數(shù)學(xué)建模-四大模型總結(jié)

.z四類根本模型優(yōu)化模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型線性規(guī)劃、整數(shù)線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃。微分方程組模型阻滯增長模型、SARS傳播模型。圖論與網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題最短路徑問題、網(wǎng)絡(luò)最大流問題、最小費(fèi)用最大流問題、最小生成樹問題(MST)、旅行商問題(TSP)、圖的著色問題。概率模型決策模型、隨機(jī)存儲模型、隨機(jī)人口模型、報(bào)童問題、Markov鏈模型。組合優(yōu)化經(jīng)典問題多維背包問題(MKP)背包問題：個(gè)物品，對物品，體積為，背包容量為。如何將盡可能多的物品裝入背包。多維背包問題：個(gè)物品，對物品，價(jià)值為，體積為，背包容量為。如何選取物品裝入背包，是背包中物品的總價(jià)值最大。多維背包問題在實(shí)際中的應(yīng)用有：資源分配、貨物裝載和存儲分配等問題。該問題屬于難問題。二維指派問題(QAP)工作指派問題：個(gè)工作可以由個(gè)工人分別完成。工人完成工作的時(shí)間為。如何安排使總工作時(shí)間最小。二維指派問題〔常以機(jī)器布局問題為例〕：臺機(jī)器要布置在個(gè)地方，機(jī)器與之間的物流量為，位置與之間的距離為，如何布置使費(fèi)用最小。二維指派問題在實(shí)際中的應(yīng)用有：校園建筑物的布局、醫(yī)院科室的安排、成組技術(shù)中加工中心的組成問題等。旅行商問題(TSP)旅行商問題：有個(gè)城市，城市與之間的距離為，找一條經(jīng)過個(gè)城市的巡回〔每個(gè)城市經(jīng)過且只經(jīng)過一次，最后回到出發(fā)點(diǎn)〕，使得總路程最小。車輛路徑問題(VRP)車輛路徑問題〔也稱車輛方案〕：個(gè)客戶的位置坐標(biāo)和貨物需求，在可供使用車輛數(shù)量及運(yùn)載能力條件的約束下，每輛車都從起點(diǎn)出發(fā)，完成假設(shè)干客戶點(diǎn)的運(yùn)送任務(wù)后再回到起點(diǎn)，要求以最少的車輛數(shù)、最小的車輛總行程完成貨物的派送任務(wù)。TSP問題是VRP問題的特例。車間作業(yè)調(diào)度問題(JSP)車間調(diào)度問題：存在個(gè)工作和臺機(jī)器，每個(gè)工作由一系列操作組成，操作的執(zhí)行次序遵循嚴(yán)格的串行順序，在特定的時(shí)間每個(gè)操作需要一臺特定的機(jī)器完成，每臺機(jī)器在同一時(shí)刻不能同時(shí)完成不同的工作，同一時(shí)刻同一工作的各個(gè)操作不能并發(fā)執(zhí)行。如何求得從第一個(gè)操作開場到最后一個(gè)操作完畢的最小時(shí)間間隔。分類模型判別分析是在研究對象分成假設(shè)干類型并已經(jīng)取得各種類型的一批樣本的觀測數(shù)據(jù)，在此根底上根據(jù)*些準(zhǔn)則建立判別式，然后對未知類型的樣品進(jìn)展判別分析。聚類分析則是給定的一批樣品，要劃分的類型實(shí)現(xiàn)并不知道，正需要通過局分析來給以確定類型的。判別分析距離判別法根本思想：首先根據(jù)分類的數(shù)據(jù)，分別計(jì)算各類的重心即分組(類)的均值，判別準(zhǔn)則是對任給的一次觀測，假設(shè)它與第類的重心距離最近，就認(rèn)為它來自第類。至于距離的測定，可以根據(jù)實(shí)際需要采用歐氏距離、馬氏距離、明科夫距離等。Fisher判別法根本思想：從兩個(gè)總體中抽取具有個(gè)指標(biāo)的樣品觀測數(shù)據(jù)，借助方差分析的思想構(gòu)造一個(gè)判別函數(shù)或稱判別式。其中系數(shù)確定的原則是使兩組間的區(qū)別最大，而使每個(gè)組部的離差最小。