正弦信號(hào)的采樣與恢復(fù)

前言隨著信息科學(xué)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)字信號(hào)處理的理論與應(yīng)用得到飛躍的發(fā)展，形成了一門及其重要的學(xué)科。數(shù)字信號(hào)處理是一門理論與實(shí)踐緊密結(jié)合的課程。做大量的習(xí)題和上機(jī)實(shí)驗(yàn)，有助于進(jìn)一步理解和鞏固理論知識(shí)，還有助于提高分析和解決實(shí)際問題的能力。過去用其他算法語言，實(shí)驗(yàn)程序復(fù)雜，在有限的實(shí)驗(yàn)課時(shí)內(nèi)所做的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容少。MATLAB強(qiáng)大的運(yùn)算和圖形顯示功能，可使數(shù)字信號(hào)處理上機(jī)實(shí)驗(yàn)效率大大提高。特別是它的頻譜分析和濾波器分析與設(shè)計(jì)功能很強(qiáng)，使數(shù)字信號(hào)處理工作變得十分簡單、直觀。這樣一來，使復(fù)雜的數(shù)字濾波器分析與設(shè)計(jì)的繁雜計(jì)算問題，變得容易接受，以實(shí)現(xiàn)的見到問題。本實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的題目是：信號(hào)的采樣與恢復(fù)、采樣定理的仿真。通過產(chǎn)生一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)并生成其頻譜，然后對(duì)該連續(xù)信號(hào)抽樣，并對(duì)采樣后的頻譜進(jìn)行分析，最后通過設(shè)計(jì)低通濾波器濾出抽樣所得頻譜中多個(gè)周期中的一個(gè)周期頻譜，并顯示恢復(fù)后的時(shí)域連續(xù)信號(hào)。實(shí)驗(yàn)中，原連續(xù)信號(hào)的頻譜由于無法實(shí)現(xiàn)真正的連續(xù)，所以通過擴(kuò)大采樣點(diǎn)的數(shù)目來代替，理論上當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)無窮多的時(shí)候即可實(shí)現(xiàn)連續(xù)，基于此盡可能增加采樣點(diǎn)數(shù)并以此來產(chǎn)生連續(xù)信號(hào)的頻譜。信號(hào)采樣過程中，通過采樣點(diǎn)的不同控制采樣頻率實(shí)現(xiàn)大于或小于二倍最高連續(xù)信號(hào)的頻率，從而可以很好的驗(yàn)證采樣定理。信號(hào)恢復(fù)，濾波器的參數(shù)需要很好的設(shè)置，以實(shí)現(xiàn)將抽樣后的信號(hào)進(jìn)行濾波恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)。由于自己能力有限，此次課程設(shè)計(jì)肯定有很多不足，但在老師的幫助下，自己得到了很大的提升。使本課程設(shè)計(jì)進(jìn)一步得到了完善。

一、設(shè)計(jì)任務(wù)本課設(shè)主要研究正弦信號(hào)的采樣與恢復(fù)，以及Matlab的應(yīng)用，低通濾波器的設(shè)計(jì)及應(yīng)用。通過本課程的設(shè)計(jì)，主要用一下幾個(gè)目的及要求：使用MATLAB語音產(chǎn)生三個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)，并畫出三個(gè)信號(hào)的時(shí)域波形。對(duì)產(chǎn)生的三個(gè)信號(hào)以不同的采樣頻率進(jìn)行采樣。對(duì)采樣前后的信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換，并畫出頻譜圖。根據(jù)三個(gè)信號(hào)的頻譜特點(diǎn)設(shè)計(jì)恢復(fù)信號(hào)的合適的低通濾波器。用設(shè)計(jì)的濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行恢復(fù)，并對(duì)頻譜圖進(jìn)行分析。分析采樣前后頻譜的變化，驗(yàn)證采樣定理。分析得到信號(hào)的頻譜，并畫出恢復(fù)后信號(hào)的時(shí)域波形和頻譜圖。掌握MATLAB軟件的基本使用，并進(jìn)行一些仿真和設(shè)計(jì)。

