導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用課件

二、邊際與彈性三、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù)第六節(jié)一、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常用函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

第二章二、邊際與彈性三、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù)第六節(jié)一、經(jīng)濟(jì)學(xué)中

某一商品的需求量是指關(guān)于一定的價(jià)格水平，在一定的時(shí)間內(nèi)，消費(fèi)者愿意而且有支付能力購(gòu)買的商品量。一、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常見函數(shù)1.需求函數(shù)消費(fèi)者對(duì)某種商品的需求量是由多種因素決定的，例如，人口、收入、季節(jié)、該商品的價(jià)格、其他商品的價(jià)格等。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束某一商品的需求量是指關(guān)于一定的價(jià)格水平，在一如果除價(jià)格外，收入等其他因素在一定時(shí)期內(nèi)變化很少，即可認(rèn)為其他因素對(duì)需求量無影響，則需求量Q便是價(jià)格P的函數(shù)，記稱f為需求函數(shù)，同時(shí)f（P）的反函數(shù)也稱為需求函數(shù)。一般說來，商品價(jià)格的上漲會(huì)使需求量減少。因此，需求函數(shù)是單調(diào)減少的。如果除價(jià)格外，收入等其他因素在一定時(shí)期內(nèi)變化很少，即可認(rèn)為其人們根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，常使用下面簡(jiǎn)單的需求函數(shù)線性函數(shù)：，其中冪函數(shù)：，其中指數(shù)函數(shù)：，其中人們根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，常使用下面簡(jiǎn)單的需求函數(shù)線性函數(shù)：，其中冪例1設(shè)某商品需求函數(shù)為討論P(yáng)=0

時(shí)的需求量和Q=0

時(shí)的價(jià)格。解：當(dāng)P=0

時(shí)，Q=b，它表示當(dāng)價(jià)格為零時(shí)，消費(fèi)者對(duì)商品的需求量為b，b也就是市場(chǎng)對(duì)該商品的飽和需求量，也稱為最大需求量。當(dāng)Q=0

時(shí)，P=b/a，它表示當(dāng)價(jià)格上漲到b/a時(shí)，沒有人愿意購(gòu)買該產(chǎn)品。例1設(shè)某商品需求函數(shù)為討論P(yáng)=0時(shí)的需求量和Q2.供給函數(shù)

某一商品的供給量是指在一定的價(jià)格條件下，在一定的時(shí)期內(nèi)，生產(chǎn)者愿意生產(chǎn)并可供出出售的商品量。

供給量也是由多個(gè)因素決定的，如果認(rèn)為在一段時(shí)間內(nèi)除價(jià)格以外的其他因素變化很小，則供給量Q便是價(jià)格P的函數(shù)，設(shè)稱為供給函數(shù)。2.供給函數(shù)某一商品的供給量是指在一定的價(jià)一般說來，商品的市場(chǎng)價(jià)格越高，生產(chǎn)者愿意而且能夠向市場(chǎng)提供的商品量也就越多。因此一般的供給函數(shù)都是單調(diào)增加的。人們根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，常使用下面簡(jiǎn)單的供給函數(shù)線性函數(shù)：，其中冪函數(shù)：，其中指數(shù)函數(shù)：，其中一般說來，商品的市場(chǎng)價(jià)格越高，生產(chǎn)者愿意而且能夠向市場(chǎng)提供的使一種商品的市場(chǎng)需求量與供給量相等的價(jià)格（記為P0），稱為均衡價(jià)格。例2.已知某商品的需求函數(shù)和供給函數(shù)分別為求該商品均衡價(jià)格。解：由供需均衡條件，有由此，得均衡價(jià)格使一種商品的市場(chǎng)需求量與供給量相等的價(jià)格（記為P0），稱為均3.生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)表示了一定的時(shí)期內(nèi)各生產(chǎn)要素的投入量與產(chǎn)品的最大可能產(chǎn)量之間的關(guān)系。生產(chǎn)要素包括資金和勞動(dòng)力等多種要素。為方便起見，暫時(shí)先考慮只有一個(gè)投入變量，而其余投入皆為常量的情況。例3.

在電力輸送過程中，如果用x表示能量輸入，則能量輸出為y=f(x)，其中這里c>0

為容量參數(shù)。3.生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)表示了一定的時(shí)期內(nèi)各生產(chǎn)要素的投入量與規(guī)模報(bào)酬問題：當(dāng)投入增加一倍時(shí)，產(chǎn)出是否也增加一倍？例：設(shè)投入x與產(chǎn)出g(x)的關(guān)系為由于，可見，當(dāng)時(shí)，規(guī)模報(bào)酬不變；當(dāng)時(shí)，如果投入增加一倍，產(chǎn)量增加不到一倍，即規(guī)模報(bào)酬遞減；當(dāng)時(shí)，如果投入增加一倍，產(chǎn)量增加超過一倍，即規(guī)模報(bào)酬遞增。規(guī)模報(bào)酬問題：當(dāng)投入增加一倍時(shí)，產(chǎn)出是否也增加一倍？例：設(shè)投4.成本函數(shù)成本是生產(chǎn)一定數(shù)量產(chǎn)品所需要的各種生產(chǎn)要素投入的價(jià)格或費(fèi)用總額。成本由固定成本和可變成本組成。固定成本是指支付固定生產(chǎn)要素的費(fèi)用。包括廠房、設(shè)備折舊以及管理人員工資等；可變成本是指支付可變生產(chǎn)要素的費(fèi)用，包括原材料、燃料的支付以及生產(chǎn)工人的的工資，它隨著產(chǎn)量的變動(dòng)而變動(dòng)。4.成本函數(shù)成本是生產(chǎn)一定數(shù)量產(chǎn)品所需要的各種生產(chǎn)要素投入例4.設(shè)某廠的生產(chǎn)函數(shù)，其中L表示勞動(dòng)力數(shù)量，求勞動(dòng)力價(jià)格為1152時(shí)的可變成本函數(shù)解：由，得，這樣即可變成本函數(shù)例4.設(shè)某廠的生產(chǎn)函數(shù)，其中L表示勞動(dòng)力數(shù)量，求勞動(dòng)力5.收益函數(shù)總收益是生產(chǎn)者出售一定數(shù)量產(chǎn)品所得到的全部收入，用Q表示出售的產(chǎn)品數(shù)量，R

