矩陣的特征值與特征向量課件

第五章矩陣的特征值與特征向量

在及其應用中常要求一個方陣的特征值和特征向量的問題數(shù)學中諸如方陣的對角化及解微分方程組的問題也都要用到特征值的理論

精選ppt1第五章矩陣的特征值與特征向量在及其應引言純量陣lE

與任何同階矩陣的乘法都滿足交換律，即(lEn)An=An

(lEn)=lAn

．矩陣乘法一般不滿足交換律，即AB≠

BA

．數(shù)乘矩陣與矩陣乘法都是可交換的，即l(AB)=(lA)B=A(lB)．Ax=lx?例：精選ppt2引言純量陣lE與任何同階矩陣的乘法都滿足交換律，即精選p一特征值與特征向量定義:非零列向量X稱為A

的對應于特征值的特征向量定義6設A是n階矩陣如果對于數(shù)，存在n維非零列向量X,使AXX

成立則稱為方陣A的一個特征值第一節(jié)矩陣的特征值與特征向量p117精選ppt3一特征值與特征向量定義:非零列向量X稱為A的對應于特征AXX如何求特征值和特征向量?即齊次方程有非0解齊次方程有非0解的充要條件是系數(shù)行列式為0即|I

A|0精選ppt4AXX如何求特征值和特征向量?即齊次方程有非0解齊次方程(2)|I

A|0稱為方陣A的特征方程二特征多項式與特征方程定義

設A為n階方陣(1)f()|I

A|稱為方陣A的特征多項式即即精選ppt5(2)|IA|0稱為方陣A的特征方程二特征(3)方陣A的特征值就是特征方程|I

A|0的根所以方陣A的特征值也稱為方陣A的特征根齊次線性方程組

的每一個非零解向量，都是方陣A的對應于特征值的特征向量所以方陣A對應于每一個不同特征值的特征向量都有無窮多個三特征向量定理1

如果非零向量X為矩陣A對應于特征值的特征向量則CX(C≠0為任意常數(shù)）也是A對應于特征值的特征向量定理2

如果X1，X2為矩陣A對應于特征值的特征向量，且X1+X2≠0，則X1+X2也是A對應于特征值的特征向量，

即:矩陣A對應于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍然為A對應于特征向量(不能為0)精選ppt6(3)方陣A的特征值就是特征方程|IA|0的根

綜上所述,求矩陣A的特征值及特征向量的步驟如下:第一步計算矩陣A特征多項式|I

A|

;第二步求出矩陣A的特征方程|I

A|=0的全部根,即求得A的全部特征值1，1，---n，(其中可能有重根）第三步對于A的每個特征值i,求出對應的齊次線性方程組（iI

A）X=0的一個基礎解系.矩陣A對應于特征值i的全部特征向量為精選ppt7綜上所述,求矩陣A的特征值及特征向量的步驟如例1

求矩陣的特征值和特征向量

解(1)A的特征方程為所以A的特征值為14

2-2

(2)當14時其基礎解系可取為則矩陣A對應于特征值14的全體特征向量為精選ppt8例1求矩陣的特征值和特征向量解(1例1

求矩陣的特征值和特征向量

解(3)當2-2時其基礎解系可取為則矩陣A對應于特征值2-2的全體特征向量為精選ppt9例1求矩陣的特征值和特征向量解(3例2

求矩陣的特征值和特征向量

解(1)A的特征方程為所以A的特征值為12

24

(2)當12時其基礎解系可取為則矩陣A對應于特征值12的全體特征向量為精選ppt10例2求矩陣的特征值和特征向量解(1例2

求矩陣的特征值和特征向量

解(3)當24時其基礎解系可取為則矩陣A對應于特征值24的全體特征向量為精選ppt11例2求矩陣的特征值和特征向量解(3例3

求矩陣的特征值和特征向量

解(1)A的特征方程為所以A的特征值為124，

32精選ppt12例3求矩陣的特征值和特征向量解(1例3

求矩陣的特征值和特征向量

解A的特征值為1=2=4

32(2)當12=4其基礎解系可取為則矩陣A對應于特征值12=4的全體特征向量為精選ppt13例3求矩陣的特征值和特征向量解A的例3

求矩陣的特征值和特征向量

解A的特征值為1=2=4

32(3)當3=2其基礎解系可取為則矩陣A對應于特征值32的全體特征向量為精選ppt14例3求矩陣的特征值和特征向量解A的例4

求矩陣的特征值和特征向量

解(1)A的特征方程為所以A的特征值為1=2=1

32精選ppt15例4求矩陣的特征值和特征向量解(1例4

求矩陣的特征值和特征向量

解A的特征值為1=2=1

32(2)當12=1其基礎解系可取為則矩陣A對應于特征值12=1的全體特征向量為精選ppt16例4求矩陣的特征值和特征向量解A的例4

求矩陣的特征值和特征向量解A的特征值為1=2=1

32(3)當32其基礎解系可取為則矩陣A對應于特征值3=2的全體特征向量為精選ppt17例4求矩陣的特征值和特征向量解A的特征在復數(shù)范圍內(nèi)n階矩陣A有n個特征值（重根按重數(shù)計算）．設n階矩陣A的特征值為l1,l2,…,ln，則l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann

