突破2023年高考數(shù)學(xué)題型之解密2022年高考真題34立體幾何中二面角的計(jì)算問(wèn)題(解析版)

專題34立體幾何中二面角的計(jì)算問(wèn)題【高考真題】1.(2022新高考I卷)如圖，直三棱柱ABC-AqG的體積為4,aABC的面積為2日.8⑴求A到平面4BC的距離；(2)設(shè)。為AC的中點(diǎn)，A^=AB,平面A8C_L平面A明外,求二面角A-9-C的正弦值.I.解析(1)在直三棱柱A8C-AB1G中，設(shè)點(diǎn)A到平面A8C的距離為小則眩-A8C=gsAA8C,〃=g^〃=/-A8C=gsAA8C.4A=g%c-AB1G=g，解得〃=忘，所以點(diǎn)A到平面4BC的距離為近；(2)取的中點(diǎn)￡連接AE,如圖，因?yàn)锳A=AB,所以4E_L4|8,又平面ABC_L平面ABB,A,平面ASCf］平面A881A=A8,且AEu平面所以AE_L平面ABC,在直三棱柱ABC-AB1G中，平面ABC,由BCu平面ABC,BCu平面ABC可得AE_LBC,B&JLBC,又AE,BMu平面AB4A且相交，所以8C_L平面AB4A,所以兩兩垂直，以8為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，B由(1)得AE= ,所以A4|=AB=2,A^B=2>/2,^lriBC=2,則A（0,2,0）,A（0,2,2）,8（0,0,0）,C（2,0,0）,所以AC的中點(diǎn)則麗=（1,1,1）,麗=（0,2,0）,而=（2,0,0）,zw,BD=x+y+z=0設(shè)平面ABO的一個(gè)法向量而=(x,y,z),則| - -,可取而=(1,0,-1),m-BA=2y=0-. 、 \m-BD=a+b+c=0 -. 、設(shè)平面肛:的一個(gè)法向量”=(a,b,c),貝叫 ,可取〃=m-BC=2a=0則8旬'>編二五%T所以二面角Aq.C的正弦值為［字2.(2022新高考H卷)如圖，PO是三棱錐P-ABC的高，PA=PB,ABA.AC,E是PB的中點(diǎn).（1）證明：OE〃平面R4C：（2）若ZABO=NCBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C—恁-8的正弦值.2.解析（1）連接80并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)￡）,連接04、PD,因?yàn)镻O是三棱錐P-A8C的高，所以POJ_平面ABC,AQ,BOu平面ABC,所以POA.AO,PO±BO,又PA=PB,所以△POAw/XPOB,SPOA=OB,所以NQ4B=NOR4,又AB_LAC,即Zfi4c=90°,所以/045+/04￡>=90°,Z.OBA+Z.ODA=9CP,所以NOZM=NQ4T>所以AO=DO,即AO=QO=Q8,所以O(shè)為8。的中點(diǎn)，又E為PB的中點(diǎn)，所以O(shè)E//PD,又OE<Z平面R4C,PDu平面R4C,所以O(shè)E〃平面P4C(2)過(guò)點(diǎn)A作上〃。尸，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)镻O=3,4尸=5,所以0<=〃廣-〃。2=“