二、低通濾波器低通濾波器（LPF），是一種容許低于某一截至頻率的信號(hào)分量通過，而對(duì)高于該截止頻率以上的信號(hào)分量進(jìn)行衰弱的電子濾波裝置。對(duì)于不同濾波器而言，每個(gè)頻率的信號(hào)的減弱程度不同。低通濾波器有很多種，最通用的就是巴特沃斯濾波器和切比雪夫?yàn)V波器。1、概念電感阻止高頻信號(hào)通過而允許低頻信號(hào)通過，電容的特性卻相反。信號(hào)能夠通過電感的濾波器、或者通過電容連接到地的濾波器對(duì)于低頻信號(hào)的衰減要比高頻信號(hào)小，稱為低通濾波器。2、工作原理低通濾波器就是利用電容通高頻阻低頻、電感通低頻阻高頻的原理。對(duì)于需要截止的高頻，利用電容吸收電感、阻礙的方法不使它通過；對(duì)于需要放行的低頻，利用電容高阻、電感低阻的特點(diǎn)讓它通過。低通濾波器概念有許多不同的形式，其中包括電子線路（如音頻設(shè)備中使用的濾波器）、平滑數(shù)據(jù)的數(shù)字算法、音障、圖像模糊處理等等，這兩個(gè)工具都通過剔除短期波動(dòng)、保留長期發(fā)展趨勢提供了信號(hào)的平滑形式。低通濾波器在信號(hào)處理中的作用等同于其他領(lǐng)域，如金融領(lǐng)域中移動(dòng)平均數(shù)所起的作用。特點(diǎn)當(dāng)使用在音頻應(yīng)用時(shí)，它有時(shí)被稱為高頻剪切濾波器,或高音消除濾波器。低通濾波器是指車載功放中能夠讓低頻信號(hào)通過而不讓中、高頻信號(hào)通過的，其作用是濾去音頻信號(hào)中的中音和高音成分，增強(qiáng)低音成分以驅(qū)動(dòng)揚(yáng)聲器的低音單元。由于車載功放大部分都是全頻段功放，通常采用AB類放大設(shè)計(jì)，功率損耗比較大，所以濾除低頻段的信號(hào)，只推動(dòng)中高頻揚(yáng)聲器是節(jié)省功率、保證音質(zhì)的最佳選擇。

三、設(shè)計(jì)原理時(shí)域采樣定理從采樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)必需滿足兩個(gè)條件：必須是帶限信號(hào)，其頻譜函數(shù)在＞各處為零；取樣頻率不能過低，必須＞2（或＞2）。如果采樣頻率大于或等于2，即（2為連續(xù)信號(hào)的有限頻譜），則采樣離散信號(hào)能無失真地恢復(fù)到原來的連續(xù)信號(hào)。采樣信號(hào)的頻譜是原信號(hào)頻譜的周期性重復(fù)，它每隔重復(fù)出現(xiàn)一次。當(dāng)＞2時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)混疊現(xiàn)象，原信號(hào)的頻譜的形狀不會(huì)發(fā)生變化，從而能從采樣信號(hào)中恢復(fù)原信號(hào)。1、采樣定理的原理對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣可以看做一個(gè)模擬信號(hào)通過一個(gè)電子開關(guān)S，設(shè)電子開關(guān)每隔周期T和上一次，每次合上的時(shí)間為<<T，在電子開關(guān)的輸出端得到采樣信號(hào)x^a(t)。該電子開關(guān)的作用等效成一寬度為，，周期為的矩形脈沖串，采樣信號(hào)就是與相乘的結(jié)果。采樣過程如圖2（a）所示。如果讓電子開關(guān)合上時(shí)間，則形成理想采樣，此時(shí)上面的脈沖串變成單位脈沖串，用表示。中每個(gè)單位沖激處在采樣點(diǎn)上，強(qiáng)度為1，理想采樣則是與相乘的結(jié)果。用公式表示為：（1）（2）上式中是單位沖激信號(hào)，在上式中只有當(dāng)時(shí)，才可能有非零值，因此寫成下式：（3）2、信號(hào)的恢復(fù)如果信號(hào)的取樣滿足采樣定理，即采樣頻率大于或等于2，即（2為連續(xù)信號(hào)的有限頻譜），對(duì)進(jìn)行采樣時(shí)，頻譜進(jìn)行周期延拓時(shí)不會(huì)出現(xiàn)混疊現(xiàn)象，中的每一個(gè)延拓的波形與波形的形狀完全相同，幅度取決于。在這種情況下，如果用一個(gè)截止頻率滿足的理想低通濾波器對(duì)進(jìn)行濾波，則可由完全恢復(fù)出。考慮到時(shí)域與頻域的唯一對(duì)應(yīng)性，也就可以表明可以恢復(fù)出。時(shí)域與頻域的轉(zhuǎn)換式：（3）（4）可用傳輸函數(shù)的理想低通濾波器不失真地將原模擬信號(hào)恢復(fù)出來，只是一種理想恢復(fù)。（5）因?yàn)?6)理想低通濾波器的輸入輸出和，=*=（7）綜上所述：A/D轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)實(shí)現(xiàn)抽樣、量化、編碼過程；數(shù)字信號(hào)處理環(huán)節(jié)對(duì)得到的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行必要的處理；D/A轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)實(shí)現(xiàn)數(shù)/模轉(zhuǎn)換，得到連續(xù)時(shí)間信號(hào)；低通濾波器的作用是濾除截止頻率以外的信號(hào)，恢復(fù)出與原信號(hào)相比無失真的信號(hào)。