表示總收益，表示平均收益，則如果產(chǎn)品的價(jià)格P

保持不變，則5.收益函數(shù)總收益是生產(chǎn)者出售一定數(shù)量產(chǎn)品所得到的全部收入6.利潤(rùn)函數(shù)利潤(rùn)是生產(chǎn)中獲得的總收益與投入的總成本之差，即例6.已知某產(chǎn)品價(jià)格為P，需求函數(shù)為成本函數(shù)為，求產(chǎn)量Q

為多少時(shí)利潤(rùn)L最大？最大利潤(rùn)是多少？解：由需求函數(shù)，可得于是，收益函數(shù)為6.利潤(rùn)函數(shù)利潤(rùn)是生產(chǎn)中獲得的總收益與投入的總成本之差，即因此，時(shí)，最大利潤(rùn)為30。這樣，利潤(rùn)函數(shù)為因此，時(shí)，最大利潤(rùn)為30。這樣，利潤(rùn)函數(shù)為7.庫(kù)存函數(shù)設(shè)某企業(yè)在計(jì)劃期T內(nèi)，對(duì)某種物品的總需求量為Q，由于庫(kù)存費(fèi)用及資金占用等因素。顯然一次進(jìn)貨是不合算的，考慮均勻地分n

次進(jìn)貨，每次進(jìn)貨批量為，進(jìn)貨周期為假定每件物品的貯存單位時(shí)間費(fèi)用為C1，每次進(jìn)貨費(fèi)用為C2，每次進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨間隔時(shí)間不變，以勻速消耗貯存物品，則平均庫(kù)存為。7.庫(kù)存函數(shù)設(shè)某企業(yè)在計(jì)劃期T內(nèi)，對(duì)某種物品的總需求量在時(shí)間T內(nèi)的總費(fèi)用E為其中是貯存費(fèi)，是進(jìn)貨費(fèi)用。在時(shí)間T內(nèi)的總費(fèi)用E為其中是貯存費(fèi)，是進(jìn)貨費(fèi)用。8.戈珀茲（Gompertz）曲線戈珀茲曲線是指數(shù)函數(shù)在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中，經(jīng)常使用該曲線.當(dāng)初始期發(fā)展期飽和期時(shí)，其圖形如圖所示8.戈珀茲（Gompertz）曲線戈珀茲曲線是指數(shù)函數(shù)在初始期發(fā)展期飽和期由圖可見戈珀茲曲線當(dāng)t>0且無限增大時(shí)，其無限與直線y=k

接近，且始終位于該直線下方。在產(chǎn)品銷售預(yù)測(cè)中，當(dāng)預(yù)測(cè)銷售量充分接近到k的值時(shí)，表示該產(chǎn)品在商業(yè)流通中將達(dá)到市場(chǎng)飽和。初始期發(fā)展期飽和期由圖可見戈珀茲曲線當(dāng)t>0且無限增二、邊際與彈性1.邊際概念如果函數(shù)在處可導(dǎo)，則在內(nèi)的平均變化率為；在處的瞬時(shí)變化率經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱它為在處的邊際函數(shù)值。二、邊際與彈性1.邊際概念如果函數(shù)在處可導(dǎo)，則在內(nèi)的平均變?cè)O(shè)在點(diǎn)處，從改變一個(gè)單位時(shí)，的增量的準(zhǔn)確值為，當(dāng)改變量很小時(shí)，則由微分的應(yīng)用知道，的近似值為當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著x

由x0

減少一個(gè)單位。設(shè)在點(diǎn)處，從改變一個(gè)單位時(shí)，的增量的準(zhǔn)確值為，當(dāng)改變量很小時(shí)定義1設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，則稱導(dǎo)數(shù)的邊際函數(shù)。為在x0處的值為邊際函數(shù)值。即：當(dāng)x=x0時(shí)，x改變一個(gè)單位，y改變個(gè)單位。定義1設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，則稱導(dǎo)數(shù)的邊際函數(shù)。為在x0處的值例1解：例1解：（1）邊際成本2.經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的邊際函數(shù)（2）邊際平均成本總成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱為邊際成本。平均成本的導(dǎo)數(shù)，稱為平均邊際成本。（1）邊際成本2.經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的邊際函數(shù)（2）邊際平均一般說來，總成本等于固定成本與可變成本之和，即于是，邊際成本為顯然，邊際成本與固定成本無關(guān)。一般說來，總成本等于固定成本與可變成本之和，即于是，邊際成本例2.設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn)Q單位的總成本為求：（1）生產(chǎn)900個(gè)單位時(shí)的總成本和平均成本；（2）生產(chǎn)900個(gè)單位到1000個(gè)單位時(shí)的總成本的平均變化率；（3）生產(chǎn)900個(gè)的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。例2.設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn)Q單位的總成本為求：（1）生產(chǎn)900個(gè)總成本函數(shù)：解：（1）生產(chǎn)900個(gè)單位時(shí)的總成本為平均成本為總成本函數(shù)：解：（1）生產(chǎn)900個(gè)單位時(shí)的總成本為平均成本為

