21-隨機(jī)誤差課件

第二章誤差的基本性質(zhì)及處理第二章誤差的基本性質(zhì)及處理1第一節(jié)隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差是測(cè)得值與在重復(fù)性條件下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量結(jié)果的平均值之差。這些誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，但是總體而言有統(tǒng)計(jì)規(guī)律。在本節(jié)數(shù)據(jù)處理中總是假定系統(tǒng)誤差已經(jīng)消除，沒有特別說明，隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布，沒有特別說明均為等精度測(cè)量。一、產(chǎn)生原因?qū)嶒?yàn)條件的偶然性微小變化，如溫度波動(dòng)、噪聲干擾、電磁場(chǎng)微變、電源電壓的隨機(jī)起伏、地面振動(dòng)等。

第一節(jié)隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差是測(cè)得值與在重復(fù)性條件下對(duì)同一被測(cè)量2二、正態(tài)分布

誤差因素多而小，無一個(gè)占優(yōu)，彼此相互獨(dú)立（中心極限定理）。

一般認(rèn)為，當(dāng)影響測(cè)量的因素在15個(gè)以上，且相互獨(dú)立，其影響程度相當(dāng)，可以認(rèn)為測(cè)量值服從正態(tài)分布；若要求不高，影響因素則應(yīng)在5個(gè)（至少3個(gè)）以上，也可視為正態(tài)分布。

二、正態(tài)分布誤差因素多而小，無一個(gè)占優(yōu)，彼此相互獨(dú)立3正態(tài)分布的密度函數(shù)為測(cè)量總體的數(shù)學(xué)期望，如不計(jì)系統(tǒng)誤差，則即為隨機(jī)誤差

為測(cè)量總體的標(biāo)準(zhǔn)差，是評(píng)價(jià)隨機(jī)誤差的指標(biāo)正態(tài)分布的密度函數(shù)為測(cè)量總體的數(shù)學(xué)期望，如不計(jì)系統(tǒng)誤差，4分布的誤差特性（1）單峰性：小誤差出現(xiàn)的概率比大誤差出現(xiàn)的概率大。（2）對(duì)稱性：正誤差出現(xiàn)的概率與負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等。（3）有界性：在一定條件下絕對(duì)值不會(huì)成功一定界限。（4）抵償性：隨測(cè)量次數(shù)增加，算術(shù)平均值趨于零。正態(tài)分布的這四個(gè)特點(diǎn)與誤差大樣本下的統(tǒng)計(jì)特性相符。但在理論上，正態(tài)分布無界，這也是正態(tài)分布與實(shí)際誤差有界性不相符之處。

分布的誤差特性（1）單峰性：小誤差出現(xiàn)的概率比大誤差出現(xiàn)的概5置信概率正態(tài)分布的置信概率

式中68.26%95.45%99.73%正態(tài)積分函數(shù)，已制成正態(tài)積分表

置信因子置信概率正態(tài)分布的置信概率式中68.26%95.45%6正態(tài)分布的某些k值的置信概率3.33.02.582.01.961.6451.00.67450.9990.99730.990.9540.950.900.6830.50.0010.00270.010.0460.050.100.3170.5正態(tài)分布的某些k值的置信概率3.33.02.582.01.97正態(tài)分布在誤差理論和實(shí)踐中的地位

(1)經(jīng)典誤差理論都是建立在正態(tài)分布的基礎(chǔ)上。凡是有3、5個(gè)以上的、差不多微小的、獨(dú)立影響的合成分布都趨近正態(tài)分布。這是被前人早已證明了的中心極限定理告訴我們的一個(gè)事實(shí)。(2)許多非正態(tài)分布可以用正態(tài)分布來表示。(3)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)具有簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)形式和優(yōu)良的性質(zhì)。(4)也有不少的誤差分布并不能簡(jiǎn)單地用正態(tài)分布來描述。因而，現(xiàn)代誤差理論及其實(shí)踐需要進(jìn)一步研究非正態(tài)分布的問題。正態(tài)分布在誤差理論和實(shí)踐中的地位

(1)經(jīng)典誤差理論都是建8隨機(jī)誤差的表述表述方法被測(cè)量的真值一系列測(cè)量值隨機(jī)誤差的表述表述方法被測(cè)量的真值一系列測(cè)量值9隨機(jī)誤差的隨機(jī)性影響

對(duì)于任何的測(cè)量，其中的隨機(jī)誤差源客觀存在，它造成對(duì)每次測(cè)量數(shù)據(jù)的不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)性影響

影響表現(xiàn)在該測(cè)量總體服從某種分布誤差可以通過標(biāo)準(zhǔn)差來評(píng)價(jià)誤差界限則可用置信區(qū)間表示隨機(jī)誤差的隨機(jī)性影響對(duì)于任何的測(cè)量，其中的隨機(jī)誤差源客觀存10平均誤差和或然誤差1、平均誤差2、或然誤差平均誤差和或然誤差1、平均誤差11如圖所示σ值為曲線上拐點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，θ值曲線右半面積重心B的橫坐標(biāo)，ρ值的縱坐標(biāo)則平分曲線右半部面積。AB

0如圖所示σ值為曲線上拐點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，θ值曲線右半面積重心B的12三、算術(shù)平均值

在等權(quán)測(cè)量條件下，對(duì)某被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，得到一系列測(cè)量值,常取算術(shù)平均值作為被測(cè)量真值的最佳估計(jì)。三、算術(shù)平均值