y又ZOBA=NOBC=3b、所以30=204=8,則AO=4,所以y又ZOBA=NOBC=3b、所以30=204=8,則AO=4,所以AC=12,所以O(shè)(2右,2,0),網(wǎng)46,0,0),網(wǎng)26,2,3),C(0,12,0),所以E(3石,lgj.則正,而=1收0,0),Ac=(0,12,0),設(shè)平面AEB的法向量為G=(x,y,z),l3萬(wàn)?AE=3j3x+y+—z=0則 2"?麗=4任=0,令z=2,則y=-3,x=0,所以3=(0,-3,2)；面AEC的法向量為記=(〃,4c),貝山m?AE=3\[?>a+b+—c=0,廣,2 ,令a=V5,則「=力，b=0.mAC=12b=0所以m=(后,0,-6)；所以CM詞=端=而需設(shè)二面角C-AE—5為6,由圖可知二面角C—AE—8為鈍二面角,所以cos0=-生巨，所以sine=Jl-cos20=U,故二面角c—ae-8的正弦值為□.13 13 13【方法總結(jié)】1.二面角⑴如圖①，AB,C。是二面角aT-￡的兩個(gè)面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大小，=<箱，CD>.(2)如圖②③，〃1，"2分別是二面角a—/一夕的兩個(gè)半平面a,4的法向量，則二面角的大小9滿足|cos"=|COS<〃|,〃2>|，二面角的平面角大小是向量"I與"2的夾角(或其補(bǔ)角).2.平面與平面的夾角如圖，平面a與平面夕相交，形成四個(gè)二面角，我們把四個(gè)二面角中不大于90。的二面角稱為平面a與平面￡的夾角.若平面a,0的法向量分別是和"2，則平面a與平面￡的夾角即為向量"1和“2的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面a與平面夕的夾角為仇則cos6=|cos<"i, 舄.3.利用空間向量計(jì)算二面角大小的常用方法(1)找法向量：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小；(2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量,則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.【題型突破】1.(2020?全國(guó)in改編)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1BC①中,點(diǎn)E,F分別在棱。O”BBt±,且2DE=ED，BF=2FB\.(1)證明：點(diǎn)G在平面AEF內(nèi)；(2)若A8=2,AO=1,A4i=3,求平面AE尸與平面￡7人夾角的正弦值.1.解析⑴設(shè)AB=a,AD=b,A4i=c,如圖,以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，"OdT,中7,黃的方向分別為x軸，y軸，Z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系C]xyz.連接CtF,則Ci(O,0,0),A(a,b,c),E(a,0,|c),F(0,b,(J,或=(0,b,1c),和=(0,b,例，所以或=石比所以EA〃CE即A,E,F,Ci四點(diǎn)共面，所以點(diǎn)Cj在平面AEF內(nèi).(2)由已知得A(2,1,3),￡(2,0,2),F(0,1,1),4(2,1,0),則息=(0,-1,-1),#=(-2,0,-2),7^=(0,-1,2),7??=(—2,0,1)./iiAE=0, f—yj—zi=0,設(shè)y\9zi)為平面AE尸的法向量，則1 即J- -八lnvAp=0, l-2x,-2z1=0.可取“1=(—1,—1,1).mt4?/*=0 [—y)+2z，=O設(shè)小=(M加Z2)為平面A后的法向量，則(? 即一:[n2-A^=0, 1-2x2+z2=0,同理可取"2=G，2,1).BI， ?1?2 A/70^cos<m,?2>=i^i=-7，所以平面AEF與平面E/小夾角的正弦值為華.2.(2019.全國(guó)HI)圖1是由矩形A￡>EB,RtZVIBC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中A8=l,BE=BF=2,ZFBC=60°.將其沿AB,8c折起使得BE與8尸重合，連接OG,如圖2.(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面ABC_L平面8CGE；(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.2.解析(1)由已知得AO〃8E,CG//BE,所以AO〃CG,所以4￡>,CG確定一個(gè)平面，從而A,C,G,。四點(diǎn)共面.由已知得 ABLBC,EBEC\BC=B,所以A8_L平面BCGE.又因?yàn)锳8u平面ABC,所以平面ABC_L平面8CGE.(2)作EH1.BC,垂足為".因?yàn)镋”u平面BCGE,平面BCGE_L平面ABC,平面8CGECI平面A8C=8C,所以E〃_L平面A8c.由已知，菱形BCGE的邊長(zhǎng)為2,Z￡BC=60°,可求得8H=1,EH=y[i.

設(shè)平面ACGD的法向量為n=（x所以可取又平面BCGE的法向量可取m=（0nm所以cos<w則設(shè)平面ACGD的法向量為n=（x所以可取又平面BCGE的法向量可取m=（0nm所以cos<w則C(0,所以在=（CG=(O因此二面角B-CG-A的大小為301(1)證明:BE_L平面EBiG|為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系力xyz解析（1）由已知，得平面A88A,由于B￡u平面A881Al以”為坐標(biāo)原點(diǎn)，訛的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系”xyz以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，況的方向?yàn)閤軸正方向，成的方向?yàn)閥軸正方向，協(xié)?的方向?yàn)閦軸正方向故 XBElECi,fiiCinECi=Ci,所以8EJ_平面EBCi(2)由(1)知NBE8|=90。.由題設(shè)知RtAAfiE^RtA/t所以NA￡B=45。，故AE=A8,AAi=2AB.（2019?全國(guó)II）如圖，長(zhǎng)方體A8CC—AiBiCjOi的底面A8C。是正方形，點(diǎn)E在棱A4上，BEVEC\C^/i=O? X|=0,設(shè)平面ESC的法向量為〃=(jq,y\,zi),則J 即J?八lcfen=o, 那一yi+zi=o，所以可取/i=(0,-1,-1).CCim=0, [2z2=0,設(shè)平面ECG的法向量為m=(*2,yi.zz),則J一 即彳,八[CEm=O9 l^2-^+z2=O,所以可取m=(l,1,0).于是cos<〃，桁>=裾焉=-]?所以二面角8—EC-G的正弦值為坐.4.(2019?全國(guó)1改編)如圖，直四棱柱A8C￡>-A|8CQi的底面是菱形，A4=4,AB=2,NBAD=60。,E,M,N分別是BC,BBi，4。的中點(diǎn).(1)證明：MN〃平面CQE；(2)求平面AMAi與平面MAiN夾角的正弦值.解析(1)如圖，連接SC,ME.因?yàn)镸,E分別為BBi,BC的中點(diǎn),所以A/E〃BC,且ME=：BC.又因?yàn)镹為AQ的中點(diǎn)，所以N￡>=%Q.由題設(shè)知A山i〃DC且4&=OC,可得以C〃AQ且BC=A。，故ME〃ND且ME=ND,因此四邊形MN￡)E為平行四邊形，MN//ED.又MNu平面CQE,ECu平面CQE,所以MN〃平面CiDE.(2)由已知可得。E_LD4,以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，方A的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,

