電動力學(xué)必考題

電動力學(xué)必考題第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律例題（課本P7）算電場的散度。解：作半徑為r的球（與電荷球體同心）。由對稱性，在球面上各點的電場強(qiáng)度有相同的數(shù)值E,并沿徑向。1）當(dāng)r>a時，球面所圍的總電荷為Q,由高斯定理得電荷Q均勻分布于半徑為a的球體內(nèi)，求各點的電場強(qiáng)度，并由此直接計E=—-4718F20「一-0bE-dS=^Ttr^E=——8o-Qr-E=—(r>q)4k8r302）若rva,則球面所圍電荷為44QQy3—7lr3p=—71F3一33471(23/3應(yīng)用高斯定理得Qr(r<a)r一一0Qr(r<a)E?dS=A-Jir^E—￡Q3

0QrE=—(r>a)4k8r30E=

4kgQ3

0E=—(r<a

-4718Q3

0電場的散度VE=-^—N二當(dāng)5時4n￡0=0NE=0I當(dāng)r<a時物/pE-o1「根據(jù)算薦V曲微分性與向量性，推導(dǎo)下列公式：V(A-B)=Bx(VxA)+(B-V)A+Ax(VxB)+(A-V)BAx(VxA)=±VA2-(A-V)A2解:(1)V(A-B)=V(A-B)+V(B-A)cc=Bx(VxA)+(BV)A+Ax(VxB)+(AV)Bcccc=Bx(VxA)+(B-V)A+Ax(VxB)+(A-V)B(2)在(1)中令A(yù)=B得：V(A-A)=2Ax(VxA)+2(A-V)A,

所以Ax(VxA)=iV(A-A)-(A-V)A即Ax(VxA)=iVA2—(A?V)A2.設(shè)u是空間坐標(biāo)x,J,Z的函數(shù)，2證明：TOC\o"1-5"\h\zVf(u)=堂Vu，V?A(u)=Vu-竺，VxA(u)=Vux堅dududu證明：df(u)df(u)df(u)dfdudfdudfdu(1)Vf(u)=v7e+八'e+^^e=e+e+edxxdyjdzZdudxxdudyydudzZdfdudududf=無(瓦ex+aJey+瓦eZ)=而VuVA()dA(u)dA(u)dA(u)dAdudAdudAdudxdydzdudxdudydudzdAdAdAdudududA=(xe+比e+ze)-(——e+——e+——e)=Vu?duxduyduzdxxdyydzzdudAexeyez(3)Vux——=du/dxdu/dydu/dzdudA/dudA/dudA/du=(dA.dudAdu他+(dAdudAdu牌+(dAdudAdu他dudydudzxdudzdudxydudxdudyzdA(u)=[dA(u)=[dydA(u)[dA(u)dzxdzdA(u)]e+[^A(u)dA(u)]edxydxdyz=VxA(u)第二章靜電場1.一個半徑為R的電介質(zhì)球，極化強(qiáng)度為P=Kr/"，電容率為e（1）計算束縛電荷的體密度和面密度：（2）計算自由電荷體密度；（3）計算球外和球內(nèi)的電勢；（4）求該帶電介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電場總能量解：(1)P=-V-P=-KV-(r/r2)=-K[(1/r2)V-r+r?V(1/r2)]=-K/r2q=-n?(P-P)=e-p=K/R(2)D內(nèi)=sE+P=P&/(s-s)Pf=V?D內(nèi)=sV?P/(s-s0)=sK/(s-s0)r2(3)E內(nèi)=D內(nèi)/s=P/(s-s0)E=D外='pfd^=sKRs04兀s0r2rs0(s-s0)r2r平"；E外^dr=s(K)rK八Rs—(In—+—)rs00平內(nèi)=j*E內(nèi).dr+J*00E外.dr=ss

(4)S2K2R2s(s-s)2"4兀K八Rs—(In—+—)rs(4)S2K2R2s(s-s)2"4兀r2drrr4=2兀sR(1+—)(—^)2ss-s11.在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為。的半球凸部（如圖），半球的球心在導(dǎo)體平面上，點電荷。位于系統(tǒng)的對稱軸上，并與平面相距為》（b>a），試用電象法求空間電勢。解：如圖，根據(jù)一點電荷附近置一無限大接地導(dǎo)體平板和一點電荷附近置一接地導(dǎo)體球兩個模型，可確定三個鏡像電荷的電量和位置。aa2aa2。廣-bQ，丁萬七；Q2=bQ，'2=>Q3=-Q，'3=-be，所以中-Q[1z-14ks0R2+b2-2Rbcos0vR2+b2+2Rbcos0b]R2+—+2—Rcos0?b2b]氣R2+壬-2￡RC0S0(0<0<^2,R>a)這說明兩者之差是無旋場第四章例一、有一平面電磁波，其電場強(qiáng)度為eG,t）=1oweCi（兀x10-2z-2兀x10-6t）x（1）判斷電場強(qiáng)度的方向和波傳播的方向;（2）（3）（4）確定頻率、波長和波速；若介質(zhì)的磁導(dǎo)率旦=4kx10-7（亨米），求磁場強(qiáng)度；求在位時間內(nèi)從一個與xy平面平行的單位面積通過的電磁場能量。解：（1）（2）——E沿x軸方向振蕩，k-x=kz，k=2兀x10-2，沿z方向傳播。①=2kx106，f=—=106(Hz)，人=—=1。22kkv=k=i08(m；)。(m)，（3）EE—=v，B=rH，所以H=一，從而H=Brv0100k=2.54kx10-7x108所以H=2.5eei^2kx10-2z-2kx106t)yeeee（H與E同位相同頻率，與k垂直且與E垂直，故它在y軸方向）。（4）考慮S:單位時間垂直通過單位橫向截面的能量，S=vw

-B2-…w=&E2=—=^H2=250兀（J）。P第六章狹義相對論設(shè)有兩根互相平行的尺，在各自靜止的參考系中的長度均為，它們以相同速率v相對于某一參考系運動，但運動方向相反,且平行于尺子。求站在一根尺上測量另一根尺的長度。解：根據(jù)相對論速度交換公式可得￡'系相對于￡'的速度大小是TOC\o"1-5"\h\z21v'=2v/（1+V2/C2）（1）二在￡'系中測量￡'系中靜長為0/的尺子的長度為12l=lA-V'2/C2（2）將（1）代入（2）即得0：l=l（1-V2/C2）/（1+V2/C2）（3）此即是在￡'系中觀測到的相對于￡'靜止的尺子的長度。12靜止長度為l0的車廂，以速度v相對于地面S運行，車廂的后壁以速度u0向前推出一個小球，求地面觀察者看到小球從后壁到前壁的運動時間。解：根據(jù)題意取地面為參考系S，車廂為參考系S’，于是相對于地面參考系S，車長為l=lJ1-V2/C2，（1）車速為v，球速為0u=（u+V）/（1+uV/C2）（2）所以在地面參考系5中°觀察小球擊車后壁到車前壁uAt=V.t+l所以At=l/（u一v）（3）將（1X2）代入（3）得：At=‘0（1+u0V/C2）（4）u廿1一V2/C26.在坐標(biāo)系￡中，有兩個物體都以速度u沿x軸運動，在￡系看來，它們一直保持距離l不變，今有一觀察者以速度V沿x軸運動，他看到這兩個物體的距離是多少？解：根據(jù)題意，取固著于觀察者上的參考系為￡'系，又取固著于AB兩物體的參考系為￡"系.在￡中,AB以速度u沿x軸運動，相距為/；在￡"系中,AB靜止相距為l0，有：Il=l\-1