（2）生產(chǎn)900個(gè)單位到1000時(shí)總成本的平均變化率為總成本函數(shù)：解：（2）生產(chǎn)900個(gè)單位到1000時(shí)總成本的平總成本函數(shù)：解：

（3）邊際成本函數(shù)當(dāng)Q=900時(shí)的邊際成本為它表示當(dāng)產(chǎn)量為900

個(gè)單位時(shí)，再增加一個(gè)單位，需增加成本1.5個(gè)單位。（或減少）（或減少）總成本函數(shù)：解：（3）邊際成本函數(shù)當(dāng)Q=（3）邊際收益定義：總收益函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際收益函數(shù)。設(shè)P為價(jià)格，，因此（3）邊際收益定義：總收益函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際收益函數(shù)。設(shè)P解：總收益為銷售15個(gè)單位時(shí)，總收益平均收益解：總收益為銷售15個(gè)單位時(shí)，總收益平均收益邊際收益當(dāng)銷售量從15個(gè)單位到20個(gè)單位時(shí)的平均變化率為例4.當(dāng)某廠家打算生產(chǎn)一批商品投放市場(chǎng)，已知該商品的需求函數(shù)為，其中為需求量，為價(jià)格，且最大需求量為6，求該商品的收益函數(shù)和邊際函數(shù)。邊際收益當(dāng)銷售量從15個(gè)單位到20個(gè)單位時(shí)的平均變化率為例4解：（4）邊際利潤(rùn)定義：邊際利潤(rùn)表示：若已經(jīng)生產(chǎn)了Q單位產(chǎn)品，再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的總利潤(rùn)．收益函數(shù)邊際收益函數(shù)總利潤(rùn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際利潤(rùn)。解：（4）邊際利潤(rùn)定義：邊際利潤(rùn)表示：若已經(jīng)生產(chǎn)了Q單位產(chǎn)一般情況下，總利潤(rùn)函數(shù)等于總收益函數(shù)與總成本函數(shù)之差。即則邊際利潤(rùn)為顯然，邊際利潤(rùn)可由邊際收入與邊際成本決定，時(shí)，一般情況下，總利潤(rùn)函數(shù)等于總收益函數(shù)與總成本函數(shù)之差。即則邊例5.某工廠對(duì)其產(chǎn)品的情況進(jìn)行了大量統(tǒng)計(jì)分析后得出總利潤(rùn)（元）與每月產(chǎn)量（噸）的關(guān)系為，試確定每月生產(chǎn)20噸，25噸，35噸的邊際利潤(rùn)，并作出經(jīng)濟(jì)解釋。解：邊際利潤(rùn)函數(shù)為例5.某工廠對(duì)其產(chǎn)品的情況進(jìn)行了大量統(tǒng)計(jì)分析后得出總利潤(rùn)（元上述結(jié)果表明當(dāng)生產(chǎn)量為每月20噸時(shí)，再增加一噸，利潤(rùn)將增加50元，當(dāng)產(chǎn)量為每月25噸時(shí)，再增加一噸，利潤(rùn)不變；當(dāng)產(chǎn)量為35噸時(shí)，再增加一噸，利潤(rùn)將減少100．此處說明，對(duì)廠家來說，并非生產(chǎn)的產(chǎn)品越多，利潤(rùn)越高.邊際利潤(rùn)上述結(jié)果表明當(dāng)生產(chǎn)量為每月20噸時(shí)，再增加一噸，利潤(rùn)將增加5（5）邊際需求定義若是需求函數(shù)，則需求量對(duì)價(jià)格的導(dǎo)數(shù)稱為邊際需求函數(shù)。的反函數(shù)是價(jià)格函數(shù)，價(jià)格對(duì)需求的導(dǎo)數(shù)稱為邊際價(jià)格函數(shù)。由反函數(shù)求導(dǎo)法則可知，邊際需求函數(shù)與邊際價(jià)格函數(shù)互為倒數(shù)，即（5）邊際需求定義若是需求函數(shù)，則需求量對(duì)價(jià)格的導(dǎo)數(shù)稱為邊際解：它的經(jīng)濟(jì)意義是價(jià)格為4時(shí)，價(jià)格上漲（或下降）1個(gè)單位，需求量將減少（或增加）8個(gè)單位.當(dāng)時(shí)的邊際需求為解：它的經(jīng)濟(jì)意義是價(jià)格為4時(shí)，價(jià)格上漲（或下降）1個(gè)單位，需定義3.彈性概念設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，函數(shù)的相對(duì)改變量與自變量的相對(duì)改變量之比，稱為函數(shù)從到兩點(diǎn)間的平均相對(duì)變化率，或稱兩點(diǎn)間的彈性。注意：兩點(diǎn)間的彈性是有方向性的。定義3.彈性概念設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，函數(shù)的相對(duì)改變量與自變量記作，或即記作，或即彈性函數(shù)的定義對(duì)一般的，若可導(dǎo)且，則有是的函數(shù)，稱為的彈性函數(shù)（簡(jiǎn)稱彈性）函數(shù)在點(diǎn)處的彈性反映了的變化幅度對(duì)變化幅度的大小的影響，也就是對(duì)變化反應(yīng)的強(qiáng)烈程度或靈敏度。彈性函數(shù)的定義對(duì)一般的，若可導(dǎo)且，則有是的函數(shù)，稱為的彈性函表示在點(diǎn)處，當(dāng)產(chǎn)生1%的改變時(shí)，近似地改變。由彈性的定義邊際函數(shù)平均函數(shù)彈性在經(jīng)濟(jì)學(xué)上可理解為邊際函數(shù)與平均函數(shù)之比。表示在點(diǎn)處，當(dāng)產(chǎn)生1%的改變時(shí)，近似地改變。由彈性的定義邊際常見函數(shù)的彈性（a,b,c,為常數(shù)）（1）常數(shù)函數(shù)的彈性（2）線性函數(shù)的彈性（3）冪函數(shù)的彈性常見函數(shù)的彈性（a,b,c,為常數(shù)）（1）常常見函數(shù)的彈性（a,b,c,為常數(shù)）（4）指數(shù)函數(shù)的彈性（5）對(duì)數(shù)函數(shù)的彈性（6）三角函數(shù)的彈性，常見函數(shù)的彈性（a,b,c,為常數(shù)）（4）指彈性的四則運(yùn)算彈性的四則運(yùn)算函數(shù)彈性的圖解方案對(duì)于給定的函數(shù)的幾何意義知（如圖所示），由邊際函數(shù)又平均函數(shù)為則注：常用符號(hào)表示需求的價(jià)格彈性的絕對(duì)值函數(shù)彈性的圖解方案對(duì)于給定的函數(shù)的幾何意義知（如圖所示），由1.需求的價(jià)格彈性