則A（2,0,0）,4（2,0,4）,M（l,小,2）,M1,0,2）,有?=（0,0,一4）,再防=（一1,小，-2）,初=（一1,0,一2）,辦=（0,一小，0）./〃A商=0,設(shè)m=（x,y,z）為平面AiMA的一個(gè)法向量，則，=0,（一5y—2z=0,所以j_4_o. 可得zn=（小，1,0）./rM^=0,設(shè)“=S，q，r)為平面AMN的一個(gè)法向量，則,〃aH=o,所以一小g=0,-所以一小g=0,-p-2r=0,可取〃=（2,0,—1）.于是cos<m,mn2\f3yfT5…麗=2'小=5，所以平面AMA\與平面MA]N夾角的正弦值為^(2020?全國(guó)I)如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD.aABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為。。上一點(diǎn)，尸。=乎。。.(I)證明：以J_平面P8C；(2)求二面角B-PC-E的余弦值.解析（1）設(shè)Z>O=a,由題意可得尸O=*~a,AO=-^~a,AB=a,PA=PB—PC=^a.因此用2+PB2=AB2,從而以J_PB.又RP+PC2=AC2,故以_LPC.又PBCPC=P,PB,PCu平面PBC,所以以J_平面PBC.(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，源的方向?yàn)閥軸正方向，|固為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題設(shè)可得E(0,1,0),A(0,-1,0),C(-羋，0),《0,0,乎).所以發(fā)=(一坐-1,0),EP=[(),-1,啕.\m-EP=0, —y+￡=0,設(shè)m=(x,y,z)是平面PCE的法向量，則j__即JmEC=0, 一孚X—5=0.由⑴知舒=(o,1,孚)是平面PCB的一個(gè)法向量，記〃=舒，則cos<〃，m>=湍=乎?所以二面角8-PC-E的余弦值為乎.(2021?全國(guó)新11)在四棱錐Q—ABCO中，底面ABC。是正方形，若AO=2,QD=QA=小,QC=3.⑴證明：平面Q4OJ_平面ABCC：(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.6.解析(1)取的中點(diǎn)為O,連接。O,CO.因?yàn)椤！?①，OD=OA,則。。_L4O,而40=2,QA=/,故。。=木一1=2,在正方形ABC。中，因?yàn)?0=2,故。0=1,故CO=小，因?yàn)镼C=3,故。O2+og=QG,故AQaC為直角三角形且QOLOC,因?yàn)镺CnAO=O,故QOL底面ABCD.因?yàn)镼Ou平面QAD,,故平面QAOL底面ABCD.(2)在平面ABCD內(nèi)，過(guò)。作OT〃C￡),交8c于T,則OT_LA。，結(jié)合(1)中的QOJ■平面ABCD,故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.〃,膠=0,筋=(-2,2,〃,膠=0,筋=(-2,2,0).則0(0,I,0),設(shè)平面的法向量”=(x,y,z),則，.曲=0,-2x+y+2z=0,—2x+2y=0.不妨設(shè)x=l,可得”=(1,1,2).而平面QA￡)的法向量為而平面QA￡)的法向量為》i=(l,0,0).故cos<?i.m-nJ__2~3=3,,x22二面角3—QD-A的平面角為銳角，故其余弦值為(2021?全國(guó)乙)如圖，四棱錐P—4BC。的底面是矩形，底面ABC。，PD=DC=1,M為BC的中點(diǎn)，且⑴求BC；(2)求二面角A-PM-B的正弦值.7.解析(1)連結(jié)8。，因?yàn)镻L>_L底面A8CD,且AMu平面ABCO,則AMJ_PC,又 PBC\PD=P,PB,PDu平面PBD,所以AM_L平面PBD,又BDu平面PBD,則AMLBD,所以N48D+NZMM=90。，又N04M+NM48=90。,則有ZADB=ZMAB,所以RtAOABsRiAABM,則若=韶>所以;BC2=1,解得8C=，2./\DD1V1 Z

