高等數(shù)學(xué)A課件：05－第5講無窮小量與無窮大量、極限的運算

高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第五講無窮小量與無窮大量、極限的運算法則第二章極限本次課學(xué)習(xí)要求：理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關(guān)系。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關(guān)系。掌握極限的運算法則。

第三節(jié)無窮小量與無窮大量一.無窮小量二.

無窮大量一、無窮小量及其運算性質(zhì)簡言之,在某極限過程中,以0為極限的量稱該極限過程中的一個無窮小量.例1在任何一個極限過程中,常值函數(shù)y=0均為無窮小量.1.無窮小量的定義定義2.函數(shù)的極限與無窮小量的關(guān)系分析反之亦然.由以上的分析,你可得出什么結(jié)論?由此可看出,尋找函數(shù)極限運算法則可歸結(jié)為尋找無窮小量的運算法則.定理同一個極限過程中的有限個無窮小量之和仍是一個無窮小量.同一個極限過程中的有限個無窮小量之積仍為無窮小量.

3.無窮小量的運算法則常數(shù)與無窮小量之積仍為無窮小量.在某極限過程中,以極限不為零的函數(shù)除無窮小量所得到商仍為一個無窮小量.在某一極限過程中,無窮小量與有界量之積仍是一個無窮小量.證明：在某極限過程中,兩個無窮小量之和仍是一個無窮小量.證證明:在某一極限過程中,無窮小量與有界量的積仍是一個無窮小量.證例2證證明有界量與無窮小量的乘積證明：在某極限過程中以極限不為零的函數(shù)除無窮小量所得到商仍為一個無窮小量.證有界量與無窮小量之積(i)一般說來,有界量的倒數(shù)不一定有界.

例如,f(x)=x,x(0,1).(ii)我們沒有涉及兩個無窮小量商的極限的情形,因為它的情形較復(fù)雜,將在以后專門討論.注意：例3解二.無窮大量定義1.無窮大量的定義例4(iii),(iv)自己畫畫圖會更清楚.例5解無窮大量是按絕對值定義的.例6無窮大量是否一定是無界量?在某極限過程中,無界量是否一定是無窮大量?但該數(shù)列是無界的.當(dāng)x時,

函數(shù)sinx、cosx,是否為無窮大量？因為sinx、cosx是有界函數(shù),

所以在任何極限過程中它們都不是無窮大量.2.無窮大量與無窮小量的關(guān)系(無窮大量的倒數(shù)為無窮小量,x0)(無窮小量的倒數(shù)為無窮大量,x0)則例7在某一極限過程中根據(jù)定義同學(xué)們課后自己進(jìn)行證明.定理無窮大量一定是同一極限過程中的無界量.反之不真3.無窮大量的運算性質(zhì)在某極限過程中,兩個無窮大量之積仍是一個無窮大量.在某極限過程中,無窮大量與有界量之和仍為無窮大量.不是無窮大量是無窮大量例8兩個無窮大量的和是否仍為無窮大量?考察例9有界量與無窮大量的乘積是否一定為無窮大量？不著急,看個例題:例9有界量與無窮大量的乘積是否一定為無窮大量？不著急,看個例題:不一定再是無窮大量.結(jié)論:在某個極限過程中,無窮大量一定是無界量,但無界量不一定是無窮大量.兩個無窮大量的和不一定是無窮大量.無窮大量與有界量之積不一定是無窮大量.第四節(jié)極限的運算極限運算法則的理論依據(jù)依據(jù)無窮小量的運算法則定理法則由此你能不能寫出極限四則運算公式？一.極限的運算法則和的極限等于極限的和.乘積的極限等于極限的乘積.商的極限等于極限的商(分母不為零).差一點!?結(jié)論成立的條件.設(shè)在某極限過程中,函數(shù)f(x)、g(x)的極限

limf(x)、limg(x)存在,則法則1、3可推廣至有限個函數(shù)的情形.法則6中換成其極限仍為注：由極限運算理論根據(jù)中的定理及無窮小量的運算法則,容易證明上述各公式.復(fù)合函數(shù)的極限有什么問題沒有？7.復(fù)合函數(shù)的極限計算定理注意這個條件,缺了它定理不一定成立.證由極限的定義,即要證明：綜上所述：該定理可以推廣到其它幾種極限過程中去.解例1求求有理分式函數(shù)xx0

的極限時,若分母不等于零,則可直接代值計算.解例2初等展開解例3有理化解例4有理化解例5求故部分分式法例6證明原式由即得所證.證解例7或者用下面的方法利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系涉及到兩個無窮大量的差解例8所以,由復(fù)合函數(shù)求極限法則這類復(fù)合函數(shù)的極限通?？蓪懗山饫?這是求冪指函數(shù)極限常用的方法:解例10這是兩個無窮大量相減的問題.我們首先進(jìn)行通分運算,設(shè)法去掉不定因素,然后運用四則運算法則求其極限.(通分)解例11問b

取何值時,存在,并求其值.若由函數(shù)的極限與其左、右極限的關(guān)系,得

b=2,,,解例12并由此證明其中,n,mN.求第二問怎么做？