需求的價(jià)格彈性是指當(dāng)價(jià)格變化一定的百分比以后引起的需求量的反應(yīng)程度.用公式表示為三、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù)解：例1某需求曲線為，求P=20時(shí)的彈性。，當(dāng)P=20時(shí)，Q=1000，所以1.需求的價(jià)格彈性需求的價(jià)格彈性是指當(dāng)價(jià)格變化一定幾種特殊的價(jià)格彈性從理論上來說，有以下四種特殊的需求彈性：（1）需求的價(jià)格彈性等于0。也就是說，這種商品完全沒有彈性，不管價(jià)格如何變，其需求量都不會(huì)發(fā)生變化。這種商品的需求曲線的圖形是一條垂直的直線。幾種特殊的價(jià)格彈性從理論上來說，有以下四種特殊的需求彈性：（（2）需求的價(jià)格彈性為無窮大。它表明商品在一定價(jià)格條件下，有多少就可以賣掉多少；然而想把價(jià)格稍微提高一點(diǎn)點(diǎn)，就可能一個(gè)也賣不掉。這種商品的需求曲線為一條水平的直線。在這市場(chǎng)里，不同企業(yè)的產(chǎn)品是同質(zhì)的，價(jià)格由市場(chǎng)供需關(guān)系所決定；（2）需求的價(jià)格彈性為無窮大。它表明商品在一定價(jià)格條件下，有（3）單位彈性。即需求曲線上各點(diǎn)的彈性均為1，也就是說，在任何價(jià)格水平下，價(jià)格變動(dòng)一個(gè)百分比時(shí)，需求量均按同樣的百分比變化。這種商品的需求曲線是一條雙曲線，其方程為P×Q=K。例如，當(dāng)一個(gè)人從每月的工資中拿出一定數(shù)量的錢，如100元，購(gòu)買書時(shí)，其個(gè)人對(duì)書的需求曲線就是一條雙曲線；（3）單位彈性。即需求曲線上各點(diǎn)的彈性均為1，也就是說，在任（4）需求曲線是一條傾斜的直線（如圖）。這里需求曲線的各點(diǎn)的彈性都是變化的。在其上端點(diǎn)（A），；在其上端點(diǎn)（B），需求曲線的中點(diǎn)（M），需求曲線的AM部分，，稱之為彈性需求；需求曲線的MB部分，，稱之為非彈性需求。（4）需求曲線是一條傾斜的直線（如圖）。這里需求在其上端點(diǎn)（例9.設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為，，其中P為價(jià)格，Q

為需求量：（1）當(dāng)P=10，且價(jià)格上漲1%時(shí)，需求量Q是增加還是減少，變化百分之幾？（2）討論商品價(jià)格變化時(shí)，需求量變化的情況。解：（1）需求彈性故例9.設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為，，其中P為價(jià)格，Q為需求量由于P和Q是按相反方向變化的，在P=10，且價(jià)格上漲1%時(shí)需求量Q則減少（2）當(dāng)，即時(shí)，因，故，即。因而當(dāng)價(jià)格P在0與25之間變化，且上漲（下降）1%時(shí)，需求量減少（增加），小于價(jià)格上漲（下降）的百分比（因）；由于P和Q是按相反方向變化的，在P=10，（2）當(dāng)，即，得這表明P=25時(shí)，需求量的變動(dòng)與價(jià)格變動(dòng)按相同的百分比進(jìn)行；當(dāng)，即時(shí)，顯然得于是，當(dāng)且價(jià)格P上漲（下降）1%時(shí)，需求量減少（增加），大于價(jià)格上漲（下降）的百分比（因）。當(dāng)，即，得這表明P=25時(shí)，需求量的變動(dòng)與價(jià)格變動(dòng)按相需求彈性與總收益（市場(chǎng)銷售總額）的關(guān)系總收益邊際總收益需求彈性與總收益（市場(chǎng)銷售總額）的關(guān)系總收益邊際總收益邊際總收益（1）若，需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度此時(shí)，邊際收益大于零，即價(jià)格上漲，總收益增加，價(jià)格下跌，總收益減少；（2）若，需求變動(dòng)的幅度大于價(jià)格變動(dòng)的幅度此時(shí)，邊際收益小于零，即價(jià)格上漲，總收益減少，價(jià)格下跌，總收益增加；邊際總收益（1）若，需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度此時(shí)，邊綜上所述，總收益的變化受需求彈性的制約，隨商品需求彈性的變化而變化，其關(guān)系如圖所示。邊際總收益（3）若，需求變動(dòng)的幅度等于價(jià)格變動(dòng)的幅度此時(shí)，邊際收益等于零，即總收益保持不變。綜上所述，總收益的變化受需求彈性的制約，隨邊際總收益（3）若2.供給彈性定義：供給彈性通常指的是供給的價(jià)格彈性。設(shè)供給曲線，則供給彈性為式中為供給的價(jià)格彈性。例10.設(shè)某產(chǎn)品的供給函數(shù)為，求供給彈性函數(shù)及當(dāng)時(shí)的供給彈性。解：，故當(dāng)時(shí)，2.供給彈性定義：供給彈性通常指的是供給的價(jià)格彈性。設(shè)供給3.收益彈性收益的價(jià)格彈性收益的銷售彈性例11.設(shè)分別為銷售總收益，商品價(jià)格，銷售量（1）試分別求出收益的價(jià)格彈性，收益的銷售彈性與需求的價(jià)格彈性的關(guān)系；（2）試分別解出關(guān)于價(jià)格的邊際收益，關(guān)于需求的邊際收益與需求價(jià)格彈性的關(guān)系。3.收益彈性收益的價(jià)格彈性收益的銷售彈性例11.設(shè)分別為銷解：（1）設(shè)，，故（2）由（1）知，故和解：（1）設(shè)，，故（2）由（1）知，故和故得例12.某商品的需求量關(guān)于價(jià)格的函數(shù)為（1）求P=4時(shí)的需求的價(jià)格彈性，并說明其經(jīng)濟(jì)意義。（2）P=4