在等權(quán)測(cè)量條件下，對(duì)某被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)13數(shù)學(xué)期望定義一階原點(diǎn)矩，它表示隨機(jī)變量分布的位置特征。它與真值之差即為系統(tǒng)誤差，如果系統(tǒng)誤差可以忽略，則就是被測(cè)量的真值數(shù)學(xué)期望定義一階原點(diǎn)矩，它表示隨機(jī)變量分布的位置特征。它與真14無限多次測(cè)量算術(shù)平均值作為真值的理論依據(jù)若測(cè)量次數(shù)無限增多，且無系統(tǒng)誤差下，由概率論的大數(shù)定律知，算術(shù)平均值以概率為1趨近于真值因?yàn)楦鶕?jù)隨機(jī)誤差的抵償性，當(dāng)n充分大時(shí)，有無限多次測(cè)量算術(shù)平均值作為真值的理論依據(jù)若測(cè)量次數(shù)無限增多15最佳估計(jì)的意義若測(cè)量次數(shù)有限，由參數(shù)估計(jì)知，算術(shù)平均值是該測(cè)量總體期望的一個(gè)最佳的估計(jì)量，即滿足無偏性、有效性、一致性滿足最小二乘原理在正態(tài)分布條件下，滿足最大似然原理該所有測(cè)量值對(duì)其算術(shù)平均值之差的平方和達(dá)到最小該測(cè)量事件發(fā)生的概率最大

最佳估計(jì)的意義若測(cè)量次數(shù)有限，由參數(shù)估計(jì)知，算術(shù)平均值是該16殘差一般情況下，被測(cè)量的真值是未知的，不可能用誤差公式計(jì)算，這時(shí)可用算術(shù)平均值代替被測(cè)量的真值進(jìn)行計(jì)算。殘差就是測(cè)量結(jié)果減去被測(cè)量的真值的估計(jì)值。由于算術(shù)平均值是被測(cè)量的真值的在佳估計(jì)值。殘差一般情況下，被測(cè)量的真值是未知的，不可能用誤差公式計(jì)算，17殘差性質(zhì)對(duì)被測(cè)量只有一個(gè)未知量。1、所有殘差之和等于零。2、殘差平方和最小。殘差性質(zhì)對(duì)被測(cè)量只有一個(gè)未知量。18例：測(cè)量某物理量10次，測(cè)量得結(jié)果如下：序號(hào)測(cè)量值xi△

xivi123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.010.04-0.050.04-0.08-0.03-0.010-0.0100.0010.051-0.0390.051-0.069-0.0190.0110.0010.0110.001=1879.65-0.011=1879.639例：測(cè)量某物理量10次，測(cè)量得結(jié)果如下：序號(hào)測(cè)量值xi19四、測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)（偏）差（一）測(cè)量列中單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差由于隨機(jī)誤差具有隨機(jī)性，每個(gè)測(cè)量值不可能完全相同，它們圍繞著該測(cè)量列的算術(shù)平均值有一定的分散性，此分散性說明了測(cè)量列中單次測(cè)量值的不可靠性。而方差表示隨機(jī)變量的分散性，但方差的單位是隨機(jī)變量的單位的平方，所以用方差的正平方根即標(biāo)準(zhǔn)差評(píng)價(jià)隨機(jī)誤差的不可靠性。四、測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)（偏）差（一）測(cè)量列中單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差20由圖可知，σ值越小，則ｅ的指數(shù)的絕對(duì)值越大，因而f(δ)減小得越快，即曲線變陡，而σ值越小，對(duì)應(yīng)于誤差為零的縱坐標(biāo)也大，曲線變高。反之，σ值越大，f(δ)減小得越慢，曲線平坦，同時(shí)對(duì)應(yīng)于誤差為零的縱坐標(biāo)也小，曲線變低。f(δ)由圖可知，σ值越小，則ｅ的指數(shù)的絕對(duì)值越大，因而f(δ)減小21標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式要注意的是標(biāo)準(zhǔn)差σ不是測(cè)量列中任何一個(gè)具體測(cè)得值的隨機(jī)誤差，σ值越大只說明在一定條件下等精度測(cè)量列隨機(jī)誤差的概論分布情況。在該條件下，任一次測(cè)得值的隨機(jī)誤差一般不等于σ，但認(rèn)為這一系列測(cè)量中所有測(cè)得值都屬同樣一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差σ的概率分布。在不同條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行兩個(gè)系列的等精度測(cè)量，其標(biāo)準(zhǔn)差σ也不相同。標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式要注意的是標(biāo)準(zhǔn)差σ不是測(cè)量列中任何一個(gè)具體測(cè)得22在等精度測(cè)量列中，單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差按下面公式計(jì)算：在應(yīng)用該計(jì)算公式時(shí)，n應(yīng)充分大。在等精度測(cè)量列中，單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差按下面公式計(jì)算：23實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)于一組測(cè)量數(shù)據(jù)，用其標(biāo)準(zhǔn)差來表述這組數(shù)據(jù)的分散性如果這組數(shù)據(jù)是來自于某測(cè)量總體的一個(gè)樣本，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是對(duì)該測(cè)量總體標(biāo)準(zhǔn)差的一個(gè)估計(jì)，稱其為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，又稱為實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差

實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)于一組測(cè)量數(shù)據(jù)，用其標(biāo)準(zhǔn)差來表述這組數(shù)據(jù)的分散24貝塞爾公式公式意義總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)計(jì)算公式是方差的無偏估計(jì)，但s并不是標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計(jì)為差。貝塞爾公式公式意義計(jì)算公式是方差的無偏估計(jì)，但s并不是25修正貝塞爾公式

貝塞爾公式的修正因子２34567891015201.251.131.091.061.051.041.041.031.031.021.01值隨減少明顯偏離系數(shù)1在樣本數(shù)較小的情形（如），為了提高對(duì)s估計(jì)的相對(duì)誤差，最好用無偏修正的貝塞爾公式修正貝塞爾公式

貝塞爾公式的修正因子２3456789101526標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差適用的估計(jì)貝塞爾公式的相對(duì)誤差的公式

估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差，用百分?jǐn)?shù)表示，該百分?jǐn)?shù)愈小，表示估計(jì)的信賴程度愈高。在n次測(cè)量服從正態(tài)分布且獨(dú)立的條件下，有

標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差適用的估計(jì)貝塞爾公式的相對(duì)誤差的公式估計(jì)標(biāo)27（二）測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差適當(dāng)增加測(cè)量次數(shù)取其算術(shù)平均值表示測(cè)量結(jié)果，是減小測(cè)量隨機(jī)誤差的一種常用方法。計(jì)算公式單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差測(cè)量總體標(biāo)準(zhǔn)差（二）測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差適當(dāng)增加測(cè)量次數(shù)取其算術(shù)平均值28

