人教版數(shù)學(xué)八級上冊14-平方差公式課件

14.2乘法公式14.2.1平方差公式14.2乘法公式14.2.1平方差公式1學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷平方差公式的探索及推導(dǎo)過程，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征.（重點）2.靈活應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計算和解決實際問題.（難點）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷平方差公式的探索及推導(dǎo)過程，掌握平方差2多項式與多項式是如何相乘的？

（x

＋3)(x＋5）=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn復(fù)習(xí)引入多項式與多項式是如何相乘的？（x＋3)(x＋5）=3面積變了嗎？a米5米5米a米(a-5)米相等嗎？平方差公式新課講解面積變了嗎？a米5米5米a米(a-5)米相等嗎？平方差公式新4（1）（x

＋1)(x－1）；（2）（m

＋2)(m－2）；（3）（2m＋1)(2m－1）；（4）（5y

＋z)(5y－z）.計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？算一算：看誰算得又快又準(zhǔn).x2

－12m2－22(2m)2

－12(5y)2

－z2想一想：這些計算結(jié)果有什么特點？新課講解（1）（x＋1)(x－1）；計算下列多項式的積，你能發(fā)5(a+b)(a?b)=a2?b2

也就是說，兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩數(shù)的平方差.這個公式叫做（乘法的）平方差公式.1.（a–b)(a+b)=a2-b22.（b+a)(-b+a)=a2-b2★平方差公式★公式變形新課講解(a+b)(a?b)=a2?b2也就是說，兩個數(shù)的6平方差公式注意：這里的兩數(shù)可以是兩個單項式，也可以是兩個多項式等．(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2

相同為a

相反為b，-b適當(dāng)交換合理加括號平方差公式是多項式乘法（a+b）（p+q）中，p=a，q=-b的特殊形式.新課講解平方差公式注意：這里的兩數(shù)可以是兩個單項式，也可以是兩個多項7填一填：12-x2(-3+a)(-3-a)(a-b)(a+b)(-3+a)(-3-a)(1+a)(-1+a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+x)(1-x)aba2-b21x-3a12-x2(-3)2-a2a1a2-120.3x1(0.3x)2-12新課講解填一填：12-x2(-3+a)(-3-a)(a-b)(a+b8練一練：口答下列各題：

(l)(-a+b)(a+b)=_________；(2)(a-b)(b+a)=__________；(3)(-a-b)(-a+b)=________；(4)(a-b)(-a-b)=_________.a2-b2a2-b2b2-a2b2-a2新課講解練一練：口答下列各題：a2-b2a2-b2b2-a2b2-a9

計算：

(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)（-x+2y)(-x-2y).(2)原式＝(-x)2-(2y)2＝x2-4y2.解：（1）原式=(3x)2－22=9x2－4.解題技巧：應(yīng)用平方差公式計算時，應(yīng)注意以下幾點：(1)左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；(2)右邊是相同項的平方減去相反項的平方；(3)公式中的a和b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式．例1新課講解計算：(2)原式＝(-x)2-(2y)10【練習(xí)】利用平方差公式計算：(1)(3x－5)(3x＋5)；

(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25.(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2.(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2.新課講解【練習(xí)】利用平方差公式計算：解：(1)原式=(3x)2－5211

計算：(1)(y+2)(y-2)–(y-1)(y+5);(2)102×98.解：

(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)（2）102×98=y2-4-y2-4y+5

=-4y+1.

=y2-22-(y2+4y-5)=9996.=（100＋2）(100－2)=1002-22=10000–4通過合理變形，利用平方差公式，可以簡化運算.不符合平方差公式運算條件的乘法，按乘法法則進(jìn)行運算.例2新課講解計算：解：(1)(y+2)(y-2)-(y12【練習(xí)】計算：(1)51×49;(2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)

.解：

(1)原式=（50＋1）(50－1)=502-12=2500–1=2499.

