線性代數(shù)期末考試題及答案AB卷

線性代數(shù)試題測試卷及答案2套一、填空題1.四階行列式中含有因子％山24。32的項為.1c1c的值為.c2000、100021022,.行列式a ba2b2U0.設(shè)矩陣4=0.設(shè)四元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為1,則其解空間的維數(shù)為..設(shè)矩陣4=(4,%，%,%),其中%,%，%線性無關(guān)，% -%+2%,向量0=￡a,,則方程AX=B的通解為./=|.已知三階矩陣A的特征值為1,2,3,貝4T—2A—同=.二、選擇題TOC\o"1-5"\h\z.若兩個三階行列式D,與D2有兩列元素對應(yīng)相同，且9=3,。2=-2，則。+2的值為( ).A.lB.-6 C.5 D.0.對任意的〃階方陣4,8總有( ).\.AB=BA B.\AB\=\BA\C.(AB)-1 D.(AB)2=A2B2.若矩陣X滿足方程AXB=C,則矩陣X為( ).A.A'BCB.A'CB'C.CAB' D.條件不足，無法求解.設(shè)矩陣A為四階方陣，且R(A)=3,則R(A*)=( ).A.4 B.3 C.2 D.l.下列說法與非齊次線性方程組AX=B有解不等價的命題是(

A.向量力可由A的列向量組線性表示B.矩陣A的列向量組與(A,〃)的列向量組等價C.矩陣A的行向量組與(A,夕)的行向量組等價D.(A,p)的列向量組可由A的列向量組線性表示TOC\o"1-5"\h\z.設(shè)〃階矩陣A和5相似，則下列說法錯誤的是( ).A.|A|=|B| B.R(A)=R(5)C.A與8等價 D.A與B具有相同的特征向量7.設(shè)/(x)=X：+工2?+工3?+2以/2-2M七+4%2*3為正定二次型，則a滿足( ).A.a>Ie^cci<—1 B.1<a<2C.—1<tz<1 D.—2<a<—1三、計算題1+01 I…I1 1+a,,?, 11.已知￡>“=. .- :,其中…4,H。,求A“+4“+…1 1 ??l+a”，02，02.設(shè)矩陣4=1、一110,且AX=A+2X,求X.23,

［、［、"的列向量組的一個最大無關(guān)3-1>02153.求矩陣4=（四。2，。3，%。5）=203J104組，并把其余列向量用最大無關(guān)組線性表示.{x}+x2—3x3—x4=1,3x1-x2-3x3+4x4=4,的通解.X]+5x2-9&-8x4=05.求一個正交變換X=py,將二次型/（七,》2，七）=2工N2-2工科3一2々七化成標準形.四、證明題已知〃階方陣A和B滿足24-6=B-4E,證明2不是A的特征值。模擬試題（五）答案1.。||。24。32。43；2.(b-d){c-d){c-b)‘10 0 0、0 10 00 0 1 ——2、° ° T 1 ,4.3；5/(1,—1,1,一2)T+(l,l,l,l)T(ZeR)；6.-120.二、1.A；2.B；3.D：4.D；5.C；6.D；7.C.1+4 1 ???111+,1三、1.解A"+4“+…+4=: .' .11???1a} 0 ??? 10 a, ??? 1 X\o"CurrentDocument"=：：-：=n“，?

? ? ? 1=10 0 ??? 12.解由AX=A+2X得(A-2E)X=A,又由于—222

|A-2E|=1-10=2*0,

-121即A-2E可逆，故X=(A-2E)TA.而(A-2EY122、0220>從而X=(A-2EY'AX=(A-2EY'A=--14122、122b22W010=-123乂1(1, 03.解A=2122 1、fl001215-1 010303-13^001-1104-1J100000、-110.則a,,a2,a.為矩陣A的列向量組的一個最大無關(guān)組，其中a4=a,+3a2-a,,a5=-a2+a,.’114.解A=3-1J5’114.解A=3-1J5-344foi3~207-4

054I-40,故方程組的一個特解,得齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系32321得基礎(chǔ)解系。=-1單位化得4=將&，&正交化：取用=芻，當(dāng)4=7時，解方程組（A+將&，&正交化：取用=芻，pnrr得基礎(chǔ)解系統(tǒng)=143=o工2〃2=芻一〃2=芻一而r’一?、單位化得巴=單位化得巴=wi=T2i將耳，2,居構(gòu)成正交矩陣63百一3右一3