測(cè)量次數(shù)愈大時(shí)，也愈難保證測(cè)量條件的不變，從而帶來新的誤差。另外，增加測(cè)量次數(shù)，必當(dāng)一定時(shí)， 以后， 已減小得較緩慢。然會(huì)增加測(cè)量的工作量及其成本。因此一般情況下，取以內(nèi)較為適宜?？傊岣邷y(cè)量準(zhǔn)確度，應(yīng)選用適當(dāng)準(zhǔn)確度的測(cè)量?jī)x器，選取適當(dāng)?shù)臏y(cè)量次數(shù)。測(cè)量次數(shù)愈大時(shí)，也愈難保證測(cè)量條件的不變，從而帶來新的誤29分別計(jì)算

用游標(biāo)卡尺對(duì)某一試樣尺寸測(cè)量10次，假定測(cè)量服從正態(tài)分布，并已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，得到數(shù)據(jù)如下（單位mm）：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08。求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差，并估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的信賴程度；【解】分別計(jì)算用游標(biāo)卡尺對(duì)某一試樣尺寸測(cè)量10次，假定測(cè)量服從30序號(hào)xi/mmvi/mmvi2/mm21234567891075.0175.0475.077575.0375.0975.0675.0275.0575.08-0.035-0.0050.025-0.0450.0150.0450.015-0.0250.0050.0350.00122250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225

=75.045

0.00825mm2序號(hào)xi/mmvi/mmvi2/mm2175.01-3121-隨機(jī)誤差課件32（三）標(biāo)準(zhǔn)差的其他計(jì)算公式除了貝塞爾公式外計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差還有別捷爾斯公式、極差法、最大誤差法等。1、別捷爾斯公式（三）標(biāo)準(zhǔn)差的其他計(jì)算公式除了貝塞爾公式外計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差還有別捷33仍然用上例，用別捷爾斯公式計(jì)算單次測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)差別捷爾斯公式是貝塞爾公式的近似計(jì)算公式，由于當(dāng)時(shí)在計(jì)算天文數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，數(shù)據(jù)較多，開平方根較麻煩，所以用殘差絕對(duì)值的和代替開平方根。仍然用上例，用別捷爾斯公式計(jì)算單次測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)差342、極差法當(dāng)測(cè)量誤差服從正態(tài)分布時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式估算時(shí)的相對(duì)誤差

極差：ωn=xmax-xmins是測(cè)量總體標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計(jì)對(duì)多次獨(dú)立測(cè)得的數(shù)據(jù)，最大值，最小值2、極差法當(dāng)測(cè)量誤差服從正態(tài)分布時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式估算35極差法系數(shù)２1.130.7692.970.27163.5331.690.52103.080.26173.590.2142.060.43113.170.25183.640.2052.330.37123.260.24193.690.2062.530.34133.310.23203.7472.700.31143.410.2282.850.29153.470.22極差法系數(shù)２1.130.7692.970.27163.53336仍用前面的例子用極差法計(jì)算單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差。極差法計(jì)算簡(jiǎn)單，并且具有一定的精度，在JJF1059-1999《測(cè)量不確定度評(píng)定與表示》中推薦，當(dāng)測(cè)量次數(shù)較小時(shí)，應(yīng)采用該方法。仍用前面的例子用極差法計(jì)算單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差。373、最大誤差法測(cè)量誤差服從正態(tài)分布時(shí)，估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式估算時(shí)的相對(duì)誤差

在已知被測(cè)量的真值的情形，多次獨(dú)立測(cè)得的數(shù)據(jù)的真誤差，其中的絕對(duì)值最大在只進(jìn)行一次性實(shí)驗(yàn)中，是唯一可用的方法3、最大誤差法測(cè)量誤差服從正態(tài)分布時(shí)，估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式38最大殘差法

在一般情況下，被測(cè)量的真值難以知道，無法應(yīng)用最大誤差法估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差

最大殘余誤差估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差最大殘差法不適用于n=1的情形最大殘差法在一般情況下，被測(cè)量的真值難以知道，無法應(yīng)用最大39最大誤差法系數(shù)0.880.511.77４1230.750.451.020.680.400.83５0.640.360.74６0.610.330.68７0.580.310.64８0.560.290.61100.530.270.57200.460.230.251.250.75最大誤差法系數(shù)0.880.511.77４1230.750.440【解】查表，得

故射擊的標(biāo)準(zhǔn)差為

標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差本例測(cè)量一次的情形,唯有最大誤差法可以估計(jì)其實(shí)驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)差,由于樣本數(shù)為1，故其估計(jì)的信賴程度只有25%。

進(jìn)行一次導(dǎo)彈發(fā)射實(shí)驗(yàn)，導(dǎo)彈著落點(diǎn)距靶心35，試求射擊的標(biāo)準(zhǔn)差?！窘狻坎楸?，得故射擊的標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差本例測(cè)量41【解】(1)用貝塞爾公式估算

對(duì)某量測(cè)得數(shù)據(jù)7.7,7.7,7.5,7.7,7.7,7.7,7.9,7.6,7.7,7.8,7.9，試分別用貝塞爾公式、極差法、最大誤差法估計(jì)其測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差及其標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差?！窘狻?1)用貝塞爾公式估算對(duì)某量測(cè)得數(shù)據(jù)7.7,7.742(2)用極差法估算查表，得故(2)用極差法估算查表，得故43（3）用最大誤差法估算真值未知，計(jì)算最大殘差

|vi|max=0.22查表，插值計(jì)算得

故（3）用最大誤差法估算真值未知，計(jì)算最大殘差|vi|44【解】查表，得

故射擊的標(biāo)準(zhǔn)差為

標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差本例測(cè)量一次的情形,唯有最大誤差法可以估計(jì)其實(shí)驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)差,由于樣本數(shù)為1，故其估計(jì)的信賴程度只有25%。