l1l2…ln=|A|（利用根與系數(shù)的關系可證，證明不要求。但性質(zhì)本身需牢固掌握）四特征值與特征向量的性質(zhì)精選ppt18在復數(shù)范圍內(nèi)n階矩陣A有n個特征值（重根按重數(shù)計例5

設是方陣A的特征值證明

(1)2是A2的特征值

證明

因為是A的特征值故有X0使AXX于是(1)A2X2X(AX)A(X)A(AX)所以2是A2的特征值

因為X0

知0有XA1X由AXX(2)當A可逆時(2)當A可逆時,是的特征值是的特征值精選ppt19例5設是方陣A的特征值證明證明因為是A的特征例5：設l是方陣A

的特征值，證明(1)l2

是A2

的特征值；(2)當A

可逆時，1/l

是A?1

的特征值．結(jié)論：若非零向量p

是A對應于特征值l

的特征向量，則l2

是A2

的特征值，對應的特征向量也是p

．lk

是Ak

的特征值，對應的特征向量也是p

．當A

可逆時，1/l

是A?1

的特征值，對應的特征向量仍然是p

．一般地，令則精選ppt20例5：設l是方陣A的特征值，證明一般地，令則精選pp例6：設3階方陣A

的特征值為1,?1,2，求A*+3A?2E的特征值．解：

A*+3A?2E=|A|A?1+3A?2E=?2A?1+3A?2E=j

(A)其中|A|=1×(?1)×2=?2．從而A*+3A?2E的特征值分別為例7

主對角線上的元素為1，2---n的n階對角矩陣或三角形矩陣A的n個特征值就是其主對角線上的n個元素1，2---n精選ppt21例6：設3階方陣A的特征值為1,?1,2，求例7定理4

n階方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征值證明

轉(zhuǎn)置矩陣AT的特征多項式為即方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征多項式所以方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征值精選ppt22定理4n階方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征值證明轉(zhuǎn)例8

證明:方陣A為奇異矩陣的充要條件是A有一個特征值為0證明

必要性則如果A為奇異陣所以A有一個特征值為0充分性如果A有一個特征值為0，對應的特征向量為X則有非0解所以|A|=0定理3

n階方陣A可逆的充要條件是A的每一個特征值均不為0精選ppt23例8證明:方陣A為奇異矩陣的充要條件是A有一個特征值為p120定理2

設1

2

m(m≤n)是n階方陣A的m個互不同特征值X1

X2

Xm分別是A對應于1

2

m的特征向量則X1

X2

Xm線性無關A

(k1X1k2X2

ksXs)0證明

設有常數(shù)k1

k2

ks1k1X12k2X2

sksXs0用數(shù)學歸納法

m=1時X1≠0顯然成立

使k1X1k2X2

ksXs0設m=s-1時X1

X2

Xs-1線性無關現(xiàn)證明m=s時X1

X2

Xs線性無關精選ppt24p120定理2設12m(mk1X1k2X2

ksXs0sk1X1sk2X2

sksXs01k1X12k2X2

sksXs0兩邊同乘s兩式相減(s-1)k1X1(s-

2)k2X2

(s-

s-1)ks-1

Xs-10所以

X1

X2

Xs線性無關由設m=s-1時X1

X2

Xs-1線性無關由數(shù)學歸納法知

對任意正整數(shù)m,結(jié)論成立精選ppt25k1X1k2X2ksXs0sk1p121例10

設1和2是矩陣A的兩個不同的特征值對應的特征向量依次為X1和X2

證明X1X2不是A的特征向量

用反證法假設X1X2是A的特征向量則應存在數(shù)使A(X1X2)(X1X2)