時(shí)，若價(jià)格提高1%，總收益是增加還是減少，變化百分之幾？故得例12.某商品的需求量關(guān)于價(jià)格的函數(shù)為（1）求P=4時(shí)解：（1）時(shí)，經(jīng)濟(jì)意義：時(shí)，價(jià)格上漲（下降）1%，需求量減少0.54%。（2）由例11可知故即當(dāng)價(jià)格上漲1%時(shí)，總收益增加0.46%。解：（1）時(shí)，經(jīng)濟(jì)意義：時(shí)，價(jià)格上漲（下降）1%，需求量減少導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用課件二、邊際與彈性三、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù)第六節(jié)一、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常用函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

第二章二、邊際與彈性三、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù)第六節(jié)一、經(jīng)濟(jì)學(xué)中

某一商品的需求量是指關(guān)于一定的價(jià)格水平，在一定的時(shí)間內(nèi)，消費(fèi)者愿意而且有支付能力購(gòu)買的商品量。一、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常見函數(shù)1.需求函數(shù)消費(fèi)者對(duì)某種商品的需求量是由多種因素決定的，例如，人口、收入、季節(jié)、該商品的價(jià)格、其他商品的價(jià)格等。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束某一商品的需求量是指關(guān)于一定的價(jià)格水平，在一如果除價(jià)格外，收入等其他因素在一定時(shí)期內(nèi)變化很少，即可認(rèn)為其他因素對(duì)需求量無影響，則需求量Q便是價(jià)格P的函數(shù)，記稱f為需求函數(shù)，同時(shí)f（P）的反函數(shù)也稱為需求函數(shù)。一般說來，商品價(jià)格的上漲會(huì)使需求量減少。因此，需求函數(shù)是單調(diào)減少的。如果除價(jià)格外，收入等其他因素在一定時(shí)期內(nèi)變化很少，即可認(rèn)為其人們根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，常使用下面簡(jiǎn)單的需求函數(shù)線性函數(shù)：，其中冪函數(shù)：，其中指數(shù)函數(shù)：，其中人們根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，常使用下面簡(jiǎn)單的需求函數(shù)線性函數(shù)：，其中冪例1設(shè)某商品需求函數(shù)為討論P(yáng)=0

時(shí)的需求量和Q=0

時(shí)的價(jià)格。解：當(dāng)P=0

時(shí)，Q=b，它表示當(dāng)價(jià)格為零時(shí)，消費(fèi)者對(duì)商品的需求量為b，b也就是市場(chǎng)對(duì)該商品的飽和需求量，也稱為最大需求量。當(dāng)Q=0

時(shí)，P=b/a，它表示當(dāng)價(jià)格上漲到b/a時(shí)，沒有人愿意購(gòu)買該產(chǎn)品。例1設(shè)某商品需求函數(shù)為討論P(yáng)=0時(shí)的需求量和Q2.供給函數(shù)

某一商品的供給量是指在一定的價(jià)格條件下，在一定的時(shí)期內(nèi)，生產(chǎn)者愿意生產(chǎn)并可供出出售的商品量。

供給量也是由多個(gè)因素決定的，如果認(rèn)為在一段時(shí)間內(nèi)除價(jià)格以外的其他因素變化很小，則供給量Q便是價(jià)格P的函數(shù)，設(shè)稱為供給函數(shù)。2.供給函數(shù)某一商品的供給量是指在一定的價(jià)一般說來，商品的市場(chǎng)價(jià)格越高，生產(chǎn)者愿意而且能夠向市場(chǎng)提供的商品量也就越多。因此一般的供給函數(shù)都是單調(diào)增加的。人們根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，常使用下面簡(jiǎn)單的供給函數(shù)線性函數(shù)：，其中冪函數(shù)：，其中指數(shù)函數(shù)：，其中一般說來，商品的市場(chǎng)價(jià)格越高，生產(chǎn)者愿意而且能夠向市場(chǎng)提供的使一種商品的市場(chǎng)需求量與供給量相等的價(jià)格（記為P0），稱為均衡價(jià)格。例2.已知某商品的需求函數(shù)和供給函數(shù)分別為求該商品均衡價(jià)格。解：由供需均衡條件，有由此，得均衡價(jià)格使一種商品的市場(chǎng)需求量與供給量相等的價(jià)格（記為P0），稱為均3.生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)表示了一定的時(shí)期內(nèi)各生產(chǎn)要素的投入量與產(chǎn)品的最大可能產(chǎn)量之間的關(guān)系。生產(chǎn)要素包括資金和勞動(dòng)力等多種要素。為方便起見，暫時(shí)先考慮只有一個(gè)投入變量，而其余投入皆為常量的情況。例3.

