解決分數問題的教學策略研究

PAGEPAGE12分數乘法的意義是解決分數實際問題的法寶——宜秀區(qū)大龍山鎮(zhèn)永林小學姚承進解決分數的應用問題，一直是小學生感到棘手的學習難點。這是因為它與“分數”具有特定的意義有關。分數既可以表示一個具體的“數值”，也可以表示兩個量之間的關系——分率。這給我們小學生多年來學到的，而且已經習慣了的整數相關運算帶來極大的反差。所以，同學們習慣用以前的定式思維，來理解分數問題的應用，這直接影響學生對解決分數問題的學習，對建立新的數學模型造成困難。為此，我在教學實踐中，在尋找有效教學策略方面，做了一些嘗試。一、調查與分析分數應用問題的學習，在內容編排上，相對于過去的教材，顯得有點集中，而且把解決問題又糅合在分數乘除法的運算當中，這給教師在教材把握上增加了難度。但細細琢磨一下，我們發(fā)現，不管分數問題有多復雜，而分數乘法的意義，都是解決分數應用問題的基礎。為此，我首先對學生運用分數乘法知識解決問題的能力做了一次調查。以下是對六年級不同的兩個班共40人，對此知識的掌握情況，作了抽樣調查。我設計了以下三道試題讓學生作答：⑴一代面粉重180千克，吃了它的EQEQEQ\F(3,5),還剩多少千克？⑵一塊平行四邊形的鋼板，底是EQ\F(5,8)米，高是底的EQ\F(4,5)，它的面積是多少？⑶一批水果共120千克，上午賣出了EQ\F(1,3)，下午賣出余下水果的EQ\F(1,2)，下午賣出了多少千克？（統計結果如下）：題目編號參加人數/人答案正確人數/人正確率錯誤列式第1題40923%180×EQ\F(3,5)第2題401948%EQ\F(5,8)×EQ\F(4,5)第3題401845%20×EQ\F(1,3)×EQ\F(1,2)（其它錯4人）學生答完題后并進行個別詢問，我們發(fā)現存在的問題，主要是不能正確理解題意，對“求一個數的幾分之幾用乘法”這個數學模型的理解比較模糊，以至看到“一個數”和“幾分之幾”，便毫不猶豫的列出乘法算式。沒有看清楚“問題”與“一個數”之間的關系，從而導致錯誤。歸因分析有以下幾點：（一）、學生“讀懂”題目是一個薄弱環(huán)節(jié)。“讀懂”包括讀題和審題兩個步驟。首先把題目讀一遍，目的是了解事件，明了“條件”和“問題”。但這遠沒有達到“讀懂”的目的。所謂“讀懂”就是把問題情境所展示的故事性，內化成學生自己的認識，用自己的語言說說題目的意思。而我們調查的學生在讀題時，只是把文字念一遍，沒有養(yǎng)成關鍵字句的圈劃等分析習慣，以至于老師多次提醒讀題，還是對影響列式的關鍵詞視而不見。其次是審題策略的掌握不夠靈活。審題是解決問題的關鍵，目的是要弄清解決問題的“算理”，最終找到解決問題的策略。在調查的學生當中，很少有學生運用簡化和數行結合等數學思想方法來分析題意，解決問題的嚴密性和科學性等良好的思維品質沒有養(yǎng)成。（二）、學生對分數乘法的意義理解停留在表面上。當學生看見“一個數”的“幾分之幾”之后，立刻就想到用“乘法”。完全不考慮單位“1”的量和所求問題之間的聯系，沒有理解分數中，“總量”與“部分量”，或“標準量”與‘比較量“之間的“對應”關系，也沒有很好地區(qū)分分數所表示的到底是“值”還是“率”。學生只知道機械記憶“求一個數的幾分之幾是多少用乘法”，而對這一數學模型的建立缺乏實踐基礎和探索的過程。正與弗賴登塔爾所言：“理解算法的最好途徑是發(fā)現它，沒有什么比依靠自己的發(fā)現更令人信服。如果不給兒童必要的時間，如果算法是生硬地灌輸的，隨之而來的必然是一個糟糕的反應。”二、探索與實踐（一）、以學生為主體，探究學習分數乘法的拓展意義通過對已經學過分數乘法應用知識的六年級同學的調查，在接下來的五年級的教學活動中，我做了一些探索與實踐。因為分數乘法的意義，除了與整數乘法的意義相同外，還有其拓展意義，那就是“表示一個數的幾分之幾是多少”。而且這個意義乃是后面繼續(xù)學習分數乘除法應用題的基礎，是解決此類分數實際問題的“模型”。在教學此內容時，關鍵要讓學生弄明白兩點：一是“一個數的幾分之幾”的問題。這個問題看似簡單，其實學生遇到特定的問題情境時，往往把“一個數”與它對應的“幾分之幾”，不能準確的聯系起來，而是隨意“掛鉤”，這實際就是找準單位“1”的量。