解決分數(shù)問題的教學(xué)策略研究

PAGEPAGE12分數(shù)乘法的意義是解決分數(shù)實際問題的法寶——宜秀區(qū)大龍山鎮(zhèn)永林小學(xué)姚承進解決分數(shù)的應(yīng)用問題，一直是小學(xué)生感到棘手的學(xué)習(xí)難點。這是因為它與“分數(shù)”具有特定的意義有關(guān)。分數(shù)既可以表示一個具體的“數(shù)值”，也可以表示兩個量之間的關(guān)系——分率。這給我們小學(xué)生多年來學(xué)到的，而且已經(jīng)習(xí)慣了的整數(shù)相關(guān)運算帶來極大的反差。所以，同學(xué)們習(xí)慣用以前的定式思維，來理解分數(shù)問題的應(yīng)用，這直接影響學(xué)生對解決分數(shù)問題的學(xué)習(xí)，對建立新的數(shù)學(xué)模型造成困難。為此，我在教學(xué)實踐中，在尋找有效教學(xué)策略方面，做了一些嘗試。一、調(diào)查與分析分數(shù)應(yīng)用問題的學(xué)習(xí)，在內(nèi)容編排上，相對于過去的教材，顯得有點集中，而且把解決問題又糅合在分數(shù)乘除法的運算當(dāng)中，這給教師在教材把握上增加了難度。但細細琢磨一下，我們發(fā)現(xiàn)，不管分數(shù)問題有多復(fù)雜，而分數(shù)乘法的意義，都是解決分數(shù)應(yīng)用問題的基礎(chǔ)。為此，我首先對學(xué)生運用分數(shù)乘法知識解決問題的能力做了一次調(diào)查。以下是對六年級不同的兩個班共40人，對此知識的掌握情況，作了抽樣調(diào)查。我設(shè)計了以下三道試題讓學(xué)生作答：⑴一代面粉重180千克，吃了它的EQEQEQ\F(3,5),還剩多少千克？⑵一塊平行四邊形的鋼板，底是EQ\F(5,8)米，高是底的EQ\F(4,5)，它的面積是多少？⑶一批水果共120千克，上午賣出了EQ\F(1,3)，下午賣出余下水果的EQ\F(1,2)，下午賣出了多少千克？（統(tǒng)計結(jié)果如下）：題目編號參加人數(shù)/人答案正確人數(shù)/人正確率錯誤列式第1題40923%180×EQ\F(3,5)第2題401948%EQ\F(5,8)×EQ\F(4,5)第3題401845%20×EQ\F(1,3)×EQ\F(1,2)（其它錯4人）學(xué)生答完題后并進行個別詢問，我們發(fā)現(xiàn)存在的問題，主要是不能正確理解題意，對“求一個數(shù)的幾分之幾用乘法”這個數(shù)學(xué)模型的理解比較模糊，以至看到“一個數(shù)”和“幾分之幾”，便毫不猶豫的列出乘法算式。沒有看清楚“問題”與“一個數(shù)”之間的關(guān)系，從而導(dǎo)致錯誤。歸因分析有以下幾點：（一）、學(xué)生“讀懂”題目是一個薄弱環(huán)節(jié)。“讀懂”包括讀題和審題兩個步驟。首先把題目讀一遍，目的是了解事件，明了“條件”和“問題”。但這遠沒有達到“讀懂”的目的。所謂“讀懂”就是把問題情境所展示的故事性，內(nèi)化成學(xué)生自己的認識，用自己的語言說說題目的意思。而我們調(diào)查的學(xué)生在讀題時，只是把文字念一遍，沒有養(yǎng)成關(guān)鍵字句的圈劃等分析習(xí)慣，以至于老師多次提醒讀題，還是對影響列式的關(guān)鍵詞視而不見。其次是審題策略的掌握不夠靈活。審題是解決問題的關(guān)鍵，目的是要弄清解決問題的“算理”，最終找到解決問題的策略。在調(diào)查的學(xué)生當(dāng)中，很少有學(xué)生運用簡化和數(shù)行結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法來分析題意，解決問題的嚴(yán)密性和科學(xué)性等良好的思維品質(zhì)沒有養(yǎng)成。（二）、學(xué)生對分數(shù)乘法的意義理解停留在表面上。當(dāng)學(xué)生看見“一個數(shù)”的“幾分之幾”之后，立刻就想到用“乘法”。