進(jìn)行一次導(dǎo)彈發(fā)射實(shí)驗(yàn)，導(dǎo)彈著落點(diǎn)距靶心35，試求射擊的標(biāo)準(zhǔn)差?！窘狻坎楸?，得故射擊的標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差本例測(cè)量45測(cè)量結(jié)果的表示在給頂置信概率P(或顯著度α)的情況下,測(cè)量結(jié)果可表示為其中k為置信系數(shù)，它可由誤差分布決定。當(dāng)誤差服從正態(tài)分布時(shí)，如果測(cè)量次數(shù)較多，可由置信概率P查正態(tài)分布表得；當(dāng)測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，則根據(jù)置信概率P和自由度v(v=n-1)查t分布表得到。其他分布的置信系數(shù)查書P29頁(yè)表2-8。測(cè)量結(jié)果的表示在給頂置信概率P(或顯著度α)的情況下,測(cè)量結(jié)46正態(tài)分布的某些k值的置信概率3.33.02.582.01.961.6451.00.67450.9990.99730.990.9540.950.900.6830.50.0010.00270.010.0460.050.100.3170.5正態(tài)分布的某些k值的置信概率3.33.02.582.01.947五、不等精度測(cè)量不等精度測(cè)量是測(cè)量條件改變的測(cè)量,在實(shí)際測(cè)量中很難實(shí)現(xiàn)等精度測(cè)量。常見的不等精度測(cè)量有：1、用不同測(cè)量?jī)x器的測(cè)量。2、在相同的測(cè)量條件下，每組的測(cè)量次數(shù)不同。五、不等精度測(cè)量不等精度測(cè)量是測(cè)量條件改變的測(cè)量,在實(shí)際測(cè)量48（一）權(quán)權(quán)是各種測(cè)量結(jié)果的可信賴程度。權(quán)是一個(gè)相對(duì)數(shù)。在等精度測(cè)量中各個(gè)測(cè)量值的信賴程度一樣，所以權(quán)相同。因此，它是不等精度測(cè)量的一個(gè)特例。（一）權(quán)49（二）權(quán)的確定1、按測(cè)量次數(shù)確定權(quán)，即重復(fù)測(cè)量次數(shù)越多，可靠性越大，權(quán)越大，可以干脆用測(cè)量次數(shù)來確定權(quán)的大小。即：pi=ni

。（二）權(quán)的確定502、權(quán)與相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差成反比2、權(quán)與相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差成反比51例如：對(duì)一級(jí)鋼卷尺的長(zhǎng)度進(jìn)行三組不等精度測(cè)量。求各組的結(jié)果的權(quán)。

解：例如：對(duì)一級(jí)鋼卷尺的長(zhǎng)度進(jìn)行三組不等精度測(cè)量。52（三）加權(quán)算術(shù)平均值對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行m組測(cè)量，得到m個(gè)測(cè)量結(jié)果設(shè)相應(yīng)的測(cè)量次數(shù)為n1,n2，…nm即：由等精度測(cè)量算術(shù)平均值原理：（三）加權(quán)算術(shù)平均值53當(dāng)就是等精度測(cè)量的算術(shù)平均值。為簡(jiǎn)化運(yùn)算可利用如下簡(jiǎn)化公式：

其中的任選參數(shù)值。

當(dāng)其中的任選參數(shù)值。54例，，，求最后測(cè)量結(jié)果。解：取p1=3，p2=2，p3=5，x0=999.94mm則例，，，55（四）單位權(quán)的概念權(quán)數(shù)為1的權(quán)稱為單位權(quán)。由可知同一方差的等精度測(cè)量值的權(quán)數(shù)為1。單位權(quán)化實(shí)質(zhì)：使任一量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，得到新一量值權(quán)數(shù)為1。

（四）單位權(quán)的概念單位權(quán)化實(shí)質(zhì)：使任一量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方56

令則故或令57（五）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差1、當(dāng)已知每個(gè)測(cè)量值及標(biāo)準(zhǔn)差x1,σ1;x2,σ2…;xm,σm,時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差公式為：例用對(duì)一級(jí)鋼卷尺的長(zhǎng)度進(jìn)行三組不等精度測(cè)量的數(shù)據(jù)。σ1=0.05mm,σ2=0.20mm,σ1=0.10mm,P1：P2：P3=16：1：4，（五）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差582、當(dāng)已知測(cè)量值和重復(fù)測(cè)量次數(shù)x1,n1;x2,n2…;xm,nm,時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差公式為：應(yīng)注意的是這里的殘差vi的計(jì)算，∑pivi=02、當(dāng)已知測(cè)量值和重復(fù)測(cè)量次數(shù)x1,n1;x2,n2∑piv59例：對(duì)某物理量進(jìn)行6次不等精度測(cè)量，測(cè)量數(shù)據(jù)如下：求最佳估計(jì)值及其標(biāo)準(zhǔn)差。解P1=2，P2=4，P3=1，P4=2，P5=4，P6=5取x0=10.0mV

=10.0+0.28=10.28mVXi/mV10.110.210.010.510.410.3ni241245Xi/mV10.110.210.010.510.410.3vi-0.18-0.08-0.280.220.180.02例：對(duì)某物理量進(jìn)行6次不等精度測(cè)量，測(cè)量數(shù)據(jù)如下：求最佳估計(jì)6021-隨機(jī)誤差課件61七、隨機(jī)誤差的其他分布七、隨機(jī)誤差的其他分布62（一）均勻分布

若誤差在某一范圍中出現(xiàn)的概率相等，稱其服從均勻分布，也稱為等概率分布。

概率密度函數(shù)

數(shù)學(xué)期望方差標(biāo)準(zhǔn)方差置信因子

o-aa（一）均勻分布

若誤差在某一范圍中出現(xiàn)的概率相等，稱其服從63服從均勻分布的可能情形

(1)數(shù)據(jù)切尾引起的舍入誤差;(2)數(shù)字顯示末位的截?cái)嗾`差(3)瞄準(zhǔn)誤差;(4)數(shù)字儀器的量化誤差;(5)齒輪回程所產(chǎn)生的誤差以及基線尺滑輪摩擦引起的誤差；(6)多中心值不同的正態(tài)誤差總和服從均勻分布。

服從均勻分布的可能情形

(1)數(shù)據(jù)切尾引起的舍入誤差;64（二）三角分布概率密度函數(shù)