Da\/CDa\/C(2)因?yàn)镈4,DC,QP兩兩垂直，故以點(diǎn)。位坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,l l 血?jiǎng)t4(&,0,0),B(<2,1,0), 1,0),P(0,0,1).所以#=(一6,o,1),堿=(一亭,I,0）,威=（一乎,0,0所以#=(一6,o,1),堿=(一亭,設(shè)平面AMP的法向量為設(shè)平面AMP的法向量為〃=(x,y,z),“力=0,-^2x+z—0,V2VA-t-y=0.2 令令x=y[i,則y=1,z=2,故〃=（，^,1,2）,設(shè)平面8Mp的法向量為m設(shè)平面8Mp的法向量為m=(p,q,r),則有，7?=0,m-Bp=O,「巾p_q+r=O.令4=1,則r=l,故析=（0,1,1）,所以cosv所以cosv〃，m>—m33^14\n\\m\~y[jxyf2~14,設(shè)二面角A—PM—B的平面角為a,則sina=17所以二面角A—PM—B的正弦值為［乎.(2018?全國(guó)III)如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形A8CC所在的平面與半圓弧無(wú)所在平面垂直，M是6b上異于C,。的點(diǎn).(1)證明：平面AMO_L平面BMC；(2)當(dāng)三棱錐M—48C體積最大時(shí)，求面MA8與面所成二面角的正弦值.8.解析(1)由題設(shè)知，平面CMC平面ABC。，交線為CD.因?yàn)?cl.c。，8Cu平面A8CO,所以8C_L平面CM。，故8C_L￡>M.因?yàn)镸為加上異于C,。的點(diǎn)，且。C為直徑，所以。M_LCM.又8CCICM=C,所以DW_L平面8MC.而。Mu平面AMO,故平面AMOJ_平面8MC.(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，房的方向?yàn)閤軸正方向，反的方向?yàn)閥軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.當(dāng)三棱錐M-A8C體積最大時(shí)，M為&的中點(diǎn).由題設(shè)得￡>((), 0, 0), 4(2, 0, 0), 8(2, 2,0),C(0,2,0),A/(0, 1, 1),筋=(-2, 1, 1),霜=(0, 2, 0), dA=(2,0,0).”?加=0, f-2x+y+z=0,設(shè)u=(x,y,z)是平面M4B的法向量，則J 即J 可取”=(1,0,2).k荏=0, ⑵=0方A是平面MC￡)的一個(gè)法向量，因此，cos<n,次>=""=W,sin<n,dX>=~^",IhiidAi2\/5所以面M48與面MCO所成二面角的正弦值是qJ(2021?全國(guó)新I)如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABO_L平面88,AB=AD,。為8。的中點(diǎn).(1)證明：OAJ_C￡>；⑵若AOC。是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AO上,OE=2EA,且二面角E—BC—。的大小為45。,求三棱錐A-BCQ的體積.9.解析(1)因?yàn)锳8=A￡),。為8。的中點(diǎn)，所以A0_L8￡),又平面A8O上平面BCD,平面48QCI平面BCD=BD,AOu平面BCD,所以AO_L平面BCD,又CCu平面BCD,所以。4_LCO；

zz(2)取的中點(diǎn)F,因?yàn)椤鱋CO為正三角形，所以CFLOC,過(guò)。作OM〃。尸與BC交于點(diǎn)M,則OM_LO￡>,所以。M,OD,OA兩兩垂直，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)M,OD,OA為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則8(0,—1,0),C(坐，1,0),zxo,1,0),設(shè)A(0,0,t),則E(0,1,y),因?yàn)椤?,平面88,故平面BCO的一個(gè)法向量為次=(0,0,/),設(shè)平面的法向量為〃=(x,y9設(shè)平面的法向量為〃=(x,y9z),又比2/-3

4-3(O,

就

3-2n?就=0,

n-B^—O,怎3-n2X-P1-0'得〈，c1?+攝=0,9令x=#,則〃=（板—i,7）.因?yàn)槎娼荅-8C-￡)的大小為45°,解得r=1,所以。4=1,又S^ocd=2><1x1乂坐=坐，所以S“e=坐,故以8CD=gxSA8coxOA斗弓X(2021?全國(guó)甲)已知直三棱柱4BC-4B|G中，側(cè)面A4B|8為正方形，AB=BC=2,E,F分別為AC和CG的中點(diǎn)，。為棱481上的點(diǎn)，BFVAyBy.(1)證明：BFLDE；(2)當(dāng)BiO為何值時(shí)，面B81GC與面OFE所成的二面角的正弦值最小?

