幾個典型的代數(shù)系統(tǒng)

本章討論幾類重要的代數(shù)結(jié)構(gòu)：半群、群、環(huán)、域、格與布爾代數(shù)等.我們先討論最簡單的半群.半群定義稱代數(shù)結(jié)構(gòu)＜S,＞為半群(semigroups),如果運算滿足結(jié)合律.當(dāng)半群今，＞含有關(guān)于運算的么元，則稱它為獨異點(monoid),或含么半群.例＜|+,+＞,＜n,?＞,＜,并置〉都是半群，后兩個又是獨異點.半群及獨異點的下列性質(zhì)是明顯的.定理設(shè)＜S,＞為一半群，那么(1)＜S,＞的任一子代數(shù)都是半群，稱為＜S,＞的子半群.(2)若獨異點＜S,,e＞的子代數(shù)含有么元e,那么它必為一獨異點，稱為＜S,,e＞的子獨異點.證明簡單，不贅述.定理設(shè)＜S,＞,＜S','＞是半群,h為S到S'的同態(tài)，這時稱h為半群同態(tài).對半群同態(tài)有(1)同態(tài)象＜h(S),'＞為一半群.(2)當(dāng)＜S,＞為獨異點時，則＜h(S),'＞為一獨異點.定理設(shè)＜S,＞為一半群，那么＜SS,O＞為一半群，這里SS為S上所有一元函數(shù)的集合，。為函數(shù)的合成運算.(2)存在S到SS的半群同態(tài).證(l)是顯然的.為證(2)定義函數(shù)h:SfSS：對任意aSh(a)=fafa：SfS定義如下：對任意xS,fa(x)=ax現(xiàn)證h為一同態(tài).對任何元素a,bS.h(ab)=fab(l1—1)而對任何xS,fab(x)=abx=fa(fb(x))=faOfb(x)故fab=faOfb,由此及式(l1—1)即得h(ab)=fab=faOfb=h(a)Oh(b)本定理稱半群表示定理。它表明，任一半群都可以表示為(同態(tài)于)一個由其載體上的函數(shù)的集合及函數(shù)合成運算所構(gòu)成的半群。這里＜S,＞同構(gòu)于＜h(S),O＞----＜SS,。＞的一個子代數(shù).群是最重要的代數(shù)結(jié)構(gòu)類，也是應(yīng)用最為廣泛的代數(shù)結(jié)構(gòu)類.我們以后要深入研究的代數(shù)結(jié)構(gòu)環(huán)和域也都是以群為基礎(chǔ)的.群及其基本性質(zhì)定義稱代數(shù)結(jié)構(gòu)＜G,＞為群(groups),如果＜G,＞為一半群.＜G,＞中有么元e.＜G,＞中每一元素都有逆元.或者說，群是每個元素都可逆的獨異點.群的載體常用字母G表示，因而字母G也常用于表示群.定義設(shè)＜G,＞為一群.(1)若運算滿足交換律，則稱G為交換群或阿貝爾群(Abelgroup).阿貝爾群又稱加群，常表示為＜G,+＞(這里的+不是數(shù)加，而泛指可交換二元運算.回憶：常被稱為乘).加群的么元常用0來表示，常用-x來表示x的逆元.G為有限集時，稱G為有限群(finitegroup)，此時G的元素個數(shù)也稱G的階(order);否則，稱G為無限群(infinitegroup).例＜I,+＞(整數(shù)集與數(shù)加運算)為一阿貝爾群(加群)，數(shù)0為其么元.＜N,+＞不是群.因為所有非零自然數(shù)都沒有逆元.＜Q,?＞(正有理數(shù)與數(shù)乘)為一阿貝爾群，1為其么元.＜Q,?＞不是群，因為數(shù)0無逆元.＜N,+k＞為一k階阿貝爾群，數(shù)0為其么元.(4)設(shè)P為集合A上全體雙射函數(shù)的集合，。為函數(shù)合成運算.那麼＜P,O＞為一群.A上恒等函數(shù)Ea為其么元。＜P,O＞一般不是阿貝爾群.群的下列基本性質(zhì)是明顯的.定理設(shè)＜G,＞為群，那麼G有唯一的么元，G的每個元素恰有一個逆元.(2)關(guān)于x的方程ax=b,xa=b都有唯一解.G的所有元素都是可約的.因此，群中消去律成立：對任意a,x,ySa*x=a*y蘊涵x=y;x*a=y*a蘊涵x=y(4)當(dāng)G{e}時，G無零元.(5)么元e是G的唯一的等哥元素.證(1),(2),(3)是十分明顯的.(4)若G有零元，那么它沒有逆元，與G為群矛盾。