(2)原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)=9x2-16-6x2-5x+6=3x2-5x-10.新課講解【練習(xí)】計算：解：(1)原式=（50＋1）(50－1)13

先化簡，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－

x)，其中x＝1，y＝2.原式＝5×12－5×22＝－15.解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.當(dāng)x＝1，y＝2時，例3新課講解先化簡，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y14

對于任意的正整數(shù)n，整式(3n＋1)(3n－1)－

(3－n)(3＋n)的值一定是10的整數(shù)倍嗎？即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的倍數(shù)．解：原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10.∵(10n2－10)÷10=n2-1，n為正整數(shù)，∴n2-1為整數(shù).解題技巧：在探究整除性或倍數(shù)問題時，一般先將代數(shù)式化為最簡，然后根據(jù)結(jié)果的特征，判斷其是否具有整除性或倍數(shù)關(guān)系．例4新課講解對于任意的正整數(shù)n，整式(3n＋1)(3n－1151.下列運算中，可用平方差公式計算的是(

)A．(x＋y)(x＋y)B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)C2.計算（2x+1）（2x-1）等于（）A．4x2-1B．2x2-1C．4x-1D．4x2+1A3.兩個正方形的邊長之和為5，邊長之差為2，那么用較大的正方形的面積減去較小的正方形的面積，差是________．10隨堂即練1.下列運算中，可用平方差公式計算的是()C2.計算（216（1）(a+3b)(a-

3b)；=4a2－9.=4x4－y2.解：原式=(2a+3)(2a-3)=a2－9b2.=(2a)2－32解：原式=(-2x2)2－y2解：原式=a2－(3b)2（2）(3+2a)(－3+2a)；（3）(－2x2－y)(－2x2+y).4.利用平方差公式計算：隨堂即練（1）(a+3b)(a-3b)；=4a2－9.=4x4－y175.計算：

20172－

2016×2018.解：20172

－

2016×2018=20172－

(2017－1)×(2017+1)=20172－（20172－12)=20172－

20172+12=1.隨堂即練5.計算：20172－2016×2018.解：201186.利用平方差公式計算：（1）（a-2)(a+2)(a2+

4)

；解：原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16.(2)(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=（x4-y4)(x4+y4)=x8-y8.隨堂即練6.利用平方差公式計算：（1）（a-2)(a+2)(a2+197.先化簡，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3=2x2－1.將x＝2代入上式，得原式=2×22-1=7.隨堂即練7.先化簡，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x208.已知x≠1，計算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4.(1)觀察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝

________；(n為正整數(shù))(2)根據(jù)你的猜想計算：①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n為正整數(shù))；③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；1－xn+1-632n＋1－2

x100－1隨堂即練8.已知x≠1，計算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－21(3)通過以上規(guī)律請你進(jìn)行下面的探索：①(a－b)(a＋b)＝________；②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．a(chǎn)2－b2