10.解析(1)連接AE,：E,F分別為直三棱柱ABC-A|B|C|的棱AC和CG的中點(diǎn)，且48=BC=2,/.CF=1,BF=6 AtBi//AB,：.BFLAB,：.AF=yjAB2+BF2=^/22+(^5)2=3,AC=^AF1-CF2=^?>2-\Z=2y[2,：.AB2+BC2=AC2,即BA±BC.故以8為原點(diǎn)，BA,BC, 所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0),8(0,0,0),C(0,2,0),E(l,1,0),F(0,2,I),設(shè) 則以切，0,2),二#=(0,2,1),Dk=(l-m,1,-2),?:注庚=0,.：BF1.DE.(2)；AB_L平面BBiCC,?'.平面BBCC的一個(gè)法向量為"=(1,0,0),,即=。,

x+y+z=0.由⑴知,Dfe=(1-m,1,,即=。,

x+y+z=0.n-Dk—0,設(shè)平面E的法向量為”=(x,y,z),則有《.〃?時(shí)=0,令x=3,則曠=巾+1,z=2—m,故n=(3,m+1,2-m),6芹/ _rvm 3 3 C0mMM，9+(m+1)?+(2—a)? 2/n+14所以當(dāng)時(shí)，面BBiGC與面OFE所成的二面角的余弦值最大為坐，此時(shí)正弦值最小為坐.(2021?北京)已知正方體A8CO—點(diǎn)E為AiA中點(diǎn)，直線EG交平面CQE于點(diǎn)尸.(1)證明：點(diǎn)F為BiG的中點(diǎn)：(2)若點(diǎn)M為棱4以上一點(diǎn)，且二面角M—CF—E的余弦值為*,求普的值.解析如圖所示，取81G的中點(diǎn)尸，連結(jié)OE,EF,FC,由于A8CO—48心。|為正方體，E,廣為中點(diǎn)，故EF*〃C￡>,從而E,F,C,D,四點(diǎn)共面，所以平面C0E即平面COE廣,據(jù)此可得，直線81a交平面COE于點(diǎn)廣,當(dāng)直線與平面相交時(shí)只有唯一的交點(diǎn)，故點(diǎn)、F與點(diǎn)F重合,即點(diǎn)F為中點(diǎn).3D)-B3D)-B（2）以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DDi,方向分別為x軸，y軸，z軸正方形，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,設(shè)稅=2（區(qū)R），則，M(2,22,2),C(0,2,0),F(l,2,2),E(l,0,2),—2,0),從而，Mt=(-2,2-2A,-2),C^=(l,0,2),理：=(0,—2,0),設(shè)平面MCF的法向量為設(shè)平面MCF的法向量為m=（xi,力，zi）,所以＜m#=0,—2xi+(2—2Z)yi—2z]=0,Xi+2z)=0,令Z|=—1,則平面MCF的一個(gè)法向量為〃1=（2,丁-1）.1—x設(shè)平面CFE的法向量為〃設(shè)平面CFE的法向量為〃=（也，”，Z2）,所以，"?注=0,”一訪=0,—2^2=0,.V2+2Z2=O,令Z2=-l,則平面CPE的一個(gè)法向量為〃=（2,0,-1）.從而從而inn=5,|m|=5+(y4j)2,I川=小,則，cos<w,m>=n-m5則，cos<w,m>=n-m5小5+（七六小3整理可得：a—1）2=（,3-2