為了讓學生直接感悟“一個數的幾分之幾”的實際意義，我做了如下實踐。【案例1】教師出示題目：媽媽拿來三種水果，草莓12顆，蘋果6個，梨4個。小紅、淘氣和笑笑每人拿一種，但只能拿走它的EQ\F(1,2)。①小紅拿了幾顆草莓？②淘氣拿了幾個蘋果？③笑笑拿了幾個梨？學生通過圖片操作，或畫實物圖等方法很快得出答案。討論：都是拿了EQ\F(1,2)，為什么每人拿的數量不同呢？學生交流：①小紅拿的是草莓，草莓12顆，它的EQ\F(1,2)是6顆；②淘氣拿的是蘋果，蘋果有6個，6個蘋果的EQ\F(1,2)是3個，所以淘氣拿了3個蘋果；③笑笑拿的是梨，梨是4個，它的EQ\F(1,2)就是2。④我知道了，因為單位“1”不同，那么它的EQ\F(1,2)結果也不同。師：誰說說他們的單位“1”？生：小紅拿草莓的EQ\F(1,2)，是把12顆草莓看作單位“1”；淘氣拿的是蘋果，那么就把6個蘋果看作單位“1”；笑笑拿梨的EQ\F(1,2)，4個梨就是單位“1”。【案例1】的教學片斷，目的是感受“一個數的幾分之幾”的含義，從中體會“分率”與單位“1”的聯系，避免了學生靠“是”“占”等重點詞來判斷單位“1”的機械做法。而是讓學生從具體情境中，切身體會“一個數的幾分之幾是多少的實際意義”。接下來，就是要解決“為什么求一個數的幾分之幾是多少用乘法計算？”這個核心問題。以往我們聽課時發(fā)現學生在探究此問題時，很少有弄明白的，最后，只好按老師給出的結語，死記硬背，遇到應用問題時，只能是套用格式，稍微變通一下，就會出錯。【案例2】師：老師這兒有一個蘋果，分EQ\F(1,2)給小明，小明得多少？生：半個，也就是EQ\F(1,2)個，師：（拿出2個蘋果卡片）1個蘋果分EQ\F(1,2)給小明，小明得到的是1個EQ\F(1,2)，現在老師拿出兩個蘋果，分EQ\F(1,2)給小明，小明能得到幾個“EQ\F(1,2)”？（同時老師把蘋果卡片粘在黑板上）生：2個EQ\F(1,2)（并要求學生把蘋果分開進行演示）師：2個EQ\F(1,2)是多少？怎么列式？生：2×EQ\F(1,2)=1（個）師：（老師又拿出4個蘋果卡片）老師這兒還有呢，其實老師一共有6個蘋果，干脆把這6個蘋果全部分EQ\F(1,2)給小明，算算小明分得幾個？（出示卡片粘在黑板上，然后根據回答依序在蘋果卡片上畫一畫）生：3個師：怎么得來的？這一題把多少看作單位“1”？生：6個蘋果是單位“1”師：對！實際就是求6的EQ\F(1,2)是多少？也就是把每個蘋果的EQ\F(1,2)給小明，想一想：小明得到幾個？（把一個蘋果分開）生：有6個EQ\F(1,2)，師：6個EQ\F(1,2)怎么列式？生：6×EQ\F(1,2)=3（個）師：對！也可以這樣列式：EQ\F(1,2)×6=3（個）。老師今天不僅帶來了蘋果，還帶來了梨，想知道有多少嗎？生：想！師：好！梨沒有蘋果多，只有蘋果的EQ\F(2,3)，猜猜看，是幾個？誰猜對了，梨歸誰。生：（有的畫，有的寫，還有的擺）（交流）生：我把卡片擺的，在6個蘋果下面擺梨。梨是蘋果的EQ\F(2,3)，蘋果有6個，分3份，每份2個，“EQ\F(2,3)”就是說梨有2份，是4個；師：很好！，這一題梨的數量和誰比？把哪個做標準？生：和蘋果比。把蘋果的數做標準。師：實際上要我們找出什么數？生：6個蘋果的EQ\F(2,3)是多少？師：對?。?的EQ\F(2,3)到底是多少呢？“EQ\F(2,3)”是什么意思？生：就是把6個蘋果平均分成3份，表示其中的2份。師：能不能列式求？生：能。我是先把6÷3＝2，再把2×2=4，所以梨有4個；師：很好！綜合算式6÷3×2＝EQ\F(6,3)×2=EQ\F(6×2,3)=6×EQ\F(2,3)=4，同學們發(fā)現了嗎？求6的EQ\F(2,3)可以怎么列式？剛才我們是把“EQ\F(2,3)”轉化成整數理解來計算的，能不能直接列式？（觀察上面的算式轉換）生：可以直接列出算式6×EQ\F(2,3)師：（小結）哦！通過剛才的探索，你發(fā)現求一個數的幾分之幾是多少可以怎樣列式？（生：乘法）是不是都可以這樣列式呢？我們把前面的問題列式驗證一下好嗎？（列式驗證案例1的問題）【案例2】的教學是在具體的問題情境中，通過兩種策略，得出“求一個數的幾分之幾是多少用乘法計算”這個結論。為了讓學生進一步理解，在發(fā)現的基礎上，加以驗證，鞏固這一“探究的成果”。