對于一個(gè)新的樣品，將它的p個(gè)指標(biāo)值代人判別式中求出y值，然后與判別臨界值(或稱分界點(diǎn)(后面給出)進(jìn)展比擬，就可以判別它應(yīng)屬于哪一個(gè)總體。在兩個(gè)總體先驗(yàn)概率相等的假設(shè)下，判別臨界值一般?。鹤詈螅媒y(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)判別效果，假設(shè)則認(rèn)為判別有效，否則判別無效。以上描述的是兩總體判別，至于多總體判別方法則需要加以擴(kuò)展。Fisher判別法隨著總體數(shù)的增加，建立的判別式也增加，因而計(jì)算比擬復(fù)雜。Bayes判別法根本思想：假定對所研究的對象有一定的認(rèn)識，即假設(shè)個(gè)總體中，第個(gè)總體的先驗(yàn)概率為，概率密度函數(shù)為。利用bayes公式計(jì)算觀測樣品來自第個(gè)總體的后驗(yàn)概率，當(dāng)時(shí)，將樣本判為總體。逐步判別法根本思想與逐步回歸法類似，采用“有進(jìn)有出〞的算法，逐步引入變量，每次引入一個(gè)變量進(jìn)入判別式，則同時(shí)考慮在較早引入判別式的*些作用不顯著的變量剔除出去。聚類分析聚類分析是一種無監(jiān)視的分類方法，即不預(yù)先指定類別。根據(jù)分類對象不同，聚類分析可以分為樣本聚類〔Q型〕和變量聚類〔R型〕。樣本聚類是針對觀測樣本進(jìn)展分類，而變量聚類則是試圖找出彼此獨(dú)立且有代表性的自變量，而又不喪失大局部信息。變量聚類是一種降維的方法。系統(tǒng)聚類法〔分層聚類法〕根本思想：開場將每個(gè)樣本自成一類；然后求兩兩之間的距離，將距離最近的兩類合成一類；如此重復(fù)，直到所有樣本都合為一類為止。適用圍：既適用于樣本聚類，也適用于變量聚類。并且距離分類準(zhǔn)則和距離計(jì)算方法都有多種，可以依據(jù)具體情形選擇?？焖倬垲惙ā睰-均值聚類法〕根本思想：按照指定分類數(shù)目，選擇個(gè)初始聚類中心；計(jì)算每個(gè)觀測量〔樣本〕到各個(gè)聚類中心的距離，按照就近原則將其分別分到放入各類中；重新計(jì)算聚類中心，繼續(xù)以上步驟；滿足停頓條件時(shí)〔如最大迭代次數(shù)等〕則停頓。使用圍：要求用戶給定分類數(shù)目，只適用于樣本聚類〔Q型〕，不適用于變量聚類〔R型〕。兩步聚類法〔智能聚類方法〕根本思想：先進(jìn)展預(yù)聚類，然后再進(jìn)展正式聚類。適用圍：屬于智能聚類方法，用于解決海量數(shù)據(jù)或者具有復(fù)雜類別構(gòu)造的聚類分析問題?？梢酝瑫r(shí)處理離散和連續(xù)變量，自動選擇聚類數(shù)，可以處理超大樣本量的數(shù)據(jù)。模糊聚類分析與遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或灰色理論聯(lián)合的聚類方法神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分類方法評價(jià)模型層次分析法(AHP)根本思想：是定性與定量相結(jié)合的多準(zhǔn)則決策、評價(jià)方法。將決策的有關(guān)元素分解成目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層，并通過人們的判斷對決策方案的優(yōu)劣進(jìn)展排序，在此根底上進(jìn)展定性和定量分析。它把人的思維過程層次化、數(shù)量化，并用數(shù)學(xué)為分析、決策、評價(jià)、預(yù)報(bào)和控制提供定量的依據(jù)。根本步驟：構(gòu)建層次構(gòu)造模型；構(gòu)建成比照擬矩陣；層次單排序及一致性檢驗(yàn)〔即判斷主觀構(gòu)建的成比照擬矩陣在整體上是否有較好的一致性〕；層次總排序及一致性檢驗(yàn)〔檢驗(yàn)層次之間的一致性〕。優(yōu)點(diǎn)：它完全依靠主觀評價(jià)做出方案的優(yōu)劣排序，所需數(shù)據(jù)量少，決策花費(fèi)的時(shí)間很短。