九年級圓的概念與性質(zhì)及垂徑定理

11圓的基本概念和性質(zhì)及垂徑定理仁為什么直徑是圓中最長的弦？如圖，AB是00的直徑，CD是00中任意一條弦，求證：AB>CD.2?如圖所示，BD,CE是二ABC2?如圖所示，BD,CE是二ABC的髙，求證：E,B,C,D四點在同一個圓上.ES3?點A、0、D與點B、0、C分別在同一直線上，圖中弦的條數(shù)為（）34EDC34EDC車輪為什么要做成圓形？能不能做成別的形狀，比如三角形.四邊形等?（元調(diào)）車輪要做成圓形，實際上就是根據(jù)圓的特征（）同弧所對的圓周角相等直徑是圓中最長的弦圓上各點到圓心的距離相等圓是中心對稱圖形知識點一(圓的基本概念和性質(zhì))【知識梳理】一、圓的定義及性質(zhì)1.圓的定義(1)動態(tài)：如圖，在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固左的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固立的端點0叫做圓心，線段0A叫做半徑?以點0為圓心的圓，記作90”，讀作“圓0”.(2)靜態(tài)：圓心為0,半徑為r的圓是平而內(nèi)到泄點O的距離等于迫長r的點的集合.圓的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心；②圓是軸對稱圖形：任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸■或者說，經(jīng)過圓心的任何一條直線都是圓的對稱軸兩圓的性質(zhì)兩個圓組成的圖形是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線(經(jīng)過兩圓圓心的直線叫做兩圓連心線)?二、與圓有關(guān)的概念1.弦弦：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦.直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距?2.弧?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧■以A、B為端點的弧記作篦，讀作“圓弧AB"或AB'半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；優(yōu)弧:大于半圓的弧叫做優(yōu)?。毫踊。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.3.同心圓與等圓圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.4.等弧在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.【例題精講】類型一、圓的定義例仁下列命題中，正確的個數(shù)是（）二直徑是弦，但弦不一定是直徑；二半圓是弧，但弧不一泄是半圓：二半徑相等且圓心不同的兩個圓是等圓；二一條弦把圓分成的兩段弧中，至少有一段是優(yōu)弧.Al個B.2個C.3個D.4個【變式】平行四邊形的四個頂點在同一圓上，則該平行四邊形一泄是（）A.正方形B■菱形C■矩形D■等腰梯形例2?爆破時，導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0?9Cm,點導(dǎo)火索的人需要跑到離爆破點120m以外的安全區(qū)域。這個導(dǎo)火索的長度為18cm,那么點導(dǎo)火索的人每秒鐘跑6.5m是否安全？例3?判斷題（對的打J,錯的打X,并說明理由）半圓是弧，但弧不一定是半圓：（）弦是直徑；（）長度相等的兩段弧是等??；（）直徑是圓中最長的弦.（）【變式1】下列說法中，結(jié)論錯誤的是（）直徑相等的兩個圓是等圓長度相等的兩條弧是等孤圓中最長的弦是直徑一條弦把圓分成兩條狐，這兩條弧可能是等弧例4■直角三角形的三個頂點在0o上，則圓心0在.例5.有的同學(xué)說：“從優(yōu)弧和劣弧的泄義看，大于半圓的弧叫優(yōu)弧，小于半圓的弧叫劣弧，所以優(yōu)弧一泄比劣弧長廣試分析這個觀點是否正確.甲同學(xué)：此觀點正確，因為優(yōu)弧大于半圓，劣弧小于半圓，所以優(yōu)弧比劣弧長.乙同學(xué)：此觀點不正確，如果兩弧存在于半徑不相等的兩個圓中，如圖，00中的優(yōu)弧AmBf°?！械牧踊D它們的長度大小關(guān)系是不確左的，因此不能說優(yōu)弧一上比劣弧長.請你判斷誰的說法正確？【變式】判斷正誤：有AB.CD,AB的長度為3cni,CD的長度為3cm,則AB與CD是等弧?類型三、圓的對稱性例6?已知：如圖，兩個以0為圓心的同心圓中■大圓的弦AB交小圓于C,D.求證：AC=BD.【變式1】平而上的一個點到圓的最小距離是4cm,最大距離是9cm,則圓的半徑是（）?A.2.5cmB.6.5cmC.2.5cm或6.5CmD.5cm或13Cm【變式2】（1）過上的三個點確立一個圓.（2）交通工具上的輪子都是做圓的，這是運(yùn)用了圓的性質(zhì)中的?例7?如圖，G）0的直徑為10,弦AB=8,P是眩AB上的一個動點，那么0P的長的取值范弗|是.【課堂練習(xí)】1?已知：如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點0,求證：點A、B、C、D在以點0為圓心的同一個圓上.D0B7C2.下列說法中，正確的是（）兩個半圓是等弧同圓中優(yōu)呱與半圓的差必是劣弧長度相等的弧是等弧同圓中優(yōu)弧與劣弧的差必是優(yōu)弧3.圓O所在平而上的一點P到圓O上的點的最大距離是10,最小距離是2,求此圓的半徑是多少?已知C）O的4.已知C）O的半徑為13,弦AB二24,P是弦AB上的一個動點，則OP的取值范圍是知識點二（垂徑定理）【知識梳理】知識點一、垂徑定理1.垂徑定理平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.知識點二、垂徑定理的拓展根擄圓的對稱性及垂徑定理還有如下結(jié)論：（1）平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；<3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.【例題精講】類型一、應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計算與證明例1.如圖，AB是00的弦，半徑OC丄AB于點D,且AB=6cm,0D=4cm,則DC的長為（A.5CmB?2?5CmC?2CInD?1Cln【變式1】如圖，C）O中，弦AB丄弦CD于E,且AE=3cimBE=5cn%0求圓心0到弦CD距離。C【變式2】如圖，二0直徑AB和弦CD相交于點E,AE=2,EB=6,ZDEB=30%求弦CD長.例2?如圖，AB為半圓直徑，0為圓心，C為半圓上一點，E是弧AC的中點，0E交弦AC于點D,若AC=8cin,DE=2cm,求0D的長.【變式1】已知：如圖，割線AC與圓0交于點B、C,割線AD過圓心0?若圓0的半徑是5,且ZDAC=30p,AD=13.求弦BC的長.0AC0AC【變式2】在G）0中，直徑MN丄AB,垂足為C,MN=10,AB=8V則MC=例3?如圖1,某公園的一座石拱橋是圓弧形（劣弧），其跨度為24m,拱的半徑為13m,則拱髙為（）B8mC田B8mC田【變式】如圖，某新建公園有一個圓形人工湖，湖中心0處有一座噴泉，小明為測量湖的半徑，在湖邊選擇A、B兩個點，在A處測得匚OAB=45。，在AB延長線上的C處測得二0CA=30°,已知BC=50米，求人工湖的半徑.（結(jié)果保留根號）