四、設(shè)計(jì)流程圖開始初始化完成采樣完成數(shù)字信號(hào)低通濾波器D/A轉(zhuǎn)換原始信號(hào)低通濾波器結(jié)束測量信號(hào)的頻率顯示輸出控制產(chǎn)生采樣信號(hào)A/D采樣開始初始化完成采樣完成數(shù)字信號(hào)低通濾波器D/A轉(zhuǎn)換原始信號(hào)低通濾波器結(jié)束測量信號(hào)的頻率顯示輸出控制產(chǎn)生采樣信號(hào)A/D采樣圖1五、設(shè)計(jì)內(nèi)容與步驟1、正弦信號(hào)的采樣1.1連續(xù)信號(hào)y=sin(t)和其對(duì)應(yīng)的頻譜子函數(shù)通過控制參數(shù)ｎ的取值多少可分別計(jì)算離散和近似連續(xù)信號(hào)的頻譜值并作為函數(shù)值進(jìn)行返回。圖11.2對(duì)連續(xù)信號(hào)y=sin(t)進(jìn)行抽樣并產(chǎn)生其頻譜當(dāng)輸入n=15時(shí)，圖2當(dāng)輸入n=45時(shí)，圖3當(dāng)輸入n=135時(shí)，圖4由抽樣定理可知，抽樣后的信號(hào)頻譜是原信號(hào)頻譜以抽樣頻率為周期進(jìn)行周期延拓形成的，周期性在上面兩個(gè)圖中都有很好的體現(xiàn)。但是從10點(diǎn)和50點(diǎn)采樣后的結(jié)果以及與員連續(xù)信號(hào)頻譜對(duì)比可以看出，10點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻譜出現(xiàn)了頻譜混疊而并非原信號(hào)頻譜的周期延拓。這是因?yàn)镹取值過小導(dǎo)致采樣角頻率，因此經(jīng)周期延拓出現(xiàn)了頻譜混疊。而N取50時(shí)，其采樣角頻率，從而可以實(shí)現(xiàn)原信號(hào)頻譜以抽樣頻率為周期進(jìn)行周期延拓，并不產(chǎn)生混疊，從而為下一步通過低通濾波器濾出其中的一個(gè)周期（即不失真的原連續(xù)信號(hào)）打下了基礎(chǔ)。2、通過低通濾波恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)圖5低通濾波器的頻譜圖低通濾波器原理很簡單，它就是利用電容通高頻阻低頻、電感通低頻阻高頻的原理。對(duì)于需要截止的高頻，利用電容吸收電感、阻礙的方法不使它通過；對(duì)于需要放行的低頻，利用電容高阻、電感低阻的特點(diǎn)。圖6ｎ＝15時(shí)恢復(fù)后的信號(hào)和頻譜圖7ｎ＝30時(shí)恢復(fù)后的信號(hào)和頻譜圖8ｎ＝100時(shí)恢復(fù)后的信號(hào)和頻譜經(jīng)上面的圖6、圖7、圖8可以看出，采樣點(diǎn)數(shù)多的恢復(fù)波形明顯比采樣點(diǎn)數(shù)少的好。但是由于濾波器設(shè)計(jì)的還有待于改進(jìn)，所以波形并不是顯示的很圓滑，但是已經(jīng)可以基本達(dá)到實(shí)驗(yàn)?zāi)康?，將原輸入連續(xù)信號(hào)恢復(fù)。