從整體上看，AHP在復(fù)雜決策過程中引入定量分析，并充分利用決策者在兩兩比擬中給出的偏好信息進(jìn)展分析與決策支持，既有效地吸收了定性分析的結(jié)果，又發(fā)揮了定量分析的優(yōu)勢，從而使決策過程具有很強(qiáng)的條理性和科學(xué)性，特別適合在社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的決策分析中使用。缺點(diǎn)：用AHP進(jìn)展決策主觀成分很大。當(dāng)決策者的判斷過多地受其主觀偏好影響，而產(chǎn)生*種對客觀規(guī)律的歪曲時(shí)，AHP的結(jié)果顯然就靠不住了。適用圍：尤其適合于人的定性判斷起重要作用的、對決策結(jié)果難于直接準(zhǔn)確計(jì)量的場合。要使AHP的決策結(jié)論盡可能符合客觀規(guī)律，決策者必須對所面臨的問題有比擬深入和全面的認(rèn)識。另外，當(dāng)遇到因素眾多，規(guī)模較大的評價(jià)問題時(shí)，該模型容易出現(xiàn)問題，它要求評價(jià)者對問題的本質(zhì)、包含的要素及其相互之間的邏輯關(guān)系能掌握得十分透徹，否則評價(jià)結(jié)果就不可靠和準(zhǔn)確。改良方法：成比照擬矩陣可以采用德爾菲法獲得。如果評價(jià)指標(biāo)個(gè)數(shù)過多〔一般超過9個(gè)〕，利用層次分析法所得到的權(quán)重就有一定的偏差，繼而組合評價(jià)模型的結(jié)果就不再可靠?？梢愿鶕?jù)評價(jià)對象的實(shí)際情況和特點(diǎn)，利用一定的方法，將各原始指標(biāo)分層和歸類，使得每層各類中的指標(biāo)數(shù)少于9個(gè)?；疑C合評價(jià)法〔灰色關(guān)聯(lián)度分析〕根本思想：灰色關(guān)聯(lián)分析的實(shí)質(zhì)就是，可利用各方案與最優(yōu)方案之間關(guān)聯(lián)度大小對評價(jià)對象進(jìn)展比擬、排序。關(guān)聯(lián)度越大，說明比擬序列與參考序列變化的態(tài)勢越一致，反之，變化態(tài)勢則相悖。由此可得出評價(jià)結(jié)果。根本步驟：建立原始指標(biāo)矩陣；確定最優(yōu)指標(biāo)序列；進(jìn)展指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化或無量綱化處理；求差序列、最大差和最小差；計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)；計(jì)算關(guān)聯(lián)度。優(yōu)點(diǎn)：是一種評價(jià)具有大量未知信息的系統(tǒng)的有效模型，是定性分析和定量分析相結(jié)合的綜合評價(jià)模型，該模型可以較好地解決評價(jià)指標(biāo)難以準(zhǔn)確量化和統(tǒng)計(jì)的問題，可以排除人為因素帶來的影響，使評價(jià)結(jié)果更加客觀準(zhǔn)確。整個(gè)計(jì)算過程簡單，通俗易懂，易于為人們所掌握;數(shù)據(jù)不必進(jìn)展歸一化處理，可用原始數(shù)據(jù)進(jìn)展直接計(jì)算，可靠性強(qiáng)；評價(jià)指標(biāo)體系可以根據(jù)具體情況增減；無需大量樣本，只要有代表性的少量樣本即可。缺點(diǎn)：要求樣本數(shù)據(jù)且具有時(shí)間序列特性；只是對評判對象的優(yōu)劣做出鑒別，并不反映絕對水平，故基于灰色關(guān)聯(lián)分析綜合評價(jià)具有“相對評價(jià)〞的全部缺點(diǎn)。適用圍：對樣本量沒有嚴(yán)格要求，不要求服從任何分布，適合只有少量觀測數(shù)據(jù)的問題；應(yīng)用該種方法進(jìn)展評價(jià)時(shí)，指標(biāo)體系及權(quán)重分配是一個(gè)關(guān)鍵的問題，選擇的恰當(dāng)與否直接影響最終評價(jià)結(jié)果。