于是證明

按題設有AX11X1

AX22X2

故A(X1X2)1X12X2即(1)X1(2)X20(X1X2)AX1AX2

1X12X2因此X1X2不是A的特征向量與題設12矛盾即12

120故由上式得因為X1

X2線性無關精選ppt26p121例10設1和2是矩陣A的兩個不同的特征值定理6

設1

2

m是方陣A的m個互不同特征值為1的r1個線性無關特征向量為2的r2個線性無關特征向量………為m的rm個線性無關特征向量則向量組共r1+

r2+

+rm個線性無關精選ppt27定理6設12m是方陣A的m個互例3

求矩陣的特征值和特征向量

解(1)A的特征方程為所以A的特征值為124，

32(2)當12=4其基礎解系可取為(3)當3=2其基礎解系可取為由定理6可知X1，X2X3線性無關精選ppt28例3求矩陣的特征值和特征向量解(1定理7

設是n階方陣A的一個k重特征值則A對應于的線性無關的特征向量的最大個數(shù)為l,則l≤k線性無關特征向量的個數(shù)不超過特征值的重數(shù)定理8

設是n階方陣A的1重特征值則A對應于的線性無關的特征向量有且只有1個精選ppt29定理7設是n階方陣A的一個k重特征值則A對應于的線此課件下載可自行編輯修改，供參考！感謝您的支持，我們努力做得更好！精選ppt30此課件下載可自行編輯修改，供參考！精選ppt30第五章矩陣的特征值與特征向量

在及其應用中常要求一個方陣的特征值和特征向量的問題數(shù)學中諸如方陣的對角化及解微分方程組的問題也都要用到特征值的理論

精選ppt31第五章矩陣的特征值與特征向量在及其應引言純量陣lE

與任何同階矩陣的乘法都滿足交換律，即(lEn)An=An

(lEn)=lAn

．矩陣乘法一般不滿足交換律，即AB≠

BA

．數(shù)乘矩陣與矩陣乘法都是可交換的，即l(AB)=(lA)B=A(lB)．Ax=lx?例：精選ppt32引言純量陣lE與任何同階矩陣的乘法都滿足交換律，即精選p一特征值與特征向量定義:非零列向量X稱為A

的對應于特征值的特征向量定義6設A是n階矩陣如果對于數(shù)，存在n維非零列向量X,使AXX

成立則稱為方陣A的一個特征值第一節(jié)矩陣的特征值與特征向量p117精選ppt33一特征值與特征向量定義:非零列向量X稱為A的對應于特征AXX如何求特征值和特征向量?即齊次方程有非0解齊次方程有非0解的充要條件是系數(shù)行列式為0即|I

A|0精選ppt34AXX如何求特征值和特征向量?即齊次方程有非0解齊次方程(2)|I

A|0稱為方陣A的特征方程二特征多項式與特征方程定義

設A為n階方陣(1)f()|I

A|稱為方陣A的特征多項式即即精選ppt35(2)|IA|0稱為方陣A的特征方程二特征(3)方陣A的特征值就是特征方程|I

A|0的根所以方陣A的特征值也稱為方陣A的特征根齊次線性方程組

的每一個非零解向量，都是方陣A的對應于特征值的特征向量所以方陣A對應于每一個不同特征值的特征向量都有無窮多個三特征向量定理1

如果非零向量X為矩陣A對應于特征值的特征向量則CX(C≠0為任意常數(shù)）也是A對應于特征值的特征向量定理2

如果X1，X2為矩陣A對應于特征值的特征向量，且X1+X2≠0，則X1+X2也是A對應于特征值的特征向量，

即:矩陣A對應于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍然為A對應于特征向量(不能為0)精選ppt36(3)方陣A的特征值就是特征方程|IA|0的根