在電力輸送過程中，如果用x表示能量輸入，則能量輸出為y=f(x)，其中這里c>0

為容量參數(shù)。3.生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)表示了一定的時(shí)期內(nèi)各生產(chǎn)要素的投入量與規(guī)模報(bào)酬問題：當(dāng)投入增加一倍時(shí)，產(chǎn)出是否也增加一倍？例：設(shè)投入x與產(chǎn)出g(x)的關(guān)系為由于，可見，當(dāng)時(shí)，規(guī)模報(bào)酬不變；當(dāng)時(shí)，如果投入增加一倍，產(chǎn)量增加不到一倍，即規(guī)模報(bào)酬遞減；當(dāng)時(shí)，如果投入增加一倍，產(chǎn)量增加超過一倍，即規(guī)模報(bào)酬遞增。規(guī)模報(bào)酬問題：當(dāng)投入增加一倍時(shí)，產(chǎn)出是否也增加一倍？例：設(shè)投4.成本函數(shù)成本是生產(chǎn)一定數(shù)量產(chǎn)品所需要的各種生產(chǎn)要素投入的價(jià)格或費(fèi)用總額。成本由固定成本和可變成本組成。固定成本是指支付固定生產(chǎn)要素的費(fèi)用。包括廠房、設(shè)備折舊以及管理人員工資等；可變成本是指支付可變生產(chǎn)要素的費(fèi)用，包括原材料、燃料的支付以及生產(chǎn)工人的的工資，它隨著產(chǎn)量的變動(dòng)而變動(dòng)。4.成本函數(shù)成本是生產(chǎn)一定數(shù)量產(chǎn)品所需要的各種生產(chǎn)要素投入例4.設(shè)某廠的生產(chǎn)函數(shù)，其中L表示勞動(dòng)力數(shù)量，求勞動(dòng)力價(jià)格為1152時(shí)的可變成本函數(shù)解：由，得，這樣即可變成本函數(shù)例4.設(shè)某廠的生產(chǎn)函數(shù)，其中L表示勞動(dòng)力數(shù)量，求勞動(dòng)力5.收益函數(shù)總收益是生產(chǎn)者出售一定數(shù)量產(chǎn)品所得到的全部收入，用Q表示出售的產(chǎn)品數(shù)量，R

表示總收益，表示平均收益，則如果產(chǎn)品的價(jià)格P

保持不變，則5.收益函數(shù)總收益是生產(chǎn)者出售一定數(shù)量產(chǎn)品所得到的全部收入6.利潤(rùn)函數(shù)利潤(rùn)是生產(chǎn)中獲得的總收益與投入的總成本之差，即例6.已知某產(chǎn)品價(jià)格為P，需求函數(shù)為成本函數(shù)為，求產(chǎn)量Q

為多少時(shí)利潤(rùn)L最大？最大利潤(rùn)是多少？解：由需求函數(shù)，可得于是，收益函數(shù)為6.利潤(rùn)函數(shù)利潤(rùn)是生產(chǎn)中獲得的總收益與投入的總成本之差，即因此，時(shí)，最大利潤(rùn)為30。這樣，利潤(rùn)函數(shù)為因此，時(shí)，最大利潤(rùn)為30。這樣，利潤(rùn)函數(shù)為7.庫(kù)存函數(shù)設(shè)某企業(yè)在計(jì)劃期T內(nèi)，對(duì)某種物品的總需求量為Q，由于庫(kù)存費(fèi)用及資金占用等因素。顯然一次進(jìn)貨是不合算的，考慮均勻地分n

次進(jìn)貨，每次進(jìn)貨批量為，進(jìn)貨周期為假定每件物品的貯存單位時(shí)間費(fèi)用為C1，每次進(jìn)貨費(fèi)用為C2，每次進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨間隔時(shí)間不變，以勻速消耗貯存物品，則平均庫(kù)存為。7.庫(kù)存函數(shù)設(shè)某企業(yè)在計(jì)劃期T內(nèi)，對(duì)某種物品的總需求量在時(shí)間T內(nèi)的總費(fèi)用E為其中是貯存費(fèi)，是進(jìn)貨費(fèi)用。在時(shí)間T內(nèi)的總費(fèi)用E為其中是貯存費(fèi)，是進(jìn)貨費(fèi)用。8.戈珀茲（Gompertz）曲線戈珀茲曲線是指數(shù)函數(shù)在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中，經(jīng)常使用該曲線.當(dāng)初始期發(fā)展期飽和期時(shí)，其圖形如圖所示8.戈珀茲（Gompertz）曲線戈珀茲曲線是指數(shù)函數(shù)在初始期發(fā)展期飽和期由圖可見戈珀茲曲線當(dāng)t>0且無限增大時(shí)，其無限與直線y=k