改良方法：采用組合賦權(quán)法：根據(jù)客觀賦權(quán)法和主觀賦權(quán)法綜合而得權(quán)系數(shù)。結(jié)合TOPSIS法：不僅關(guān)注序列與正理想序列的關(guān)聯(lián)度，而且關(guān)注序列與負(fù)理想序列的關(guān)聯(lián)度，依據(jù)公式計(jì)算最后的關(guān)聯(lián)度。模糊綜合評價(jià)法根本思想：是以模糊數(shù)學(xué)為根底，應(yīng)用模糊關(guān)系合成的原理，將一些邊界不清、不易定量的因素定量化，從多個(gè)因素對被評價(jià)事物隸屬等級〔或稱為評語集〕狀況進(jìn)展綜合性評價(jià)的一種方法。綜合評判對評判對象的全體，根據(jù)所給的條件，給每個(gè)對象賦予一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)評判指標(biāo)，再據(jù)此排序擇優(yōu)。根本步驟：確定因素集、評語集；構(gòu)造模糊關(guān)系矩陣；確定指標(biāo)權(quán)重；進(jìn)展模糊合成和做出評價(jià)。優(yōu)點(diǎn)：:數(shù)學(xué)模型簡單，容易掌握，對多因素、多層次的復(fù)雜問題評判效果較好。模糊評判模型不僅可對評價(jià)對象按綜合分值的大小進(jìn)展評價(jià)和排序，而且還可根據(jù)模糊評價(jià)集上的值按最大隸屬度原則去評定對象所屬的等級，結(jié)果包含的信息量豐富。評判逐對進(jìn)展，對被評對象有唯一的評價(jià)值，不受被評價(jià)對象所處對象集合的影響。接近于人的思維習(xí)慣和描述方法，因此它更適用于對社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)問題進(jìn)展評價(jià)。缺點(diǎn)：并不能解決評價(jià)指標(biāo)間相關(guān)造成的評價(jià)信息重復(fù)問題，隸屬函數(shù)確實(shí)定還沒有系統(tǒng)的方法，而且合成的算法也有待進(jìn)一步探討。其評價(jià)過程大量運(yùn)用了人的主觀判斷，由于各因素權(quán)重確實(shí)定帶有一定的主觀性，因此，總的來說，模糊綜合評判是一種基于主觀信息的綜合評價(jià)方法。應(yīng)用圍：廣泛地應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域。綜合評價(jià)結(jié)果的可靠性和準(zhǔn)確性依賴于合理選取因素、因素的權(quán)重分配和綜合評價(jià)的合成算子等。改良方法：(1)采用組合賦權(quán)法：根據(jù)客觀賦權(quán)法和主觀賦權(quán)法綜合而得權(quán)系數(shù)。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)綜合評價(jià)法根本思想：是一種交互式的評價(jià)方法，它可以根據(jù)用戶期望的輸出不斷修改指標(biāo)的權(quán)值，直到用戶滿意為止。因此，一般來說，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)評價(jià)方法得到的結(jié)果會更符合實(shí)際情況。優(yōu)點(diǎn)：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有自適應(yīng)能力，能對多指標(biāo)綜合評價(jià)問題給出一個(gè)客觀評價(jià)，這對于弱化權(quán)重確定中的人為因素是十分有益的。在以前的評價(jià)方法中，傳統(tǒng)的權(quán)重設(shè)計(jì)帶有很大的模糊性，同時(shí)權(quán)重確定中人為因素影響也很大。隨著時(shí)間、空間的推移，各指標(biāo)對其對應(yīng)問題的影響程度也可能發(fā)生變化，確定的初始權(quán)重不一定符合實(shí)際情況。