北師大版數(shù)學(xué)選修44第二章教師用書

北師大版數(shù)學(xué)選修44第二章教師用書北師大版數(shù)學(xué)選修44第二章教師用書北師大版數(shù)學(xué)選修44第二章教師用書【綜合評(píng)價(jià)】參數(shù)方程是以參變量為中介來表示曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)的方程，是曲線在同一坐標(biāo)系下的又一種表示形式．某些曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，用普通方程描述它們之間的關(guān)系比較困難，甚至不可能，列出的方程既復(fù)雜又不易理解，而用參數(shù)方程來描述曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的間接關(guān)系比較方便，學(xué)習(xí)參數(shù)方程有助于學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)方法的靈活多變,提高應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力．【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過分析拋物運(yùn)動(dòng)中時(shí)間與運(yùn)動(dòng)物體位置的關(guān)系,寫出拋物運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程，體會(huì)參數(shù)的意義.并掌握參數(shù)方程的概念。2.分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它們的參數(shù)方程.3。舉例說明某些曲線用參數(shù)方程表示比用普通方程表示更方便，更能感受參數(shù)方程的優(yōu)越性。4。借助教具或計(jì)算機(jī)軟件，觀察圓在直線上滾動(dòng)時(shí)圓上定點(diǎn)的軌跡(平擺線)、直線在圓上滾動(dòng)時(shí)直線上定點(diǎn)的軌跡(漸開線)，了解平擺線和漸開線的生成過程，并能推導(dǎo)出它們的參數(shù)方程.5.通過閱讀材料，了解其他擺線(變幅平擺線、變幅漸開線、外擺線、內(nèi)擺線、環(huán)擺線)的生成過程；了解擺線在實(shí)際中應(yīng)用的實(shí)例(例如，最速降線是平擺線，橢圓是特殊的內(nèi)擺線-—卡丹轉(zhuǎn)盤，圓擺線齒輪與漸開線齒輪，收割機(jī)、翻土機(jī)等機(jī)械裝置的擺線原理與設(shè)計(jì),星形線與公共汽車門）;了解擺線在刻畫行星運(yùn)動(dòng)軌道中的作用?！緦W(xué)習(xí)計(jì)劃】內(nèi)容學(xué)習(xí)重點(diǎn)建議學(xué)習(xí)時(shí)間參數(shù)方程的概念參數(shù)方程的概念1課時(shí)直線和圓錐曲線的參數(shù)方程直線的參數(shù)，圓的參數(shù)方程，橢圓的參數(shù)方程，雙曲線的參數(shù)方程5課時(shí)參數(shù)方程化成普通方程參數(shù)方程和普通方程的互化2課時(shí)平擺線和漸開線平擺線、漸開線2課時(shí)§1參數(shù)方程的概念1。參數(shù)方程的概念(1）一般地，在取定的坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y)都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝f(t),，y＝g（t)，)）①并且對(duì)于t取的每一個(gè)允許值，由方程組①所確定的點(diǎn)P(x，y)都在這條曲線上，那么方程組①就叫作這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x，y之間關(guān)系的變數(shù)t叫作參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)。相對(duì)于參數(shù)方程，我們把直接用坐標(biāo)（x，y）表示的曲線方程f（x,y)＝0叫作曲線的普通方程.（2）在參數(shù)方程中，應(yīng)明確參數(shù)t的取值范圍.對(duì)于參數(shù)方程x＝f(t),y＝g（t)來說，如果t的取值范圍不同，它們表示的曲線可能是不相同的。如果不明確寫出其取值范圍，那么參數(shù)的取值范圍就理解為x＝f(t）和y＝g（t）這兩個(gè)函數(shù)的自然定義域的交集。2。參數(shù)方程和普通方程的互化（1）曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式。(2）在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使x，y的取值范圍保持一致。【思維導(dǎo)圖】【知能要點(diǎn)】1。參數(shù)方程的概念.2。求曲線的參數(shù)方程.3。參數(shù)方程和普通方程的互化。題型一參數(shù)方程及其求法1.曲線的普通方程直接地反映了一條曲線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的聯(lián)系,而參數(shù)方程是通過參數(shù)反映坐標(biāo)變量x、y間的間接聯(lián)系。在具體問題中的參數(shù)可能有相應(yīng)的幾何意義,也可能沒有什么明顯的幾何意義。曲線的參數(shù)方程常常是方程組的形式，任意給定一個(gè)參數(shù)的允許取值就可得到曲線上的一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，反過來對(duì)于曲線上任一點(diǎn)也必然對(duì)應(yīng)著其中的參數(shù)的相應(yīng)的允許取值。2。求曲線參數(shù)方程的主要步驟：第一步，畫出軌跡草圖，設(shè)M（x,y)是軌跡上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)。畫圖時(shí)要注意根據(jù)幾何條件選擇點(diǎn)的位置，以利于發(fā)現(xiàn)變量之間的關(guān)系。第二步，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù).參數(shù)的選擇要考慮以下兩點(diǎn):一是曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y與參數(shù)的關(guān)系比較明顯,容易列出方程；二是x，y的值可以由參數(shù)惟一確定.第三步，根據(jù)已知條件、圖形的幾何性質(zhì)、問題的物理意義等，建立點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，證明可以省略。【例1】設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓作勻角速度運(yùn)動(dòng)，角速度為eq\f(π,60)rad/s.試以時(shí)間t為參數(shù),建立質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程.解如圖所示，運(yùn)動(dòng)開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于點(diǎn)A處，此時(shí)t＝0，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）對(duì)應(yīng)時(shí)刻t，由圖可知eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，，y＝2sinθ，））又θ＝eq\f(π,60)t（t的單位：S），故參數(shù)方程為eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝2cos\f(π，60）t，，y＝2sin\f（π，60)t。）)【反思感悟】以時(shí)間t為參數(shù)，在圖形中分別尋求動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)和t的關(guān)系。1。已知定直線l和線外一定點(diǎn)O，Q為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，△OQP為正三角形(按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)，如圖所示），求點(diǎn)P的軌跡方程.解以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，過點(diǎn)O且與l垂直的直線為x軸，過點(diǎn)O與l平行的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)O到直線l的距離為d（為定值，且d〉0)，取∠xOQ＝θ為參數(shù)，θ∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（π,2)，\f(π,2）)），設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）。在Rt△OQN中，∵｜OQ｜＝eq\f（d，cosθ)，｜OP|＝|OQ|,∠xOP＝θ＋eq\f（π,3）,∴x＝｜OP｜c(diǎn)oseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π,3）＋θ))＝eq\f(d，cosθ）·coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,3)＋θ））＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）－\f(\r(3)，2）tanθ）)·d，y＝|OP|·sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,3）＋θ)）＝eq\f(d,cosθ）·sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π,3）＋θ))＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r（3)，2)＋\f(1，2)tanθ)）·d.∴點(diǎn)P的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2）－\f（\r（3)，2）tanθ））d,,y＝\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r（3），2)＋\f（1，2）tanθ）)d)）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(π，2）<θ<\f(π,2））).