《高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))》課件-高等數(shù)學(xué)-第7章

第7章

級(jí)數(shù)第7章級(jí)數(shù)1本章內(nèi)容

1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

2數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

3函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)

4函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)本章內(nèi)容1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法3函數(shù)2第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念例1某公司準(zhǔn)備將10萬(wàn)元資金劃入某職業(yè)學(xué)院，作為學(xué)院的獎(jiǎng)勵(lì)基金。在保證資金一年內(nèi)基本到位的情況下，采用如下形式劃款：該公司第一個(gè)月支付總額的給學(xué)院，即萬(wàn)元；第二個(gè)月再支付余額的給學(xué)院，第三個(gè)月再支付余額的給學(xué)院，以后如此支付。那么第n個(gè)月學(xué)院已收到的資金數(shù)為：第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念例1某公司準(zhǔn)3如果n

無(wú)限大，在上式兩邊取極限有定義1給定一個(gè)數(shù)列則和式稱為無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)，記作，即其中，稱為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng)。各項(xiàng)都是常數(shù)的級(jí)數(shù)，稱為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。例如，為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。如果n無(wú)限大，在上式兩邊取極限有定義1給定一個(gè)數(shù)列4無(wú)窮級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和稱為級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的局部和，記為Sn，即定義2如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限S，即，則稱級(jí)數(shù)收斂，S稱為該級(jí)數(shù)的和，記為如果數(shù)列沒(méi)有極限，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，其和與部分和的差，即，稱為級(jí)數(shù)的余項(xiàng)，記為rn

，則無(wú)窮級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和稱為級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的局部和，記為Sn5解例2討論級(jí)數(shù)的斂散性。級(jí)數(shù)一般項(xiàng)，所以級(jí)數(shù)的部分和為于是所以這個(gè)級(jí)數(shù)收斂，其和為1。解例2討論級(jí)數(shù)6解例3討論級(jí)數(shù)的斂散性。級(jí)數(shù)的局部和為于是所以該級(jí)數(shù)發(fā)散。解例3討論級(jí)數(shù)7解例4討論公比為q的幾何級(jí)數(shù)的斂散性。級(jí)數(shù)的局部和為下面分情況討論：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，；（4）當(dāng)

時(shí)，部分和為，Sn

的極限不存在；綜上所述，當(dāng)時(shí)，幾何級(jí)數(shù)收斂，且其和為；當(dāng)

時(shí)，幾何級(jí)數(shù)發(fā)散。解例4討論公比為q的幾何級(jí)數(shù)8解例5討論調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性。一般地，對(duì)任意正整數(shù)k，有由于k可以任意大，所以數(shù)列無(wú)界，從而部分和數(shù)列也無(wú)界，因此調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的。解例5討論調(diào)和級(jí)數(shù)9定理1對(duì)于p-級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)發(fā)散。注意：當(dāng)時(shí)，p-級(jí)數(shù)即為調(diào)和級(jí)數(shù)。例6判別以下級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；（2）。解（1）因?yàn)榈耐?xiàng)，所以級(jí)數(shù)是

的p-級(jí)數(shù)，該級(jí)數(shù)是發(fā)散的。（2）因?yàn)榈耐?xiàng)，所以級(jí)數(shù)是

的p-級(jí)數(shù)，該級(jí)數(shù)是發(fā)散的。定理1對(duì)于p-級(jí)數(shù)10二、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)級(jí)數(shù)與都收斂，分別收斂于S與

σ，則（1）級(jí)數(shù)收斂，其和為；（2）收斂，其和為kS

(k為常數(shù))。性質(zhì)2增加、去掉或改變級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)，不改變?cè)摷?jí)數(shù)的斂散性。二、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)級(jí)數(shù)與11例7判別以下級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；（2）。解（2）級(jí)數(shù)是調(diào)和級(jí)數(shù)刪去，由性質(zhì)2可知，級(jí)數(shù)發(fā)散。（1）級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，而級(jí)數(shù)和均為收斂的幾何級(jí)數(shù)，由性質(zhì)1可知，級(jí)數(shù)收斂。例7判別以下級(jí)數(shù)的斂散性：（1）12性質(zhì)3（級(jí)數(shù)收斂的必要條件）