接近，且始終位于該直線下方。在產(chǎn)品銷售預(yù)測(cè)中，當(dāng)預(yù)測(cè)銷售量充分接近到k的值時(shí)，表示該產(chǎn)品在商業(yè)流通中將達(dá)到市場(chǎng)飽和。初始期發(fā)展期飽和期由圖可見戈珀茲曲線當(dāng)t>0且無限增二、邊際與彈性1.邊際概念如果函數(shù)在處可導(dǎo)，則在內(nèi)的平均變化率為；在處的瞬時(shí)變化率經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱它為在處的邊際函數(shù)值。二、邊際與彈性1.邊際概念如果函數(shù)在處可導(dǎo)，則在內(nèi)的平均變?cè)O(shè)在點(diǎn)處，從改變一個(gè)單位時(shí)，的增量的準(zhǔn)確值為，當(dāng)改變量很小時(shí)，則由微分的應(yīng)用知道，的近似值為當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著x

由x0

減少一個(gè)單位。設(shè)在點(diǎn)處，從改變一個(gè)單位時(shí)，的增量的準(zhǔn)確值為，當(dāng)改變量很小時(shí)定義1設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，則稱導(dǎo)數(shù)的邊際函數(shù)。為在x0處的值為邊際函數(shù)值。即：當(dāng)x=x0時(shí)，x改變一個(gè)單位，y改變個(gè)單位。定義1設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，則稱導(dǎo)數(shù)的邊際函數(shù)。為在x0處的值例1解：例1解：（1）邊際成本2.經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的邊際函數(shù)（2）邊際平均成本總成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱為邊際成本。平均成本的導(dǎo)數(shù)，稱為平均邊際成本。（1）邊際成本2.經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的邊際函數(shù)（2）邊際平均一般說來，總成本等于固定成本與可變成本之和，即于是，邊際成本為顯然，邊際成本與固定成本無關(guān)。一般說來，總成本等于固定成本與可變成本之和，即于是，邊際成本例2.設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn)Q單位的總成本為求：（1）生產(chǎn)900個(gè)單位時(shí)的總成本和平均成本；（2）生產(chǎn)900個(gè)單位到1000個(gè)單位時(shí)的總成本的平均變化率；（3）生產(chǎn)900個(gè)的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。例2.設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn)Q單位的總成本為求：（1）生產(chǎn)900個(gè)總成本函數(shù)：解：（1）生產(chǎn)900個(gè)單位時(shí)的總成本為平均成本為總成本函數(shù)：解：（1）生產(chǎn)900個(gè)單位時(shí)的總成本為平均成本為

（2）生產(chǎn)900個(gè)單位到1000時(shí)總成本的平均變化率為總成本函數(shù)：解：（2）生產(chǎn)900個(gè)單位到1000時(shí)總成本的平總成本函數(shù)：解：