綜上所述,求矩陣A的特征值及特征向量的步驟如下:第一步計算矩陣A特征多項式|I

A|

;第二步求出矩陣A的特征方程|I

A|=0的全部根,即求得A的全部特征值1，1，---n，(其中可能有重根）第三步對于A的每個特征值i,求出對應的齊次線性方程組（iI

A）X=0的一個基礎解系.矩陣A對應于特征值i的全部特征向量為精選ppt37綜上所述,求矩陣A的特征值及特征向量的步驟如例1

求矩陣的特征值和特征向量

解(1)A的特征方程為所以A的特征值為14

2-2

(2)當14時其基礎解系可取為則矩陣A對應于特征值14的全體特征向量為精選ppt38例1求矩陣的特征值和特征向量解(1例1

求矩陣的特征值和特征向量

解(3)當2-2時其基礎解系可取為則矩陣A對應于特征值2-2的全體特征向量為精選ppt39例1求矩陣的特征值和特征向量解(3例2

求矩陣的特征值和特征向量

解(1)A的特征方程為所以A的特征值為12

24

(2)當12時其基礎解系可取為則矩陣A對應于特征值12的全體特征向量為精選ppt40例2求矩陣的特征值和特征向量解(1例2

求矩陣的特征值和特征向量

解(3)當24時其基礎解系可取為則矩陣A對應于特征值24的全體特征向量為精選ppt41例2求矩陣的特征值和特征向量解(3例3

求矩陣的特征值和特征向量

解(1)A的特征方程為所以A的特征值為124，

32精選ppt42例3求矩陣的特征值和特征向量解(1例3

求矩陣的特征值和特征向量

解A的特征值為1=2=4

32(2)當12=4其基礎解系可取為則矩陣A對應于特征值12=4的全體特征向量為精選ppt43例3求矩陣的特征值和特征向量解A的例3

求矩陣的特征值和特征向量

解A的特征值為1=2=4

32(3)當3=2其基礎解系可取為則矩陣A對應于特征值32的全體特征向量為精選ppt44例3求矩陣的特征值和特征向量解A的例4

求矩陣的特征值和特征向量

解(1)A的特征方程為所以A的特征值為1=2=1

32精選ppt45例4求矩陣的特征值和特征向量解(1例4

求矩陣的特征值和特征向量

解A的特征值為1=2=1

32(2)當12=1其基礎解系可取為則矩陣A對應于特征值12=1的全體特征向量為精選ppt46例4求矩陣的特征值和特征向量解A的例4

求矩陣的特征值和特征向量解A的特征值為1=2=1

32(3)當32其基礎解系可取為則矩陣A對應于特征值3=2的全體特征向量為精選ppt47例4求矩陣的特征值和特征向量解A的特征在復數(shù)范圍內(nèi)n階矩陣A有n個特征值（重根按重數(shù)計算）．設n階矩陣A的特征值為l1,l2,…,ln，則l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann

l1l2…ln=|A|（利用根與系數(shù)的關系可證，證明不要求。但性質(zhì)本身需牢固掌握）四特征值與特征向量的性質(zhì)精選ppt48在復數(shù)范圍內(nèi)n階矩陣A有n個特征值（重根按重數(shù)計例5

設是方陣A的特征值證明

(1)2是A2的特征值

證明

因為是A的特征值故有X0使AXX于是(1)A2X2X(AX)A(X)A(AX)所以2是A2的特征值

因為X0

知0有XA1X由AXX(2)當A可逆時(2)當A可逆時,是的特征值是的特征值精選ppt49例5設是方陣A的特征值證明證明因為是A的特征例5：設l是方陣A

的特征值，證明(1)l2

是A2

的特征值；(2)當A

可逆時，1/l

是A?1

的特征值．結(jié)論：若非零向量p

是A對應于特征值l

的特征向量，則l2

是A2

的特征值，對應的特征向量也是p

．lk

是Ak

的特征值，對應的特征向量也是p

．當A

可逆時，1/l

是A?1

的特征值，對應的特征向量仍然是p

．一般地，令則精選ppt50例5：設l是方陣A的特征值，證明一般地，令則精選pp例6：設3階方陣A

的特征值為1,?1,2，求A*+3A?2E的特征值．解：

A*+3A?2E=|A|A?1+3A?2E=?2A?1+3A?2E=j

(A)其中|A|=1×(?1)×2=?2．從而A*+3A?2E的特征值分別為例7

主對角線上的元素為1，2---n的n階對角矩陣或三角形矩陣A的n個特征值就是其主對角線上的n個元素1，2---n精選ppt51例6：設3階方陣A的特征值為1,?1,2，求例7定理4

n階方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征值證明

轉(zhuǎn)置矩陣AT的特征多項式為即方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征多項式所以方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征值精選ppt52定理4n階方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征值證明轉(zhuǎn)例8

證明:方陣A為奇異矩陣的充要條件是A有一個特征值為0證明

必要性則如果A為奇異陣所以A有一個特征值為0充分性如果A有一個特征值為0，對應的特征向量為X則有非0解所以|A|=0定理3

n階方陣A可逆的充要條件是A的每一個特征值均不為0精選ppt53例8證明:方陣A為奇異矩陣的充要條件是A有一個特征值為p120定理2

設1

2

m(m≤n)是n階方陣A的m個互不同特征值X1

X2

Xm分別是A對應于1

2

m的特征向量則X1

X2

Xm線性無關A

(k1X1k2X2

ksXs)0證明

設有常數(shù)k1

k2

ks1k1X12k2X2

sksXs0用數(shù)學歸納法

m=1時X1≠0顯然成立

使k1X1k2X2

ksXs0設m=s-1時X1

X2

Xs-1線性無關現(xiàn)證明m=s時X1

X2

Xs線性無關精選ppt54p120定理2設12m(mk1X1k2X2

ksXs0sk1X1sk2X2

sksXs01k1X12k2X2

sksXs0兩邊同乘s兩式相減(s-1)k1X1(s-

2)k2X2

(s-

s-1)ks-1

Xs-10所以

X