若級(jí)數(shù)收斂，則它的一般項(xiàng)趨于零，即。證明因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，則有。由于，所以注意：性質(zhì)3說(shuō)明，如果級(jí)數(shù)收斂，則它的一般項(xiàng)趨于零。反之不成立，如調(diào)和級(jí)數(shù)，其一般項(xiàng)，但此級(jí)數(shù)發(fā)散．而如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零，則該級(jí)數(shù)必定發(fā)散。性質(zhì)3（級(jí)數(shù)收斂的必要條件）若級(jí)數(shù)收13例8判別以下級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；（2）。解（2）級(jí)數(shù)是調(diào)和級(jí)數(shù)刪去，由性質(zhì)2可知，級(jí)數(shù)發(fā)散。（1）級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，而級(jí)數(shù)和均為收斂的幾何級(jí)數(shù)，由性質(zhì)1可知，級(jí)數(shù)收斂。例8判別以下級(jí)數(shù)的斂散性：（1）14第二節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)是指級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是非負(fù)常數(shù)，即。對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，斂散性有如下比較審斂法。定理1（比較審斂法）設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)和，且，則（1）如果級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)也收斂；（2）如果級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散。第二節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法15例1判別以下級(jí)數(shù)的斂散性：解（2）因?yàn)?，而幾何?jí)數(shù)是收斂的，由比較審斂法可知，級(jí)數(shù)收斂。（1）因?yàn)?，而?jí)數(shù)是發(fā)散的，由比較審斂法可知，級(jí)數(shù)發(fā)散。（1）；（2）；（3）

。例1判別以下級(jí)數(shù)的斂散性：解（2）因?yàn)?6（3）因?yàn)?，而p-級(jí)數(shù)收斂，由比較審斂法可知，級(jí)數(shù)收斂。在應(yīng)用比較審斂法時(shí)，需要先找一個(gè)斂散性的級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象，通常選用p-級(jí)數(shù)和等比級(jí)數(shù)．但在不少情況下，找比較對(duì)象的級(jí)數(shù)是比較困難的。下面介紹應(yīng)用較為方便的比值審斂法。（3）因?yàn)?7定理2（比值審斂法）設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果，則（1）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；（2）當(dāng)或時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。定理2（比值審斂法）設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果18例2判別以下級(jí)數(shù)的斂散性：解（2）因?yàn)椋杂杀戎祵彅糠ㄖ?，?jí)數(shù)發(fā)散。（1）因?yàn)?，所以由比值審斂法知，?jí)數(shù)收斂。（1）；（2）；（3）。例2判別以下級(jí)數(shù)的斂散性：解（2）因?yàn)?9（3）因?yàn)?，所以由比值審斂法知，?jí)數(shù)收斂。二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法形如的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。定理3（萊布尼茨判別法）若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足下列條件：（1）；（2），則級(jí)數(shù)收斂，且其和。（3）因?yàn)?0例2判別以下級(jí)數(shù)的斂散性：解（2）該級(jí)數(shù)也為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。因?yàn)椋栽摷?jí)數(shù)發(fā)散。（1）該級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。因?yàn)椋?/p>

，所以該級(jí)數(shù)收斂。（1）；（2）；例2判別以下級(jí)數(shù)的斂散性：解（2）該級(jí)數(shù)也為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。因21三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂如果數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的項(xiàng)可正可負(fù)，那么稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)。對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，有絕對(duì)收斂與條件收斂。定理4設(shè)為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)

收斂。證明令，則級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂如果數(shù)項(xiàng)級(jí)22由于，且級(jí)數(shù)收斂，因而也收斂。又因?yàn)?，與都收斂，所以，根據(jù)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)知級(jí)數(shù)也收斂。這個(gè)定理的逆命題是不成立的，即如果級(jí)數(shù)收斂，級(jí)數(shù)