數(shù)學(xué)期望標(biāo)準(zhǔn)方差當(dāng)兩個(gè)分布范圍相等的均勻分布，其合成誤差就是三角分布。（二）三角分布概率密度函數(shù)數(shù)學(xué)期望標(biāo)準(zhǔn)方差當(dāng)兩個(gè)分布范圍65（三）反正弦分布概率密度函數(shù)

數(shù)學(xué)期望標(biāo)準(zhǔn)方差a-ao服從反正弦分布的可能情形

度盤偏心引起的測(cè)角誤差；正弦（或余弦）振動(dòng)引起的位移誤差；（三）反正弦分布概率密度函數(shù)數(shù)學(xué)期望標(biāo)準(zhǔn)方差a-ao66（四）瑞利分布概率密度函數(shù)

數(shù)學(xué)期望標(biāo)準(zhǔn)方差服從瑞利分布的可能情形

偏心值在非負(fù)值的單向誤差中，由于偏心因素所引起的軸的徑向跳動(dòng)齒輪和分度盤的最大齒距累積誤差（四）瑞利分布概率密度函數(shù)數(shù)學(xué)期望標(biāo)準(zhǔn)方差服從瑞利分布的可67常見分布的數(shù)字特征量名稱正態(tài)分布區(qū)間半寬度標(biāo)準(zhǔn)差期望均勻分布三角分布反正弦分布瑞利分布常見分布的數(shù)字特征量名稱正態(tài)分布區(qū)間半寬度標(biāo)準(zhǔn)差期望均勻分布68五、常見的統(tǒng)計(jì)量分布介紹常用的統(tǒng)計(jì)量分布，包括分布，t分布和F分布。五、常見的統(tǒng)計(jì)量分布介紹常用的統(tǒng)計(jì)量分布，包括分69（一）分布定義若為獨(dú)立服從同分布的隨機(jī)誤差，則稱服從為自由度為的分布。

概率密度函數(shù)

數(shù)學(xué)期望標(biāo)準(zhǔn)方差（一）分布定義若為獨(dú)立服從同分布的隨機(jī)70（二）t分布定義若隨機(jī)誤差，隨機(jī)誤差，且和相互獨(dú)立，則服從的分布稱為自由度為的t分布。

概率密度函數(shù)

數(shù)學(xué)期望標(biāo)準(zhǔn)方差o（二）t分布定義若隨機(jī)誤差，隨機(jī)誤差，且和71常用的t分布統(tǒng)計(jì)量常用的t分布統(tǒng)計(jì)量72三、F分布定義若，則稱服從為自由度為的F分布。

概率密度函數(shù)

數(shù)學(xué)期望標(biāo)準(zhǔn)方差三、F分布定義若，則稱服從為自由73第二章誤差的基本性質(zhì)及處理第二章誤差的基本性質(zhì)及處理74第一節(jié)隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差是測(cè)得值與在重復(fù)性條件下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量結(jié)果的平均值之差。這些誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，但是總體而言有統(tǒng)計(jì)規(guī)律。在本節(jié)數(shù)據(jù)處理中總是假定系統(tǒng)誤差已經(jīng)消除，沒有特別說明，隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布，沒有特別說明均為等精度測(cè)量。一、產(chǎn)生原因?qū)嶒?yàn)條件的偶然性微小變化，如溫度波動(dòng)、噪聲干擾、電磁場(chǎng)微變、電源電壓的隨機(jī)起伏、地面振動(dòng)等。

第一節(jié)隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差是測(cè)得值與在重復(fù)性條件下對(duì)同一被測(cè)量75二、正態(tài)分布

誤差因素多而小，無一個(gè)占優(yōu)，彼此相互獨(dú)立（中心極限定理）。

一般認(rèn)為，當(dāng)影響測(cè)量的因素在15個(gè)以上，且相互獨(dú)立，其影響程度相當(dāng)，可以認(rèn)為測(cè)量值服從正態(tài)分布；若要求不高，影響因素則應(yīng)在5個(gè)（至少3個(gè)）以上，也可視為正態(tài)分布。

二、正態(tài)分布誤差因素多而小，無一個(gè)占優(yōu)，彼此相互獨(dú)立76正態(tài)分布的密度函數(shù)為測(cè)量總體的數(shù)學(xué)期望，如不計(jì)系統(tǒng)誤差，則即為隨機(jī)誤差

為測(cè)量總體的標(biāo)準(zhǔn)差，是評(píng)價(jià)隨機(jī)誤差的指標(biāo)正態(tài)分布的密度函數(shù)為測(cè)量總體的數(shù)學(xué)期望，如不計(jì)系統(tǒng)誤差，77分布的誤差特性（1）單峰性：小誤差出現(xiàn)的概率比大誤差出現(xiàn)的概率大。（2）對(duì)稱性：正誤差出現(xiàn)的概率與負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等。（3）有界性：在一定條件下絕對(duì)值不會(huì)成功一定界限。（4）抵償性：隨測(cè)量次數(shù)增加，算術(shù)平均值趨于零。正態(tài)分布的這四個(gè)特點(diǎn)與誤差大樣本下的統(tǒng)計(jì)特性相符。但在理論上，正態(tài)分布無界，這也是正態(tài)分布與實(shí)際誤差有界性不相符之處。

分布的誤差特性（1）單峰性：小誤差出現(xiàn)的概率比大誤差出現(xiàn)的概78置信概率正態(tài)分布的置信概率

式中68.26%95.45%99.73%正態(tài)積分函數(shù)，已制成正態(tài)積分表

置信因子置信概率正態(tài)分布的置信概率式中68.26%95.45%79正態(tài)分布的某些k值的置信概率3.33.02.582.01.961.6451.00.67450.9990.99730.990.9540.950.900.6830.50.0010.00270.010.0460.050.100.3170.5正態(tài)分布的某些k值的置信概率3.33.02.582.01.980正態(tài)分布在誤差理論和實(shí)踐中的地位

