高等數(shù)學(xué)A課件：31－第31講微分方程的基本概念

1234例3.

設(shè)解:

令求積分即而5所以,該曲線無水平漸近線和垂直漸近線.解67解由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則,得例1189高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第三十一講微分方程的基本概念10第九章常微分方程本章學(xué)習(xí)要求：了解微分方程、解、通解、初始條件和特解的概念.了解下列幾種一階微分方程：變量可分離的方程、齊次方程、一階線性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分方程.熟練掌握分離變量法和一階線性方程的解法.會(huì)利用變量代換的方法求解齊次方程和伯努利方程.知道下列高階方程的降階法：了解高階線性微分方程階的結(jié)構(gòu)，并知道高階常系數(shù)齊線性微分方程的解法.熟練掌握二階常系數(shù)齊線性微分方程的解法.掌握自由項(xiàng)（右端）為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和或乘積的二階常系數(shù)非齊線性微分方程的解法.11微分方程是精確表示自然科學(xué)中各種基本定律和各種問題的基本工具之一?，F(xiàn)代建立起來的自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的數(shù)學(xué)模型大多都是微分方程。12在許多物理、力學(xué)、生物等現(xiàn)象中，不能直接找到聯(lián)系所研究的那些量的規(guī)律，但卻容易建立起這些量與它們的導(dǎo)數(shù)或微分間的關(guān)系。

含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式。比如：物質(zhì)在一定條件下的運(yùn)動(dòng)變化，要尋求它的運(yùn)動(dòng)、變化的規(guī)律；某個(gè)物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時(shí)間變化的規(guī)律；火箭在發(fā)動(dòng)機(jī)推動(dòng)下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道，等等。13第一節(jié)微分方程的基本概念常微分方程方程的階數(shù)線性方程、非線性方程方程的解、通解、特解、所有解初始條件（定解條件）積分曲線（解的幾何意義）初值問題、初值問題的解齊次方程、非齊次方程14常微分方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱為微分方程。未知函數(shù)可以不出現(xiàn)，但其導(dǎo)數(shù)一定要出現(xiàn)。未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程。未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程，稱為偏微分方程。15例常微分方程偏微分方程16常微分方程的階數(shù)微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高次數(shù)，稱為微分方程的階數(shù)。一階二階一階17線性方程、非線性方程若一個(gè)方程對(duì)未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的全體而言是一次的，且系數(shù)只與自變量有關(guān)（與未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)無關(guān)），則稱該方程為線性方程，否則，稱之為非線性方程。一階二階一階線性線性非線性18齊次方程、非齊次方程在方程中，不含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)，稱為自由項(xiàng)。自由項(xiàng)為零的方程，稱為齊次方程。自由項(xiàng)不為零的方程，稱為非齊次方程。一階齊次線性方程二階非齊次線性方程一階非齊次非線性方程19微分方程的一般表示形式20方程的解、通解、特解、所有解能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為方程的解。如果n階微分方程的解中含有n個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)，則稱此解為n階微分方程的通解。一般說來，不含有任意常數(shù)的解，稱為方程的特解。通常由一定的條件出發(fā)，確定方程通解中的任意常數(shù)來得到特解。但有些特解不能由通解求出，必須利用其它方法直接由方程解出。所有解＝通解＋不能包含在通解內(nèi)的所有特解。21例解代入方程，得22初始條件（定解條件）由自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及數(shù)學(xué)本身建立微分方程時(shí)，往往同時(shí)知道微分方程的解應(yīng)滿足某些已知的條件。這些已知條件就稱為微分方程的初始條件或定解條件。常微分方程初始條件稱為初值問題（柯西問題）23例1解微分方程初始條件通解特解24例1解微分方程初始條件通解特解有何想法？25積分曲線（解的幾何意義）常微分方程解的幾何圖形稱為它的積分曲線。通解的圖形是一族積分曲線。特解是這族積分曲線中過某已知點(diǎn)的那條曲線。26例2.列車在平直路上以的速度行駛,制動(dòng)時(shí)獲得加速度求制動(dòng)后列車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解:設(shè)列車在制動(dòng)后

t

秒行駛了s

米,已知由前一式兩次積分,可得利用后兩式可得因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為說明:

利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住,以及制動(dòng)后行駛了多少路程.即求

s

=s(t).27例4解28例5解29求該曲線所滿足的微分方程.例.已知曲線上點(diǎn)

P(x,y)處的法線與x

軸交點(diǎn)為

Q解:如圖所示,令Y=0,得

Q

點(diǎn)的橫坐標(biāo)即點(diǎn)P(x,y)處的法線方程為且線段PQ被y軸平分,30在求微分方程數(shù)值解時(shí)，往往需要研究解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性。參考書：由北京大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、中山大學(xué)編寫的《常微分方程》均可。微分方程的解不一定都能用初等函數(shù)表示出來。此時(shí)可求數(shù)值解31常微分方程的初等方法介紹常微分方程的解法分離變量法常數(shù)變易法積分因子法變量代換法降階法高階線性常系數(shù)微分方程解法特征值法變量代換法32第二節(jié)一階微分方程33變量可分離方程齊次方程可化為齊次方程的方程一階線性齊方程一階線性非齊方程伯努利方程變量代換變量代換變量分離常數(shù)變易變量代換34變量可分離方程齊次方程一階線性齊方程一階線性非齊方程伯努利方程變量代換變量代換變量分離常數(shù)變易變量代換變量可分離方程可化為齊次方程的方程35一、變量可分離方程如果一階微分方程可以化為下列形式：則稱原方程為變量可分離的方程。運(yùn)用積分方法即可求得變量可分離方程的通解：其中C為積分后出現(xiàn)的任意常數(shù)。將一個(gè)方程化為變量分離方程并求出其通解的過程，稱為分離變量法。36例解原方程即對(duì)上式兩邊積分，得原方程的通解37例解對(duì)上式兩邊積分，得原方程的通解隱函數(shù)形式經(jīng)初等運(yùn)算可得到原方程的通解為你認(rèn)為做完了沒有？38原方程的解為39例解兩邊同時(shí)積分，得