(shí)（1）成立 D.（1）成立時(shí)（2）與（3）均成立fx)在abfx)在ab上（）有界 B.有有限個(gè)間斷點(diǎn) C.單調(diào) D.連續(xù)yx

2arctan x的漸近線(xiàn)有（ ）一條 B.二條 C.三條 D.四條三、（10分）ylnxylnxx軸圍成平面圖形D，（1）求D的面積A （2）求D繞直線(xiàn)xe旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。四、（10分fx)1x零點(diǎn)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)無(wú)零點(diǎn)。

x2 x3 (1)2 3

xn ，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)恰有一個(gè)nfx)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算曲線(xiàn)積分fxsinydx[fxcosyx]dy，其CCA(2,2沿圓周x1)2(y212B(0,0)。R2x2y2六、（10分）R2x2y2

的底面接上一個(gè)相同材料的柱體hz0,x

y

R2h0)，為使整個(gè)立體h為多少？并求該立體關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。七、（10分（10分）設(shè)在[1,1]上的連續(xù)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足如下條件：對(duì)[1,1]上的任意連續(xù)偶函數(shù)g(x)，積分11

fxgxdx0fx)是1,1]上的奇函數(shù)。八、（10分設(shè)yf(x)在(0,1)內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且f(x)0求證（1對(duì)于(0,1)內(nèi)任一點(diǎn)x0存在唯一的(x)(0,1)使f(x)f(0)xf((x)x)成立令f(x)arctan x，求當(dāng)x0時(shí)(x)的極限值。九、（10 分）設(shè)函數(shù)f(x) 有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足關(guān)系式x

x

3 x[f2(x)

1,

x0時(shí)，f(x)

1x22

不能再換為較小的數(shù)。十、（10分）已知x

1,x

1 ,x

1 ,,x

1 ,，求證（1）數(shù)列0 1 x34 0

x341

n1

x34nx （2）n

axn

4x10的唯一正根。大連市第十五屆大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽題（一、填空題（2分*5=10分）設(shè)yln(1x2)，則函數(shù)圖形的凸區(qū)間為 。xlnt

d2ydx2

e2xy0簡(jiǎn)化為 。積分21n21n2n2

(x1) 4xx2dx= 。1n212n212n222n

1

= 。無(wú)窮級(jí)數(shù) n2n!n1

的和為 。二、選擇題（5*2分=10分）1. 若f(x)f(x),(x)(,0)內(nèi)f(x)0,f(x)0，則f(x)在(,0)內(nèi)（）f(x)0,f(x)0；B. f(x)0,f(x)0；C. f(x)0,f(x)0；D. f(x)0,f(x)0fx)yfx在點(diǎn)x,fx))y2x垂直，0 0則當(dāng)x0時(shí)，該函數(shù)在xx 處的微分dy是（）0與x同階但非等價(jià)的無(wú)窮??；與等價(jià)的無(wú)窮小；比x高階的無(wú)窮??；比x低階的無(wú)窮小。 I1

2sin(sin x)dx,I0

2cos(sin xdx，則（）0I1

1I2

1I1

I I2

1I1

；D. I I1

1。x2yx2y2

在點(diǎn)（0，0）處（）不連續(xù)；偏導(dǎo)數(shù)存在；C.任一方向的方向?qū)?shù)存在；D.可微。5. 若

a ,n

b 發(fā)散，則（ ）nn1 n1(ann1

b)發(fā)散；B.nn1

(a bn

)發(fā)散；C.n1

(abn

)發(fā)散；D.n1

(a2n

b2