題型二參數(shù)方程和普通方程的互化參數(shù)方程化為普通方程,消去參數(shù)方程中的參數(shù)即可，通過曲線的普通方程來判斷曲線的類型。由普通方程化為參數(shù)方程要選定恰當(dāng)?shù)膮?shù)，尋求曲線上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)x，y和參數(shù)的關(guān)系，根據(jù)實(shí)際問題的要求，我們可以選擇時(shí)間、角度、線段長度、直線的斜率、截距等作為參數(shù).【例2】已知某條曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝1＋2t,y＝at2)）(其中t是參數(shù)，a∈R），點(diǎn)M（5，4)在該曲線上.（1）求常數(shù)a;（2）求曲線C的普通方程.分析本題主要應(yīng)根據(jù)曲線與方程之間的關(guān)系，可知點(diǎn)M(5,4)在該曲線上，則點(diǎn)M的坐標(biāo)應(yīng)適合曲線C的方程，從而可求得其中的待定系數(shù)，進(jìn)而消去參數(shù)得到其普通方程.解（1)由題意可知有eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(1＋2t＝5，，at2＝4，））故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（t＝2，，a＝1.)）∴a＝1。（2）由已知及(1）可得，曲線C的方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝t2.））由第一個(gè)方程得t＝eq\f(x－1,2)代入第二個(gè)方程，得y＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（x－1,2)））eq\s\up12(2)，即(x－1)2＝4y為所求.【反思感悟】參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，求參數(shù)的表達(dá)式應(yīng)從簡(jiǎn)單的有唯一結(jié)論的式子入手,易于代入消參.2。把下列參數(shù)方程化為普通方程。eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ,，y＝2－sinθ,）)解由已知得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(cosθ＝x－3,,sinθ＝2－y。））由三角恒等式sin2θ＋cos2θ＝1，可知（x－3）2＋(y－2)2＝1這就是所求的普通方程。【例3】選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，把普通方程eq\f（x2，16)＋eq\f(y2，9)＝1化為參數(shù)方程.解設(shè)x＝4cosφ,代入橢圓方程，得eq\f(16cos2φ，16）＋eq\f（y2，9）＝1.∴y2＝9（1－cos2φ）＝9sin2φ，即y＝±3sinφ.由參數(shù)φ的任意性可知y＝3sinφ.故所求參數(shù)方程為eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝4cosφ,，y＝3sinφ）)（φ為參數(shù)）。【反思感悟】選取的參數(shù)不同，所得曲線的參數(shù)方程不同，注意普通方程和參數(shù)方程的等價(jià)性。3。選取適當(dāng)參數(shù)，把直線方程y＝2x＋3化為參數(shù)方程.解選t＝x，則y＝2t＋3，由此得直線的參數(shù)方程eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝t，，y＝2t＋3))（t∈R）.也可選t＝x＋1,則y＝2t＋1，參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝t－1,,y＝2t＋1.)）1.已知曲線C的參數(shù)方程是：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝3t，,y＝2t2＋1))（t為參數(shù)）。（1）判斷點(diǎn)M1(0，1)，M2（5，4）與曲線C的位置關(guān)系；(2)已知點(diǎn)M3(6，a）在曲線C上，求a的值.解（1)把點(diǎn)M1的坐標(biāo)（0，1）代入方程組，得：eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（0＝3t，,1＝2t2＋1)）解得:t＝0.∴點(diǎn)M1在曲線C上.同理，可知點(diǎn)M2不在曲線C上.（2)∵點(diǎn)M3（6，a）在曲線C上，∴eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（6＝3t,，a＝2t2＋1，））解得：t＝2，a＝9.∴a＝9.2。將下列曲線的參數(shù)方程化為普通方程，并指明曲線的類型。（1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝acosθ，，y＝bsinθ))(θ為參數(shù)，a、b為常數(shù)，且a>b〉0)；（2）eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝\f(a，cosφ)，,y＝btanφ））（φ為參數(shù)，a、b為正常數(shù)）；(3）eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt）)（t為參數(shù)，p為正常數(shù)）。解（1)由cos2θ＋sin2θ＝1，得eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2，b2）＝1（a>b>0），它表示的曲線是橢圓.（2）由已知eq\f（1,cosφ）＝eq\f（x，a)，tanφ＝eq\f(y，b），由eq\f(1，cos2φ)＝1＋tan2φ，有eq\f(x2，a2）－eq\f(y2，b2)＝1，它表示的曲線是雙曲線。(3)由已知t＝eq\f（y，2p），代入x＝2pt2得eq\f(y2，4p2）·2p＝x,即y2＝2px它表示的曲線是拋物線。3.兩曲線的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝3cosθ，，y＝4sinθ))(θ為參數(shù)）和eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝－3t2，,y＝－4t2)）(t為參數(shù)）,求它們的交點(diǎn)坐標(biāo)。解將兩曲線的參數(shù)方程化為普通方程,得eq\f（x2,9)＋eq\f（y2，16）＝1，y＝eq\f(4,3)x（x≤0).聯(lián)立解得它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（3\r(2)，2），－2\r（2)））.4。△ABC是圓x2＋y2＝r2的內(nèi)接三角形,已知A(r,0）為定點(diǎn)，∠BAC＝60°，求△ABC的重心G的軌跡方程。解因?yàn)椤螧AC＝60°，所以∠BOC＝120°，于是可設(shè)B（rcosθ，rsinθ），C(rcos（θ＋120°)，rsin(θ＋120°)），重心坐標(biāo)為（x，y)，則eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝\f（r＋rcosθ＋rcos(θ＋120°），3），,y＝\f(rsinθ＋rsin（θ＋120°）,3),))消去θ得（3x－r）2＋（3y）2＝r2,所以△ABC重心G的軌跡方程為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f（r，3))）eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(r2，9）（0≤x≤eq\f(r，2)）。［P28思考交流]把引例中求出的鉛球運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程消去參數(shù)t后,再將所得方程與原方程進(jìn)行比較，體會(huì)參數(shù)方程的作用。答eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝v0tcosα，，y＝h＋v0tsinα－\f（1，2)gt2）)其中v0、α,h和g都是常數(shù).這里的g是重力加速度.h是運(yùn)動(dòng)員出手時(shí)鉛球的高度。消去參數(shù)t整理得：y＝－eq\f（g,2veq\o\al(2，0）cos2α）x2＋x·tanx＋h。參數(shù)方程的作用：當(dāng)參數(shù)t每取一個(gè)允許值，就可以相應(yīng)地確定一個(gè)x值和一個(gè)y值.這樣鉛球的位置就相應(yīng)的確定了。這樣建立的t與x，y之間的關(guān)系不僅方便，而且清晰地反映了變數(shù)的實(shí)際意義。如x＝v0tcosα反映了鉛球飛行的水平距離.y＝h＋v0tsinα－eq\f（1,2）gt2反映了鉛球的高度與飛行時(shí)間的關(guān)系?？傊俏锢韺W(xué)中彈道曲線的方程.【規(guī)律方法總結(jié)】1。求軌跡的參數(shù)方程，可以通過對(duì)具體問題的分析，選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù),建立參數(shù)方程。2。曲線的參數(shù)方程和普通方程可以互化，兩種方程具有等價(jià)性.3.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)如果需要單獨(dú)表示，使用參數(shù)方程比較方便。一、選擇題1。下列各點(diǎn)在方程eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝sinθ，,y＝cos2θ)）（θ是參數(shù)）所表示曲線上的點(diǎn)是（）A。(2，－7） B。eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))） C.eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)，\f(1,2))） D。（1，0）解析由已知可得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝sinθ，，y＝1－2sin2θ，）)將選項(xiàng)代入上式即可.∴x＝eq\f（1，2)時(shí),y＝eq\f（1，2)。故應(yīng)選C.答案C2.