不一定收斂。由于23（1）如果級(jí)數(shù)收斂，則稱級(jí)數(shù)為絕對(duì)收斂；（2）如果級(jí)數(shù)發(fā)散，而級(jí)數(shù)收斂，則稱級(jí)數(shù)為條件收斂。對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，有：（1）如果級(jí)數(shù)收斂，則稱級(jí)數(shù)24解例4判定級(jí)數(shù)的斂散性。因?yàn)椋缺燃?jí)數(shù)收斂，由比較審斂法知，級(jí)數(shù)收斂，因此級(jí)數(shù)為絕對(duì)收斂。解例4判定級(jí)數(shù)的斂散性。25解例5判定級(jí)數(shù)是否收斂，如果收斂，指出是絕對(duì)收斂還是條件收斂。級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，根據(jù)萊布尼茨判別法，因?yàn)椋?，故?jí)數(shù)收斂。而此級(jí)數(shù)加絕對(duì)值后的級(jí)數(shù)為的p-級(jí)數(shù)，是發(fā)散的，因此，該級(jí)數(shù)為條件收斂。解例5判定級(jí)數(shù)是否收斂，26第三節(jié)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念定義1設(shè)是定義在區(qū)間I上的函數(shù)，級(jí)數(shù)稱為區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。對(duì)于區(qū)間I內(nèi)確定的點(diǎn)x0，即是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。若收斂，那么x0

就稱為級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)。級(jí)數(shù)收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域。如果發(fā)散，則稱x0

為級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)。第三節(jié)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念定義1設(shè)27在收斂域內(nèi)，級(jí)數(shù)的每一點(diǎn)都有一個(gè)確定的和，稱為

的和函數(shù)，即。把函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前

n項(xiàng)部分和記為，在其收斂域上顯然有在收斂域內(nèi)，級(jí)數(shù)的每一點(diǎn)都有一個(gè)確定的和28形如二、冪級(jí)數(shù)及其收斂區(qū)間的求法的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)。其中都是常數(shù)，稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)。特別地，當(dāng)時(shí)，上述級(jí)數(shù)成為

形式的冪級(jí)數(shù)，記為。定義2關(guān)于冪級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題，有如下的定理：形如二、冪級(jí)數(shù)及其收斂區(qū)間的求法的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)。其中29定理1（阿貝爾定理）

如果冪級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，那么所有滿足的點(diǎn)x

使此冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；反之，如果級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)發(fā)散，那么所有滿足

的點(diǎn)

x使此冪級(jí)數(shù)發(fā)散。定理1（阿貝爾定理）如果冪級(jí)數(shù)30定理1表明了冪級(jí)數(shù)收斂點(diǎn)集的結(jié)構(gòu)情況。如果冪級(jí)數(shù)

在數(shù)軸上點(diǎn)處收斂，那么對(duì)于區(qū)間內(nèi)的所有x，

都收斂；如果冪級(jí)數(shù)在處發(fā)散，那么對(duì)于區(qū)間

內(nèi)的所有x，都發(fā)散。因此存在非負(fù)數(shù)R，使得冪級(jí)數(shù)在內(nèi)的任何點(diǎn)上均收斂；在

內(nèi)的任何點(diǎn)上均發(fā)散；在處，冪級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。定理1表明了冪級(jí)數(shù)收斂點(diǎn)集的結(jié)構(gòu)情況。如果冪31如果冪級(jí)數(shù)僅在處收斂，則收斂半徑；如果它在整個(gè)數(shù)軸上收斂，則此時(shí)的收斂半徑。上述非負(fù)數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，開(kāi)區(qū)間

稱為收斂區(qū)間（收斂域）。由冪級(jí)數(shù)在處的斂散性，就可確定其收斂域?yàn)榛蚧蚧?。如果冪?jí)數(shù)僅在32定理2

如果設(shè)冪級(jí)數(shù)滿足，則此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為（1）如果，則；（2）如果，則；（3）如果，則。定理2如果設(shè)冪級(jí)數(shù)滿足33例1判別以下級(jí)數(shù)的收斂半徑：解〔1〕因?yàn)椋?）；（2）；（3）。所以收斂半徑。例1判別以下級(jí)數(shù)的收斂半徑：解〔1〕因?yàn)椋?）34〔2〕因?yàn)樗允諗堪霃健！?〕因?yàn)樗允諗堪霃?，即該冪?jí)數(shù)僅在處收斂?！?〕因?yàn)樗允諗堪霃?5解例2求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。因?yàn)?，所以收斂半徑，從而收斂區(qū)間為。解例2求冪級(jí)數(shù)的收36三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1設(shè)有兩個(gè)冪級(jí)數(shù)和，它們的收斂半徑分別為R1

和R2，和函數(shù)分別為和。若，則在內(nèi)有收斂區(qū)間為。三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1設(shè)有兩個(gè)冪級(jí)數(shù)37性質(zhì)2設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R，且在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)為，則（1）在內(nèi)連續(xù)；（2）在內(nèi)可導(dǎo)，即（3）在內(nèi)可積，即性質(zhì)2設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R，38