或

1-2其中尸，C為原正方體的頂點(diǎn)，E,尸為原如圖所示的幾何體由平血PEC/其中尸，C為原正方體的頂點(diǎn)，E,尸為原正方體側(cè)棱長(zhǎng)的中點(diǎn)，正方形ABCO為原正方體的底面，G為棱8c上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證：平面APC_L平面PECF；⑵設(shè)瑟=4設(shè)(WS1),當(dāng)2為何值時(shí)，平面EFG與平面ABCO所成的角為加.解析(1)由已知可知，EB//FD,且￡8=尸。，如圖，連接83,則四邊形EFDB是平行四邊形,：.EF//BD.:底面ABCD為正方形,：.BD±AC.?.NP，底面A8CZ),：.BDLAP.又ACCAP=A,二87)_1平面APC,；.EFL平面APC.,：EFu平面PECF,：.平面APC1.平面PECF.(2)以。為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D—xyz,則8(2,2,0),尸(0,0,1),EQ,2,1),G(2,2-2；.,0),FE=(2,2,0),GE=(0,2A,1),m-F￡=0, [x=—y,設(shè)/n=(x,y,z)是平面EFG的法向量，故彳 即Im-GE=0, lz=-2Ay,令丫=一1,可得切=(1,-1,2A)為平面EFG的一個(gè)法向量，而平面A8CD的一個(gè)法向量為”=(0,0,1).于是cosW=|cos<，"，">|=~/華『，解得入=±^,又0S1W1,.力=坐.J Q2+41" 0 0.如圖，已知直三棱柱ABC-AiBCi中，AAi=AB=4C=l,ABLAC,M,N,Q分別是CG，BC,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線48上運(yùn)動(dòng)，HA>=Z4^i(2G[0,1]).(1)證明：無(wú)論入取何值，總有AM_L平面PNQ；(2)是否存在點(diǎn)P,使得平面PMN與平面ABC的夾角為60。？若存在，試確定點(diǎn)P的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由..解析（1）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC,所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則4(0,0,0),4(0,0,1),Bi(l,0,1),標(biāo)系，則4(0,0,0),4(0,0,1),Bi(l,0,1),,1,5),252'°)*由再力=Mi力1=4（1,0,0）=（九0,0）,可得點(diǎn)PU,0,1）,所以麗=弓一4;一1）,用=（一九-1).又破=（0,1,；）,所以磁?麗=0+3~4=0,加質(zhì)=0+卜3=0,所以破_L麗，磁麗，即AM_L/W,AM1PQ,又PNCPQ=P,所以AM_L平面PNQ,所以無(wú)論久取何值，總有AWJ_又PNCPQ=P,(2)設(shè)"=(x,y,z）是平面PMN的法向量,則，“(2)設(shè)"=(x,y,z）是平面PMN的法向量,則，“麗=0,"?麗=0,aLZ=0,31,1,1—ZX+T2=0,1+2A~x,2，令x=3,所以〃=（3,1+2A,2—2a是平面PMN的一個(gè)法向量.取平面ABC的一個(gè)法向量為,n=（0,0,1）.\]9+1+Vr+2~2A2假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P,則|cos<m,\]9+1+Vr+2~2A2化簡(jiǎn)得4萬(wàn)―144+1=0,解得，=匕普或』=寫更（舍去）.綜上，存在點(diǎn)尸，且當(dāng)AiP=7~~：巾時(shí),滿足平面PMN與平面A8C的夾角為60。..已知在四棱錐P—4BCO中，平面PDC_L平面ABC。，ADLDC,AB//CD,4B=2,DC=4,E為PC的中點(diǎn)，PD=PC,BC=2y[2.（1）求證：BE〃平面以￡）；

(2)若PB與平面48CD所成角為45。，點(diǎn)尸在平面ABC。上的射影為0,問(wèn)：BC上是否存在一點(diǎn)F,使平面尸。尸與平面aB所成的角為60。？若存在，試求點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.AB.解析(1)取尸。的中點(diǎn)“，連接A”，EH,則E”〃CO,EH=\CD,又AB"CD、A8=；CO=2,：.EH//AB,且E〃=A8,四邊形AB￡7/為平行四邊形，故8￡〃/M.又5EC平面得￡),/Mu平面辦￡),〃平面(2)存在，點(diǎn)尸為BC的中點(diǎn).理由：?.?平面。￡>(7_1平面488,PD=PC,作尸O_L￡>C,交0c于點(diǎn)O,連接OB,可知。為點(diǎn)P在平面A8C。上的射影，則NP8O=45。.由題可知。8,OC,。尸兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B,OC,O尸所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一xyz,由題知OC=2,BC=2?：.OB=2,由/尸8。=45°,可知OP=OB=2,；.P(0,0,2),4(2,—2,0),8(2,0,0),C(0,2,0).設(shè)F(x,y,z),BF=XBC,則(x-2,y,z)=，(一2,2,0),解得x=2—li,y=2A,z=0,可知F(2—2A,2A,0),設(shè)平面以3的一個(gè)法向量為"7=(即，川，zi),丁昂=(2,-2,-2),翁=(0,2,0),〃?耳=0, [2xi—2yi—2zi=0,:得彳 令zi=L得加=(1,0,1).Lab=o, ⑵’尸"設(shè)平面POF的一個(gè)法向量為“=(X2,?2,Z2),VOP=(0,0,2),OF=(2-2A,2x,0),可知當(dāng)尸為8c的中點(diǎn)時(shí)，兩平面所成的角為60。.