將參數(shù)方程eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝2＋sin2θ,，y＝sin2θ)）（θ為參數(shù)）化為普通方程為(）A。y＝x－2 B。y＝x＋2C.y＝x－2(2≤x≤3） D.y＝x＋2（0≤y≤1）解析將參數(shù)方程中的θ消去，得y＝x－2。又x∈[2,3］，故選C。答案C3。曲線（x－1）2＋y2＝4上的點(diǎn)可以表示為（）A。（－1＋cosθ，sinθ） B.(1＋sinθ，cosθ）C。（－1＋2cosθ,2sinθ) D.(1＋2cosθ，2sinθ）解析可設(shè)eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x－1＝2cosθ，,y＝2sinθ，)）∴eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝1＋2cosθ，，y＝2sinθ，）)∴曲線x的點(diǎn)可表示為（1＋2cosθ,2sinθ）.答案D4.直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝a＋t，,y＝b＋t)）(t為參數(shù))，l上的點(diǎn)P1對(duì)應(yīng)的參數(shù)是t1,則點(diǎn)P1與P(a，b）之間的距離為（）A。｜t1｜ B.2|t1|C.eq\r(2)｜t1｜ D。eq\f（\r（2）,2）｜t1｜解析點(diǎn)P1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（a＋t1，b＋t1），∴｜PP1｜＝eq\r（(a＋t1－a)2＋（b＋t1－b）2）＝eq\r(2teq\o\al(2，1））＝eq\r(2)|t1｜。答案C5.參數(shù)方程eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝\r(t2＋2t＋3），y＝\r（t2＋2t＋2)))表示的曲線是（)A.雙曲線x2－y2＝1B.雙曲線x2－y2＝1的右支C。雙曲線x2－y2＝1，但x≥0，y≥0D。以上結(jié)論都不對(duì)解析平方相減得x2－y2＝1，但x≥eq\r（2),y≥1。答案D二、填空題6。已知曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2sinθ＋1，，y＝sinθ＋3))（θ為參數(shù)，0≤θ＜2π）。下列各點(diǎn)A(1，3)，B(2,2)，C（－3,5)，其中在曲線上的點(diǎn)是________。解析曲線方程可化為x－2y＋5＝0，將A，B,C三點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線的參數(shù)方程可知只有A符合。答案A7。物體從高處以初速度v0(m/s)沿水平方向拋出,以拋出點(diǎn)為原點(diǎn)，水平直線為x軸，物體所經(jīng)路線的參數(shù)方程為________。解析設(shè)物體拋出的時(shí)刻為0s，在時(shí)刻ts時(shí)其坐標(biāo)為M（x，y），由于物體作平拋運(yùn)動(dòng)，依題意,得eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝v0t，,y＝－\f（1,2）gt2，)）這就是物體所經(jīng)路線的參數(shù)方程.答案eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝v0t,,y＝－\f(1，2)gt2））（t為參數(shù)）8。以過點(diǎn)A(0,4）的直線的斜率k為參數(shù)，將方程4x2＋y2＝16化成參數(shù)方程是__________。解析設(shè)直線為y＝kx＋4，代入4x2＋y2＝16化簡(jiǎn)即可.答案eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝－\f（8k，4＋k2），，y＝\f（16－4k2，4＋k2)))9.將參數(shù)方程eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝sinθ＋cosθ，y＝sinθcosθ））化成普通方程為__________.解析應(yīng)用三角變形消去θ，同時(shí)注意到|x｜≤eq\r（2）.答案x2＝1＋2y（|x｜≤eq\r（2)）三、解答題10.已知曲線C:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝－1＋sinθ,）)如果曲線C與直線x＋y＋a＝0有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝cosθ，,y＝－1＋sinθ,))∴x2＋（y＋1）2＝1.圓與直線有公共點(diǎn)，d＝eq\f(｜0－1＋a|,\r(2)）≤1,解得1－eq\r（2）≤a≤1＋eq\r(2）.11.已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ2－4eq\r(2）ρcoseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ－\f(π，4))）＋6＝0。（1）將極坐標(biāo)方程化為普通方程，并選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它的參數(shù)方程;（2）若點(diǎn)P（x，y）在該圓上，求x＋y的最大值和最小值。解（1）由ρ2－4eq\r（2)ρcoseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(θ－\f（π,4）)）＋6＝0得ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0,即x2＋y2－4x－4y＋6＝0為所求，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x－2）2＋（y－2）2＝2，令x－2＝eq\r（2)cosα，y－2＝eq\r(2)sinα，得圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝2＋\r（2)cosα，，y＝2＋\r(2）sinα）)（α為參數(shù))。(2）由上述可知x＋y＝4＋eq\r（2)(cosα＋sinα)＝4＋2sin(α＋eq\f(π,4)），故x＋y的最大值為6，最小值為2。12。如圖所示，OA是圓C的直徑,且OA＝2a，射線OB與圓交于Q點(diǎn)，和經(jīng)過A點(diǎn)的切線交于B點(diǎn)，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P滿足PQ⊥OA于D,PB∥OA，試求點(diǎn)P的軌跡方程.解設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y）,則B(2a,y），D(x，0）。在Rt△OAB中，tanθ＝eq\f(AB,OA），∴AB＝OA·tanθ,即y＝2a·tanθ。在Rt△OAQ中,cosθ＝eq\f（OQ，OA），∴OQ＝OA·cosθ,在Rt△OQD中，cosθ＝eq\f（OD,OQ)，∴OD＝OQ·cosθ,∴OD＝OA·cos2θ，即x＝2a·cos2θ.即有eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝2acos2θ，，y＝2atanθ))θ∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(π,2），\f（π,2））），化為普通方程為：xy2＋4a2x＝8a3。13.在長為a的線段AB上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,在AB的同側(cè)以AE和EB為斜邊，分別作等腰直角三角形AEC和EBD，點(diǎn)P是CD的定比分點(diǎn),且CP∶PD＝2∶1,求點(diǎn)P的軌跡.解建立如圖所示坐標(biāo)系(設(shè)C，D在x軸上方）.設(shè)E（t，0）（t為參數(shù),t∈[0，a］)，B（a，0），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（t，2）,\f（t,2））)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（a＋t，2)，\f(a－t,2))）.∵CP∶PD＝2∶1，即λ＝2。由定比分點(diǎn)公式，有eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝\f（\f（t，2)＋2·\f（1,2）（a＋t）,1＋2)＝\f（1,6)(2a＋3t），，y＝\f（\f（t,2)＋2·\f（1，2)(a－t)，1＋2）＝\f(1，6）(2a－t））)t∈[0，a］，這就是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程.習(xí)題2－1(第28頁）1.解以摩托車起飛點(diǎn)為原點(diǎn),水平向前方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,則摩托車飛行軌跡的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝19tcos12°，，y＝19tsin12°－\f（1，2)gt2))(g為重力加速度，時(shí)間t為參數(shù)）2.物體受三個(gè)力的作用;地球?qū)ξ矬w的引力(重力)mg；向上的支撐力F1＝mgcosθ;摩擦力F2＝mgsinθ.3。解以炮彈的出發(fā)點(diǎn)為原點(diǎn)，水平向前方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則炮彈的彈道軌跡的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝v0tcosα，,y＝v0tsinα－\f（1,2)gt2）)（g為重力加速度，時(shí)間t為參數(shù))。§2直線和圓錐曲線的參數(shù)方程2.1直線的參數(shù)方程2。2圓的參數(shù)方程1.直線的參數(shù)方程(1）經(jīng)過點(diǎn)P（x0，y0)、傾斜角是α的直線的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα））(t為參數(shù)）①其中M(x,y)為直線上的任意一點(diǎn)，參數(shù)t的幾何意義是從點(diǎn)P到M的位移,可以用有向線段eq\o(PM,\s\up6（→））的數(shù)量來表示。