經(jīng)逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)或逐項(xiàng)求積分后得到的冪級(jí)數(shù)與原來(lái)的冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間相同，但在收斂區(qū)間的端點(diǎn)處，冪級(jí)數(shù)的斂散性可能會(huì)改變，即冪級(jí)數(shù)的收斂域可能會(huì)改變。由性質(zhì)2〔2〕，得例如，冪級(jí)數(shù)，在內(nèi)有

。對(duì)其兩端求導(dǎo)，得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑仍然為，通過(guò)計(jì)算可知其收斂域仍然為。經(jīng)逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)或逐項(xiàng)求積分后得到的冪級(jí)數(shù)與原來(lái)39由性質(zhì)2〔3〕，得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑仍然為，通過(guò)計(jì)算可知其收斂域仍然為。對(duì)冪級(jí)數(shù)式兩端積分，得由性質(zhì)2〔3〕，得冪級(jí)數(shù)40解例3求冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)。上式兩端積分，得因?yàn)?，所以該冪?jí)數(shù)的收斂區(qū)間為由性質(zhì)2〔3〕，得設(shè)所求的和函數(shù)為，即解例3求冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的41即對(duì)上式兩端求導(dǎo)，得即對(duì)上式兩端求導(dǎo)，得42第四節(jié)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)一、泰勒級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)，上式變?yōu)槎x1若函數(shù)在的某一領(lǐng)域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱為函數(shù)在處的泰勒級(jí)數(shù)。為函數(shù)的馬克勞林級(jí)數(shù)。第四節(jié)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)一、泰勒級(jí)數(shù)當(dāng)43二、將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)1．直接展開(kāi)法第一，求出的各階導(dǎo)數(shù)，如果在處某階導(dǎo)數(shù)不存在，就停止進(jìn)行。第二，求出函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)在處的值，

。第三，寫(xiě)出冪級(jí)數(shù)并求出它的收斂半徑R。二、將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)1．直接展開(kāi)法第一，求出44第四，討論在收斂區(qū)間內(nèi)余項(xiàng)的極限是否為零。如果為零，則函數(shù)在內(nèi)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式為第四，討論在收斂區(qū)間45解例1將展開(kāi)成x

的冪級(jí)數(shù)。取。因?yàn)椋浴?/p>

ex的馬克勞林級(jí)數(shù)為，該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。余?xiàng)的絕對(duì)值為解例1將展開(kāi)成x的46為有限值，而是收斂級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，故

，所以當(dāng)時(shí)，有，于是ex可以展開(kāi)成馬克勞林級(jí)數(shù)，即還可以得到以下函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式：（1）；（2）

，其中m為任意實(shí)數(shù)。為有限值，而是47解例2將展開(kāi)成x

的冪級(jí)數(shù)。因?yàn)?，所以將其?duì)x

求導(dǎo)，得2．間接展開(kāi)法解例2將展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)。48解例3將展開(kāi)成x

的冪級(jí)數(shù)。

因?yàn)?，所以上式兩邊?到x

逐項(xiàng)積分，得上式對(duì)也成立，這是因?yàn)樯鲜接叶说膬缂?jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，而且在處有定義且連續(xù)。解例3將49解因?yàn)?，所以由，得，則上述冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。?將展開(kāi)成

的冪級(jí)數(shù)。解因?yàn)?0現(xiàn)將幾個(gè)重要函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式列在下面，請(qǐng)牢牢記住它們：現(xiàn)將幾個(gè)重要函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式列在下面，請(qǐng)牢牢記住它們：51ThankYou!ThankYou!52第7章

級(jí)數(shù)第7章級(jí)數(shù)53本章內(nèi)容

1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

2數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

3函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)

4函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)本章內(nèi)容1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法3函數(shù)54第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念例1某公司準(zhǔn)備將10萬(wàn)元資金劃入某職業(yè)學(xué)院，作為學(xué)院的獎(jiǎng)勵(lì)基金。在保證資金一年內(nèi)基本到位的情況下，采用如下形式劃款：該公司第一個(gè)月支付總額的給學(xué)院，即萬(wàn)元；第二個(gè)月再支付余額的給學(xué)院，第三個(gè)月再支付余額的給學(xué)院，以后如此支付。那么第n個(gè)月學(xué)院已收到的資金數(shù)為：第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念例1某公司準(zhǔn)55如果n