（3）邊際成本函數(shù)當(dāng)Q=900時(shí)的邊際成本為它表示當(dāng)產(chǎn)量為900

個(gè)單位時(shí)，再增加一個(gè)單位，需增加成本1.5個(gè)單位。（或減少）（或減少）總成本函數(shù)：解：（3）邊際成本函數(shù)當(dāng)Q=（3）邊際收益定義：總收益函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際收益函數(shù)。設(shè)P為價(jià)格，，因此（3）邊際收益定義：總收益函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際收益函數(shù)。設(shè)P解：總收益為銷售15個(gè)單位時(shí)，總收益平均收益解：總收益為銷售15個(gè)單位時(shí)，總收益平均收益邊際收益當(dāng)銷售量從15個(gè)單位到20個(gè)單位時(shí)的平均變化率為例4.當(dāng)某廠家打算生產(chǎn)一批商品投放市場(chǎng)，已知該商品的需求函數(shù)為，其中為需求量，為價(jià)格，且最大需求量為6，求該商品的收益函數(shù)和邊際函數(shù)。邊際收益當(dāng)銷售量從15個(gè)單位到20個(gè)單位時(shí)的平均變化率為例4解：（4）邊際利潤(rùn)定義：邊際利潤(rùn)表示：若已經(jīng)生產(chǎn)了Q單位產(chǎn)品，再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的總利潤(rùn)．收益函數(shù)邊際收益函數(shù)總利潤(rùn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際利潤(rùn)。解：（4）邊際利潤(rùn)定義：邊際利潤(rùn)表示：若已經(jīng)生產(chǎn)了Q單位產(chǎn)一般情況下，總利潤(rùn)函數(shù)等于總收益函數(shù)與總成本函數(shù)之差。即則邊際利潤(rùn)為顯然，邊際利潤(rùn)可由邊際收入與邊際成本決定，時(shí)，一般情況下，總利潤(rùn)函數(shù)等于總收益函數(shù)與總成本函數(shù)之差。即則邊例5.某工廠對(duì)其產(chǎn)品的情況進(jìn)行了大量統(tǒng)計(jì)分析后得出總利潤(rùn)（元）與每月產(chǎn)量（噸）的關(guān)系為，試確定每月生產(chǎn)20噸，25噸，35噸的邊際利潤(rùn)，并作出經(jīng)濟(jì)解釋。解：邊際利潤(rùn)函數(shù)為例5.某工廠對(duì)其產(chǎn)品的情況進(jìn)行了大量統(tǒng)計(jì)分析后得出總利潤(rùn)（元上述結(jié)果表明當(dāng)生產(chǎn)量為每月20噸時(shí)，再增加一噸，利潤(rùn)將增加50元，當(dāng)產(chǎn)量為每月25噸時(shí)，再增加一噸，利潤(rùn)不變；當(dāng)產(chǎn)量為35噸時(shí)，再增加一噸，利潤(rùn)將減少100．此處說明，對(duì)廠家來說，并非生產(chǎn)的產(chǎn)品越多，利潤(rùn)越高.邊際利潤(rùn)上述結(jié)果表明當(dāng)生產(chǎn)量為每月20噸時(shí)，再增加一噸，利潤(rùn)將增加5（5）邊際需求定義若是需求函數(shù)，則需求量對(duì)價(jià)格的導(dǎo)數(shù)稱為邊際需求函數(shù)。的反函數(shù)是價(jià)格函數(shù)，價(jià)格對(duì)需求的導(dǎo)數(shù)稱為邊際價(jià)格函數(shù)。由反函數(shù)求導(dǎo)法則可知，邊際需求函數(shù)與邊際價(jià)格函數(shù)互為倒數(shù)，即（5）邊際需求定義若是需求函數(shù)，則需求量對(duì)價(jià)格的導(dǎo)數(shù)稱為邊際解：它的經(jīng)濟(jì)意義是價(jià)格為4時(shí)，價(jià)格上漲（或下降）1個(gè)單位，需求量將減少（或增加）8個(gè)單位.當(dāng)時(shí)的邊際需求為解：它的經(jīng)濟(jì)意義是價(jià)格為4時(shí)，價(jià)格上漲（或下降）1個(gè)單位，需定義3.彈性概念設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，函數(shù)的相對(duì)改變量與自變量的相對(duì)改變量之比，稱為函數(shù)從到兩點(diǎn)間的平均相對(duì)變化率，或稱兩點(diǎn)間的彈性。注意：兩點(diǎn)間的彈性是有方向性的。定義3.彈性概念設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，函數(shù)的相對(duì)改變量與自變量記作，或即記作，或即彈性函數(shù)的定義對(duì)一般的，若可導(dǎo)且，則有是的函數(shù)，稱為的彈性函數(shù)（簡(jiǎn)稱彈性）函數(shù)在點(diǎn)處的彈性反映了的變化幅度對(duì)變化幅度的大小的影響，也就是對(duì)變化反應(yīng)的強(qiáng)烈程度或靈敏度。彈性函數(shù)的定義對(duì)一般的，若可導(dǎo)且，則有是的函數(shù)，稱為的彈性函表示在點(diǎn)處，當(dāng)產(chǎn)生1%的改變時(shí)，近似地改變。由彈性的定義邊際函數(shù)平均函數(shù)彈性在經(jīng)濟(jì)學(xué)上可理解為邊際函數(shù)與平均函數(shù)之比。表示在點(diǎn)處，當(dāng)產(chǎn)生1%的改變時(shí)，近似地改變。由彈性的定義邊際常見函數(shù)的彈性（a,b,c,為常數(shù)）（1）常數(shù)函數(shù)的彈性（2）線性函數(shù)的彈性（3）冪函數(shù)的彈性常見函數(shù)的彈性（a,b,c,為常數(shù)）（1）常常見函數(shù)的彈性（a,b,c,為常數(shù)）（4）指數(shù)函數(shù)的彈性（5）對(duì)數(shù)函數(shù)的彈性（6）三角函數(shù)的彈性，常見函數(shù)的彈性（a,b,c,為常數(shù)）（4）指彈性的四則運(yùn)算彈性的四則運(yùn)算函數(shù)彈性的圖解方案對(duì)于給定的函數(shù)的幾何意義知（如圖所示），由邊際函數(shù)又平均函數(shù)為則注：常用符號(hào)表示需求的價(jià)格彈性的絕對(duì)值函數(shù)彈性的圖解方案對(duì)于給定的函數(shù)的幾何意義知（如圖所示），由1.需求的價(jià)格彈性

需求的價(jià)格彈性是指當(dāng)價(jià)格變化一定的百分比以后引起的需求量的反應(yīng)程度.用公式表示為三、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù)解：例1某需求曲線為，求P=20時(shí)的彈性。，當(dāng)P=20時(shí)，Q=1000，所以1.需求的價(jià)格彈性需求的價(jià)格彈性是指當(dāng)價(jià)格變化一定幾種特殊的價(jià)格彈性從理論上來說，有以下四種特殊的需求彈性：（1）需求的價(jià)格彈性等于0。也就是說，這種商品完全沒有彈性，不管價(jià)格如何變，其需求量都不會(huì)發(fā)生變化。這種商品的需求曲線的圖形是一條垂直的直線。幾種特殊的價(jià)格彈性從理論上來說，有以下四種特殊的需求彈性：（（2）需求的價(jià)格彈性為無窮大。它表明商品在一定價(jià)格條件下，有多少就可以賣掉多少；然而想把價(jià)格稍微提高一點(diǎn)點(diǎn)，就可能一個(gè)也賣不掉。這種商品的需求曲線為一條水平的直線。在這市場(chǎng)里，不同企業(yè)的產(chǎn)品是同質(zhì)的，價(jià)格由市場(chǎng)供需關(guān)系所決定；（2）需求的價(jià)格彈性為無窮大。它表明商品在一定價(jià)格條件下，有（3）單位彈性。即需求曲線上各點(diǎn)的彈性均為1，也就是說，在任何價(jià)格水平下，價(jià)格變動(dòng)一個(gè)百分比時(shí)，需求量均按同樣的百分比變化。這種商品的需求曲線是一條雙曲線，其方程為P×Q=K。例如，當(dāng)一個(gè)人從每月的工資中拿出一定數(shù)量的錢，如100元，購(gòu)買書時(shí)，其個(gè)人對(duì)書的需求曲線就是一條雙曲線；（3）單位彈性。即需求曲線上各點(diǎn)的彈性均為1，也就是說，在任（4）需求曲線是一條傾斜的直線（如圖）。這里需求曲線的各點(diǎn)的彈性都是變化的。在其上端點(diǎn)