完全不考慮單位“1”的量和所求問題之間的聯(lián)系，沒有理解分數(shù)中，“總量”與“部分量”，或“標(biāo)準(zhǔn)量”與‘比較量“之間的“對應(yīng)”關(guān)系，也沒有很好地區(qū)分分數(shù)所表示的到底是“值”還是“率”。學(xué)生只知道機械記憶“求一個數(shù)的幾分之幾是多少用乘法”，而對這一數(shù)學(xué)模型的建立缺乏實踐基礎(chǔ)和探索的過程。正與弗賴登塔爾所言：“理解算法的最好途徑是發(fā)現(xiàn)它，沒有什么比依靠自己的發(fā)現(xiàn)更令人信服。如果不給兒童必要的時間，如果算法是生硬地灌輸?shù)模S之而來的必然是一個糟糕的反應(yīng)。”二、探索與實踐（一）、以學(xué)生為主體，探究學(xué)習(xí)分數(shù)乘法的拓展意義通過對已經(jīng)學(xué)過分數(shù)乘法應(yīng)用知識的六年級同學(xué)的調(diào)查，在接下來的五年級的教學(xué)活動中，我做了一些探索與實踐。因為分數(shù)乘法的意義，除了與整數(shù)乘法的意義相同外，還有其拓展意義，那就是“表示一個數(shù)的幾分之幾是多少”。而且這個意義乃是后面繼續(xù)學(xué)習(xí)分數(shù)乘除法應(yīng)用題的基礎(chǔ)，是解決此類分數(shù)實際問題的“模型”。在教學(xué)此內(nèi)容時，關(guān)鍵要讓學(xué)生弄明白兩點：一是“一個數(shù)的幾分之幾”的問題。這個問題看似簡單，其實學(xué)生遇到特定的問題情境時，往往把“一個數(shù)”與它對應(yīng)的“幾分之幾”，不能準(zhǔn)確的聯(lián)系起來，而是隨意“掛鉤”，這實際就是找準(zhǔn)單位“1”的量。為了讓學(xué)生直接感悟“一個數(shù)的幾分之幾”的實際意義，我做了如下實踐?！景咐?】教師出示題目：媽媽拿來三種水果，草莓12顆，蘋果6個，梨4個。小紅、淘氣和笑笑每人拿一種，但只能拿走它的EQ\F(1,2)。①小紅拿了幾顆草莓？②淘氣拿了幾個蘋果？③笑笑拿了幾個梨？學(xué)生通過圖片操作，或畫實物圖等方法很快得出答案。討論：都是拿了EQ\F(1,2)，為什么每人拿的數(shù)量不同呢？學(xué)生交流：①小紅拿的是草莓，草莓12顆，它的EQ\F(1,2)是6顆；②淘氣拿的是蘋果，蘋果有6個，6個蘋果的EQ\F(1,2)是3個，所以淘氣拿了3個蘋果；③笑笑拿的是梨，梨是4個，它的EQ\F(1,2)就是2。④我知道了，因為單位“1”不同，那么它的EQ\F(1,2)結(jié)果也不同。師：誰說說他們的單位“1”？生：小紅拿草莓的EQ\F(1,2)，是把12顆草莓看作單位“1”；淘氣拿的是蘋果，那么就把6個蘋果看作單位“1”；笑笑拿梨的EQ\F(1,2)，4個梨就是單位“1”?！景咐?】的教學(xué)片斷，目的是感受“一個數(shù)的幾分之幾”的含義，從中體會“分率”與單位“1”的聯(lián)系，避免了學(xué)生靠“是”“占”等重點詞來判斷單位“1”的機械做法。而是讓學(xué)生從具體情境中，切身體會“一個數(shù)的幾分之幾是多少的實際意義”。接下來，就是要解決“為什么求一個數(shù)的幾分之幾是多少用乘法計算？”這個核心問題。以往我們聽課時發(fā)現(xiàn)學(xué)生在探究此問題時，很少有弄明白的，最后，只好按老師給出的結(jié)語，死記硬背，遇到應(yīng)用問題時，只能是套用格式，稍微變通一下，就會出錯?！景咐?】師：老師這兒有一個蘋果，分EQ\F(1,2)給小明，小明得多少？生：半個，也就是EQ\F(1,2)個，師：（拿出2個蘋果卡片）1個蘋果分EQ\F(1,2)給小明，小明得到的是1個EQ\F(1,2)，現(xiàn)在老師拿出兩個蘋果，分EQ\F(1,2)給小明，小明能得到幾個“EQ\F(1,2)”？（同時老師把蘋果卡片粘在黑板上）生：2個EQ\F(1,2)（并要求學(xué)生把蘋果分開進行演示）師：2個EQ\F(1,2)是多少？怎么列式？