（2）經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)Q（x1，y1），P(x2，y2）(其中x1≠x2)的直線的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝\f（x1＋λx2,1＋λ)，，y＝\f(y1＋λy2，1＋λ）))（λ為參數(shù),λ≠－1).其中M（x，y）為直線上的任意一點(diǎn)，參數(shù)λ的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)M分有向線段eq\o(QP,\s\up6（→））的數(shù)量比eq\f（QM,MP)。當(dāng)λ＞0時(shí),M為內(nèi)分點(diǎn)；當(dāng)λ＜0且λ≠－1時(shí)，M為外分點(diǎn)；當(dāng)λ＝0時(shí)，點(diǎn)M與Q重合。2。圓的參數(shù)方程(1）圓心在原點(diǎn)、半徑為r的圓的參數(shù)方程eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝rcosα，，y＝rsinα)）(α為參數(shù)）。參數(shù)α的幾何意義是OP與x軸正方向的夾角.（2)去掉圓與x軸負(fù)半軸交點(diǎn),圓心在原點(diǎn)、半徑為r的圓的參數(shù)方程。eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(（1－k2）r,1＋k2)，,y＝\f（2kr,1＋k2）)）（k為參數(shù))參數(shù)k的幾何意義是直線AP的斜率。【思維導(dǎo)圖】【知能要點(diǎn)】1.直線的參數(shù)方程。2.直線的參數(shù)方程的應(yīng)用。3。圓的參數(shù)方程及應(yīng)用。題型一直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(α為參數(shù)）中,α，x0，y0都是常數(shù)，對(duì)于同一直線,選取的參數(shù)不同，會(huì)得到不同的參數(shù)方程.對(duì)于直線普通方程y＝2x＋1，如果令x＝t,可得到參數(shù)方程eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝t，，y＝2t＋1）)(t為參數(shù));如果令x＝eq\f(t，2），可得到參數(shù)方程eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝\f(t,2），，y＝t＋1)）（t為參數(shù)）。這樣的參數(shù)方程中的t不具有一定的幾何意義，但是在實(shí)際應(yīng)用中有時(shí)能夠簡(jiǎn)化某些運(yùn)算。例如,動(dòng)點(diǎn)M做勻速直線運(yùn)動(dòng),它在x軸和y軸方向的分速度分別為9和12，點(diǎn)M從A點(diǎn)（1，1)開始運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程.點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程可以直接寫為eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝1＋9t，,y＝1＋12t)）(t為參數(shù)).【例1】設(shè)直線的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋\f（\r（2）,2)t，,y＝\f（\r(2），2)t)）(t為參數(shù)),點(diǎn)P在直線上,且與點(diǎn)M0（－4,0)的距離為eq\r(2），若該直線的參數(shù)方程改寫成eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝－4＋t，，y＝t）)（t為參數(shù)),則在這個(gè)方程中點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的t值為________。解析由|PM0|＝eq\r(2）知t＝±eq\r(2）,代入第一個(gè)參數(shù)方程，得點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為(－3,1)或(－5，－1)，再把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入第二個(gè)參數(shù)方程可得t＝1或t＝－1。答案±1【反思感悟】直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式中的參數(shù)具有相應(yīng)的幾何意義，本題正是使用了其幾何意義,簡(jiǎn)化了運(yùn)算，這也正是直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式的優(yōu)越性所在。1.已知直線l的方程為3x－4y＋1＝0,點(diǎn)P（1,1）在直線l上，寫出直線l的參數(shù)方程，并求點(diǎn)P到點(diǎn)M(5,4）和點(diǎn)N(－2，6)的距離。解由直線方程3x－4y＋1＝0可知,直線的斜率為eq\f(3，4）,設(shè)直線的傾斜角為α，則tanα＝eq\f（3,4)，sinα＝eq\f（3,5）,cosα＝eq\f(4，5）。又點(diǎn)P（1，1）在直線l上,所以直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(4,5)t，，y＝1＋\f(3,5）t))（t為參數(shù)).因?yàn)?×5－4×4＋1＝0，所以點(diǎn)M在直線l上。由1＋eq\f(4，5)t＝5，得t＝5，即點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離為5.因?yàn)辄c(diǎn)N不在直線l上，故根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，可得|PN｜＝eq\r((1＋2）2＋(1－6）2)＝eq\r(34).【例2】已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1,1）,傾斜角α＝eq\f（π，6）,(1）寫出直線l的參數(shù)方程；（2)設(shè)l與圓x2＋y2＝4相交于兩點(diǎn)A、B，求點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積。解（1）直線的參數(shù)方程是eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f（\r（3），2）t,，y＝1＋\f(1，2）t)）(t是參數(shù))。(2）因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在直線l上,所以可設(shè)它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1和t2，則點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為Aeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1＋\f（\r（3)，2)t1，1＋\f（1,2）t1）),Beq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f（\r（3），2)t2,1＋\f(1，2)t2)）。以直線l的參數(shù)方程代入圓的方程x2＋y2＝4，整理得到t2＋（eq\r(3）＋1）t－2＝0.①因?yàn)閠1和t2是方程①的解,從而t1t2＝－2。所以|PA|·｜PB｜＝|t1t2|＝|－2|＝2。【反思感悟】本題P到A、B兩點(diǎn)的距離就是參數(shù)方程中t的兩個(gè)值，可以充分利用參數(shù)的幾何意義.2。已知直線l:eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)＋\f（\r（3)，2）t,，y＝2＋\f(1，2)t)）（t為參數(shù)）。（1）分別求t＝0，2，－2時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M（x，y)；（2）求直線l的傾斜角；(3)求直線l上的點(diǎn)M（－3eq\r（3)，0)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t,并說明t的幾何意義.解(1)由直線l：eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝－\r(3)＋\f(\r(3），2）t,，y＝2＋\f（1,2）t))（t為參數(shù))知當(dāng)t＝0，2，－2時(shí)，分別對(duì)應(yīng)直線l上的點(diǎn)（－eq\r(3)，2)，（0，3），(－2eq\r(3)，1)。（2）法一化直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝－\r(3）＋\f（\r（3)，2)t,，y＝2＋\f(1,2）t）)（t為參數(shù)）為普通方程為y－2＝eq\f（\r（3），3)(x＋eq\r（3）)，其中k＝tanα＝eq\f(\r(3）,3）,0≤α<π.∴直線l的傾斜角α＝eq\f（π，6).法二由于直線l:eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝－\r（3)＋tcos\f（π,6)，，y＝2＋tsin\f(π,6))）(t為參數(shù)），這是過點(diǎn)M0(－eq\r(3)，2),且傾斜角α＝eq\f(π，6)的直線,故eq\f（π，6）為所求.(3）由上述可知直線l的單位方向向量e＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(cos\f（π,6）,sin\f（π，6)))＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（\r(3),2),\f（1，2））).∵M(jìn)0（－eq\r（3），2)，M（－3eq\r（3),0），∴eq\o(M0M,\s\up6(→）)＝(－2eq\r（3），－2)＝－4eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r(3)，2)，\f（1，2）)）＝－4e，∴點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)t＝－4,幾何意義為|eq\o（M0M,\s\up6（→)）｜＝4，且eq\o（M0M，\s\up6(→）)與e方向相反(即點(diǎn)M在直線l上點(diǎn)M0的左下方）.題型二直線參數(shù)方程的應(yīng)用利用直線的參數(shù)方程，可以求一些距離問題，特別是求直線上某一定點(diǎn)與曲線交點(diǎn)距離時(shí)使用參數(shù)的幾何意義更為方便?！