無(wú)限大，在上式兩邊取極限有定義1給定一個(gè)數(shù)列則和式稱為無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)，記作，即其中，稱為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng)。各項(xiàng)都是常數(shù)的級(jí)數(shù)，稱為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。例如，為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。如果n無(wú)限大，在上式兩邊取極限有定義1給定一個(gè)數(shù)列56無(wú)窮級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和稱為級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的局部和，記為Sn，即定義2如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限S，即，則稱級(jí)數(shù)收斂，S稱為該級(jí)數(shù)的和，記為如果數(shù)列沒(méi)有極限，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，其和與部分和的差，即，稱為級(jí)數(shù)的余項(xiàng)，記為rn

，則無(wú)窮級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和稱為級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的局部和，記為Sn57解例2討論級(jí)數(shù)的斂散性。級(jí)數(shù)一般項(xiàng)，所以級(jí)數(shù)的部分和為于是所以這個(gè)級(jí)數(shù)收斂，其和為1。解例2討論級(jí)數(shù)58解例3討論級(jí)數(shù)的斂散性。級(jí)數(shù)的局部和為于是所以該級(jí)數(shù)發(fā)散。解例3討論級(jí)數(shù)59解例4討論公比為q的幾何級(jí)數(shù)的斂散性。級(jí)數(shù)的局部和為下面分情況討論：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，；（4）當(dāng)

時(shí)，部分和為，Sn

的極限不存在；綜上所述，當(dāng)時(shí)，幾何級(jí)數(shù)收斂，且其和為；當(dāng)

時(shí)，幾何級(jí)數(shù)發(fā)散。解例4討論公比為q的幾何級(jí)數(shù)60解例5討論調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性。一般地，對(duì)任意正整數(shù)k，有由于k可以任意大，所以數(shù)列無(wú)界，從而部分和數(shù)列也無(wú)界，因此調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的。解例5討論調(diào)和級(jí)數(shù)61定理1對(duì)于p-級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)發(fā)散。注意：當(dāng)時(shí)，p-級(jí)數(shù)即為調(diào)和級(jí)數(shù)。例6判別以下級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；（2）。解（1）因?yàn)榈耐?xiàng)，所以級(jí)數(shù)是

的p-級(jí)數(shù)，該級(jí)數(shù)是發(fā)散的。（2）因?yàn)榈耐?xiàng)，所以級(jí)數(shù)是

的p-級(jí)數(shù)，該級(jí)數(shù)是發(fā)散的。定理1對(duì)于p-級(jí)數(shù)62二、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)級(jí)數(shù)與都收斂，分別收斂于S與

σ，則（1）級(jí)數(shù)收斂，其和為；（2）收斂，其和為kS

(k為常數(shù))。性質(zhì)2增加、去掉或改變級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)，不改變?cè)摷?jí)數(shù)的斂散性。二、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)級(jí)數(shù)與63例7判別以下級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；（2）。解（2）級(jí)數(shù)是調(diào)和級(jí)數(shù)刪去，由性質(zhì)2可知，級(jí)數(shù)發(fā)散。（1）級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，而級(jí)數(shù)和均為收斂的幾何級(jí)數(shù)，由性質(zhì)1可知，級(jí)數(shù)收斂。例7判別以下級(jí)數(shù)的斂散性：（1）64性質(zhì)3（級(jí)數(shù)收斂的必要條件）

若級(jí)數(shù)收斂，則它的一般項(xiàng)趨于零，即。證明因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，則有。由于，所以注意：性質(zhì)3說(shuō)明，如果級(jí)數(shù)收斂，則它的一般項(xiàng)趨于零。反之不成立，如調(diào)和級(jí)數(shù)，其一般項(xiàng)，但此級(jí)數(shù)發(fā)散．而如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零，則該級(jí)數(shù)必定發(fā)散。性質(zhì)3（級(jí)數(shù)收斂的必要條件）若級(jí)數(shù)收65例8判別以下級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；（2）。解（2）級(jí)數(shù)是調(diào)和級(jí)數(shù)刪去，由性質(zhì)2可知，級(jí)數(shù)發(fā)散。（1）級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，而級(jí)數(shù)和均為收斂的幾何級(jí)數(shù)，由性質(zhì)1可知，級(jí)數(shù)收斂。例8判別以下級(jí)數(shù)的斂散性：（1）66第二節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)是指級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是非負(fù)常數(shù)，即。對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，斂散性有如下比較審斂法。定理1（比較審斂法）設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)和，且，則（1）如果級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)也收斂；（2）如果級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散。第二節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法67例1判別以下級(jí)數(shù)的斂散性：解（2）因?yàn)?，而幾何?jí)數(shù)是收斂的，由比較審斂法可知，級(jí)數(shù)收斂。（1）因?yàn)?，而?jí)數(shù)是發(fā)散的，由比較審斂法可知，級(jí)數(shù)發(fā)散。（1）；（2）；（3）

