數列的函數特性課件

理解數列的函數特性．掌握三種特殊數列．1.2數列的函數特性【課標要求】【核心掃描】會根據數列的分類判斷數列的單調性．(重點)會用函數的相關知識解決數列的最大(小)項等問題．(難點)

1．2．1．2．理解數列的函數特性．1.2數列的函數特性【課標要求】數列與函數數列可以看作是一個定義域為_________________________________________的函數，當自變量從小到大依次取值時，該函數對應的一列函數值就是這個數列．自學導引1．正整數集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})數列與函數自學導引1．正整數集N＋(或它的有限子集{1,2,數列的單調性大于小于相等2．數列的單調性大于小于相等2．想一想：如何利用數列的單調性求數列的最大項和最小項？想一想：如何利用數列的單調性求數列的最大項和最小項？數列與函數(1)數列可以看成以正整數集N＋(或它的有限子集{1,2，3，…，n})為定義域的函數an＝f(n)，當自變量按照從小到大的順序依次取值時，所對應的一列函數值．反過來，對于函數y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3，…)有意義，那么我們就可以得到一個數列：f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)….名師點睛1．數列與函數名師點睛1．即數列是一種特殊的函數．(3)任一數列都是函數，但任一函數并不都是數列．數列的圖像是一系列孤立的點，而函數的圖像一般是連續(xù)的，不間斷的．數列單調性的判定方法(1)作差比較法①若an＋1－an>0恒成立，則數列{an}是遞增數列；②若an＋1－an<0恒成立，則數列{an}是遞減數列；③若an＋1－an＝0恒成立，則數列{an}是常數列．2．即數列是一種特殊的函數．2．(3)函數法：將通項公式轉化為函數的形式，通過判斷函數的單調性來確定數列的單調性．(3)函數法：將通項公式轉化為函數的形式，通過判斷函數的單調題型一數列的圖像在數列{an}中，an＝n2－8n，(1)畫出{an}的圖像；(2)根據圖像寫出數列{an}的增減性．[思路探索](1)當n∈N＋時，分別在平面直角坐標系中描出點(n，an)即可．(2)圖像的上升或下降顯示數列的增減性．解

(1)列表【例1】題型一數列的圖像在數列{an}中，an＝n描點：在平面直角坐標系中描出下列各點即得數列{an}的圖像：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…圖像如圖所示．(2)數列{an}的圖像既不是上升的，也不是下降的，則{an}既不是遞增的，也不是遞減的．描點：在平面直角坐標系中描出下列各點即得數列{an}的圖像：規(guī)律方法數列是一個特殊的函數，因此也可以用圖像來表示，以位置序號n為橫坐標，相應的項為縱坐標，即坐標為(n，an)描點畫圖，就可以得到數列的圖像．因為它的定義域是正整數集N＋(或它的有限子集{1,2，3，…，n})，所以其圖像是一群孤立的點，這些點的個數可以是有限的，也可以是無限的．規(guī)律方法數列是一個特殊的函數，因此也可以用圖像來表示，以位畫出下列數列的圖像，并判斷數列的增減性．(1)2,4,6,8,10，…；(2)an＝－2n＋5.解(1)數列2,4,6,8,10，…的圖像如圖(1)所示．由圖像知它是遞增數列．【訓練1】(2)由通項公式an＝－2n＋5，寫出數列的前5項3,1，－1，－3，－5，描點可得數列{an}的圖像如圖(2)所示．由圖像知它是遞減數列．畫出下列數列的圖像，并判斷數列的增減[思路探索]由題目可獲取以下主要信息：已知數列的通項公式，作出數列增減性的判斷．解答本題可用定義求解，也可用函數知識求解．【例2】題型二

判斷數列的增減性[思路探索]由題目可獲取以下主要信息：已知數列的通項公式，數列的函數特性課件規(guī)律方法判斷數列增減性的方法主要有三種：①作差比較法；②作商比較法；③函數單調性法．規(guī)律方法判斷數列增減性的方法主要有三種：(1)你能判斷該數列是遞增的，還是遞減的嗎？(2)該數列中有負數項嗎？【訓練2】(1)你能判斷該數列是遞增的，還是遞減的嗎？【訓練2】數列的函數特性課件數列的函數特性課件審題指導一個數列是遞增數列其首項是這列數的最小值；一個數列是遞減數列其首項是這列數的最大值．此外，數列的單調性有時與函數的性質結合起來．此時應注意數列函數的定義域．【例3】題型三

數列中的最大(小)項問題審題指導一個數列是遞增數列其首項是這列數的最小值；一個當n<9時，an＋1－an>0，即an＋1>an；(6分)當n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；(8分)當n>9時，an＋1－an<0，即an＋1<an，(10分)故a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…，所以數列中有最大項，最大項為第9、10項，當n<9時，an＋1－an>0，即an＋1>an；(6分)數列的函數特性課件解得n≥9，n＝9時取等號．(10分)∴從第1項到第9項遞增，從第10項起遞減．∴數列{an}有最大項，最大項為第9、10項，【題后反思】已知數列的通項公式求數列的最大(小)項，其實質是求函數的最大(小)值，但要注意函數的定義域，本題我們可以利用差值比較法來探討數列的單調性，以此求解最大項．解得n≥9，n＝9時取等號．(10分)【題后反思】已知數列【訓練3】答案

A【訓練3】答案A

誤區(qū)警示混淆函數與數列的單調性而致錯已知數列{an}滿足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N＋，則實數λ的最小值是________．[錯解]∵an≤an＋1，∴{an}單增，又an為n的二次式，

【示例】誤區(qū)警示混淆函數與數列的單調性而致錯【示例】[正解一]an≤an＋1?n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)?λ≥－(2n＋1)，n∈N＋?λ≥－3.答案