.如圖所示，在梯形ABCO中，AB//CD,ZBCD=\20°,四邊形4CFE為矩形，且CF，平面4BCO,AD=CD=BC=CF.(1)求證：EF_L平面BCB(2)點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，平面M4B與平面FCB所成的銳二面角最大，并求此時(shí)二面角的余弦值..解析(1)設(shè)AO=CO=BC=1,'JAB//CD,ZBCD=120°,：.AB=2,.".A^^A^+B^-lABBCcos60°=3,.".AB2=AC2+BC2,則8C_LAC.:CFL平面ABCD,ACu平面ABC。，.'.AC±CF,而CFClBC=C,CF,BCu平面BCF,.?.ACJ■平面BCE".,EF//AC,，EEL平面8c凡(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線CA,CB,CF為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè) 國(guó)三小)，則C(0,0,0),A(yf3,0,0),8(0,1.0),M(a,0,1),二弟=(一小，I,0),筋=(九-1,1).n-Ah=0, (—"^3x+_y=0,設(shè)〃=(x,y,z)為平面MA8的法向量，由j 得，，,[”勵(lì)=0, lAr-y+z=0,取x=l,則”=(1,小，小一，).易知》?=(1,0,0)是平面FCB的一個(gè)法向量，nm I 1.?cos〈/i,nr>—\~~7,r=~/ _—=_.?川阿，1+3+小一松1也一小2+4,<*0<2<a/3,?二當(dāng)久=0時(shí)，cos</i,取得最小值J,J當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)尸重合時(shí)，平面MA8與平面FC8所成的銳二面角最大，此時(shí)二面角的余弦值為3一.16.如圖所示，正方形AA。]。與矩形A8CO所在平面互相垂直，48=240=2,點(diǎn)￡為A8的中點(diǎn).(1)求證：3。1〃平面4?！?；JT(2)設(shè)在線段AB上存在點(diǎn)M,使二面角A-MC-O的大小為不求此時(shí)AM的長(zhǎng)及點(diǎn)E到平面5MC的距離..解析⑴連接A。，交4。于點(diǎn)O,；四邊形為正方形,是4。的中點(diǎn)，?.,點(diǎn)￡為AB的中點(diǎn)，連接0E.:.EO為AABni的中位線，：.EO//BD\.又；8。1仁平面A0E,OEu平面AQE,〃平面AQE.(2)由題意可得DQ_L平面A8C￡>,以點(diǎn)。為原點(diǎn)，DA,DC,所在直線分別為x軸、)，軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則50,0,0),C(0,2,0),Ai(l,0,1),D,(0,0,1),8(1,2,0),E(l,1,0),設(shè)Ml，>\).O)(O<>-o<2), 2-y0.0),D^=(0,2,-1),BP-—x+y2—yo=0,2y—z=0,“i阮=0,設(shè)平面QiMC的一個(gè)法向量為m=(BP-—x+y2—yo=0,2y—z=0,g?屈7=0,令y=l,有〃i=(2—yo.1,2).而平面MC￡)的一個(gè)法向量為〃2=(0,0,1).IT要使二面角。一MC-D的大小為不mi |”「小1 2 亞則cos1|cos<m,n2>\=M^r-j======2'解得泗=2一米(gyo52),故AM=2—乎，此時(shí)m=(乎，1,2),D^E=(\,1,—1).-T-亞_故點(diǎn)E到平面￡)|MC的距離為441~=4,3(2017?全國(guó)H)如圖，四棱錐P-ABCO中，側(cè)面附。為等邊三角形且垂直于底面A8C￡>,AD,ZBAD=ZABC=9Q°,E是PO的中點(diǎn).(1)證明：直線CE〃平面出8；(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面A8CO所成角為45。，求二面角”一48一。的余弦值.