(注意，G={e}時,e既是么元，又是零元(5)設(shè)G中有等哥元x,那么x*x=x又x=x*e所以x*x=x*e由(3)得x=e。由(3)我們得知，牛I別地，當(dāng)G為有限群時，*運算的運算表的每一行(列)都是G中元素的一個全排列.從而有限群＜G,*＞的運算表中沒有一行(列)上有兩個元素是相同的.因此，當(dāng)G分別為1,2,3階群時，*運算都只有一個定義方式(即，不計元素記號的不同，只有一張定義*運算的運算表，如表所示)，于是可以說,1,2,3階的群都只有一個.定理對群＜G,＞的任意元素a,b,(a-1)-1=a.(a*b)-1=b"*a"(ar)-1=(aC(記為a-r)(r為整數(shù)).證(2)(ab)(b-1a-1)=a(bb-1)a-1=e(b-1a-1)(ab)=b-1(a-1a)b=e因此ab的逆元為b-1a-1,即(ab)-1=b-1a-1.(3)對r歸納.r=1時命題顯然真.設(shè)(ar)-1=(a一1);即(a-1),是ar的逆元.那么ar+1(a1)r+1=ar(aa-1)(a1)r=ar(a1)r=e(a1)r+1ar+1=(a1)r(a-1a)ar=(a1)rar=e故ar+1的逆元為(a1)r+1,即(ar+1)-1=(a-1)，歸納完成，⑵得證.對群＜G*＞的任意元素a,我們可以定義它的哥：a0=e,對任何正整數(shù)mam+1=am*a又據(jù)定理，在群中可引入"負指數(shù)哥"’的概念：a-m=(a-1)m,且容易證明：定理對群＜G,＞的任意元素a,b,及任何整數(shù)mn,(l)aman=am+n(am)n=amn如果我們用aG和Ga分別表示下列集合aG={aggG},Ga={gagG}那么我們有以下定理.定理設(shè)＜G,＞為一群，a為G中任意元素，那么aG=G=Ga特別地，當(dāng)G為有限群時，運算的運算表的每一行(列)都是G中元素的一個全排列.證aGG是顯然的.設(shè)gG,那么a1gG,從而a(a1g)aG,即gaG.因此GGa.aG=G得證.Ga=G同理可證.這一事實的一個明顯推論是：當(dāng)G為有限群時，運算的運算表的每一行(列)都是G中元素的一個全排列.從而有限群＜G,＞的運算表中沒有一行(列)上有兩個元素是相同的.因此，當(dāng)G為1,2,3階群時，運算都只有一個定義方式(即，不計元素記號的不同只有一張定義運算的運算表，如表所示),于是可以說,1,2,3階的群都只有一個.表eeaeabEeeeaeeabaaeaabebbea對群還可以引入元素的階的概念.定義設(shè)＜3＞為群，aG稱a的階(order)為n,如果an=e,且n為滿足此式的最小正整數(shù).上述n不存在時，稱a有無限階.例任何群G的幺元e的階為1,且只有幺元e的階為1。＜I,+＞中幺元0的階為1,而整數(shù)a10時,a有無限階.＜N6,+6＞中1的階是6,2的階是3,3的階是2,4的階是3,5的階是6.關(guān)于元素的階有以下性質(zhì).定理有限群G的每個元素都有有限階，且其階數(shù)不超過群G的階數(shù)G.證設(shè)a為G的任一元素，考慮e=a0,a1,a2,…，a這G+1個G中元素.由于G中只有G個元素，因此它們中至少有兩個是同一元素，不妨設(shè)ar=as(0＜r＜s＜G)于是as-r=e,因此a有有限階，且其階數(shù)至多是s-r,不超過群G的階數(shù)G.定理設(shè)＜6＞為群,G中元素a的階為k,那么，an=e當(dāng)且僅當(dāng)k整除n.證先證充分性.設(shè)ak=e,k整除n,那么n=kr(r為整數(shù))，因為ak=e,所以an=akr=(ak)r=er=e。再證必要性.設(shè)an=e,n=mk+r,其中m為n除以k的商，r為余數(shù)，因此0wrvk。于是nmk+rmkrr因此，由k的最小性得r=0,k整除n.定理設(shè)＜G,＞為群，a為G中任一元素，那么a與a-1具有相同的階.證只要證a具有階n當(dāng)且僅當(dāng)a1具有階n。由于逆元是相互的，即(a-1)-1=a,同此只需證：當(dāng)a具有階n時，a-1也具有階n。設(shè)a的階是n,a-1的階是m。由于(a-1)n=(an)-1=e-1=e故m＜n。