。例1判別以下級(jí)數(shù)的斂散性：解（2）因?yàn)?8（3）因?yàn)椋鴓-級(jí)數(shù)收斂，由比較審斂法可知，級(jí)數(shù)收斂。在應(yīng)用比較審斂法時(shí)，需要先找一個(gè)斂散性的級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象，通常選用p-級(jí)數(shù)和等比級(jí)數(shù)．但在不少情況下，找比較對(duì)象的級(jí)數(shù)是比較困難的。下面介紹應(yīng)用較為方便的比值審斂法。（3）因?yàn)?9定理2（比值審斂法）設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果，則（1）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；（2）當(dāng)或時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。定理2（比值審斂法）設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果70例2判別以下級(jí)數(shù)的斂散性：解（2）因?yàn)?，所以由比值審斂法知，?jí)數(shù)發(fā)散。（1）因?yàn)?，所以由比值審斂法知，?jí)數(shù)收斂。（1）；（2）；（3）。例2判別以下級(jí)數(shù)的斂散性：解（2）因?yàn)?1（3）因?yàn)?，所以由比值審斂法知，?jí)數(shù)收斂。二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法形如的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。定理3（萊布尼茨判別法）若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足下列條件：（1）；（2），則級(jí)數(shù)收斂，且其和。（3）因?yàn)?2例2判別以下級(jí)數(shù)的斂散性：解（2）該級(jí)數(shù)也為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。因?yàn)?，所以該?jí)數(shù)發(fā)散。（1）該級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。因?yàn)?，?/p>

，所以該級(jí)數(shù)收斂。（1）；（2）；例2判別以下級(jí)數(shù)的斂散性：解（2）該級(jí)數(shù)也為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。因73三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂如果數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的項(xiàng)可正可負(fù)，那么稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)。對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，有絕對(duì)收斂與條件收斂。定理4設(shè)為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)

收斂。證明令，則級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂如果數(shù)項(xiàng)級(jí)74由于，且級(jí)數(shù)收斂，因而也收斂。又因?yàn)椋c都收斂，所以，根據(jù)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)知級(jí)數(shù)也收斂。這個(gè)定理的逆命題是不成立的，即如果級(jí)數(shù)收斂，級(jí)數(shù)

不一定收斂。由于75（1）如果級(jí)數(shù)收斂，則稱級(jí)數(shù)為絕對(duì)收斂；（2）如果級(jí)數(shù)發(fā)散，而級(jí)數(shù)收斂，則稱級(jí)數(shù)為條件收斂。對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，有：（1）如果級(jí)數(shù)收斂，則稱級(jí)數(shù)76解例4判定級(jí)數(shù)的斂散性。因?yàn)?，而等比?jí)數(shù)收斂，由比較審斂法知，級(jí)數(shù)收斂，因此級(jí)數(shù)為絕對(duì)收斂。解例4判定級(jí)數(shù)的斂散性。77解例5判定級(jí)數(shù)是否收斂，如果收斂，指出是絕對(duì)收斂還是條件收斂。級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，根據(jù)萊布尼茨判別法，因?yàn)椋?，故?jí)數(shù)收斂。而此級(jí)數(shù)加絕對(duì)值后的級(jí)數(shù)為的p-級(jí)數(shù)，是發(fā)散的，因此，該級(jí)數(shù)為條件收斂。解例5判定級(jí)數(shù)是否收斂，78第三節(jié)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念定義1設(shè)是定義在區(qū)間I上的函數(shù)，級(jí)數(shù)稱為區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。對(duì)于區(qū)間I內(nèi)確定的點(diǎn)x0，即是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。若收斂，那么x0