.解析⑴取附的中點(diǎn)凡連接EF,BF.因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以E/〃AD,EF=^AD.由N8AC=N4BC=90。，得5C〃A￡>,又BC=；AD,所以EFJ18C,四邊形8CEF是平行四邊形，CE//BF,又BPu平面PAB,CEC平面PAB,故CE〃平面PAB.(2)由已知得BALA。，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,A。所在直線分別為x軸，y軸，|屈|為單位長(zhǎng)度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(l,0,0),C(l,1,0),P(0,1,正),pt=(],0,一小)，油=(1,0,0).設(shè)M(x,y,z)((Kr<l),則戚=(x-l,y,z),兩=(x,y-l,z—5).因?yàn)榕c底面A8C￡＞所成的角為45。，而〃=(0,0,1)是底面ABCO的法向量,所以IcosV防所以IcosV防\z\〃千sin45訪號(hào)K當(dāng),即(x—lA+y2—①又M在棱PC上，設(shè)兩=2瓦*,則x=1,y=l,z=y/3-y/3A.②(舍去)或1y=l.(舍去)或1y=l.1z-2,巫lz=-2所以一半，1,坐)，從而不。=(1-卓，1,坐(2—啦)xo+2yo+#zo=O,(2—啦)xo+2yo+#zo=O,Ab=O,設(shè)帆=(沏，yo,Zo)是平面A8M的法向量，則＜/n-AS=0,所以可取m=(0,—乖,2).于是cosv/n,由圖可知二面角M—AB—￡)是銳角，所以二面角M—48—￡)的余弦值.如圖所示的幾何體中，四邊形ABCO是等腰梯形，AB//CD,ZABC=60°,AB=2BC=2CD,四邊形OCE尸是正方形，N,G分別是線段AB,CE的中點(diǎn).⑴求證：NG〃平面4所(2)設(shè)二面角A—CD一產(chǎn)的大小為想<*兀)，當(dāng)6為何值時(shí)，二面角A-BC-E的余弦值為晉?18.解析(1)法一如圖，設(shè)。尸的中點(diǎn)為連接AM,GM,A因?yàn)樗倪呅蜠CEF是正方形，所以MG』C￡>,又四邊形48CD是梯形，且AB=2CO,A8〃CO,點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，所以ANjOC,所以MGJAN,所以四邊形ANGM是平行四邊形，所以NG〃AM.又AA/u平面ACF,NGC平面力。入所以NG〃平面ADF.法二如圖，連接NC,NE,因?yàn)镹是AB的中點(diǎn)，四邊形A8CO是梯形，AB=2CD,AB//CD,所以ANCD,所以四邊形ANCZ)是平行四邊形，所以NC〃4O,因?yàn)锳Du平面4。/，NCC平面4。尸，所以NC〃平面ADF,同理可得NE〃平面A￡)F,又NCCNE=N,所以平面NCE〃平面AO凡因?yàn)镹Gu平面NCE,所以NG//平面ADF.(2)設(shè)CO的中點(diǎn)為。，￡尸的中點(diǎn)為尸，連接NO,OP,易得NO工CD,以點(diǎn)。為原點(diǎn)，以。C所在直線為x軸，以NO所在直線為y軸，以過(guò)點(diǎn)。且與平面A8CD垂直的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

AA因?yàn)镹OLCD,OPLCD,所以NNOP是二面角A-CC-F的平面角，則NNOP=。，所以NPOynTt-O,設(shè)A8=4,則8C=C￡>=2,則P(0,2cos(n-0),2sin(7t-(?)),E(l,2cos(nf,2sin(7t-0)),C(i,0,0),8(2,一5，0),cfe=（0,2cos（ir-0）,2sin（K-6?））,C^=（l,一小，0）,nCh=Q, fx—小y=0,設(shè)平面BCE的法向量為"=（x,y,z）,則| 即，n-Ck=O 12ycos（7r—0）+2zsin（n-^）=0,因?yàn)??！辏ㄈセǎ?，所以cos（7t一0）#）,令z=l,則y=—tan（7t—。），x=-*\/3tan（7t-/?）,所以〃=（一小tan（7C—6）,—tan（n-0）,1）為平面BCE的一個(gè)法向量，又易知平面ACO的一個(gè)法向量為m=（0,0,1）,所以…”一箭=wa"—〃）+l'由困可知二面角A—BC-E為銳角，所以/ 「 ，=卑，-\/4tan-（7t—0）+1 13解得tan2（L?）=3,又為所以tan（7t—0）=小，即兀-9=],得。=爭(zhēng)，所以當(dāng)二面角A—CO一尸的大小為爭(zhēng)時(shí)，二面角A—BC—E的余弦值為[亭.19.已知三棱錐產(chǎn)一4BC（如圖1）的平面展開(kāi)圖（如圖2）中，四邊形ABCO為邊長(zhǎng)等于啦的正方形，AABE和ABCF均為正三角形.在三棱錐P—ABC中：（1）證明：平面以C_L平面ABC：（2）若點(diǎn)M在棱以上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線8M與平面以C所成的角最大時(shí)，求二面角P-BC-M的余弦值.DD.解析（1）如圖，設(shè)AC的中點(diǎn)為。，連接08,OP.由題意，得%=PB=PC=,,OP=OB=\.因?yàn)樵贏POB中，OP2+OB2=PB\所以O(shè)PJ_O8.因?yàn)樵凇?C中，PA^PC,。為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P_L4c.因?yàn)锳CnO8=O,ACu平面ABC,OBu平面ABC,所以。尸_L平面ABC.因