纠?】過點(diǎn)Peq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r（10），2）,0））作傾斜角為α的直線與曲線x2＋12y2＝1交于點(diǎn)M，N,求|PM｜·|PN|的最小值及相應(yīng)的α的值.解設(shè)直線為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝\f(\r(10),2)＋tcosα，，y＝tsinα））(t為參數(shù)),代入曲線并整理得(1＋11sin2α)t2＋(eq\r（10)cosα）t＋eq\f（3，2)＝0.則｜PM|·｜PN｜＝|t1t2|＝eq\f(\f（3，2），1＋11sin2α)。所以當(dāng)sin2α＝1時(shí)，即α＝eq\f（π，2)，｜PM｜·|PN|的最小值為eq\f（1,8),此時(shí)α＝eq\f（π，2）.【反思感悟】利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，將最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域，利用三角函數(shù)的有界性解決。3。已知曲線的參數(shù)方程eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，，y＝2sinθ)）（θ為參數(shù)），求曲線上一點(diǎn)P到直線eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝2－3t，,y＝2＋2t）)（t為參數(shù))的最短距離.解P(3cosθ，2sinθ)直線：2x＋3y－10＝0d＝eq\f（｜6cosθ＋6sinθ－10|,\r（13)）＝eq\f(|6\r（2)sin\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π，4)）)－10|,\r(13)）6eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))）－10∈[－6eq\r(2)－10,6eq\r（2）－10］∴eq\f（|6\r（2)sin\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π，4)）)－10|,\r（13））∈eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f(10－6\r(2)，\r(13）），\f(10＋6\r(2),\r(13）)）)∴dmin＝eq\f（10－6\r(2),\r(13）).【例4】如圖所示，過不在橢圓eq\f（x2,a2)＋eq\f(y2,b2）＝1上的任一點(diǎn)P作兩條直線l1，l2分別交橢圓于A,B和C，D四點(diǎn),若l1，l2的傾斜角為α，β且滿足α＋β＝π。求證：A，B，C,D四點(diǎn)共圓。證明設(shè)P（x0，y0)，直線l1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα））（t為參數(shù)）,直線l2：eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝x0＋pcosβ，，y＝y(tǒng)0＋psinβ）)（p為參數(shù)），分別代入橢圓方程得(b2cos2α＋a2sin2α）t2＋2（b2x0cosα＋a2y0sinα）t＋b2xeq\o\al（2，0）＋a2yeq\o\al（2,0）－a2b2＝0;（b2cos2β＋a2sin2β）p2＋2(b2x0cosβ＋a2y0sinβ）p＋b2xeq\o\al(2,0）＋a2yeq\o\al(2,0）－a2b2＝0。∵α＋β＝π，∴cos2α＝cos2β，sin2α＝sin2β,∴t1t2＝p1p2,即｜PA｜·|PB|＝|PC|·|PD|。由平面幾何知識(shí)知，A，B,C，D四點(diǎn)共圓.【反思感悟】本題利用平面幾何知識(shí)，要證四點(diǎn)A，B,C，D共圓，只需證|PA｜·|PB｜＝｜PC|·|PD｜，又轉(zhuǎn)化為距離問題，利用參數(shù)的幾何意義計(jì)算即可。4。直線l通過P0（－4，0），傾斜角α＝eq\f（π，6)，l與圓x2＋y2＝7相交于A，B兩點(diǎn).(1)求弦長|AB|；(2）過P0作圓的切線，求切線長；（3)求|P0A|和｜P0B｜的長；（4）求交點(diǎn)A，B的坐標(biāo).解∵直線l通過P0(－4，0），傾斜角α＝eq\f（π，6），所以可設(shè)直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝－4＋\f（\r(3），2)t，,y＝\f(t，2）,））代入圓方程，得eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－4＋\f（\r(3)，2）t)）eq\s\up12(2）＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)t)）eq\s\up12(2）＝7，整理得t2－4eq\r(3）t＋9＝0.（1)設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1和t2，由根與系數(shù)的關(guān)系得t1＋t2＝4eq\r(3），t1t2＝9,∴｜AB｜＝|t2－t1|＝eq\r（(t1＋t2）2－4t1t2）＝2eq\r（3）.(2)設(shè)過P0的切線為P0T,切點(diǎn)為T，則｜P0T|2＝|P0A｜·|P0B|＝｜t1t2｜＝9，∴切線長|P0T|＝3。(3)解方程t2－4eq\r(3)t＋9＝0，得t1＝3eq\r(3),t2＝eq\r（3），∴｜P0A|＝3eq\r（3），|P0B|＝eq\r（3).(4）將t1＝3eq\r(3)，t2＝eq\r（3)代入直線參數(shù)方程eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝－4＋\f（\r（3)，2）t，,y＝\f(t，2），）)得A點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f（3\r(3),2））),B點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(5,2），\f（\r（3),2)）)。題型三圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用如果取半徑繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)過的角度θ為參數(shù)，圓x2＋y2＝r2對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝rcosθ，,y＝rsinθ.))同理，圓（x－x0）2＋（y－y0）2＝r2對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程為eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝x0＋rcosθ，，y＝y(tǒng)0＋rsinθ))(θ為參數(shù)）。圓的參數(shù)方程對(duì)于需要將圓上點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)分別表示,代入計(jì)算的問題比較方便?！纠?】圓的直徑AB上有兩點(diǎn)C、D，且｜AB|＝10，|AC｜＝|BD｜＝4，P為圓上一點(diǎn)，求｜PC|＋|PD|的最大值.分析本題應(yīng)考慮數(shù)形結(jié)合的方法,因此需要先建立平面直角坐標(biāo)系.將P點(diǎn)坐標(biāo)用圓的參數(shù)方程的形式表示出來,θ為參數(shù)，那么|PC|＋|PD｜就可以用只含有θ的式子來表示，再利用三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)計(jì)算出最大值。解以AB所在直線為x軸,以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)閨AB｜＝10，所以圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5cosθ，,y＝5sinθ）)(θ為參數(shù)）。因?yàn)椋麬C｜＝｜BD｜＝4,所以C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為C(－1，0），D（1，0).因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5cosθ,5sinθ).所以｜PC|＋｜PD｜＝eq\r(（5cosθ＋1）2＋(5sinθ）2）＋eq\r（（5cosθ－1)2＋（5sinθ)2）＝eq\r（26＋10cosθ)＋eq\r（26－10cosθ)＝eq\r((\r(26＋10cosθ)＋\r(26－10cosθ）)2）＝eq\r（52＋2\r（262－100cos2θ））.當(dāng)cosθ＝0時(shí)，（｜PC｜＋|PD|）max＝eq\r（52＋52）＝2eq\r（26).∴|PC｜＋｜PD｜的最大值為2eq\r（26）.【反思感悟】解題時(shí)將所求式子和圖形聯(lián)系起來，利用圓的參數(shù)方程表示P點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合三角函數(shù)的值域進(jìn)行計(jì)算。5。已知實(shí)數(shù)x，y滿足（x－1)2＋（y－1）2＝9，求x2＋y2的最大值和最小值。解由已知，可把點(diǎn)（x，y)視為圓(x－1)2＋（y－1)2＝9上的點(diǎn)，設(shè)eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝1＋3cosθ,，y＝1＋3sinθ))（θ為參數(shù))。則x2＋y2＝(1＋3cosθ）2＋（1＋3sinθ）2＝11＋6（sinθ＋cosθ)＝11＋6eq\r（2）sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π,4）））∵－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f（π，4)））≤1，∴11－6eq\r(2）≤x2＋y2≤11＋6eq\r(2).∴x2＋y2的最大值為11＋6eq\r(2)，最小值為11－6eq\r（2)。1.求直線l1:eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝1＋t，，y＝－5＋\r(3)t））(t為參數(shù))和直線l2：x－y－2eq\r（3）＝0的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，及點(diǎn)P與Q（1，－5）的距離.