2020屆浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題

2020屆浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題考生注意：1.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上.3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上的答案一律無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.參考公式：若事件A，B互斥，則若事件A，B相互獨(dú)立，則若事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，則n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率臺(tái)體的體積公式：，其中，分別表示臺(tái)體的上、下底而積，h表示臺(tái)體的高柱體的體積公式：，其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高錐體的體積公式：，其中S表示錐體的底面積，h表示錐體的高球的表面積公式：，球的體積公式：，其中R表示球的半徑選擇題部分（共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)并集的定義計(jì)算,【詳解】∵，，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集運(yùn)算，屬于簡單題．2.雙曲線的實(shí)軸長為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程知實(shí)軸長為2a，可知雙曲線的實(shí)軸長【詳解】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，實(shí)軸長為2a可知：在雙曲線中，實(shí)軸長為4故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，利用標(biāo)準(zhǔn)方程及實(shí)軸定義求實(shí)軸長.3.已知圓，直線l過點(diǎn)且傾斜角為，則“”是“直線l與圓C相切”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】求出直線與圓相切時(shí)的值，然后判斷．【詳解】圓是以為圓心，1為半徑的圓，因此過點(diǎn)的切線有兩條，方程是和，傾斜角為或．∴“”是“直線l與圓C相切”的充分不必要條件．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷，充分必要條件的判斷方法有兩種,一種是根據(jù)充分必要條件的定義判斷，另一種是根據(jù)充分必要條件與集合包含之間的關(guān)系判斷．4.若復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A.-6 B.6 C.4 D.3【答案】A【解析】【分析】把已知復(fù)數(shù)利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，然后由實(shí)部等于0且虛部不等于0求得a的值．【詳解】∵為純虛數(shù)，∴a+6=0且3?2a≠0，解得：a=?6.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算及復(fù)數(shù)概念的應(yīng)用，純虛數(shù)為實(shí)部等于0且虛部不等于0，得出結(jié)果后一定要做驗(yàn)證，屬于基礎(chǔ)題.5.已知函數(shù)，則的圖象大致為（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)特殊值的函數(shù)值排除，從而選.【詳解】因?yàn)?，所以選項(xiàng)A錯(cuò)；因?yàn)椋赃x項(xiàng)C錯(cuò)；因?yàn)椋赃x項(xiàng)D錯(cuò)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，考查了特值排除法，屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)，是條不同的直線，是一個(gè)平面，以下命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】逐項(xiàng)進(jìn)行分析，在選項(xiàng)A中，l與m相交、平行或異面；在選項(xiàng)B中，m與α相交、平行或m?α；在選項(xiàng)C中，m∥α或m?α；在選項(xiàng)D中，由線面垂直的性質(zhì)定理得l∥m．【詳解】由l，m是條不同的直線，α是一個(gè)平面，知：

在選項(xiàng)A中，若l∥α，m∥α，則l與m相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；

在選項(xiàng)B中，若l∥α，m⊥l，則m與α相交、平行或m?α，故B錯(cuò)誤；

在選項(xiàng)C中，若l⊥α，m⊥l，則m∥α或m?α，故C錯(cuò)誤；

在選項(xiàng)D中，若l⊥α，m⊥α，則由線面垂直的性質(zhì)定理得l∥m，故D正確．

故選D．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題．7.《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，問芒種日影長為（）A.一尺五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸 D.四尺五寸【答案】B【解析】【分析】從冬至日起各節(jié)氣日影長設(shè)為，可得為等差數(shù)列，根據(jù)已知結(jié)合前項(xiàng)和公式和等差中項(xiàng)關(guān)系，求出通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】由題知各節(jié)氣日影長依次成等差數(shù)列，設(shè)為，是其前項(xiàng)和，則，所以，由題知，所以，所以公差，所以，故芒種日影長為二尺五寸.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列應(yīng)用問題，考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的基本量運(yùn)算，屬于中檔題.8.設(shè)，，為平面向量，，若，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出與的夾角，在直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)表示、且設(shè)，有=2x，結(jié)合用坐標(biāo)表示數(shù)量積，可得到方程，根據(jù)方程有解求x范圍即可求得的最大值.【詳解】∵，若與的夾角為知,∴，建立直角坐標(biāo)系，令，設(shè),而=2x，故求它的最大值即是求x的最大值,故，，又即∴，即,方程有解：,解得：.∴的最大值為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積求最值，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式，結(jié)合一元二次方程有解求參數(shù)范圍，進(jìn)而求最大值9.定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，以及f（x+2）=f（-x）即可得出f（x+4）=f（x），即得出f（x）的周期為4，從而可得出f（2018）=f（0），，然后可根據(jù)f（x）在[0，1]上的解析式可判斷f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，從而可得出結(jié)果.【詳解】∵f（x）是奇函數(shù)；∴f（x+2）=f（-x）=-f（x）；∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）；