又因為am=((a-1)m)-1=e-1=e故nWm。因此，n=m。子群、陪集和拉格朗日定理定義設(shè)＜3＞為群.稱＜H,＞為G的子群(subgroups),如果＜H,＞為G的子代數(shù)，且＜H,＞為一群.子群有下列特征性(判別法).定理設(shè)＜G＞為群，那么＜H,＞為＜3＞子群的充分必要條件是(l)G的么元eH.(2)若a,bH,則abH.(3)若aH,則a1H.證先證必要性.設(shè)H為子群.那么(2)是顯然的(因H為子代數(shù)).為證(l)，設(shè)＜H,＞的么元為e',那么e'e'=e'。由于在G中只有e是等哥元，故e'=e,eH得證.為證(3)設(shè)＜H,＞中任一元素a的H中逆元為b,那么ab=ba=e,由逆元的唯一性,b就是a在G中的逆元，即b=a-1H.充分性是明顯的.事實上只要條件(2),(3)便可使＜乩＞為＜3＞子群，因為H不空時條件(2)(3)蘊涵條件(l).因此，可用(2),(3)來判別非空子集H是否構(gòu)成G的子群用，＞。顯然，對任彳S]■群G,＜{e},＞及＜3＞均為其子群，它們被稱為平凡子群，其它子群則稱為非平凡子群或真子群.例(l)群＜N6,+6＞有非平凡子群＜{0,3},+6＞和＜{0,2,4},+6＞(2)設(shè)EI,E為偶數(shù)集。那么＜E,+＞為＜I,+＞的子群，但＜N,+＞不是＜I,+＞的子群.對于有限群，子群的判別更為簡單.定理設(shè)＜G,＞為有限群，那么當(dāng)G的非空子集H對運算封閉時，＜H,＞即為G的子群.證由于G為有限群，H必為有限集.設(shè)H=r,aH.考慮a1,a2,…，ar+1,…它們都在H中(H對運算封閉),因此必定有ai=aj(0＜i＜j＜r+1),從而aj-i=e,故eH.若H={e},＜H,＞為G的子群得證.若H{e},設(shè)a為H中任一不同于e的元素.同上可證，有kR2使ak=e,從而有aak-1=ak-1a=e因此，ak-1=a-1H.據(jù)定理，＜H,＞為6的子群得證.由于我們采用的上述證明方法僅僅依賴H的有限性，可見本定理可加強為：設(shè)＜G,＞為群，H為G的非空有限子集，且H對運算封閉，那么＜H,＞為＜3＞的子群.和子群概念直接相關(guān)的是陪集的概念.定義設(shè)＜H,＞為＜3＞的子群，那么對任一gG,稱gH為H的左陪集(leftcoset)稱Hg為H的右陪集(rightcoset).這里gH={ghhH},Hg={hghH}關(guān)于左(右)陪集我們有以下定理.定理設(shè)＜H,＞為＜3＞的子群，那麼(1)當(dāng)gH時，gH=H(Hg=H)。(2)對任意gG,gH=H(Hg=H).證(l)由定理立得.為證(2),只要證H與gH之間存在雙射.定義函數(shù)f:HfgH如下：對任彳S]■—hH,f(h)=gh設(shè)h1h2,那么f(h1)=gh1,f(h2)=gh2,若f(h1)=f(h2),那么由可約性即得h1=h2,與h1h2矛盾.f為單射得證.f為滿射是顯然的.因此f為雙射.gH=H得證.同理可證Hg=H.定理設(shè)＜此＞為＜6,＞的子群，a,bG那么，或者aH=bH(Ha=Hb),或者aHAbH=(HanHb=).I、—.、一一一*,…，I一一-1證設(shè)aHCbH,那么有h1,h2H使得ah1=bh2.于是a=bh2h1。為證aHbH，設(shè)xaH。那么有h3H,使得x=ah3=b(h2h1-1h3)bH.aHbH得證.同理可證bHaH.于是aH=bH得證.對于右陪集Ha,Hb,同上可證平行的命題.由于對每一元素gG,ggH(gHg),gHG(HgG),因此據(jù)以上討論可以看出，子群H的全體左(右)陪集構(gòu)成G的一個劃分，且劃分的各單元與H(亦即陪集eH,He)具有同樣數(shù)目的元素.由此可導(dǎo)出下列重要的拉格朗日定理(Lagrangetheorem).定理設(shè)＜H,＞為有限群＜G,＞的子群，那么H的階整除G的階.證由以上討論知G=kH，其中k為不同左(右)陪集的數(shù)目.定理得證.注意，拉格朗日定理之逆不能成立。我們將指出一個12階群、它沒有6階的子群(見練習(xí)第11題之(3)).