逅6巫6V6一3p=(P1,p”pj=‘200、使得尸-NP=0-10,于是有正交變換又=/?卜使/=2%2一丫22-必2.“Of四、證明對等式2ATb=B-4E兩邊同時左乘A,得2B=AB-4A即（A-2E）5=4A.由于4可逆,故同/0,從而|（4一2￡泗=|A-2同忸|#0,即|A—2E|wO,故2不是A的特征值.模擬試題（一）一、填空題.1.排列217986354的逆序數(shù)為.2.6階行列式中。2嗎2。56a43a35。64的符號為.'1021、4-1r03.設(shè)A= ,問元素x的代數(shù)余子式是22-10 J5-21,.設(shè)A為一個三階方陣，若同=3,則..三維線性空間一組基?,=（1,1,。）,4=（1,0,1）,0,=（0,1,1）,則方=（2,0,0）在上述基底下的坐標是.二、選擇題.TOC\o"1-5"\h\z-1 1 11.已知|川=1 -1 x ,則同中x的一次項系數(shù)是（ ）.1 -1A.lB.-lC.2 D.-2.要斷言矩陣A的秩為r,只需要條件（ ）滿足即可.A中有/?階子式不為0A中任何r+1階子式為0A中不為0的子式的階數(shù)小于等于rA中不為。的子式的最高階數(shù)等于r.二次型=M+6芭』+3』2的矩陣表示為（ ）.

C.(X1,%2)2Yx/C.(X1,%2)2Yx/3)\X2>.一個"維向量組%,02,…,a.,(s>l)線性相關(guān)的充要條件是(A.含有零向量B.有兩個向量的對應(yīng)分量成比例C.有一個向量是其余向量的線性組合D.每一個向量是其余向量的線性組合5.若a,夕為單位正交向量，則(0

5.若a,夕為單位正交向量，則(~2.A.x任意，A.x任意，y=——2x=l,y=±2三、判斷向量組B.x任意，y=—-2x=1?y=——2的線性相關(guān)性，若相關(guān)，把不屬于最大無關(guān)組的向量用最大無關(guān)組線性表示出來.四、解下列方程組.(120)1-13I)(120)1-13I)求X.⑴設(shè)X5-30、008,2玉-x2+x3+x4=1(2)問丸為何值時，方程組?再+2尤2-芻+4兒=2有解，并求通解.玉+lx2-4x3+1lx4=A,五、求一正交變換，將二次型廣(%,々，X3)=2x；+2x；+2■+2王與化為標準型.六、若是實對稱矩陣A的兩個特征值，岡，%是其對應(yīng)的特征向量，證明G與％正交.

模擬試題（一）答案一r 9一、1.18；2.正號；3.-10；4.—；5.(1,1,-1).64二、1.C；2.D；3.B；4.C；5.D.-2-1-2-2-1-2-2~1因此，7?(%。2。3，%)=3<4,所以向量組線性相關(guān)，最大無關(guān)組為名,02，。4,1 2「]Qfj=—<Z|+—tZ,+06Z^./J3-2OY'fl20M四、解⑴X=_]3I5-30，一々008>「380]1-120Oj‘2-1(2)A=12J‘2-1(2)A=12J71-1-411]p42-0iiaJ[o2-50-1423-7-3002-5?當(dāng)/I=5時，方程組有解，此時53~506575045350同解方程組1當(dāng)/I=5時，方程組有解，此時53~506575045350同解方程組1 6 4X\=~7X3-7X4+7?/ / 5通解為3 7 3X2=產(chǎn)-『4+-,五、解A=1.00、0,由3；\A-AE\=1

2-2

0003-/1=-(A-l)(A-3)2,'T、當(dāng)4=1時，由（A-E）X=0得特征向量為4=1,單位化4=11

正

0當(dāng)…3時，（4?征11

正

0<oj⑴因此，得正交矩陣I 7用正交變換X=py,把f(x],x2,x.)=2xf+2xl+2xj+2x,x2化為標準型/1(M，%，%)=4+3$+3y；.六、證明由已知得AtZ]=4四，A%=4%，因此.a,=(al，A,j-a, A^-a2=a1，(Aa2)=al，(Z,a2)=a-