(1)經(jīng)典誤差理論都是建立在正態(tài)分布的基礎(chǔ)上。凡是有3、5個(gè)以上的、差不多微小的、獨(dú)立影響的合成分布都趨近正態(tài)分布。這是被前人早已證明了的中心極限定理告訴我們的一個(gè)事實(shí)。(2)許多非正態(tài)分布可以用正態(tài)分布來表示。(3)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)具有簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)形式和優(yōu)良的性質(zhì)。(4)也有不少的誤差分布并不能簡(jiǎn)單地用正態(tài)分布來描述。因而，現(xiàn)代誤差理論及其實(shí)踐需要進(jìn)一步研究非正態(tài)分布的問題。正態(tài)分布在誤差理論和實(shí)踐中的地位

(1)經(jīng)典誤差理論都是建81隨機(jī)誤差的表述表述方法被測(cè)量的真值一系列測(cè)量值隨機(jī)誤差的表述表述方法被測(cè)量的真值一系列測(cè)量值82隨機(jī)誤差的隨機(jī)性影響

對(duì)于任何的測(cè)量，其中的隨機(jī)誤差源客觀存在，它造成對(duì)每次測(cè)量數(shù)據(jù)的不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)性影響

影響表現(xiàn)在該測(cè)量總體服從某種分布誤差可以通過標(biāo)準(zhǔn)差來評(píng)價(jià)誤差界限則可用置信區(qū)間表示隨機(jī)誤差的隨機(jī)性影響對(duì)于任何的測(cè)量，其中的隨機(jī)誤差源客觀存83平均誤差和或然誤差1、平均誤差2、或然誤差平均誤差和或然誤差1、平均誤差84如圖所示σ值為曲線上拐點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，θ值曲線右半面積重心B的橫坐標(biāo)，ρ值的縱坐標(biāo)則平分曲線右半部面積。AB

0如圖所示σ值為曲線上拐點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，θ值曲線右半面積重心B的85三、算術(shù)平均值

在等權(quán)測(cè)量條件下，對(duì)某被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，得到一系列測(cè)量值,常取算術(shù)平均值作為被測(cè)量真值的最佳估計(jì)。三、算術(shù)平均值

在等權(quán)測(cè)量條件下，對(duì)某被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)86數(shù)學(xué)期望定義一階原點(diǎn)矩，它表示隨機(jī)變量分布的位置特征。它與真值之差即為系統(tǒng)誤差，如果系統(tǒng)誤差可以忽略，則就是被測(cè)量的真值數(shù)學(xué)期望定義一階原點(diǎn)矩，它表示隨機(jī)變量分布的位置特征。它與真87無限多次測(cè)量算術(shù)平均值作為真值的理論依據(jù)若測(cè)量次數(shù)無限增多，且無系統(tǒng)誤差下，由概率論的大數(shù)定律知，算術(shù)平均值以概率為1趨近于真值因?yàn)楦鶕?jù)隨機(jī)誤差的抵償性，當(dāng)n充分大時(shí)，有無限多次測(cè)量算術(shù)平均值作為真值的理論依據(jù)若測(cè)量次數(shù)無限增多88最佳估計(jì)的意義若測(cè)量次數(shù)有限，由參數(shù)估計(jì)知，算術(shù)平均值是該測(cè)量總體期望的一個(gè)最佳的估計(jì)量，即滿足無偏性、有效性、一致性滿足最小二乘原理在正態(tài)分布條件下，滿足最大似然原理該所有測(cè)量值對(duì)其算術(shù)平均值之差的平方和達(dá)到最小該測(cè)量事件發(fā)生的概率最大

最佳估計(jì)的意義若測(cè)量次數(shù)有限，由參數(shù)估計(jì)知，算術(shù)平均值是該89殘差一般情況下，被測(cè)量的真值是未知的，不可能用誤差公式計(jì)算，這時(shí)可用算術(shù)平均值代替被測(cè)量的真值進(jìn)行計(jì)算。殘差就是測(cè)量結(jié)果減去被測(cè)量的真值的估計(jì)值。由于算術(shù)平均值是被測(cè)量的真值的在佳估計(jì)值。殘差一般情況下，被測(cè)量的真值是未知的，不可能用誤差公式計(jì)算，90殘差性質(zhì)對(duì)被測(cè)量只有一個(gè)未知量。1、所有殘差之和等于零。2、殘差平方和最小。殘差性質(zhì)對(duì)被測(cè)量只有一個(gè)未知量。91例：測(cè)量某物理量10次，測(cè)量得結(jié)果如下：序號(hào)測(cè)量值xi△

xivi123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.010.04-0.050.04-0.08-0.03-0.010-0.0100.0010.051-0.0390.051-0.069-0.0190.0110.0010.0110.001=1879.65-0.011=1879.639例：測(cè)量某物理量10次，測(cè)量得結(jié)果如下：序號(hào)測(cè)量值xi92四、測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)（偏）差（一）測(cè)量列中單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差由于隨機(jī)誤差具有隨機(jī)性，每個(gè)測(cè)量值不可能完全相同，它們圍繞著該測(cè)量列的算術(shù)平均值有一定的分散性，此分散性說明了測(cè)量列中單次測(cè)量值的不可靠性。而方差表示隨機(jī)變量的分散性，但方差的單位是隨機(jī)變量的單位的平方，所以用方差的正平方根即標(biāo)準(zhǔn)差評(píng)價(jià)隨機(jī)誤差的不可靠性。四、測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)（偏）差（一）測(cè)量列中單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差93由圖可知，σ值越小，則ｅ的指數(shù)的絕對(duì)值越大，因而f(δ)減小得越快，即曲線變陡，而σ值越小，對(duì)應(yīng)于誤差為零的縱坐標(biāo)也大，曲線變高。反之，σ值越大，f(δ)減小得越慢，曲線平坦，同時(shí)對(duì)應(yīng)于誤差為零的縱坐標(biāo)也小，曲線變低。f(δ)由圖可知，σ值越小，則ｅ的指數(shù)的絕對(duì)值越大，因而f(δ)減小94標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式要注意的是標(biāo)準(zhǔn)差σ不是測(cè)量列中任何一個(gè)具體測(cè)得值的隨機(jī)誤差，σ值越大只說明在一定條件下等精度測(cè)量列隨機(jī)誤差的概論分布情況。在該條件下，任一次測(cè)得值的隨機(jī)誤差一般不等于σ，但認(rèn)為這一系列測(cè)量中所有測(cè)得值都屬同樣一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差σ的概率分布。在不同條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行兩個(gè)系列的等精度測(cè)量，其標(biāo)準(zhǔn)差σ也不相同。標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式要注意的是標(biāo)準(zhǔn)差σ不是測(cè)量列中任何一個(gè)具體測(cè)得95在等精度測(cè)量列中，單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差按下面公式計(jì)算：在應(yīng)用該計(jì)算公式時(shí)，n應(yīng)充分大。在等精度測(cè)量列中，單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差按下面公式計(jì)算：96實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)于一組測(cè)量數(shù)據(jù)，用其標(biāo)準(zhǔn)差來表述這組數(shù)據(jù)的分散性如果這組數(shù)據(jù)是來自于某測(cè)量總體的一個(gè)樣本，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是對(duì)該測(cè)量總體標(biāo)準(zhǔn)差的一個(gè)估計(jì)，稱其為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，又稱為實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差