再者，考慮到整個(gè)分析評價(jià)是一個(gè)復(fù)雜的非線性大系統(tǒng)，必須建立權(quán)重的學(xué)習(xí)機(jī)制，這些方面正是人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)勢所在。針對綜合評價(jià)建模過程中變量選取方法的局限性，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理可對變量進(jìn)展奉獻(xiàn)分析，進(jìn)而剔除影響不顯著和不重要的因素，以建立簡化模型，可以防止主觀因素對變量選取的干擾。缺點(diǎn)：ANN在應(yīng)用中遇到的最大問題是不能提供解析表達(dá)式，權(quán)值不能解釋為一種回歸系數(shù)，也不能用來分析因果關(guān)系，目前還不能從理論上或從實(shí)際出發(fā)來解釋ANN的權(quán)值的意義。需要大量的訓(xùn)練樣本，精度不高，應(yīng)用圍是有限的。最大的應(yīng)用障礙是評價(jià)算法的復(fù)雜性，人們只能借助計(jì)算機(jī)進(jìn)展處理，而這方面的商品化軟件還不夠成熟。適用圍：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)評價(jià)模型具有自適應(yīng)能力、可容錯性，能夠處理非線性、非局域性的大型復(fù)雜系統(tǒng)。在對學(xué)習(xí)樣本訓(xùn)練中，無需考慮輸入因子之間的權(quán)系數(shù)，ANN通過輸入值與期望值之間的誤差比擬，沿原連接權(quán)自動地進(jìn)展調(diào)節(jié)和適應(yīng)，因此該方法表達(dá)了因子之間的相互作用。改良方法：(1)采用組合評價(jià)法：對用其它評價(jià)方法得出的結(jié)果，選取一局部作為訓(xùn)練樣本，一局部作為待測樣本進(jìn)展檢驗(yàn)，如此對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)展訓(xùn)練，知道滿足要求為止，可得到更好的效果。數(shù)據(jù)包絡(luò)法(DEA)組合評價(jià)法預(yù)測模型定性研究與定量研究的結(jié)合，是科學(xué)的預(yù)測的開展趨勢。在實(shí)際預(yù)測工作中，應(yīng)該將定性預(yù)測和定量預(yù)測結(jié)合起來使用，即在對系統(tǒng)做出正確分析的根底上，根據(jù)定量預(yù)測得出的量化指標(biāo)，對系統(tǒng)未來走勢做出判斷?；貧w分析法根本思想：根據(jù)歷史數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，尋找自變量與因變量之間的回歸方程式，確定模型參數(shù)，據(jù)此預(yù)測?；貧w問題分為一元和多元回歸、線性和非線性回歸。特點(diǎn)：技術(shù)比擬成熟，預(yù)測過程簡單；將預(yù)測對象的影響因素分解，考察各因素的變化情況，從而估計(jì)預(yù)測對象未來的數(shù)量狀態(tài)；回歸模型誤差較大，外推特性差。適用圍：回歸分析法一般適用于中期預(yù)測?；貧w分析法要求樣本量大且要求樣本有較好的分布規(guī)律，當(dāng)預(yù)測的長度大于占有的原始數(shù)據(jù)長度時(shí)，采用該方法進(jìn)展預(yù)測在理論上不能保證預(yù)測結(jié)果的精度。另外，可能出現(xiàn)量化結(jié)果與定性分析結(jié)果不符的現(xiàn)象，有時(shí)難以找到適宜的回歸方程類型。時(shí)間序列分析法根本思想：把預(yù)測對象的歷史數(shù)據(jù)按一定的時(shí)間間隔進(jìn)展排列，構(gòu)成一個(gè)隨時(shí)間變化的統(tǒng)計(jì)序列，建立相應(yīng)的數(shù)據(jù)隨時(shí)間變化的變化模型，并將該模型外推到未來進(jìn)展預(yù)測。適用圍：此方法有效的前提是過去的開展模式會延續(xù)到未來，因而這種方法對短期預(yù)測效果比擬好，而不適合作中長期預(yù)測。