解將eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝1＋t，，y＝－5＋\r(3)t））代入x－y－2eq\r(3)＝0,得t＝2eq\r（3），∴P（1＋2eq\r（3），1），而Q（1,－5)，得｜PQ|＝eq\r((2\r（3)）2＋62)＝4eq\r(3）.2。已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝a－2t，，y＝－4t））(t為參數(shù)），圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝4cosθ，，y＝4sinθ))（θ為參數(shù))。(1）求直線l和圓C的普通方程；(2）若直線l與圓C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解（1）直線l的普通方程為2x－y－2a＝0,圓C的普通方程為x2＋y2＝16.（2)因?yàn)橹本€l與圓C有公共點(diǎn)，故圓C的圓心到直線l的距離d＝eq\f（|－2a｜,\r(5）)≤4，解得－2eq\r(5）≤a≤2eq\r(5).3.已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上且長軸長為4，短軸長為2,直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝t,,y＝m＋2t)）（t為參數(shù)）.當(dāng)m為何值時(shí)，直線l被橢圓截得的弦長為eq\r(6）？解橢圓方程為eq\f（y2,4）＋x2＝1,化直線參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝t，,y＝m＋2t））為eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝\f（\r(5)，5)t′，，y＝m＋\f（2\r(5),5）t′））（t′為參數(shù))。代入橢圓方程得eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(m＋\f（2\r(5)，5）t′）)eq\s\up12(2）＋4eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r（5），5)t′)）eq\s\up12(2)＝4?8t′2＋4eq\r（5)mt′＋5m2－20＝0.當(dāng)Δ＝80m2－160m2＋640＝640－80m2〉0，即－2eq\r（2）〈m〈2eq\r（2），方程有兩不等實(shí)根t′1、t′2，則弦長為|t′1－t′2｜＝eq\r（（t′1＋t′2）2－4t′1t′2)＝eq\f（\r（640－80m2),8），依題意知eq\f(\r（640－80m2）,8）＝eq\r（6）,解得m＝±eq\f（4\r(5)，5）.[P30思考交流]1。經(jīng)過兩點(diǎn)Q（1，1）,P(4，3)的直線的參數(shù)方程。如果應(yīng)用共線向量的充要條件來求，方程及參數(shù)的含義分別是什么?答在直線PQ上任取一點(diǎn)M(x，y）,eq\o(PM，\s\up6(→))＝(x－1，y－1），eq\o（QM,\s\up6(→))＝(x－4,y－3),∵P、Q、M三點(diǎn)共線，∴eq\o(PM，\s\up6（→）)∥eq\o（QM,\s\up6(→）)，∴eq\o（PM,\s\up6（→)）＝teq\o(QM，\s\up6(→)）,eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x－1＝t（x－4)，,y－1＝t（y－3），））化簡(jiǎn)為eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝\f（1－4t，1－t)，，y＝\f(1－3t，1－t），）)此即為過P、Q兩點(diǎn)的直線的參數(shù)方程。參數(shù)t的含義是有向線段eq\o（PM，\s\up6(→））、eq\o（QM，\s\up6(→））的比值.2.比較直線的參數(shù)方程與普通方程體會(huì)各自的優(yōu)勢(shì)。答直線的普通方程直觀地反映了變量x、y之間的關(guān)系,方程是唯一的.直線的參數(shù)方程中反映了變量x、y分別隨參數(shù)的變化而變化的規(guī)律。方程是不唯一的，隨參數(shù)的選取而有所不同。[P33思考交流]給定參數(shù)方程eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosα，，y＝b＋rsinα))其中a、b是常數(shù).討論下列問題：(1）如果r是常數(shù)，α是參數(shù)，那么參數(shù)方程表示的曲線是什么？(2)如果α是常數(shù),r是參數(shù)，那么參數(shù)方程表示的曲線是什么？答(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝a＋rcosα，,y＝b＋rsinα)）?eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x－a＝rcosα,，y－b＝rsinα))eq\a\vs4\al（\o(=，\s\up7(消掉參數(shù)α)）>)(x－a）2＋(y－b）2＝r2。其中r為常數(shù)，表示以（a，b）為圓心，r為半徑的圓。（2）eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosα，，y＝b＋rsinα）)?eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x－a＝rcosα，，y－b＝rsinα））eq\a\vs4\al(\o(=，\s\up7（消掉參數(shù)t）)>)eq\f（x－a，y－b）＝tanα。整理得x－tanα·y＋b·tanα－a＝0，其中a、b、tanα為常數(shù)。方程為過點(diǎn)（a,b）,斜率為eq\f(1,tanα）的直線。【規(guī)律方法總結(jié)】1.利用直線的參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，，y＝y(tǒng)0＋tsinα))(α為參數(shù)）中參數(shù)的幾何意義，在解決直線與曲線交點(diǎn)問題時(shí)，可以方便地求出相應(yīng)的距離。2.直線的參數(shù)方程有不同的形式，可以允許參數(shù)t沒有明顯的幾何意義，在直線與圓錐曲線的問題中，利用參數(shù)方程有時(shí)可以簡(jiǎn)化計(jì)算。一、選擇題1.若直線的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t,，y＝2－3t)）（t為參數(shù)），則直線的斜率為(）A.eq\f(2,3) B.－eq\f（2，3）C.eq\f（3，2） D。－eq\f(3，2）解析k＝eq\f（y－2,x－1）＝－eq\f（3t，2t)＝－eq\f（3,2）。答案D2.曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋cosθ，,y＝2＋sinθ))（θ為參數(shù))的對(duì)稱中心（）A.在直線y＝2x上 B。在直線y＝－2x上C.在直線y＝x－1上 D。在直線y＝x＋1上解析消去參數(shù)θ，將參數(shù)方程化為普通方程.曲線可化為(x＋1）2＋（y－2）2＝1，其對(duì)稱中心為圓心（－1，2），該點(diǎn)在直線y＝－2x上，故選B.答案B3.直線eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝1＋\f(1,2)t，，y＝－3\r(3）＋\f(\r（3),2)t))（t為參數(shù)）和圓x2＋y2＝16交于A,B兩點(diǎn),則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(）A.（3，－3） B。（－eq\r(3)，3）C.（eq\r(3)，－3） D.（3，－eq\r（3))解析eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f(1，2)t))eq\s\up12（2)＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－3\r（3)＋\f(\r(3）,2)t)）eq\s\up12（2)＝16，得t2－8t＋12＝0，t1＋t2＝8，eq\f(t1＋t2，2）＝4，中點(diǎn)為eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)×4，，y＝－3\r（3）＋\f（\r（3),2）×4，））?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－\r(3）。))答案D4。以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，，y＝t－3）)（t為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cosθ，則直線l被圓C截得的弦長為（）A.eq\r(14) B。2eq\r(14）C。eq\r(2） D。2eq\r(2）解析直線l的參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝t＋1，，y＝t－3))（t為參數(shù)）化為直角坐標(biāo)方程是y＝x－4，圓C的極坐標(biāo)方程ρ＝4cosθ化為直角坐標(biāo)方程是x2＋y2－4x＝0.圓C的圓心(2，0）到直線x－y－4＝0的距離為d＝eq\f（2，\r（2)）＝eq\r（2）。又圓C的半徑r＝2，因此直線l被圓C截得的弦長為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2）.故選D。答案D5.直線eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝tcosα，，y＝tsinα)）(t為參數(shù)）與圓eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝4＋2cosθ，,y＝2sinθ)）（θ為參數(shù))相切，則直線的傾斜角為(）A。eq\f(π,6）或eq\f（5π,6） B。eq\f（π,4）或eq\f（5π,6)C.eq\f(π，3）或eq\f（2π,3） D.－eq\f（π，6)或－eq\f（5π,6）解析直線方程為y＝tanα·x,圓為：（x－4)2＋y2＝4，利用圖形可知直線的傾斜角為eq\f(π，6）或eq\f（5，6)π.答案A二、填空題6.