∴f（x）的周期為4；∴f（2018）=f（2+4×504）=f（2）=f（0），,∵x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2x-cosx單調(diào)遞增；∴f(0)＜＜∴,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查奇函數(shù)，周期函數(shù)的定義，指數(shù)函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性，以及增函數(shù)的定義，屬于中檔題.10.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，并滿足：對任意，都有，則下列命題不一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，對分為、、三種情況討論，在時(shí)驗(yàn)證即可；在時(shí)，取，可設(shè)，根據(jù)恒成立求得實(shí)數(shù)的取值范圍，逐一驗(yàn)證各選項(xiàng)即可；同理可判斷出時(shí)各選項(xiàng)的正誤.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.①當(dāng)時(shí)，則，，則對任意的恒成立，A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)都成立；②當(dāng)時(shí)，不妨取，記，則，由可得，即，則，令，可得；令，可得.，則，解關(guān)于的不等式，可得或，所以或.由于數(shù)列單調(diào)遞減，該數(shù)列沒有最小項(xiàng)；由雙勾函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間[1010,+∞)上單調(diào)遞增，所以，數(shù)列單調(diào)遞減，該數(shù)列的最大項(xiàng)為，.對于A選項(xiàng)，，，則，，，則，所以，，A選項(xiàng)成立；對于B選項(xiàng)，，則，，，則，所以，，B選項(xiàng)成立；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.滿足，.對于C選項(xiàng)，，，，，當(dāng)時(shí)，，所以，C選項(xiàng)不一定成立；對于D選項(xiàng)，，，所以，，D選項(xiàng)成立；③當(dāng)時(shí)，由②同理可知，C選項(xiàng)不一定成立.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列不等式的驗(yàn)證，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.非選擇題部分（共110分）二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.11.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若E(X)=3，，則________，________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】首先根據(jù)已知條件得到，解不等式組即可得到，再計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若E(X)=3，，所以，解得，即隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布..故答案為：，【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布的均值和方差，同時(shí)考查次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，屬于簡單題.12.已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值為________；的取值范圍是________.【答案】(1).2(2).【解析】【分析】首先根據(jù)題意畫出可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義結(jié)合圖形即可得到答案.【詳解】不等式組表示的可行域如圖所示,由目標(biāo)函數(shù)得到，的幾何意義表示直線的軸截距的倍.所以當(dāng)直線過時(shí)，取得最小值，.令，的幾何意義表示：可行域內(nèi)的點(diǎn)與構(gòu)成的斜率.由圖知：，，故.故答案為：(1)；(2)【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.13.若將函數(shù)表示為，其中，，，，為實(shí)數(shù)，則________，________.【答案】(1).35(2).64【解析】【分析】首先將轉(zhuǎn)化為，再利用二項(xiàng)式定理得展開式即可得到的值；分別令和，再把兩個(gè)式子相加除以2即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所?令得：①，令得：②，①②得到，所以.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理，同時(shí)考查學(xué)生分析問題的能力，屬于簡單題.14.己知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，且，則________；又若，，△ABC有兩解，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由結(jié)合正弦定理化簡得到，由即可得到A的大??；同樣由正弦定理及，，(1)的結(jié)論可得，且△ABC有兩解，即可知，可求x的范圍.【詳解】知,，而,∴,即，又,∴,由，,而有：，即,且△ABC有兩解，知：,∴,故答案：(1)；(2).【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，運(yùn)用了兩角和差的正弦公式，三角形內(nèi)角和為，化簡求值和參數(shù)范圍.15.已知拋物線，過點(diǎn)作直線交拋物線于另一點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作與軸垂直的直線，交拋物線于點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】由，可設(shè)，由題意逐步表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，于是可以表示出并求得其最小值.【詳解】由，可設(shè).因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以.所以直線的方程為.代入，可得.因?yàn)?，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得.所以.所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即的最小值為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的基本問題，設(shè)出坐標(biāo)表示出目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)求最值.16.將5個(gè)不同的小球全部放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子中所放的球的個(gè)數(shù)不大于其編號(hào)數(shù)，則共有_________種不同的放法.