例4?如圖是一個半圓形橋洞截而示意圖，圓心為6直徑AB是河底線，弦CD是水位線，CD=AB,且AB=26m.OEZCD于點E水位正常時測得0E：CD=5:24（1）求CD的長；（2）現(xiàn)汛期來臨，水而要以每小時4m的速度上升，則經(jīng)過多長時間橋洞會剛剛被灌滿？【變式】不過圓心的直線/交Oo于C、D兩點，AB是OO的直徑，AE丄/于E,BFJj于F.（1）在下而三個圓中分別畫出滿足上述條件的具有不同位置關(guān)系的圖形：（2）請你觀察（1）中所畫圖形，寫出一個各圖都具有的兩條線段相等的結(jié)論（OA=OB除外）（不再標(biāo)注其他字母，找結(jié)論的過程中所連輔助線不能岀現(xiàn)在結(jié)論中.不寫推理過程）；課堂練習(xí)】

仁如圖，00的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E,仁如圖，00的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E,且AB=CD?已知CE=UEg則0o的半徑)0HO3.已知：C)0的半徑為10CnK弦AB〃CD,AB=12cnKCD=I6cnK求AB.CD間的距離.4?有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖所示，正常水位下水而寬AB=60nu水而到拱頂距離CD=ISm,當(dāng)洪水泛濫時，水而距拱頂不超過3m時拱橋就有危險，現(xiàn)在水而寬MN=32m時是否需要采取緊急措施？請說明理由./IEV-/IEV-%??B1.A■1.A■經(jīng)過圓心的直線是圓的對稱軸B■直徑是圓的對稱軸下列結(jié)論正確的是（）C■與圓相交的直線是圓的對稱軸D■與直徑相交的直線是圓的對稱軸2.垂直于弦的直徑的性質(zhì)定理是.已知00的直徑AB=I2cm,P為0B中點，過P作弦CD與AB相交成30。角，則弦CD的長為（）.A.3>T5cmB.3Vr0cmC.3>5cmD.3VJcm如圖，AB為00的弦，ZA0B=90o,AB=a,貝IJOA=,0點到AB的距離二.5如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度為60米，拱高18米，當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水而只有4米，即PN=4米時是否要采取緊急措施？圓的定義：圓心確龍圓的位垃，半徑確泄圓的大?。捍_龍一個圓應(yīng)先確左圓心，再確怎半徑，二者缺一不可：圓是一條封閉曲線.泄點為圓心，左長為半徑；②圓指的是圓周，而不是圓而：③強(qiáng)調(diào)“在一個平而內(nèi)“是非常必要的，事實上，在空間中，到泄點的距離等于左長的點的集合是球而，一個閉合的曲而.圓的性質(zhì)：①圓有無數(shù)條對稱軸：②因為直徑是弦，弦又是線段，而對稱軸是直線，所以不能說“圓的對稱軸是直徑”,而應(yīng)該說“圓的對稱軸是直徑所在的直線”.與圓相關(guān)的概念：弦：直徑是圓中通過圓心的特殊弦，也是圓中最長的弦，即直徑是弦，但弦不一泄是直徑.<：①半圓是弧，而弧不一定是半圓；②無特殊說明時，弧指的是劣弧.等?。孩俚然〕闪⒌那疤釛l件是在同圓或等圓中，不能忽視：②圓中兩平行弦所夾的弧相等.垂徑定理：（1）垂徑泄理是由兩個條件推出兩個結(jié)論，即

直徑-j平分弦垂直于弦」=i平分弦所對的?。?）這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.注意：在垂徑泄理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出苴他三個結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦“作為題設(shè)時，平分的弦不能是直徑）1.下列命題中錯誤的有（）?（I）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心（I）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心2）平分弦的直徑垂直于弦3）3）梯形的對角線互相平分4）圓的對稱軸是直徑A?1個B.2個C.3個D.4個2-如圖所示，AB是00的直徑，CD是00的弦，AB丄CD于E,則圖中不大于半圓的相等弧有（）.A?1對B.2對C?3對D.4對O3?如圖，已知二0的直徑ABZCD于點E,則下列結(jié)論一定錯誤的是（A.CE=DEB.AE=OED?二A.CE=DEB.AE=OED?二OCEODEC.BC=BD為506+為506+--v.：：.