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝2＋\f(\r（2),2）t，，y＝1＋\f（\r（2),2)t))（t為參數(shù)）的普通方程為________.解析∵x＝2＋eq\f（\r（2)，2)t，∴eq\f（\r(2），2）t＝x－2,代入y＝1＋eq\f(\r（2),2）t，得y＝x－1，即x－y－1＝0.答案x－y－1＝07。直線eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝2－\f(1，2)t，,y＝－1＋\f(1，2)t））（t為參數(shù))被圓x2＋y2＝4截得的弦長為________。解析直線為x＋y－1＝0，圓心到直線的距離d＝eq\f(1，\r(2))＝eq\f（\r(2)，2),弦長d＝2eq\r（22－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（\r（2)，2））)\s\up12（2)）＝eq\r(14）.答案eq\r(14）8。經(jīng)過點(diǎn)P(1，0），斜率為eq\f(3，4)的直線和拋物線y2＝x交于A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為________。解析直線的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝1＋\f(4，5）t,,y＝\f（3，5)t)）(t是參數(shù))，代入拋物線方程得9t2－20t－25＝0.∴中點(diǎn)M的相應(yīng)參數(shù)為t＝eq\f（1,2）×eq\f（20，9）＝eq\f（10,9)?！帱c(diǎn)M的坐標(biāo)是eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(17,9），\f(2，3)））.答案eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(17，9)，\f（2，3）)）9.在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(sinθ－3cosθ）＝0,曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝t－\f（1，t)，，y＝t＋\f（1,t))）（t為參數(shù)），l與C相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________。解析化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程,化參數(shù)方程為普通方程，聯(lián)立直線l和曲線C的方程，求出交點(diǎn)A,B的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的距離公式求解。由ρ（sinθ－3cosθ）＝0，得ρsinθ＝3ρcosθ,則y＝3x.由eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝t－\f(1,t)，，y＝t＋\f（1,t），))得y2－x2＝4。由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（y＝3x，，y2－x2＝4，))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f（\r（2),2），，y＝\f(3\r（2）,2))）或eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝－\f（\r（2）,2），,y＝－\f（3\r（2)，2)，))不妨設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r（2），2），\f(3\r(2）,2））)，則Beq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(\r(2),2），－\f(3\r（2），2））)，故|AB｜＝eq\r（\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（\r(2)，2)－\f(\r(2），2)））\s\up12（2)＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(2),2）－\f(3\r(2）,2)))\s\up12(2））＝2eq\r（5）.答案2eq\r（5）三、解答題10.直線過點(diǎn)A（1,3），且與向量（2，－4）共線.（1)寫出該直線的參數(shù)方程；(2)求點(diǎn)P(－2,－1）到此直線的距離.解(1)設(shè)直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則(x，y）＝（1，3）＋t(2，－4)?！嘀本€的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝3－4t.）)(2)將參數(shù)方程化為普通方程為2x＋y－5＝0，則eq\f（|－4－1－5｜,\r（5)）＝2eq\r(5），∴點(diǎn)P(－2，－1）到此直線的距離是2eq\r(5).11。經(jīng)過點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－3，－\f(3,2))）,傾斜角為α的直線l與圓x2＋y2＝25相交于B，C兩點(diǎn)。（1)求弦BC的長；(2)當(dāng)A恰為BC的中點(diǎn)時(shí)，求直線BC的方程；(3)當(dāng)|BC|＝8時(shí)，求直線BC的方程；（4)當(dāng)α變化時(shí),求動(dòng)弦BC的中點(diǎn)M的軌跡方程。解取AP＝t為參數(shù)（P為l上的動(dòng)點(diǎn)),則l的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝－3＋tcosα，，y＝－\f(3,2)＋tsinα，))代入x2＋y2＝25，整理，得t2－3（2cosα＋sinα）t－eq\f(55，4）＝0?！擀ぃ?(2cosα＋sinα)2＋55>0恒成立?！喾匠瘫赜邢喈悆蓪?shí)根t1，t2,且t1＋t2＝3（2cosα＋sinα),t1·t2＝－eq\f（55,4)。（1）｜BC｜＝|t1－t2|＝eq\r（（t1＋t2)2－4t1t2）＝eq\r(9（2cosα＋sinα）2＋55)。（2)∵A為BC中點(diǎn)，∴t1＋t2＝0,即2cosα＋sinα＝0，∴tanα＝－2。故直線BC的方程為y＋eq\f（3,2)＝－2(x＋3)，即4x＋2y＋15＝0。（3)∵|BC｜＝eq\r（9（2cosα＋sinα）2＋55）＝8，∴（2cosα＋sinα)2＝1，∴cosα＝0或tanα＝－eq\f（3，4）.∴直線BC的方程是x＝－3或3x＋4y＋15＝0。（4）∵BC的中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)是t＝eq\f(t1＋t2,2)＝eq\f(3，2)（2cosα＋sinα)，∴點(diǎn)M的軌跡方程為eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝－3＋\f（3,2）cosα（2cosα＋sinα），,y＝－\f（3,2)＋\f（3，2)sinα（2cosα＋sinα）））（0≤α〈π），∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＋\f(3，2）＝\f(3,2）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2α＋\f(1,2)sin2α))，，y＋\f（3，4)＝\f(3，2）\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（sin2α－\f（1，2）cos2α）).))∴eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（3，2）)）eq\s\up12(2）＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(y＋\f（3,4)））eq\s\up12（2）＝eq\f(45，16）。即點(diǎn)M的軌跡是以eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（3，2)，－\f（3，4）））為圓心，以eq\f(3\r(5),4)為半徑的圓。2.3橢圓的參數(shù)方程2。4雙曲線的參數(shù)方程1。橢圓的參數(shù)方程(1）橢圓eq\f(x2，a2)＋eq\f(y2，b2）＝1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝acosφ，,y＝bsinφ）)(φ為參數(shù))，參數(shù)的幾何意義是以a為半徑所作圓上一點(diǎn)和橢圓中心的連線與x軸正半軸的夾角.(2)中心在C（x0，y0）的橢圓的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋acosφ，，y＝y(tǒng)0＋bsinφ)）(φ為參數(shù)).2。雙曲線的參數(shù)方程中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線eq\f(x2，a2）－eq\f(y2,b2)＝1的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝\f（a，cosφ),,y＝btanφ）)(φ為參數(shù)),規(guī)定φ的取值范圍為φ∈［0，2π)且φ≠eq\f(π,2)，φ≠eq\f（3，2）π.【思維導(dǎo)圖】【知能要點(diǎn)】1.橢圓的參數(shù)方程.2.雙曲線的參數(shù)方程。題型一橢圓的參數(shù)方程1。和圓的參數(shù)方程eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝rcosθ，,y＝rsinθ））中的參數(shù)θ是半徑OM的旋轉(zhuǎn)角不同，橢圓參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))中的參數(shù)φ是橢圓上點(diǎn)M的離心角.2。橢圓eq\f（（x－m）2，a2)＋eq\f（（y－n）2,b2)＝1（a〉b>0)的參數(shù)方程為eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝m＋acosφ，，y＝n＋bsinφ）)（φ為參數(shù)）.【例1】已知A、B分別是橢圓eq\f（x2，36)＋eq\f（y2,9）＝1的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C在該橢圓上運(yùn)動(dòng),求△ABC的重心G的軌跡的普通方程。