－3[正解一]an≤an＋1?n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n函數的單調性與數列的單調性既有聯系又有區(qū)別，即數列所對應的函數若單調則數列一定單調，反之若數列單調，其所對應的函數不一定單調，關鍵原因在于數列是一個定義域為正整數集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函數．故對于數列的單調性的判斷一般要通過比較an＋1與an的大小來判斷，若an＋1>an，則數列為遞增數列，若an＋1<an，則數列為遞減數列．

函數的單調性與數列的單調性既有聯系又有區(qū)理解數列的函數特性．掌握三種特殊數列．1.2數列的函數特性【課標要求】【核心掃描】會根據數列的分類判斷數列的單調性．(重點)會用函數的相關知識解決數列的最大(小)項等問題．(難點)

1．2．1．2．理解數列的函數特性．1.2數列的函數特性【課標要求】數列與函數數列可以看作是一個定義域為_________________________________________的函數，當自變量從小到大依次取值時，該函數對應的一列函數值就是這個數列．自學導引1．正整數集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})數列與函數自學導引1．正整數集N＋(或它的有限子集{1,2,數列的單調性大于小于相等2．數列的單調性大于小于相等2．想一想：如何利用數列的單調性求數列的最大項和最小項？想一想：如何利用數列的單調性求數列的最大項和最小項？數列與函數(1)數列可以看成以正整數集N＋(或它的有限子集{1,2，3，…，n})為定義域的函數an＝f(n)，當自變量按照從小到大的順序依次取值時，所對應的一列函數值．反過來，對于函數y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3，…)有意義，那么我們就可以得到一個數列：f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)….名師點睛1．數列與函數名師點睛1．即數列是一種特殊的函數．(3)任一數列都是函數，但任一函數并不都是數列．數列的圖像是一系列孤立的點，而函數的圖像一般是連續(xù)的，不間斷的．數列單調性的判定方法(1)作差比較法①若an＋1－an>0恒成立，則數列{an}是遞增數列；②若an＋1－an<0恒成立，則數列{an}是遞減數列；③若an＋1－an＝0恒成立，則數列{an}是常數列．2．即數列是一種特殊的函數．2．(3)函數法：將通項公式轉化為函數的形式，通過判斷函數的單調性來確定數列的單調性．(3)函數法：將通項公式轉化為函數的形式，通過判斷函數的單調題型一數列的圖像在數列{an}中，an＝n2－8n，(1)畫出{an}的圖像；(2)根據圖像寫出數列{an}的增減性．[思路探索](1)當n∈N＋時，分別在平面直角坐標系中描出點(n，an)即可．(2)圖像的上升或下降顯示數列的增減性．解

(1)列表【例1】題型一數列的圖像在數列{an}中，an＝n描點：在平面直角坐標系中描出下列各點即得數列{an}的圖像：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…圖像如圖所示．(2)數列{an}的圖像既不是上升的，也不是下降的，則{an}既不是遞增的，也不是遞減的．描點：在平面直角坐標系中描出下列各點即得數列{an}的圖像：規(guī)律方法數列是一個特殊的函數，因此也可以用圖像來表示，以位置序號n為橫坐標，相應的項為縱坐標，即坐標為(n，an)描點畫圖，就可以得到數列的圖像．因為它的定義域是正整數集N＋(或它的有限子集{1,2，3，…，n})，所以其圖像是一群孤立的點，這些點的個數可以是有限的，也可以是無限的．規(guī)律方法數列是一個特殊的函數，因此也可以用圖像來表示，以位畫出下列數列的圖像，并判斷數列的增減性．(1)2,4,6,8,10，…；(2)an＝－2n＋5.解(1)數列2,4,6,8,10，…的圖像如圖(1)所示．由圖像知它是遞增數列．【訓練1】(2)由通項公式an＝－2n＋5，寫出數列的前5項3,1，－1，－3，－5，描點可得數列{an}的圖像如圖(2)所示．由圖像知它是遞減數列．畫出下列數列的圖像，并判斷數列的增減[思路探索]由題目可獲取以下主要信息：已知數列的通項公式，作出數列增減性的判斷．解答本題可用定義求解，也可用函數知識求解．【例2】題型二

判斷數列的增減性[思路探索]由題目可獲取以下主要信息：已知數列的通項公式，數列的函數特性課件規(guī)律方法判斷數列增減性的方法主要有三種：①作差比較法；②作商比較法；③函數單調性法．規(guī)律方法判斷數列增減性的方法主要有三種：(1)你能判斷該數列是遞增的，還是遞減的嗎？(2)該數列中有負數項嗎？【訓練2】(1)你能判斷該數列是遞增的，還是遞減的嗎？【訓練2】數列的函數特性課件數列的函數特性課件審題指導一個數列是遞增數列其首項是這列數的最小值；一個數列是遞減數列其首項是這列數的最大值．此外，數列的單調性有時與函數的性質結合起來．此時應注意數列函數的定義域．【例3】題型三

數列中的最大(小)項問題審題指導一個數列是遞增數列其首項是這列數的最小值；一個當n<9時，an＋1－an>0，即an＋1>an；(6分)當n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；(8分)當n>9時，an＋1－an<0，即an＋1<an，(10分)故a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…，所以數列中有最大項，最大項為第9、10項，當n<9時，an＋1－an>0，即an＋1>an；(6分)數列的函數特性課件解得n≥9，n＝9時取等號．(10分)∴從第1項到第9項遞增，從第10項起遞減．∴數列{an}有最大項，最大項為第9、10項，【題后反思】已知數列的通項公式求數列的最大(小)項，其實質是求函數的最大(小)值，但要注意函數的定義域，本題我