a3－b3

a4－b4

隨堂即練(3)通過以上規(guī)律請你進(jìn)行下面的探索：a2－b2a3－b322平方差公式內(nèi)容注意兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.字母表示：（a+b)(a-b)=a2-b2應(yīng)用時，緊緊抓住“一同一反”這一特征，只有兩個二項式的積才有可能應(yīng)用平方差公式；對于不能直接應(yīng)用公式的，可能要經(jīng)過變形才可以應(yīng)用課堂總結(jié)平方差公式內(nèi)容注意兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩23?為你理想的人，否則，愛的只是你在他身上找到的你的影子。?有時候，我們愿意原諒一個人，并不是我們真的愿意原諒他，而是我們不愿意失去他。不想失去他，惟有假裝原諒他。不管你愛過多少人，不管你愛得多么痛苦或快樂。最后，你不是學(xué)會了怎樣戀愛，而是學(xué)會了，怎樣去愛自己。?為你理想的人，否則，愛的只是你在他身上找到的你的影子。24?在有歡聲笑語的校園里，滿地都是雪，像一塊大地毯。房檐上掛滿了冰凌，一根兒一根兒像水晶一樣，真美啊！我們一個一個小腳印踩在大地毯上，像畫上了美麗的圖畫，踩一步，吱吱聲就出來了，原來是雪在告我們：和你們一起玩兒我感到真開心，是你們把我們這一片寂靜變得熱鬧起來。對了，還有樹。樹上掛滿了樹掛，有的樹枝被壓彎了腰，真是忽如一夜春風(fēng)來，千樹萬樹梨花開。真好看呀！?冬天，一層薄薄的白雪，像巨大的輕軟的羊毛毯子，覆蓋摘在這廣漠的荒原上，閃著寒冷的銀光。?在有歡聲笑語的校園里，滿地都是雪，像一塊大地毯。房檐上掛滿25?走進(jìn)頤和園，眼前是繁華的蘇州街，現(xiàn)在依稀可以想象到當(dāng)年的熱鬧場面，蘇州街圍著一片湖，沿著河岸有許多小綠盤子里裝著美麗的荷花。這里是仿照江南水鄉(xiāng)--蘇州而建的買賣街。當(dāng)年有古玩店、綢緞店、點心鋪等，店鋪中的店員都是太監(jiān)、宮女妝扮的，皇帝游覽的時候才營業(yè)。我正享受著皇帝的待遇，店里的小販都在賣力的吆喝著。?走近一看，我立刻被這美麗的荷花吸引住了，一片片綠油油的荷葉層層疊疊地擠在水面上，是我不由得想起楊萬里接天蓮葉無窮碧這一句詩。荷葉上滾動著幾顆水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望對您有幫助，謝謝晶的。它們有時聚成一顆大水珠，骨碌一下滑進(jìn)水里，真像一個頑皮的孩子！?走進(jìn)頤和園，眼前是繁華的蘇州街，現(xiàn)在依稀可以想象到當(dāng)年的熱2614.2乘法公式14.2.1平方差公式14.2乘法公式14.2.1平方差公式27學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷平方差公式的探索及推導(dǎo)過程，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征.（重點）2.靈活應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計算和解決實際問題.（難點）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷平方差公式的探索及推導(dǎo)過程，掌握平方差28多項式與多項式是如何相乘的？

（x

＋3)(x＋5）=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn復(fù)習(xí)引入多項式與多項式是如何相乘的？（x＋3)(x＋5）=29面積變了嗎？a米5米5米a米(a-5)米相等嗎？平方差公式新課講解面積變了嗎？a米5米5米a米(a-5)米相等嗎？平方差公式新30（1）（x

＋1)(x－1）；（2）（m

＋2)(m－2）；（3）（2m＋1)(2m－1）；（4）（5y

＋z)(5y－z）.計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？算一算：看誰算得又快又準(zhǔn).x2

－12m2－22(2m)2

－12(5y)2

－z2想一想：這些計算結(jié)果有什么特點？新課講解（1）（x＋1)(x－1）；計算下列多項式的積，你能發(fā)31(a+b)(a?b)=a2?b2

也就是說，兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩數(shù)的平方差.這個公式叫做（乘法的）平方差公式.1.（a–b)(a+b)=a2-b22.（b+a)(-b+a)=a2-b2★平方差公式★公式變形新課講解(a+b)(a?b)=a2?b2也就是說，兩個數(shù)的32平方差公式注意：這里的兩數(shù)可以是兩個單項式，也可以是兩個多項式等．(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2

相同為a

相反為b，-b適當(dāng)交換合理加括號平方差公式是多項式乘法（a+b）（p+q）中，p=a，q=-b的特殊形式.新課講解平方差公式注意：這里的兩數(shù)可以是兩個單項式，也可以是兩個多項33填一填：12-x2(-3+a)(-3-a)(a-b)(a+b)(-3+a)(-3-a)(1+a)(-1+a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+x)(1-x)aba2-b21x-3a12-x2(-3)2-a2a1a2-120.3x1(0.3x)2-12新課講解填一填：12-x2(-3+a)(-3-a)(a-b)(a+b34練一練：口答下列各題：

(l)(-a+b)(a+b)=_________；(2)(a-b)(b+a)=__________；(3)(-a-b)(-a+b)=________；(4)(a-b)(-a-b)=_________.a2-b2a2-b2b2-a2b2-a2新課講解練一練：口答下列各題：a2-b2a2-b2b2-a2b2-a35