課程標準明確指出：“有效的教學活動是學生學與教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者”。只有學生自己發(fā)現和主動建構的知識模型，才會真正植入學生的靈魂深處，才會運用自如。（二）以單位“1”為立足點，多種策略并進理解數量關系解決問題活動的價值不只是獲得具體問題的解，更重要的是學生在分析問題和解決問題過程中獲得發(fā)展，重要一點在于使學生學習一些分析問題和解決問題的基本策略，體驗策略多樣性。由于分數乘法基礎性很強，而分數除法的實際應用，同樣是建立在“求一個數的幾分之幾是多少用乘法”的基本模型上，因為數量關系相同，只是“問題”和“條件”調換而已。因此，分數乘法問題的數量關系分析，找準單位“1”的量是重中之重。要讓學生根據具體情境判斷誰是單位“1”，掌握審題策略和方法，是教師教學的首要任務。1、讀懂題意是前提。一般讀題要經過兩個過程，首先是把題目念一遍，然后把題目“骨架”拎出來，也就是簡化文字，理解實質內容的過程。通過前面的調查，我們發(fā)現學生讀題很表面化，不細致。尤其是不能把故事化的問題情境，內化為自己的語言。不能用獨特的數學語言來表達題目的意思。如下面的案例【案例3】出示例題：我的年齡是媽媽的EQ\F(1,4)我的年齡是媽媽的EQ\F(1,6)我今年48歲媽媽 我的年齡是媽媽的EQ\F(1,4)我的年齡是媽媽的EQ\F(1,6)我今年48歲 小芳小芳今年幾歲？小麗今年幾歲？師：誰把題目意思說一下？剛開始學生只會一個框一個框念一下題目，老師提示把她們的語言，換成自己的話簡要的說一下題意。這時經過多個學生回答后才越來越簡要，最后說成：“媽媽48歲，小麗年齡是媽媽的EQ\F(1,6)，小芳是EQ\F(1,4)，求小麗和小芳各幾歲？”通過這樣的讀題后，大概知道了小麗和小芳的年齡都和媽媽有關，至于有什么樣的數量關系，則是下一步要做的事情。這是一道以圖文方式出現的問題情境，對文字出現的問題情境，一般可采取重點詞圈劃、提綱式摘錄等辦法，幫助理解題意，教學時要多加練習，培養(yǎng)學生的口頭表達能力。2、找單位“1”是關鍵。由于分數問題的特征與整數問題的特征有著天然之別，它不是一般整數意義上的和、差、積、商的關系，而是“總數”與“部分數”，“標準量”與“比較量”的關系，找準了單位“1”的量，也就順理成章的找到了相聯系的“量”以及與之對應的“分率”，從而找到它們之間的數量關系。如下例：【案例4】農莊飼養(yǎng)場，養(yǎng)雞120只，養(yǎng)豬160頭，養(yǎng)的鴨的只數是雞的EQ\F(4,5)，養(yǎng)的鵝的只數是鴨的EQ\F(1,3)，養(yǎng)的牛的頭數是豬的一半。養(yǎng)鴨多少只？養(yǎng)牛多少頭？還可以提出什么數學問題？讀完題后，由于文字很長，開始感到一腦子霧水。如果從單位“1”著手，很快就能理出思路：①鴨和雞有關，“120只雞”是單位“1”，“鴨”是“雞”的EQ\F(4,5)，求“鴨”就是求120的EQ\F(4,5)是多少？②“?！焙汀柏i”有聯系，160頭豬是單位“1”，“?！笔恰柏i”的EQ\F(1,2)，160的EQ\F(1,2)就是牛的頭數。③發(fā)現還有一條信息沒有用，于是想到“鵝的只數是鴨的EQ\F(1,3)”，可以求出鵝的只數。這一題很好地體現了，要求的“比較量”靠“幾分之幾”的分率，找到與之對應的單位“1”的量，讓學生從中體會到“值”與“率”的對應關系。160頭3、線段圖是橋梁。數行結合向來都是分析數量關系的重要策略。尤其是分數問題的抽象性，很難用語言描述清楚，也不能模擬操作，而線段圖，它能夠一目了然的，使抽象問題具體化，復雜關系明朗化。如上例讀題后，如果用線段圖表示出來很快就能看出它們之間關系?！景咐?線段圖】160頭120只雞：豬：120只？頭？只只、？鴨： 牛： ？頭？只只、？雖然畫圖策略的應用很有效，但是在實際解決問題時，學生的畫圖意識很淡薄，往往在老師的提示下，才想到用。這主要是畫圖麻煩，還有一個原因是不會畫。要解決這個問題，一個要加強訓練，再就是畫法指導。分數問題的線段圖畫法指導要注意兩點：一是先畫單位“1”的量，再畫與之對應的量；二是弄清楚用一條線段還是用多條線段來表示題中的量。請看下例：【案例5】出示下面兩