解由動(dòng)點(diǎn)C在該橢圓上運(yùn)動(dòng)，故據(jù)此可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6cosθ,3sinθ)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(x,y)，則由題意可知點(diǎn)A(6，0)，B（0，3).由重心坐標(biāo)公式可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝\f（6＋0＋6cosθ,3)＝2＋2cosθ，,y＝\f(0＋3＋3sinθ，3）＝1＋sinθ。））由此消去θ得到eq\f（（x－2）2,4）＋（y－1)2＝1即為所求?！痉此几形颉勘绢}的解法體現(xiàn)了橢圓的參數(shù)方程對(duì)于解決相關(guān)問題的優(yōu)越性。運(yùn)用參數(shù)方程顯得很簡(jiǎn)單，運(yùn)算更簡(jiǎn)便.1.設(shè)F1、F2分別為橢圓C：eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2,b2)＝1(a〉b〉0)的左、右焦點(diǎn).(1）若橢圓C上的點(diǎn)Aeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1，\f（3，2)))到F1、F2距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)P是(1）中橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段F1P的中點(diǎn)的軌跡方程.解(1）由橢圓上點(diǎn)A到F1、F2的距離之和是4，得2a＝4，即a＝2。又點(diǎn)Aeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1，\f(3,2））)在橢圓上,因此eq\f（1,4）＋eq\f（\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3，2)））\s\up12（2)，b2)＝1,得b2＝3，于是c2＝a2－b2＝1,所以橢圓C的方程為eq\f（x2,4)＋eq\f(y2,3）＝1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1（－1，0），F(xiàn)2(1,0)。（2）設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cosθ，eq\r(3)sinθ),線段F1P的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y），則x＝eq\f（2cosθ－1,2），y＝eq\f（\r(3）sinθ＋0,2)，所以x＋eq\f(1，2)＝cosθ,eq\f(2y,\r(3)）＝sinθ。消去θ，得eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f(1,2)））eq\s\up12(2）＋eq\f(4y2,3)＝1，這就是線段F1P的中點(diǎn)的軌跡方程.題型二雙曲線的參數(shù)方程與橢圓類似,雙曲線的參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝\f（a,cosφ），，y＝btanφ))(φ為參數(shù)）中φ的幾何意義也是雙曲線上一點(diǎn)M的離心角?！纠?】直線AB過雙曲線eq\f（x2,a2)－eq\f（y2,b2）＝1的中心O，與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，P是雙曲線上的任意一點(diǎn)。求證：直線PA，PB的斜率的乘積為定值.證明如圖所示，設(shè)Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,cosα)，btanα))，Aeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(a,cosθ），btanθ））.∵AB過原點(diǎn)O，∴A,B的坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,于是有Beq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（a，cosθ），－btanθ)）,從而:kPA·kPB＝eq\f(b（tanα－tanθ),a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，cosα）－\f（1，cosθ)）)）·eq\f(b（tanα＋tanθ）,a\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，cosα)＋\f(1,cosθ))）)＝eq\f(b2（tan2α－tan2θ），a2\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，cos2α)－\f(1，cos2θ)）))＝eq\f（b2,a2）為定值.【反思感悟】本例的求解充分利用了雙曲線的參數(shù)方程。一般地，當(dāng)與二次曲線上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)時(shí)，可將動(dòng)點(diǎn)用參數(shù)形式表示,從而將x,y都表示為某角θ的函數(shù)，運(yùn)用三角知識(shí)求解，可大大減少運(yùn)算量，收到事半功倍的效果。2.如圖所示,設(shè)M為雙曲線eq\f（x2,a2)－eq\f(y2,b2）＝1（a，b＞0）上任意一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，過點(diǎn)M作雙曲線兩漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于A，B兩點(diǎn).探求平行四邊形MAOB的面積，由此可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？解雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f（b，a)x.不妨設(shè)M為雙曲線右支上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,cosφ)，btanφ）)，則直線MA的方程為y－btanφ＝－eq\f（b,a）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f（a，cosφ)）)。①將y＝eq\f(b，a)x代入①，解得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為xA＝eq\f（a，2)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,cosφ）－tanφ)）。同理可得，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為xB＝eq\f（a，2）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，cosφ）－tanφ）)。設(shè)∠AOx＝a，則tanα＝eq\f(b，a)。所以,?MAOB的面積為S?MAOB＝|OA|·|OB|sin2α＝eq\f(xA，cosα)·eq\f（xB,cosα）·sin2α＝eq\f(a2\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，cos2φ）－tan2φ)），4cos2α）·sin2α＝eq\f（a2,2)·tanα＝eq\f(a2,2)·eq\f（b，a)＝eq\f（ab,2)。由此可見，平行四邊形MAOB的面積恒為定值，與點(diǎn)M在雙曲線上的位置無關(guān).題型三參數(shù)方程的應(yīng)用若曲線的參數(shù)方程eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝2pt2，,y＝2pt))（t為參數(shù)），由于eq\f（y,x)＝eq\f(1，t），因此t的幾何意義是曲線上的點(diǎn)(除頂點(diǎn)外)與曲線的頂點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù).【例3】設(shè)飛機(jī)以勻速v＝150m/s做水平飛行,若在飛行高度h＝588m處投彈（假設(shè)炸彈的初速度等于飛機(jī)的速度）。（1）求炸彈離開飛機(jī)后的軌跡方程;（2）試問飛機(jī)在離目標(biāo)多遠(yuǎn)（水平距離)處投彈才能命中目標(biāo)。分析這是物理學(xué)中的平拋運(yùn)動(dòng)，選擇合理的參變量將炸彈（看作質(zhì)點(diǎn))的水平方向和豎直方向的運(yùn)動(dòng)表示出來.解(1）如圖所示，A為投彈點(diǎn)，坐標(biāo)為（0，588)，B為目標(biāo)，坐標(biāo)為（x0，0).記炸彈飛行的時(shí)間為t，在A點(diǎn)t＝0。設(shè)M（x，y）為飛行曲線上的任一點(diǎn),它對(duì)應(yīng)時(shí)刻t，炸彈初速度v0＝150m/s，用物理學(xué)知識(shí)，分別計(jì)算水平、豎直方向的路程,得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝v0t，,y＝588－\f（1,2)gt2))（g＝9.8m/s2）,即eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝150t，,y＝588－4。9t2，）)這是炸彈飛行曲線的參數(shù)方程。(2)炸彈飛行到地面目標(biāo)B處的時(shí)間t0滿足方程y＝0，即588－4。9t2＝0,解得t0＝2eq\r（30)。由此得x0＝150×2eq\r(30)＝300eq\r(30)≈1643（m).即飛機(jī)在離目標(biāo)約1643m(水平距離)處投彈才能擊中目標(biāo)。【反思感悟】準(zhǔn)確把握題意，分析物理學(xué)中運(yùn)動(dòng)過程，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系及變量,將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。利用拋物線的參數(shù)方程解決。3。青海省玉樹縣發(fā)生7.1級(jí)地震,災(zāi)區(qū)人民的安危牽動(dòng)著全國人民的心,一批批救援物資源源不斷地運(yùn)往