因此，據(jù)此定理只可判別一子代數(shù)“非子群”，卻不可用它來判別一子代數(shù)“是子群”例拉格朗日定理可用于證明下列事實：(1)有限群＜G＞中任何元素的階均為G的階的因子。設(shè)a為G中任一元素,a的階為r.那么＜{e,a,a2,…，ar-1},＞必為G的r階子群，因此r整除G。(2)質(zhì)數(shù)階的群沒有非平凡子群.利用陪集還可定義陪集等價關(guān)系.定義設(shè)＜H,＞為群＜G＞的子群。定義G上H的左(右)陪集等價關(guān)系?。對任意a,bGa?b當(dāng)且僅當(dāng)a,b在H的同一左(右)陪集中顯然，?確為一等價關(guān)系.關(guān)于?有下列事實。定理設(shè)?為群G上H的左(右)陪集等價關(guān)系，那么a?b當(dāng)且僅當(dāng)a-1bH證設(shè)a?b,則有g(shù)G,使a,bgH,因而有hl,h2H,使得a=ghl,b=gh2.于是a-1b=(ghi)-1(gh2)=hl-1h2H反之，設(shè)a-1bH,即有hH使a-1b=h。因而b=ahaH。而aaH顯然，故a,b在同一左陪集aH中，a?b真.對右陪集等價關(guān)系同理可證上述定理.循環(huán)群定義稱＜G,＞為循環(huán)群(cyclicgroup),如果G為群，且G中存在元素g,使G以{g}為生成集，即G的任何元素都可表示為g的哥(約定e=g0),這時g稱為循環(huán)群G的生成元(generater).例＜I,+＞為循環(huán)群，1或(―l)為其生成元.(2)令A(yù)={2iiI},那么＜A,?＞(?為數(shù)乘)是循環(huán)群，2是生成元.＜N5,+5＞為循環(huán)群，1,2,3,4都可以是生成元.關(guān)于循環(huán)群的下列性質(zhì)是明顯的.定理設(shè)＜G,＞為循環(huán)群，g為生成元，那么G為阿貝爾群.G的h同態(tài)像是以h(g)為生成元的循環(huán)群.G為無限循環(huán)群時必同構(gòu)于＜I,+＞.G為有限循環(huán)群時，必有G={e,g,g2,…，gn-1}其中n=G,也是g的階.從而n階循環(huán)群必同構(gòu)于<N,+n>.定理循環(huán)群的子群都是循環(huán)群.證設(shè)<G,>為9生成的循環(huán)群，<H,>為其子群.當(dāng)然，H中元素均可表示為gr形.(1)若H={e},顯然H為循環(huán)群.(2)若H{e},那么H中有g(shù)i(i0).由于H為子群，H中必還有g(shù)-i.因此，不失一般性，可設(shè)i為正整數(shù)，并且它是H中元素的最小正整數(shù)指數(shù).現(xiàn)證H為gi生成的循環(huán)群.設(shè)gj為H中任一元素.令j=mi+r,其中m為i除j的商，r為剩余，0wrvi.于是jmi+rmirr-mij由于gj,g-miH(因gmiH),故grH,根據(jù)i的最小性，r=0,從而gj=gmi=(gi)m,H為循環(huán)群證訖.根據(jù)上述定理，立即可以推得以下定理.定理設(shè)<G,>為9生成的循環(huán)群.(1)若G為無限群，則G有無限多個子群，它們分別由g0,g1,g2,g3,…生成.若G為有限群，G=n，且n有因子k1,k2k3,…,kr,那么G有r個循環(huán)子群，它們分別由gk1,gk2,gk3,…生成.(注意這r個子群中可能有相同者.)例<I,+>有循環(huán)子群：<{0},+>,<{02-2,4,-4「},+>,<{0,3,-3,6,-6,…},+>,<{0,4,-4,8,-8,…},+>,??,<I,+><N6,+6>有循環(huán)子群：<{0},+6>,<{0,2,4},+6>,<{0,3},+6>,<N6,+6>置換群定義稱有限集上的雙射函數(shù)為置換.稱任意集合上的雙射函數(shù)為變換.例設(shè)A={l,2},那么A上有兩個置換：當(dāng)A={1,2,3}時,A上有6個置換：般地，A={a1,a2,…，an}時，A上有n!個置換.置換p滿足p(ai)=aji時，可表示為置換的合成運算通常用記號。表示之，對置換的獨特表示形式計算它們的合成時，可像計算兩個關(guān)系的合成那樣來進行.