常數(shù)項級數(shù)的審斂法

關(guān)于常數(shù)項級數(shù)的審斂法第一頁，共三十一頁，2022年，8月28日一、正項級數(shù)及其審斂法

正項級數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列有界.

正項級數(shù)各項都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項級數(shù).

這是因為正項級數(shù)的部分和數(shù)列{sn}是單調(diào)增加的,而單調(diào)有界數(shù)列是有極限.

下頁定理1(正項級數(shù)收斂的充要條件)

第二頁，共三十一頁，2022年，8月28日定理2(比較審斂法)

>>>

推論

下頁第三頁，共三十一頁，2022年，8月28日

解

下頁定理2(比較審斂法)

設(shè)∑un和∑vn都是正項級數(shù),且unkvn(k>0,nN).若級數(shù)∑vn收斂,則級數(shù)∑un收斂;若級數(shù)∑un發(fā)散,則級數(shù)∑vn發(fā)散.第四頁，共三十一頁，2022年，8月28日因為當(dāng)故考慮強(qiáng)級數(shù)的部分和故強(qiáng)級數(shù)收斂,由比較審斂法知

p

級數(shù)收斂.時,2)若第五頁，共三十一頁，2022年，8月28日

設(shè)∑un和∑vn都是正項級數(shù),且unkvn(k>0,nN).若級數(shù)∑vn收斂,則級數(shù)∑un收斂;若級數(shù)∑un發(fā)散,則級數(shù)∑vn發(fā)散.p級數(shù)的收斂性

證

下頁定理2(比較審斂法)

第六頁，共三十一頁，2022年，8月28日調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).若存在對一切第七頁，共三十一頁，2022年，8月28日定理3(比較審斂法的極限形式)下頁

解

第八頁，共三十一頁，2022年，8月28日>>>

下頁

解

定理3(比較審斂法的極限形式)第九頁，共三十一頁，2022年，8月28日下頁收斂當(dāng)1(或)時級數(shù)發(fā)散當(dāng)1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

定理4(比值審斂法達(dá)朗貝爾判別法)

解

所以根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)收斂

例5

證明級數(shù)是收斂的

第十頁，共三十一頁，2022年，8月28日所以根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)發(fā)散

下頁

解

收斂當(dāng)1(或)時級數(shù)發(fā)散當(dāng)1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

定理4(比值審斂法達(dá)朗貝爾判別法)第十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日提示:所以根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)收斂

下頁

解

收斂當(dāng)1(或)時級數(shù)發(fā)散當(dāng)1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

定理4(比值審斂法達(dá)朗貝爾判別法)第十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日討論級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散;第十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日下頁定理5(根值審斂法柯西判別法)收斂當(dāng)1(或)時級數(shù)發(fā)散當(dāng)1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

所以根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)收斂

因為

解

第十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日定理5(根值審斂法柯西判別法)收斂當(dāng)1(或)時級數(shù)發(fā)散當(dāng)1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

所以根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)收斂

因為

解

下頁第十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如

,p–級數(shù)說明:但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.第十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日證明級數(shù)收斂于S,似代替和S

時所產(chǎn)生的誤差.解:

由定理5可知該級數(shù)收斂.令則所求誤差為并估計以部分和Sn

近第十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日定理6(極限審斂法)因為

解

根據(jù)極限審斂法知所給級數(shù)收斂

下頁第十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日定理6(極限審斂法)因為

解

根據(jù)極限審斂法知所給級數(shù)收斂

首頁第十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日設(shè)正項級數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.第二十頁，共三十一頁，2022年，8月28日1.

判別級數(shù)的斂散性:解:(1)發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散.(2)發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散.第二十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日二、交錯級數(shù)及其審斂法交錯級數(shù)交錯級數(shù)是這樣的級數(shù),它的各項是正負(fù)交錯的.下頁

例如

第二十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日二、交錯級數(shù)及其審斂法交錯級數(shù)交錯級數(shù)是這樣的級數(shù),它的各項是正負(fù)交錯的.定理7(萊布尼茨定理)(1)unun1(n123

)

則級數(shù)收斂且其和su1

其余項rn的絕對值|rn|un1

>>>

下頁第二十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日這是一個交錯級數(shù).

解

由萊布尼茨定理,級數(shù)是收斂的,且其和s<u11,首頁則級數(shù)收斂,且其和su1,其余項rn的絕對值|rn|un1.定理7(萊布尼茨定理)因為此級數(shù)滿足

例12第二十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級數(shù)的斂散性:收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂第二十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日

三、絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂下頁

例如

第二十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日

三、絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂定理8(絕對收斂與收斂的關(guān)系)應(yīng)注意的問題

下頁第二十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日

解

下頁定理8(絕對收斂與收斂的關(guān)系)

例13第二十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日例