2023屆福建省晉江市平山高考數(shù)學(xué)全真模擬密押卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則()A．12 B．10 C．8 D．2．如圖所示，正方體的棱，的中點(diǎn)分別為，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．3．已知非零向量，滿足，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解:4．關(guān)于函數(shù)，有下列三個(gè)結(jié)論:①是的一個(gè)周期；②在上單調(diào)遞增；③的值域?yàn)?則上述結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．5．如圖，四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，為的三等分點(diǎn)（靠近）若，則的值為（）A． B． C． D．6．若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．函數(shù)的周期是C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．函數(shù)在上最大值是17．若雙曲線：繞其對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)后可得某一函數(shù)的圖象，則的離心率等于（）A． B． C．2或 D．2或8．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．9．2019年某校迎國慶70周年歌詠比賽中，甲乙兩個(gè)合唱隊(duì)每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖如圖所示（以十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉）.若甲隊(duì)得分的中位數(shù)是86，乙隊(duì)得分的平均數(shù)是88，則（）A．170 B．10 C．172 D．1210．函數(shù)在上單調(diào)遞減，且是偶函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（1，2） D．（﹣∞，1）11．《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈，葭生其中，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭各幾何？”，其意思是：有一個(gè)直徑為一丈的圓柱形水池，池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参?，露出水面兩尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊，問水有多深，該植物有多高？其中一丈等于十尺，如圖若從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自水下的概率為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)若對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則________14．已知集合，則____________.15．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的一條準(zhǔn)線與兩條漸近線所圍成的三角形的面積為______.16．已知數(shù)列的前項(xiàng)滿足，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（）.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)（），數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)，的值.18．（12分）已知，均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合，．（Ⅰ）當(dāng)，時(shí)，用列舉法表示集合；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，且集合滿足下列條件：①對(duì)任意，；②．證明：（?。┤?，則（集合為集合在集合中的補(bǔ)集）；（ⅱ）為一個(gè)定值（不必求出此定值）；（Ⅲ）設(shè)，，，其中，，若，則．19．（12分）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：.20．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）證明:點(diǎn)在軸的右側(cè);（2）設(shè)線段的垂直平分線與軸、軸分別相交于點(diǎn).若與的面積相等,求直線的斜率21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)是直線的一點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，求的最小值.22．（10分）已知，，設(shè)函數(shù)，.（1）若，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最小值為1，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可得結(jié)論．【詳解】∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴，，∴．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．C【解析】

以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求出直線EF與平面AA1D1D所成角的正弦值．【詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則，，，取平面的法向量為，設(shè)直線EF與平面AA1D1D所成角為θ，則sinθ＝|，直線與平面所成角的正弦值為.故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了線面角的正弦值的求法，也考查數(shù)形結(jié)合思想和向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．3．C【解析】

根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，由向量的關(guān)系，可得選項(xiàng).【詳解】，，∴等價(jià)于，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和命題的充分、必要條件，屬于基礎(chǔ)題.4．B【解析】

利用三角函數(shù)的性質(zhì)，逐個(gè)判斷即可求出．【詳解】①因?yàn)?，所以是的一個(gè)周期，①正確；②因?yàn)?，，所以在上不單調(diào)遞增，②錯(cuò)誤；③因?yàn)椋允桥己瘮?shù)，又是的一個(gè)周期，所以可以只考慮時(shí)，的值域．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，的值域?yàn)椋坼e(cuò)誤；綜上，正確的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用．5．D【解析】

使用不同方法用表示出，結(jié)合平面向量的基本定理列出方程解出．【詳解】解：，又解得，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎(chǔ)題．6．A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點(diǎn)可得到解析式；利用整體對(duì)應(yīng)的方式可判斷出在上單調(diào)遞增，正確；關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，錯(cuò)誤；根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯(cuò)誤；根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無法取得，錯(cuò)誤.【詳解】將橫坐標(biāo)縮短到原來的得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增，正確；的最小正周期為：不是的周期，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，此時(shí)沒有最大值，錯(cuò)誤.本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對(duì)稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解；關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對(duì)應(yīng)的方式，通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).7．C【解析】

由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為，所以或，由離心率公式即可算出結(jié)果.【詳解】由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為，又雙曲線的焦點(diǎn)既可在軸，又可在軸上，所以或，或.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，函數(shù)的概念，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想.8．C【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【詳解】解：復(fù)數(shù)i（2+i）＝2i﹣1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2），故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．D【解析】

中位數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)按從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┡帕泻?，處在最中間的那個(gè)數(shù)，平均數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).【詳解】由莖葉圖知，甲的中位數(shù)為，故；乙的平均數(shù)為，解得，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用，涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識(shí)，是一道容易題.10．B【解析】

根據(jù)題意分析的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，即可得到的單調(diào)區(qū)間，利用對(duì)稱性以及單調(diào)性即可得到的取值范圍。【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)滿足是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上遞增，所以要使，則有，變形可得，解可得：或，即的取值范圍為；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，有一定綜合性，屬于中檔題。11．C【解析】