例如：0=0=因此，應(yīng)當(dāng)注意(pQpj)(x)=pj(p(x))對于置換的合成運算而言，A上置換的全體中有么元----恒等函數(shù)，又稱么置換，且每一置換都有逆置換，因此置換全體構(gòu)成一個群。定義將n個元素的集合A上的置換全體記為S,那么稱群＜S,。＞為n次對稱群(symmetricgroup),它的子群又稱為n次置換群(permutationgroup).對置換群稍作推廣便有變換群的概念.定義對任意集合A定義集合SS={ffAAAf為雙射}那么群＜S,。＞及其子群稱為變換群，其中。為函數(shù)的合成運算.像定理那樣，可以證明下列群表示定理.定理每個群均同構(gòu)于一個變換群，特別地，每一個有限群均同構(gòu)于一個置換群.證設(shè)＜G,＞為任一群，對G中每一元素a,定義雙射函數(shù)fa:GfG如下。fa(x)=ax(請讀者自行證明fa確為雙射)令F={faaG}現(xiàn)證＜F,O＞為群(。為函數(shù)合成運算).(l)F對。運算封閉。設(shè)faF,fbF,那么aG,bG.考慮faOfb。：對任意xG,faOfb(x)=fa(fb(x))=abx=fab(x)即faOfb=fab。由于a*bG,fabF,故fa。fbF.O運算顯然滿足結(jié)合律.O運算有么元feF.e為群G的么元。F中每一元素fa均有逆元fa-1.這是因為由aG知a-1G,從而fa-1F,并且對任意xGfaOfa-1(x)=aa-1x=x=ex=fe(x),IPfaOfa-1=fe。再證＜G＞與訐,。＞同構(gòu).為此定義函數(shù)h:GfF,使得又?任一xG,h(x)=fx.顯然h為雙射(請讀者自證).另仿(1)可證h保運算，即對G中任意元素x,y,有h(xy)=fxy=fxOfy=h(x)Oh(y)環(huán)和域這一節(jié)我們要討論含有兩個二元運算的代數(shù)結(jié)構(gòu)，環(huán)和域^下文中符號+,?表示一般二元運算，分別稱為加、乘運算(未必是數(shù)加和數(shù)乘)，并對它們沿用數(shù)加、數(shù)乘的術(shù)語及運算約定，例如,a,b的積表示為ab,n個a的和a+--+a表示為na,n個a的積表示為an等.定義稱代數(shù)結(jié)構(gòu)<R,+,?>為環(huán)(ring),如果<R,+>是阿貝爾群(或加群).<R,>是半群.乘運算對加運算可分配，即對任意元素a,b,cR,a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca例<I,+,?>(I為整數(shù)集,+,?為數(shù)加與數(shù)乘運算)為一環(huán).(2)<Z,+k,k>為環(huán)，因為我們已知<N,+k>為加群，<N,k>為半群，此外，ak(b+kc)=ak((b+c)modk)=(a(b+c)(modk))(modk)=(a(b+c))(modk)=(ab+ac)(modk)=ab(modk)+kac(modk)=akb+kakc(其中x(modk)表示x除以k的剩余)且同理可證(b+kc)ka=bka+kcka.(3)所有整數(shù)分量的nn方陣集合M與矩陣加運算(+)及矩陣乘運算(？)構(gòu)成一環(huán)，即，<Mn,+,?>為環(huán).(4)所有實系數(shù)多項式(以x為變元)的集合Qx]與多項式加，乘運算構(gòu)成環(huán)，即<R[x],+,?>為環(huán).<{0},+,?>(其中0為加法么元、乘法零元)為一環(huán)，稱為零環(huán)。(其它環(huán)至少有兩個元素.)<{0,e},+,?>(其中0為加法么元、乘法零元，e為乘法么元)為一環(huán).環(huán)有下列基本性質(zhì).定理設(shè)<R,+,?>為環(huán)，0為加法么元，那么對任意a,b,cR0a=a0=0(加法么元必為乘法零元)(-a)b=a(-b)=-ab(-a表示a的加法逆元，下同)(-a)(-b)=ab(4)若用a-b表不'a+(-b),則(a-b)c=ac-bc,c(a-b)=ca-cb證(1)0=a0+(-a)0=a(0+0)+(-a)0=a0+a0+(-a)0=a0同理可證0a=0.