實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)于一組測(cè)量數(shù)據(jù)，用其標(biāo)準(zhǔn)差來表述這組數(shù)據(jù)的分散97貝塞爾公式公式意義總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)計(jì)算公式是方差的無偏估計(jì)，但s并不是標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計(jì)為差。貝塞爾公式公式意義計(jì)算公式是方差的無偏估計(jì)，但s并不是98修正貝塞爾公式

貝塞爾公式的修正因子２34567891015201.251.131.091.061.051.041.041.031.031.021.01值隨減少明顯偏離系數(shù)1在樣本數(shù)較小的情形（如），為了提高對(duì)s估計(jì)的相對(duì)誤差，最好用無偏修正的貝塞爾公式修正貝塞爾公式

貝塞爾公式的修正因子２3456789101599標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差適用的估計(jì)貝塞爾公式的相對(duì)誤差的公式

估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差，用百分?jǐn)?shù)表示，該百分?jǐn)?shù)愈小，表示估計(jì)的信賴程度愈高。在n次測(cè)量服從正態(tài)分布且獨(dú)立的條件下，有

標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差適用的估計(jì)貝塞爾公式的相對(duì)誤差的公式估計(jì)標(biāo)100（二）測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差適當(dāng)增加測(cè)量次數(shù)取其算術(shù)平均值表示測(cè)量結(jié)果，是減小測(cè)量隨機(jī)誤差的一種常用方法。計(jì)算公式單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差測(cè)量總體標(biāo)準(zhǔn)差（二）測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差適當(dāng)增加測(cè)量次數(shù)取其算術(shù)平均值101

測(cè)量次數(shù)愈大時(shí)，也愈難保證測(cè)量條件的不變，從而帶來新的誤差。另外，增加測(cè)量次數(shù)，必當(dāng)一定時(shí)， 以后， 已減小得較緩慢。然會(huì)增加測(cè)量的工作量及其成本。因此一般情況下，取以內(nèi)較為適宜?？傊岣邷y(cè)量準(zhǔn)確度，應(yīng)選用適當(dāng)準(zhǔn)確度的測(cè)量?jī)x器，選取適當(dāng)?shù)臏y(cè)量次數(shù)。測(cè)量次數(shù)愈大時(shí)，也愈難保證測(cè)量條件的不變，從而帶來新的誤102分別計(jì)算

用游標(biāo)卡尺對(duì)某一試樣尺寸測(cè)量10次，假定測(cè)量服從正態(tài)分布，并已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，得到數(shù)據(jù)如下（單位mm）：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08。求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差，并估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的信賴程度；【解】分別計(jì)算用游標(biāo)卡尺對(duì)某一試樣尺寸測(cè)量10次，假定測(cè)量服從103序號(hào)xi/mmvi/mmvi2/mm21234567891075.0175.0475.077575.0375.0975.0675.0275.0575.08-0.035-0.0050.025-0.0450.0150.0450.015-0.0250.0050.0350.00122250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225

=75.045

0.00825mm2序號(hào)xi/mmvi/mmvi2/mm2175.01-10421-隨機(jī)誤差課件105（三）標(biāo)準(zhǔn)差的其他計(jì)算公式除了貝塞爾公式外計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差還有別捷爾斯公式、極差法、最大誤差法等。1、別捷爾斯公式（三）標(biāo)準(zhǔn)差的其他計(jì)算公式除了貝塞爾公式外計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差還有別捷106仍然用上例，用別捷爾斯公式計(jì)算單次測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)差別捷爾斯公式是貝塞爾公式的近似計(jì)算公式，由于當(dāng)時(shí)在計(jì)算天文數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，數(shù)據(jù)較多，開平方根較麻煩，所以用殘差絕對(duì)值的和代替開平方根。仍然用上例，用別捷爾斯公式計(jì)算單次測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)差1072、極差法當(dāng)測(cè)量誤差服從正態(tài)分布時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式估算時(shí)的相對(duì)誤差

極差：ωn=xmax-xmins是測(cè)量總體標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計(jì)對(duì)多次獨(dú)立測(cè)得的數(shù)據(jù)，最大值，最小值2、極差法當(dāng)測(cè)量誤差服從正態(tài)分布時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式估算108極差法系數(shù)２1.130.7692.970.27163.5331.690.52103.080.26173.590.2142.060.43113.170.25183.640.2052.330.37123.260.24193.690.2062.530.34133.310.23203.7472.700.31143.410.2282.850.29153.470.22極差法系數(shù)２1.130.7692.970.27163.533109仍用前面的例子用極差法計(jì)算單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差。極差法計(jì)算簡(jiǎn)單，并且具有一定的精度，在JJF1059-1999《測(cè)量不確定度評(píng)定與表示》中推薦，當(dāng)測(cè)量次數(shù)較小時(shí)，應(yīng)采用該方法。仍用前面的例子用極差法計(jì)算單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差。1103、最大誤差法測(cè)量誤差服從正態(tài)分布時(shí)，估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式估算時(shí)的相對(duì)誤差