計算：

(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)（-x+2y)(-x-2y).(2)原式＝(-x)2-(2y)2＝x2-4y2.解：（1）原式=(3x)2－22=9x2－4.解題技巧：應(yīng)用平方差公式計算時，應(yīng)注意以下幾點：(1)左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；(2)右邊是相同項的平方減去相反項的平方；(3)公式中的a和b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式．例1新課講解計算：(2)原式＝(-x)2-(2y)36【練習(xí)】利用平方差公式計算：(1)(3x－5)(3x＋5)；

(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25.(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2.(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2.新課講解【練習(xí)】利用平方差公式計算：解：(1)原式=(3x)2－5237

計算：(1)(y+2)(y-2)–(y-1)(y+5);(2)102×98.解：

(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)（2）102×98=y2-4-y2-4y+5

=-4y+1.

=y2-22-(y2+4y-5)=9996.=（100＋2）(100－2)=1002-22=10000–4通過合理變形，利用平方差公式，可以簡化運算.不符合平方差公式運算條件的乘法，按乘法法則進(jìn)行運算.例2新課講解計算：解：(1)(y+2)(y-2)-(y38【練習(xí)】計算：(1)51×49;(2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)

.解：

(1)原式=（50＋1）(50－1)=502-12=2500–1=2499.

(2)原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)=9x2-16-6x2-5x+6=3x2-5x-10.新課講解【練習(xí)】計算：解：(1)原式=（50＋1）(50－1)39

先化簡，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－

x)，其中x＝1，y＝2.原式＝5×12－5×22＝－15.解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.當(dāng)x＝1，y＝2時，例3新課講解先化簡，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y40

對于任意的正整數(shù)n，整式(3n＋1)(3n－1)－

(3－n)(3＋n)的值一定是10的整數(shù)倍嗎？即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的倍數(shù)．解：原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10.∵(10n2－10)÷10=n2-1，n為正整數(shù)，∴n2-1為整數(shù).解題技巧：在探究整除性或倍數(shù)問題時，一般先將代數(shù)式化為最簡，然后根據(jù)結(jié)果的特征，判斷其是否具有整除性或倍數(shù)關(guān)系．例4新課講解對于任意的正整數(shù)n，整式(3n＋1)(3n－1411.下列運算中，可用平方差公式計算的是(

)A．(x＋y)(x＋y)B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)C2.計算（2x+1）（2x-1）等于（）A．4x2-1B．2x2-1C．4x-1D．4x2+1A3.兩個正方形的邊長之和為5，邊長之差為2，那么用較大的正方形的面積減去較小的正方形的面積，差是________．10隨堂即練1.下列運算中，可用平方差公式計算的是()C2.計算（242（1）(a+3b)(a-

3b)；=4a2－9.=4x4－y2.解：原式=(2a+3)(2a-3)=a2－9b2.=(2a)2－32解：原式=(-2x2)2－y2解：原式=a2－(3b)2（2）(3+2a)(－3+2a)；（3）(－2x2－y)(－2x2+y).4.利用平方差公式計算：隨堂即練（1）(a+3b)(a-3b)；=4a2－9.=4x4－y435.計算：

20172－

2016×2018.解：20172

－

2016×2018=20172－

(2017－1)×(2017+1)=20172－（20172－12)=20172－

20172+12=1.隨堂即練5.計算：20172－2016×2018.解：201446.利用平方差公式計算：（1）（a-2)(a+2)(a2+

4)

；解：原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16.(2)(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=（x4-y4)(x4+y4)=x8-y8.隨堂即練6.利用平方差公式計算：（1）（a-2)(a+2)(a2+457.先化簡，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3=2x2－1.將x＝2代入上式，得原式=2×22-1=7.隨堂即練7.先化簡，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x468.已知x≠1，計算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4.(1)觀察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝

________；(n為正整數(shù))(2)根據(jù)你的猜想計算：①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n為正整數(shù))；③(x－1)(x99＋x98＋x