(2)(-a)b=ab+(-ab)+(-a)b=(a+(-a))b+(-ab)=0b+(-ab)=-ab同理可證a(-b)=-ab.(3)仿(2)可證.(a-b)c=(a+(-b))c=ac+(-b)c=ac+(-bc)=ac-bc同理可證c(a-b)=ca-cb.注意，＜R,+,?＞中乘運算未必滿足交換律，也未必有么元(但一定有零元)定義環(huán)＜R,+,-＞中?運算滿足交換律時，稱R為交換環(huán)(commutativerings),當(dāng)?運算有么元時，稱R為含么環(huán)(ringwithunity).例中(1),(2),(4)是含么交換環(huán)，(3)是含么環(huán).環(huán)不僅必有零元，還可能有下述所謂零因子.定義設(shè)＜R,+,?＞為環(huán)，若有非零元素a,b滿足ab=0,則稱a,b為R的零因子(divisorof0),并稱R為含零因子環(huán)，否則稱R為無零因子環(huán).例在環(huán)＜N6,+6,6＞中，0是零元,2,3為零因子，因為263=0.在環(huán)＜M+,?＞中有零因子和因為?=它是矩陣加的么元.域定義稱＜F,+,?＞為域(fields)，如果＜F,+,?＞為一環(huán)，且＜F-{0},?＞為阿貝爾群.由于群無零因子(為什么？)，因此域必定是整環(huán).事實上，域也可定義為每個非零元素都有乘法逆元的整環(huán).例＜Q+,?＞為域，但＜I,+,?＞不是域，因為在整數(shù)集中整數(shù)沒有乘法逆元.＜N5,+5,5＞為域，1和4的逆元是4和1,2和3互為逆元.[1＜N6,+6,6＞不是域，它甚至不是整環(huán)，同為它有零因子，例如2,3,它們沒有乘法逆元.域有以下基本性質(zhì).定理＜Np,+p,p＞為域當(dāng)且僅當(dāng)p為質(zhì)數(shù).證設(shè)p不是質(zhì)數(shù)，那么由上例可知NP有零因子(p的因子)，故＜NP,+p,p＞不是域.反之，當(dāng)p為質(zhì)數(shù)時，可證N中所有非零元素都有p運算的逆元，從而含么交換環(huán)＜N,+pp＞為域.設(shè)q是Np中任一非零元素，那么q與p互質(zhì).據(jù)數(shù)論事實，有整數(shù)m,n使mp+nq=1從而(mp+nq)(modp)=1即mp(modp)+pnq(modp)=1

0+n(modp)pq(modp)=1,或n(modp)pq=1因此,q有逆元n(modp).定理得證.定理有限整環(huán)都是域.證設(shè)＜R,+,?＞為有限整環(huán)，由于＜R?＞為有限含幺交換半群，據(jù)定理的證明，＜R?＞為阿貝爾群，因而＜R+,?＞為域.定理設(shè)＜F,+,?＞為域，那么F中的非零元素在＜F,+＞中有相同的階.證當(dāng)＜F,+＞中每個元素都是無限階時，定理當(dāng)然真.當(dāng)＜F,+＞中有非零元素a具有有限階n,欲證＜F,+＞中任一元素b的階亦必是n。事實上(nb)-a=b-(na)=0，而F無零因子，且a0.故nb=0,因此b的階不超過n(a的階).現(xiàn)設(shè)b的階為ni由(ma)?b=a-(mb)=0,可知ma=0,因此a的階(n)不超過m(b的階).故a的階等于b的階.格格一一有序集格是一種特殊的有序集，因此我們先從有序集方面引入格的概念。對有序集的任一子集可引入上確界和下確界的概念，但并非每個子集都有上確界或下確界，例如在圖中哈斯圖所示的有序集里，｛a,b｝沒有上確界，｛c,d｝沒有下確界。不過，當(dāng)某子集的上、下確界存在時，這個上、下確界是唯一確定的。定義稱有序集＜L,w定義稱有序集＜L,w＞為格(lattice)和下確界。通常用ab表示｛a,b｝的上確界，用a聯(lián)(join)和保交(meet)運算。由于對任何因此，均為L上的運算.