生：2×EQ\F(1,2)=1（個）師：（老師又拿出4個蘋果卡片）老師這兒還有呢，其實老師一共有6個蘋果，干脆把這6個蘋果全部分EQ\F(1,2)給小明，算算小明分得幾個？（出示卡片粘在黑板上，然后根據(jù)回答依序在蘋果卡片上畫一畫）生：3個師：怎么得來的？這一題把多少看作單位“1”？生：6個蘋果是單位“1”師：對！實際就是求6的EQ\F(1,2)是多少？也就是把每個蘋果的EQ\F(1,2)給小明，想一想：小明得到幾個？（把一個蘋果分開）生：有6個EQ\F(1,2)，師：6個EQ\F(1,2)怎么列式？生：6×EQ\F(1,2)=3（個）師：對！也可以這樣列式：EQ\F(1,2)×6=3（個）。老師今天不僅帶來了蘋果，還帶來了梨，想知道有多少嗎？生：想！師：好！梨沒有蘋果多，只有蘋果的EQ\F(2,3)，猜猜看，是幾個？誰猜對了，梨歸誰。生：（有的畫，有的寫，還有的擺）（交流）生：我把卡片擺的，在6個蘋果下面擺梨。梨是蘋果的EQ\F(2,3)，蘋果有6個，分3份，每份2個，“EQ\F(2,3)”就是說梨有2份，是4個；師：很好！，這一題梨的數(shù)量和誰比？把哪個做標(biāo)準(zhǔn)？生：和蘋果比。把蘋果的數(shù)做標(biāo)準(zhǔn)。師：實際上要我們找出什么數(shù)？生：6個蘋果的EQ\F(2,3)是多少？師：對啊！6的EQ\F(2,3)到底是多少呢？“EQ\F(2,3)”是什么意思？生：就是把6個蘋果平均分成3份，表示其中的2份。師：能不能列式求？生：能。我是先把6÷3＝2，再把2×2=4，所以梨有4個；師：很好！綜合算式6÷3×2＝EQ\F(6,3)×2=EQ\F(6×2,3)=6×EQ\F(2,3)=4，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了嗎？求6的EQ\F(2,3)可以怎么列式？剛才我們是把“EQ\F(2,3)”轉(zhuǎn)化成整數(shù)理解來計算的，能不能直接列式？（觀察上面的算式轉(zhuǎn)換）生：可以直接列出算式6×EQ\F(2,3)師：（小結(jié)）哦！通過剛才的探索，你發(fā)現(xiàn)求一個數(shù)的幾分之幾是多少可以怎樣列式？（生：乘法）是不是都可以這樣列式呢？我們把前面的問題列式驗證一下好嗎？（列式驗證案例1的問題）【案例2】的教學(xué)是在具體的問題情境中，通過兩種策略，得出“求一個數(shù)的幾分之幾是多少用乘法計算”這個結(jié)論。為了讓學(xué)生進一步理解，在發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上，加以驗證，鞏固這一“探究的成果”。課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：“有效的教學(xué)活動是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者”。只有學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和主動建構(gòu)的知識模型，才會真正植入學(xué)生的靈魂深處，才會運用自如。（二）以單位“1”為立足點，多種策略并進理解數(shù)量關(guān)系解決問題活動的價值不只是獲得具體問題的解，更重要的是學(xué)生在分析問題和解決問題過程中獲得發(fā)展，重要一點在于使學(xué)生學(xué)習(xí)一些分析問題和解決問題的基本策略，體驗策略多樣性。由于分數(shù)乘法基礎(chǔ)性很強，而分數(shù)除法的實際應(yīng)用，同樣是建立在“求一個數(shù)的幾分之幾是多少用乘法”的基本模型上，因為數(shù)量關(guān)系相同，只是“問題”和“條件”調(diào)換而已。因此，分數(shù)乘法問題的數(shù)量關(guān)系分析，找準(zhǔn)單位“1”的量是重中之重。要讓學(xué)生根據(jù)具體情境判斷誰是單位“1”，掌握審題策略和方法，是教師教學(xué)的首要任務(wù)。1、讀懂題意是前提。一般讀題要經(jīng)過兩個過程，首先是把題目念一遍，然后把題目“骨架”拎出來，也就是簡化文字，理解實質(zhì)內(nèi)容的過程。