由題意知：，，設(shè)，則，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【詳解】解：由題意知：，，設(shè)，則在中，列勾股方程得：，解得所以從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自水下的概率為故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的長(zhǎng)度型，屬于基礎(chǔ)題.12．C【解析】分析：先求導(dǎo),再對(duì)a分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再畫圖分析轉(zhuǎn)化對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有，得到關(guān)于a的不等式組，再解不等式組得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.詳解：由題得.當(dāng)a＜1時(shí)，，所以函數(shù)f（x）在單調(diào)遞減，因?yàn)閷?duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有，所以，所以故a≥1，與a＜1矛盾，故a＜1矛盾.當(dāng)1≤a<e時(shí)，函數(shù)f(x)在[0,lna]單調(diào)遞增，在(lna,1]單調(diào)遞減.所以因?yàn)閷?duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有，所以，所以即令，所以所以函數(shù)g(a)在（1，e）上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)1≤a<e時(shí)，滿足題意.當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,因?yàn)閷?duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有，所以,故1+1，所以故綜上所述，a∈.故選C.點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在于“對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有”的轉(zhuǎn)化.由于是函數(shù)的問題，所以我們要聯(lián)想到利用函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、最值、極值等）來分析解答問題.本題就是把這個(gè)條件和函數(shù)的單調(diào)性和最值聯(lián)系起來，完成了數(shù)學(xué)問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，找到了問題的突破口.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

直接根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】，．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則的應(yīng)用．14．【解析】

根據(jù)并集的定義計(jì)算即可.【詳解】由集合的并集，知.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集運(yùn)算，屬于容易題.15．【解析】

求出雙曲線的漸近線方程，求出準(zhǔn)線方程，求出三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求解面積．【詳解】解：雙曲線：雙曲線中，，，則雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，雙曲線的漸近線方程為：，可得準(zhǔn)線方程與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，，，，則三角形的面積為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線方程的應(yīng)用，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．16．【解析】

由已知寫出用代替的等式，兩式相減后可得結(jié)論，同時(shí)要注意的求解方法．【詳解】∵①，∴時(shí)，②，①－②得，∴，又，∴（）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列通項(xiàng)公式，由已知條件．類比已知求的解題方法求解．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2），.【解析】

（1）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系式，即求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和裂項(xiàng)法，求得，結(jié)合題意，即可求解.【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，可得，即，顯然當(dāng)時(shí)上式也適合，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，所以.因?yàn)閷?duì)恒成立，所以，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及裂項(xiàng)法求和的應(yīng)用，其中解答中熟記等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，以及合理利用“裂項(xiàng)法”求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.18．（Ⅰ）；（Ⅱ）（?。┰斠娊馕觯áⅲ┰斠娊馕?（Ⅲ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）當(dāng)，時(shí)，，，，，，．即可得出．（Ⅱ）（i）當(dāng)時(shí)，，2，3，，，又，，，，，，必然有，否則得出矛盾．（ii）由．可得．又，即可得出為定值．（iii）由設(shè)，，，，其中，，，2，，．，可得，通過求和即可證明結(jié)論．【詳解】（Ⅰ）解：當(dāng)，時(shí)，，，，，．．（Ⅱ）證明：（i）當(dāng)時(shí)，，2，3，，，又，，，，，，必然有，否則，而，與已知對(duì)任意，矛盾．因此有．（ii）．．，為定值．（iii）由設(shè)，，，，其中，，，2，，．，．．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．19．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）先求得導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)兩個(gè)極值點(diǎn)可知有兩個(gè)不等實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，求得；討論和兩種情況，即可確定零點(diǎn)的情況，即可由零點(diǎn)的情況確定的取值范圍；（2）根據(jù)極值點(diǎn)定義可知，，代入不等式化簡(jiǎn)變形后可知只需證明；構(gòu)造函數(shù)，并求得，進(jìn)而判斷的單調(diào)區(qū)間，由題意可知，并設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，并求得，即可判斷在內(nèi)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而可得，即可由函數(shù)性質(zhì)得，進(jìn)而由單調(diào)性證明，即證明，從而證明原不等式成立.【詳解】（1）函數(shù)則，因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn)，，所以有兩個(gè)不等實(shí)根.設(shè)，所以.①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.②當(dāng)時(shí)，令得，0減極小值增所以，即.又因?yàn)?，，所以在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）證明：由題意知，，所以，.要證明，只需證明，只需證明.因?yàn)?，，所?設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).因?yàn)?，不妨設(shè)，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以在上是增函數(shù)，所以，所以，即.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，，且在上是減函數(shù)，所以，即，所以原命題成立，得證.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)證明不等式，構(gòu)造函數(shù)法的綜合應(yīng)用，極值點(diǎn)偏移證明不等式成立的應(yīng)用，是高考的?？键c(diǎn)和熱點(diǎn)，屬于難題.20．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可證出；（2）根據(jù)線段的垂直平分線求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的面積，再表示出的面積，由與的面積相等列式，即可解出直線的斜率．【詳解】（1）由題意，得，直線（）