如果L中的任何兩個元素的子集都有上確界b表示｛a,b｝的下確界，和分別稱為保a,b,ab及ab都是L中確定的成員，例(1)對任意集合A,有序集＜p(A),＞為格，其中保聯(lián)、保交運算即為集合的并、交運算，即BC=BUC,BC=BAC(2)設(shè)I+表示正整數(shù)集，表示I+上整除關(guān)系，那么＜I+,＞為格，其中保聯(lián)、保交運算即為求兩正整數(shù)最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)的運算，即mn=lcm(m,n),mn=gcd(m,n)全序集(鏈)＜L,w＞都是格，其中保聯(lián)、保交運算可如下規(guī)定：對任何a,bLo(4)設(shè)P為命題公式集合，邏輯蘊涵關(guān)系卜為P上的序關(guān)系(指定邏輯等價關(guān)系H為相等關(guān)系)，那么，＜P,卜＞為格，對任何命題公式A,B,AB=AVB,AB=AAB(等式右邊的V,A為邏輯運算符)?，F(xiàn)設(shè)R表示序關(guān)系W的逆關(guān)系，那么據(jù)逆關(guān)系的性質(zhì)可知：定理當(dāng)＜L,w＞為格時，＜L,R＞亦為格，且它的保聯(lián)、保交運算~,~對任意a,bL滿足a~b=ab,a~b=ab于是，我們有下列對偶原理。定理為格＜L,w＞上的真表達式，當(dāng)且僅當(dāng)A為＜L,R＞上的真表達式，這里A稱為A的對偶式，即將A中符號，，w分別改為，，R后所得的公式，而aRb意即b＜a。回憶命題演算、集合代數(shù)中所述對偶定理，上述定理的意義是十分清楚的。例格＜P(S),＞中的真表達式AnBA有對偶真表達式AUBA。格＜P,卜〉中真表達式pAqkq有對偶真表達式qkpVq?，F(xiàn)在我們深入地討論格的性質(zhì)。在有必要時，下文將同時給出對偶的兩個真表達式^定理設(shè)＜L,w＞為格，那么對L中任何元素a,b,c有(l)awab,b＜abab＜a,ab＜b(2)若a＜b,a＜c,則a＜bc若bwa,c＜a,貝Ubc＜a.(3)若a＜b,c＜d,則ac＜bd,ac＜bd(4)若a＜b,貝Uac＜bc,ac＜bc.證(l),(2)由運算，的定義立得.(3)設(shè)awb,c<d,我們只證ac<bd,將ac<bd的證明留給讀者。由(1)bwbd,d<bd,于是a<bd,c<bd(由w的傳遞性)。于是由(2)得ac<bd。(4)這是(3)的特例.定理設(shè)<L,w>為格，那么對L中任意元素a,b,c有(1)aa=a,aa=a(哥等律)(2)ab=ba,ab=ba(交換律)(3)a(bc)=(ab)ca(bc)=(ab)c(結(jié)合律)(4)a(ab)=a,a(ab)=a(吸收律)證(1),(2)是顯然的.(3)證a(bc)=(ab)c,另一式請讀者自證。因為從而(ab)c<bc,進而(ab)c<a(bc)。同理可證(bc)w(ab)c由w的反對稱性，(3)式得證.；。(4)顯然，a(ab)wa;另一方面，由于a<a,a<ab故而a<a(ab)于是有a(ab)=aa(ab)=a的證明留給讀者.本定理給出了格的本質(zhì)屬性，我們將看到，格的其它性質(zhì)都是它們的邏輯結(jié)果，包括有關(guān)序關(guān)系w的性質(zhì)。格還有下列性質(zhì)；定理設(shè)<L,w>為格。那么對L中任意元素a,b,c有awb當(dāng)且僅當(dāng)。ab=a當(dāng)且僅當(dāng)ab=b。a(bc)w(ab)(ac)。awc當(dāng)且僅當(dāng)a(bc)<(ab)c。證(1)首先設(shè)a<b,那么a<ab;另一方面abwa是已知成立的。因此有ab=再設(shè)a=ab,那么ab=(ab)b,即ab=b(由吸收律)最后，設(shè)b=ab,那么由a<ab立得awb。至此，(1)中3個命題的等價性得證。(2)首先a<ab,a<ac,故aw(ab)(ac).其次因為bc<b<ab,bc<c<ac從而有bcw(ab)(ac).由兩者即得a(bc)w(ab)(ac)(3)設(shè)awc,那么ac=c,代入(2)式即得a(bc)w(ab)c反之，設(shè)a(bc)w(ab)c。由于a<a(bc),(ab)c<c因此有awc。這一小節(jié)里我們將從代數(shù)結(jié)構(gòu)的角度來討論格,即把格定義為載體和滿足特定公理的運這一小節(jié)里我們將從代數(shù)結(jié)構(gòu)的角度來討論格,即把格定義為載體和滿足特定公理的運算組成的代數(shù)結(jié)構(gòu)，并用抽象代數(shù)研究工具討論之。