在已知被測(cè)量的真值的情形，多次獨(dú)立測(cè)得的數(shù)據(jù)的真誤差，其中的絕對(duì)值最大在只進(jìn)行一次性實(shí)驗(yàn)中，是唯一可用的方法3、最大誤差法測(cè)量誤差服從正態(tài)分布時(shí)，估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式111最大殘差法

在一般情況下，被測(cè)量的真值難以知道，無法應(yīng)用最大誤差法估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差

最大殘余誤差估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差最大殘差法不適用于n=1的情形最大殘差法在一般情況下，被測(cè)量的真值難以知道，無法應(yīng)用最大112最大誤差法系數(shù)0.880.511.77４1230.750.451.020.680.400.83５0.640.360.74６0.610.330.68７0.580.310.64８0.560.290.61100.530.270.57200.460.230.251.250.75最大誤差法系數(shù)0.880.511.77４1230.750.4113【解】查表，得

故射擊的標(biāo)準(zhǔn)差為

標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差本例測(cè)量一次的情形,唯有最大誤差法可以估計(jì)其實(shí)驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)差,由于樣本數(shù)為1，故其估計(jì)的信賴程度只有25%。

進(jìn)行一次導(dǎo)彈發(fā)射實(shí)驗(yàn)，導(dǎo)彈著落點(diǎn)距靶心35，試求射擊的標(biāo)準(zhǔn)差?！窘狻坎楸恚霉噬鋼舻臉?biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差本例測(cè)量114【解】(1)用貝塞爾公式估算

對(duì)某量測(cè)得數(shù)據(jù)7.7,7.7,7.5,7.7,7.7,7.7,7.9,7.6,7.7,7.8,7.9，試分別用貝塞爾公式、極差法、最大誤差法估計(jì)其測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差及其標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差。【解】(1)用貝塞爾公式估算對(duì)某量測(cè)得數(shù)據(jù)7.7,7.7115(2)用極差法估算查表，得故(2)用極差法估算查表，得故116（3）用最大誤差法估算真值未知，計(jì)算最大殘差

|vi|max=0.22查表，插值計(jì)算得

故（3）用最大誤差法估算真值未知，計(jì)算最大殘差|vi|117【解】查表，得

故射擊的標(biāo)準(zhǔn)差為

標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差本例測(cè)量一次的情形,唯有最大誤差法可以估計(jì)其實(shí)驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)差,由于樣本數(shù)為1，故其估計(jì)的信賴程度只有25%。

進(jìn)行一次導(dǎo)彈發(fā)射實(shí)驗(yàn)，導(dǎo)彈著落點(diǎn)距靶心35，試求射擊的標(biāo)準(zhǔn)差?！窘狻坎楸?，得故射擊的標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差本例測(cè)量118測(cè)量結(jié)果的表示在給頂置信概率P(或顯著度α)的情況下,測(cè)量結(jié)果可表示為其中k為置信系數(shù)，它可由誤差分布決定。當(dāng)誤差服從正態(tài)分布時(shí)，如果測(cè)量次數(shù)較多，可由置信概率P查正態(tài)分布表得；當(dāng)測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，則根據(jù)置信概率P和自由度v(v=n-1)查t分布表得到。其他分布的置信系數(shù)查書P29頁(yè)表2-8。測(cè)量結(jié)果的表示在給頂置信概率P(或顯著度α)的情況下,測(cè)量結(jié)119正態(tài)分布的某些k值的置信概率3.33.02.582.01.961.6451.00.67450.9990.99730.990.9540.950.900.6830.50.0010.00270.010.0460.050.100.3170.5正態(tài)分布的某些k值的置信概率3.33.02.582.01.9120五、不等精度測(cè)量不等精度測(cè)量是測(cè)量條件改變的測(cè)量,在實(shí)際測(cè)量中很難實(shí)現(xiàn)等精度測(cè)量。常見的不等精度測(cè)量有：1、用不同測(cè)量?jī)x器的測(cè)量。2、在相同的測(cè)量條件下，每組的測(cè)量次數(shù)不同。五、不等精度測(cè)量不等精度測(cè)量是測(cè)量條件改變的測(cè)量,在實(shí)際測(cè)量121（一）權(quán)權(quán)是各種測(cè)量結(jié)果的可信賴程度。權(quán)是一個(gè)相對(duì)數(shù)。在等精度測(cè)量中各個(gè)測(cè)量值的信賴程度一樣，所以權(quán)相同。因此，它是不等精度測(cè)量的一個(gè)特例。（一）權(quán)122（二）權(quán)的確定1、按測(cè)量次數(shù)確定權(quán)，即重復(fù)測(cè)量次數(shù)越多，可靠性越大，權(quán)越大，可以干脆用測(cè)量次數(shù)來確定權(quán)的大小。即：pi=ni

。（二）權(quán)的確定1232、權(quán)與相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差成反比2、權(quán)與相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差成反比124例如：對(duì)一級(jí)鋼卷尺的長(zhǎng)度進(jìn)行三組不等精度測(cè)量。求各組的結(jié)果的權(quán)。

解：例如：對(duì)一級(jí)鋼卷尺的長(zhǎng)度進(jìn)行三組不等精度測(cè)量。125（三）加權(quán)算術(shù)平均值對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行m組測(cè)量，得到m個(gè)測(cè)量結(jié)果設(shè)相應(yīng)的測(cè)量次數(shù)為n1,n2，…nm即：由等精度測(cè)量算術(shù)平均值原理：（三）加權(quán)算術(shù)平均值126當(dāng)就是等精度測(cè)量的算術(shù)平均值。為簡(jiǎn)化運(yùn)算可利用如下簡(jiǎn)化公式：

其中的任選參數(shù)值。

當(dāng)其中的任選參數(shù)值。127例，，，求最后測(cè)量結(jié)果。解：取p1=3，p2=2，p3=5，x0=999.94mm則例，，，128（四）單位權(quán)的概念權(quán)數(shù)為1的權(quán)稱為單位權(quán)。由可知同一方差的等精度測(cè)量值的權(quán)數(shù)為1。單位權(quán)化實(shí)質(zhì)：使任一量值乘以自身權(quán)