就稱為級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)。級(jí)數(shù)收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域。如果發(fā)散，則稱x0

為級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)。第三節(jié)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念定義1設(shè)79在收斂域內(nèi)，級(jí)數(shù)的每一點(diǎn)都有一個(gè)確定的和，稱為

的和函數(shù)，即。把函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前

n項(xiàng)部分和記為，在其收斂域上顯然有在收斂域內(nèi)，級(jí)數(shù)的每一點(diǎn)都有一個(gè)確定的和80形如二、冪級(jí)數(shù)及其收斂區(qū)間的求法的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)。其中都是常數(shù)，稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)。特別地，當(dāng)時(shí)，上述級(jí)數(shù)成為

形式的冪級(jí)數(shù)，記為。定義2關(guān)于冪級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題，有如下的定理：形如二、冪級(jí)數(shù)及其收斂區(qū)間的求法的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)。其中81定理1（阿貝爾定理）

如果冪級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，那么所有滿足的點(diǎn)x

使此冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；反之，如果級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)發(fā)散，那么所有滿足

的點(diǎn)

x使此冪級(jí)數(shù)發(fā)散。定理1（阿貝爾定理）如果冪級(jí)數(shù)82定理1表明了冪級(jí)數(shù)收斂點(diǎn)集的結(jié)構(gòu)情況。如果冪級(jí)數(shù)

在數(shù)軸上點(diǎn)處收斂，那么對(duì)于區(qū)間內(nèi)的所有x，

都收斂；如果冪級(jí)數(shù)在處發(fā)散，那么對(duì)于區(qū)間

內(nèi)的所有x，都發(fā)散。因此存在非負(fù)數(shù)R，使得冪級(jí)數(shù)在內(nèi)的任何點(diǎn)上均收斂；在

內(nèi)的任何點(diǎn)上均發(fā)散；在處，冪級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。定理1表明了冪級(jí)數(shù)收斂點(diǎn)集的結(jié)構(gòu)情況。如果冪83如果冪級(jí)數(shù)僅在處收斂，則收斂半徑；如果它在整個(gè)數(shù)軸上收斂，則此時(shí)的收斂半徑。上述非負(fù)數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，開(kāi)區(qū)間

稱為收斂區(qū)間（收斂域）。由冪級(jí)數(shù)在處的斂散性，就可確定其收斂域?yàn)榛蚧蚧颉Ｈ绻麅缂?jí)數(shù)僅在84定理2

如果設(shè)冪級(jí)數(shù)滿足，則此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為（1）如果，則；（2）如果，則；（3）如果，則。定理2如果設(shè)冪級(jí)數(shù)滿足85例1判別以下級(jí)數(shù)的收斂半徑：解〔1〕因?yàn)椋?）；（2）；（3）。所以收斂半徑。例1判別以下級(jí)數(shù)的收斂半徑：解〔1〕因?yàn)椋?）86〔2〕因?yàn)樗允諗堪霃健！?〕因?yàn)樗允諗堪霃?，即該冪?jí)數(shù)僅在處收斂?！?〕因?yàn)樗允諗堪霃?7解例2求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。因?yàn)?，所以收斂半徑，從而收斂區(qū)間為。解例2求冪級(jí)數(shù)的收88三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1設(shè)有兩個(gè)冪級(jí)數(shù)和，它們的收斂半徑分別為R1

和R2，和函數(shù)分別為和。若，則在內(nèi)有收斂區(qū)間為。三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1設(shè)有兩個(gè)冪級(jí)數(shù)89性質(zhì)2設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R，且在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)為，則（1）在內(nèi)連續(xù)；（2）在內(nèi)可導(dǎo)，即（3）在內(nèi)可積，即性質(zhì)2設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R，90

經(jīng)逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)或逐項(xiàng)求積分后得到的冪級(jí)數(shù)與原來(lái)的冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間相同，但在收斂區(qū)間的端點(diǎn)處，冪級(jí)數(shù)的斂散性可能會(huì)改變，即冪級(jí)數(shù)的收斂域可能會(huì)改變。由性質(zhì)2〔2〕，得例如，冪級(jí)數(shù)，在內(nèi)有

。對(duì)其兩端求導(dǎo)，得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑仍然為，通過(guò)計(jì)算可知其收斂域仍然為。經(jīng)逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)或