定義設(shè)L為一非空集合，V,A為L上的兩個二元運算，稱<L,V,A>為格代數(shù)，或簡單地稱為格，如果<L,V,A>中運算V,A滿足哥等律、交換律、結(jié)合律和吸收律(見定理)。現(xiàn)在我們要證明這里定義的格正是定義中所說的格，為此，需要在<L,V,A>上定義序關(guān)系&,使得對任意a,bL,aVb為｛a,b｝的上確界，aAb為｛a,b｝的下確界(依據(jù)序w)。從而使定理成立。定義L上w關(guān)系如下；對任意a,bL,awb當(dāng)且僅當(dāng)aAb=a(1)可證w為L上序關(guān)系。l)因為aAa=a,故a<a.自反性得證。)設(shè)a<b,b<c,那么aAb=a,bAc=b,于是aAc=(aAb)Ac=aA(bAc)=aAb=a故awc。傳遞性得證。)設(shè)a<b,b<a,那么aAb=a,bAa=b。由于aAb=bAa。故a=b。反對稱性得證。(2)可證awb當(dāng)且僅當(dāng)aVb=b。設(shè)awb,那么aAb=a,從而(aAb)Vb=aVb,由吸收律即得b=aVb。反之，設(shè)aVb=b,那么aA(aVb)=aAb,由吸收律可知a=aAb,即awb。(3)可證aVb為｛a,b｝的上確界。由吸收律aA(aVb)=a,bA(aVb)=b,可知a<aVb,b<aVb,因而aVb為｛a,b｝的上界。設(shè)c為｛a,b｝任一上界，即a＜c,b＜c,那么，aVc=c,bVc=c,于是aVcVbVc=cVc亦即aVbVc=c，故aVbwc。這表明aVb為｛a,b｝的上確界。（4）仿上可證aAb為｛a,b｝的下確界。細節(jié)留給讀者補出。對作為代數(shù)結(jié)構(gòu)的格，自然可以討論它的特殊常元的存在性，討論它的子格以及同態(tài)、同構(gòu)映射等。定義格＜L,V,A＞稱為完全格（completelattice）,如果L的所有非空子集都有上確界和下確界。設(shè)SL,那么S的上確界記為或，S的下確界記為或。L的上確界記為1,L的下確界記為0。定理設(shè)＜L,V,A＞為完全格，那么0為V運算么元、A運算零元；l為A運算么元、V運算零元.證由定義知：對L中任意元素a有0wa＜1,從而0Va=aV0=a,0Aa=aA0=0Va=aV1=1,1Aa=aA1=a有限格總是完全格，這是極易想到的。無限格中是否有完全格呢？例l中（1）（其中A為無限集時），（4）,（5）是完全格，但（2）不是完全格。下面的定理可用于完全格的判定。定理有序集＜L,＜＞為完全格的充分必要條件是：存在L的上確界1,并且L的每一非空子集有下確界。證必要性是顯然的。為證充分性，只要證L的任一非空子集都有上確界.設(shè)SL,S。考慮S的上界集合B。由于1B是顯然的，因此B。據(jù)題設(shè)，B有下確界，記為b,現(xiàn)證b為S的上確界.b當(dāng)然是S的上界，因為bBo另設(shè)a是S的任一上界，那么aB,因而bwa。這就是說，b是S的上確界。我們不打算重復(fù)敘述子格、格同態(tài)、格同構(gòu)的定義，這有點兒例行公事的意味.簡單地說，格的子代數(shù)即為子格，兩個格之間有同態(tài)、同構(gòu)映射，則稱這兩個格同態(tài)、同構(gòu)。下面是有關(guān)這幾個概念的例子和事實。布爾代數(shù)在這一節(jié)里我們討論另一代數(shù)結(jié)構(gòu)一一布爾代數(shù)，其實它只是特殊的格。有界格和有補格定義格＜L,V,A＞稱為有界格（boundedlattice），如果L中既有上確界1,又有下確界0。0,l稱為L的界（bound）。

例(l)完全格都是有界格。(2)有限格都是有界格。(3)例(l),(4),(5)及(6)所規(guī)定的格都是有界格。定義設(shè)＜L,V,A＞為有界格，a為L中一元素，稱b為a的補元或補(complements),如果aVb=1,aAb=0應(yīng)當(dāng)注意補元的下列特點。補元是相互的，即b是a的補元，那么a也