總結(jié)通過本次課程設(shè)計(jì)，我熟悉了信號(hào)處理的很多理論知識(shí)，弄懂了信號(hào)采樣與恢復(fù)和MATLAB之間的聯(lián)系，加深了對(duì)信號(hào)處理的認(rèn)識(shí)。經(jīng)過幾天忙碌的課程設(shè)計(jì)我體會(huì)到了很多。了解了信號(hào)采樣與恢復(fù)原理，此次課程設(shè)計(jì)中，MATLAB的使用很重要，一些關(guān)于信號(hào)的基礎(chǔ)知識(shí)要非常清楚，還要學(xué)會(huì)如何調(diào)用、查詢MATLAB函數(shù)庫中的函數(shù)，只有自己切實(shí)的懂，才會(huì)明白如何恰如其分的使用。把學(xué)到的內(nèi)容應(yīng)用到本課程設(shè)計(jì)中來，進(jìn)一步鞏固復(fù)習(xí)信號(hào)處理，MATLAB等課程，以達(dá)到融會(huì)貫通的目的。在此期間，首先，通過查閱相關(guān)書籍、文獻(xiàn)，搞清楚原理框圖，為今后的實(shí)驗(yàn)及論文寫作奠定比較扎實(shí)的理論；其次，在原理圖的基礎(chǔ)之上，設(shè)計(jì)具體的流程圖，利用將一個(gè)大而復(fù)雜的系統(tǒng)分解轉(zhuǎn)化為多個(gè)小而簡單的模塊的思想，在進(jìn)行整合、連接，將復(fù)雜的問題簡單化。了解了更多關(guān)于信號(hào)處理的知識(shí)，對(duì)以后的學(xué)習(xí)和工作又了莫大的幫助。通過本次課程設(shè)計(jì)，學(xué)會(huì)查尋資料、方案比較，以及設(shè)計(jì)計(jì)算及仿真等環(huán)節(jié)，進(jìn)一步提高了分析解決實(shí)際問題的能力。在本文所涉及的設(shè)計(jì)仿真工作存在一些不完善的地方，需要進(jìn)行改進(jìn)，完善，主要包括以下幾個(gè)方面：Matlab軟件雖然功能齊全，但不適用于對(duì)復(fù)雜通信系統(tǒng)的模塊化設(shè)計(jì)，主要體現(xiàn)在仿真速度緩慢，對(duì)于一些通信專用模塊并沒有提供，使得設(shè)計(jì)模型的方式不夠靈活。運(yùn)用學(xué)習(xí)成果把課堂上學(xué)的系統(tǒng)化的理論知識(shí)，嘗試性的應(yīng)用于實(shí)際設(shè)計(jì)工作，并從理論的高度對(duì)設(shè)計(jì)工作的現(xiàn)代化提高一些有真惰性的建議和設(shè)想，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，看一看課堂學(xué)習(xí)與實(shí)際工作到底有多大差距，并通過綜合分析，找出學(xué)習(xí)中存在的不足，以便為完善學(xué)習(xí)計(jì)劃，給將來學(xué)習(xí)生活上帶來幫助。

參考文獻(xiàn)[1]高西全、丁玉美編著.數(shù)字信號(hào)處理.西安:西安電子科技大學(xué)出版社，2008.[2]鄭君里等編.信號(hào)與系統(tǒng).北京:高等教育出版社，2000.[3]劉樹棠譯.數(shù)字信號(hào)處理——使用MATLAB.西安:西安交通大學(xué)出版社，2002.[4]劉敏.MATLAB通信仿真與應(yīng)用.北京：國防工業(yè)出版社.[5]陳懷琛等編著.MATLAB及在電子信息課中的應(yīng)用.北京：電子工業(yè)出版社，2002.[6]樊昌信.通信原理.北京：國防工業(yè)出版社，2002.[7]劉衛(wèi)國主編.MATLAB程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用（第二版）.北京：高等教育出版社，2006.

致謝通過兩周的課程設(shè)計(jì)，我們都學(xué)到了許多東西，體會(huì)到了從書本學(xué)習(xí)與實(shí)際應(yīng)用中的不同，這種感同身受必將對(duì)我們今后的學(xué)習(xí)與生活帶來很大的幫助。在兩周的時(shí)間中，我們的指導(dǎo)老師時(shí)時(shí)在我們的身旁引導(dǎo)我們，幫助我們，傾注他們所有的才華，用心血讓我們學(xué)會(huì)從理論走向?qū)嶋H這一目標(biāo)十分艱辛，對(duì)我們來說是飛躍的過程。并且不會(huì)忘記他們?yōu)榱宋覀兙o縮的眉頭，焦急的眼神，疲倦的笑容，忙碌的身影！謝謝我們的指導(dǎo)老師對(duì)我們的幫助！

附錄1、連續(xù)信號(hào)y=sin(t)和其對(duì)應(yīng)的頻譜x1=0:pi/10:(10*pi);w=linspace(0,2.5*pi,length(x1));figuresubplot(211)plot(x1,sin(x1));%原時(shí)域連續(xù)信號(hào)y=sin(t)xlabel('t');ylabel('x(t)');title('原時(shí)域連續(xù)信號(hào)y=sin(t)');gridsin1=sin(x1);n=0:(length(x1)-1);subplot(212)plot(w,fft1(w,sin1,n));%其對(duì)應(yīng)頻域信號(hào)Y=FFT（sin(t)）xlabel('w');ylabel('x(w)');title('其對(duì)應(yīng)頻域信號(hào)Y=FT（sin(t)）');gridresult=fft1(w,hanshu,n)a=cell(1,length(w));fori=1:length(w);m=hanshu.*((exp(-1i*(1i-1)*pi/100)).^n);a{i}=sum(m);endfori=1:length(w);end2、對(duì)連續(xù)信號(hào)y=sin(t)進(jìn)行抽樣并產(chǎn)生其頻譜n1=input('請(qǐng)輸入采樣點(diǎn)數(shù)n:');n=0:n1;zb=size(n);figuresinf=sin(10*pi*n/zb(2));subplot(211);stem(n,sinf,'.');xlabel('n');ylabel('x(n)');title('采樣后的時(shí)域信號(hào)y=x(n)');