一般來說，假設(shè)影響預(yù)測對象變化各因素不發(fā)生突變，利用時(shí)間序列分析方法能得到較好的預(yù)測結(jié)果；假設(shè)這些因素發(fā)生突變，時(shí)間序列法的預(yù)測結(jié)果將受到一定的影響?；疑A(yù)測法根本思想：將一切隨機(jī)變量看作是在一定圍變化的灰色變量，不是從統(tǒng)計(jì)規(guī)律角度出發(fā)進(jìn)展大樣本分析研究，而是利用數(shù)據(jù)處理方法(數(shù)據(jù)生成與復(fù)原)，將雜亂無章的原始數(shù)據(jù)整理成規(guī)律性較強(qiáng)的生成數(shù)據(jù)來加以研究，即灰色系統(tǒng)理論建立的不是原始數(shù)據(jù)模型，而是生成數(shù)據(jù)模型。適用圍：預(yù)測模型是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，如果待測量是以*一指數(shù)規(guī)律開展的，則可望得到較高精度的預(yù)測結(jié)果。影響模型預(yù)測精度及其適應(yīng)性的關(guān)鍵因素，是模型中背景值的構(gòu)造及預(yù)測公式中初值的選取。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理論有表示任意非線性關(guān)系和學(xué)習(xí)等的能力，給解決很多具有復(fù)雜的不確定性和時(shí)變性的實(shí)際問題提供了新思想和新方法。利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)功能，用大量樣本對神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)進(jìn)展訓(xùn)練，調(diào)整其連接權(quán)值和閉值，然后可以利用已確定的模型進(jìn)展預(yù)測。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能從數(shù)據(jù)樣本中自動地學(xué)習(xí)以前的經(jīng)歷而無需繁復(fù)的查詢和表述過程，并自動地逼近那些最正確刻畫了樣本數(shù)據(jù)規(guī)律的函數(shù)，而不管這些函數(shù)具有怎樣的形式，且所考慮的系統(tǒng)表現(xiàn)的函數(shù)形式越復(fù)雜，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)這種特性的作用就越明顯。誤差反向傳播算法(BP算法)的根本思想是通過網(wǎng)絡(luò)誤差的反向傳播，調(diào)整和修改網(wǎng)絡(luò)的連接權(quán)值和閉值，使誤差到達(dá)最小，其學(xué)習(xí)過程包括前向計(jì)算和誤差反向傳播。它利用一個(gè)簡單的三層人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，就能實(shí)現(xiàn)從輸入到輸出之間任何復(fù)雜的非線性映射關(guān)系。目前，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型已成功地應(yīng)用于許多領(lǐng)域，諸如經(jīng)濟(jì)預(yù)測、財(cái)政分析、貸款抵押評估和破產(chǎn)預(yù)測等許多經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域。優(yōu)點(diǎn)：可以在不同程度和層次上模仿人腦神經(jīng)系統(tǒng)的構(gòu)造及信息處理和檢索等功能，對大量非構(gòu)造性、非準(zhǔn)確性規(guī)律具有極強(qiáng)的自適應(yīng)功能，具有信息記憶、自主學(xué)習(xí)、知識推理和優(yōu)化計(jì)算等特點(diǎn)，其自學(xué)習(xí)和自適應(yīng)功能是常規(guī)算法和專家系統(tǒng)技術(shù)所不具備的，同時(shí)在一定程度上克制了由于隨機(jī)性和非定量因素而