【答案】535【解析】【分析】根據(jù)每個(gè)盒子中所放的球的個(gè)數(shù)不大于其編號(hào)數(shù)，將每個(gè)盒子能放入的球個(gè)數(shù)列舉出來，由總球數(shù)為5，以可能的球數(shù)組合列舉分組，結(jié)合組合數(shù)求出它們所有不同放法.【詳解】四個(gè)盒子放球的個(gè)數(shù)如下1號(hào)盒子：{0，1}2號(hào)盒子：{0，1，2}3號(hào)盒子：{0，1，2，3}4號(hào)盒子：{0，1，2，3，4}結(jié)合由5個(gè)不同的小球全部放入盒子中，不同組合下放法5=1+4：種5=2+3：種5=1+1+3：種5=1+2+2：種5=1+1+1+2：種∴5個(gè)相同的小球放入四個(gè)盒子方式共有535種.故答案為：535.【點(diǎn)睛】本題考查了組合數(shù)，對問題分類、分組，應(yīng)用組合數(shù)的計(jì)算17.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，，，若球的表面積為，則三棱錐的側(cè)面積的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)球的性質(zhì)可知球心必在過中點(diǎn)且平行于的直線上，根據(jù)勾股定理可確定；根據(jù)球的表面積公式可確定半徑，勾股定理可得到；將三棱錐側(cè)面積表示為，利用基本不等式可求得最大值.【詳解】取中點(diǎn),為的外接圓圓心,過作的平行線，由球的性質(zhì)可知，球心必在此平行線上,作，交于，如圖所示：，，球的表面積為球的半徑設(shè)，由得又，，三棱錐側(cè)面積由得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查空間多面體的外接球的相關(guān)問題的求解，涉及到利用基本不等式求解最值的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)球的性質(zhì)確定球心位置，從而利用勾股定理得到變量所滿足的等量關(guān)系，從而結(jié)合基本不等式求得結(jié)果.三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.18.設(shè)函數(shù)的最小值是.（1）求a的值及的對稱中心;（2）將函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)壓縮為原來的一半（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位，得到的圖象，若，求的取值范圍.【答案】（1），對稱中心是；（2）.【解析】【分析】（1）首先利用三角函數(shù)恒等變換化簡得到，根據(jù)的最小值得到，再求的對稱中心即可.（2）首先根據(jù)三角函數(shù)的平移變換得到，再解不等式即可.【詳解】（1）.因?yàn)?，所以，?令，解得.所以的對稱中心是；（2），因?yàn)?，即，所以，解得?的取值范圍是.【點(diǎn)睛】第一問考查三角函數(shù)的恒等變換，同時(shí)考查正弦函數(shù)的對稱性，第二問考查正弦函數(shù)圖象變換，同時(shí)考查三角不等式，屬于中檔題.19.如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)），點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，且.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）要證平面平面，轉(zhuǎn)證平面即證（Ⅱ）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，代入公式可得結(jié)果.【詳解】（I）證明：因?yàn)?，為線段的中點(diǎn)，所以，在直三棱柱中，易知平面，，而；平面，；又因?yàn)椋珹1O∩OP=O；所以平面，又平面；所以平面平面；（II）由（I）可建立如圖空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)樗裕瑒t，，設(shè)，所以，因?yàn)椋?，所以，，解得：（異于點(diǎn)）設(shè)平面的法向量為，則即，可取，設(shè)直線與平面所成角為，則,直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判定，空間向量的應(yīng)用，線面角的計(jì)算，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20.已知數(shù)列滿足,,,.(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)證明:.【答案】(1)證明見解析;(2);(3)證明見解析.【解析】【分析】（1）由，得，即可得到本題答案；（2）由，得，即可得到本題答案；（3）當(dāng)時(shí)，滿足題意；若n是偶數(shù)，由，可得；當(dāng)n是奇數(shù),且時(shí)，由，可得，綜上，即可得到本題答案.【詳解】(1)因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是等比數(shù)列；(2)因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；(3)①當(dāng)時(shí)，；②若n是偶數(shù)，則，所以當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，；③當(dāng)n是奇數(shù)，且時(shí)，；綜上所述，當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用構(gòu)造法證明等比數(shù)列并求通項(xiàng)公式，以及數(shù)列與不等式的綜合問題.21.橢圓M：的焦距為，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓M的方程；（2）如圖，橢圓M的上、下頂點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)P的直線與橢圓M相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)C，D．①求的取值范圍；②當(dāng)與相交于點(diǎn)Q時(shí)，試問：點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是否是定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．【答案】（1）（2）①②【解析】【詳解】【分析】試題分析：（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一般利用待定系數(shù)法，聯(lián)立方程組求解：因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，所以．又，故，（2）①直線與橢圓位置關(guān)系問題，一般聯(lián)立方程組，借助于韋達(dá)定理進(jìn)行求解：設(shè)直線l的方程為代入消去y整理得，因?yàn)?，由得再由，可得，②求定值問題，一般以算代證：先分別表示直線AD：，BC：，解得，再將代入化簡得試題解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)為，且在橢圓M上，所以．又，故，則．所以橢圓M的方程為．（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，所以＝－1．當(dāng)直線l的斜率