通過前面的調(diào)查，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生讀題很表面化，不細致。尤其是不能把故事化的問題情境，內(nèi)化為自己的語言。不能用獨特的數(shù)學(xué)語言來表達題目的意思。如下面的案例【案例3】出示例題：我的年齡是媽媽的EQ\F(1,4)我的年齡是媽媽的EQ\F(1,6)我今年48歲媽媽 我的年齡是媽媽的EQ\F(1,4)我的年齡是媽媽的EQ\F(1,6)我今年48歲 小芳小芳今年幾歲？小麗今年幾歲？師：誰把題目意思說一下？剛開始學(xué)生只會一個框一個框念一下題目，老師提示把她們的語言，換成自己的話簡要的說一下題意。這時經(jīng)過多個學(xué)生回答后才越來越簡要，最后說成：“媽媽48歲，小麗年齡是媽媽的EQ\F(1,6)，小芳是EQ\F(1,4)，求小麗和小芳各幾歲？”通過這樣的讀題后，大概知道了小麗和小芳的年齡都和媽媽有關(guān)，至于有什么樣的數(shù)量關(guān)系，則是下一步要做的事情。這是一道以圖文方式出現(xiàn)的問題情境，對文字出現(xiàn)的問題情境，一般可采取重點詞圈劃、提綱式摘錄等辦法，幫助理解題意，教學(xué)時要多加練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達能力。2、找單位“1”是關(guān)鍵。由于分數(shù)問題的特征與整數(shù)問題的特征有著天然之別，它不是一般整數(shù)意義上的和、差、積、商的關(guān)系，而是“總數(shù)”與“部分數(shù)”，“標(biāo)準(zhǔn)量”與“比較量”的關(guān)系，找準(zhǔn)了單位“1”的量，也就順理成章的找到了相聯(lián)系的“量”以及與之對應(yīng)的“分率”，從而找到它們之間的數(shù)量關(guān)系。如下例：【案例4】農(nóng)莊飼養(yǎng)場，養(yǎng)雞120只，養(yǎng)豬160頭，養(yǎng)的鴨的只數(shù)是雞的EQ\F(4,5)，養(yǎng)的鵝的只數(shù)是鴨的EQ\F(1,3)，養(yǎng)的牛的頭數(shù)是豬的一半。養(yǎng)鴨多少只？養(yǎng)牛多少頭？還可以提出什么數(shù)學(xué)問題？讀完題后，由于文字很長，開始感到一腦子霧水。如果從單位“1”著手，很快就能理出思路：①鴨和雞有關(guān)，“120只雞”是單位“1”，“鴨”是“雞”的EQ\F(4,5)，求“鴨”就是求120的EQ\F(4,5)是多少？②“牛”和“豬”有聯(lián)系，160頭豬是單位“1”，“牛”是“豬”的EQ\F(1,2)，160的EQ\F(1,2)就是牛的頭數(shù)。③發(fā)現(xiàn)還有一條信息沒有用，于是想到“鵝的只數(shù)是鴨的EQ\F(1,3)”，可以求出鵝的只數(shù)。這一題很好地體現(xiàn)了，要求的“比較量”靠“幾分之幾”的分率，找到與之對應(yīng)的單位“1”的量，讓學(xué)生從中體會到“值”與“率”的對應(yīng)關(guān)系。160頭3、線段圖是橋梁。數(shù)行結(jié)合向來都是分析數(shù)量關(guān)系的重要策略。尤其是分數(shù)問題的抽象性，很難用語言描述清楚，也不能模擬操作，而線段圖，它能夠一目了然的，使抽象問題具體化，復(fù)雜關(guān)系明朗化。如上例讀題后，如果用線段圖表示出來很快就能看出它們之間關(guān)系。【案例4線段圖】160頭120只雞：豬：120只？頭？只只、？鴨： 牛： ？頭？只只、？雖然畫圖策略的應(yīng)用很有效，但是在實際解決問題時，學(xué)生的畫圖意識很淡薄，往往在老師的提示下，才想到用。這主要是畫圖麻煩，還有一個原因是不會畫。要解決這個問題，一個要加強訓(xùn)練，再就是畫法指導(dǎo)。分數(shù)問題的線段圖畫法指導(dǎo)要注意兩點：一是先畫單位“1”的量，再畫與之對應(yīng)的量；二是弄清楚用一條線段還是用多條線段來表示題中的量。請看下例：【案例5】出示下面兩