河北省各地冀教版數(shù)學(xué)九年級上冊期末試題選編第二十六章 解直角三角形 綜合復(fù)習(xí)題

第二十六章解直角三角形綜合復(fù)習(xí)題一、單選題1．（2022·河北石家莊·九年級期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，則cosA的值為（）A． B． C． D．2．（2022·河北秦皇島·九年級期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么∠B的余弦值是（

）A． B． C． D．3．（2022·河北邢臺·九年級期末）在直角三角形中，各邊的長度都擴(kuò)大3倍，則銳角A的三角函數(shù)值A(chǔ)．也擴(kuò)大3倍 B．縮小為原來的C．都不變 D．有的擴(kuò)大，有的縮小4．（2022·河北保定·九年級期末）點M(－sin60°，cos60°)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是(

)A．(，) B．(－，－)C．(－，) D．(－，－)5．（2022·河北唐山·九年級期末）在中，，，則（

）A． B． C． D．6．（2022·河北滄州·九年級期末）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形．若．，則的值為（

）A． B． C． D．7．（2022·河北石家莊·九年級期末）如圖，某研究性學(xué)習(xí)小組為測量學(xué)校A與河對岸工廠B之間的距離，在學(xué)校附近選一點C，利用測量儀器測得．據(jù)此，可求得學(xué)校與工廠之間的距離等于（

）A． B． C． D．8．（2022·河北保定·九年級期末）小明在學(xué)完《解直角三角形》一章后，利用測角儀和校園旗桿的拉繩測量校園旗桿的高度，如圖，旗桿的高度與拉繩的長度相等，小明先將拉到的位置，測得為水平線），測角儀的高度為米，則旗桿的高度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米9．（2022·河北唐山·九年級期末）如圖，小明利用一個銳角是的三角板測量操場旗桿的高度，已知他與旗桿之間的水平距離為，為（即小明的眼睛與地面的距離），那么旗桿的高度是（

）A． B． C． D．10．（2022·河北秦皇島·九年級期末）如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，堤壩高BC=50m，則迎水坡面AB的長度是【】A．100m B．100m C．150m D．50m11．（2022·河北滄州·九年級期末）如圖是東西流向且河岸平行的一段河道，點A，B分別為兩岸上一點，且點B在點A正南方向，由點向正西方向走a米到達(dá)點，此時測得點在點A的南偏西方向上，則河寬的長為(

)．A．a(chǎn)米 B．米 C．米 D．米二、填空題12．（2022·河北石家莊·九年級期末）如圖，各三角形的頂點都在方格紙的格點上，則___________．13．（2022·河北秦皇島·九年級期末）計算：＝___．14．（2022·河北滄州·九年級期末）在矩形ABCD中，E是CD邊上的一點，是等邊三角形，AC交BE于點F，則______；______．15．（2022·河北邢臺·九年級期末）如圖，以正方形的對角線AC的長為邊長作等邊三角形AEF，，△AEF繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CF最大時，則______，當(dāng)CF最小時，陰影部分的面積為______．16．（2022·河北唐山·九年級期末）如圖，某漁船在海面上朝正東方向勻速航行，在A處觀測到燈塔M在北偏東60°方向上，且AM=100海里．那么該船繼續(xù)航行海里可使?jié)O船到達(dá)離燈塔距離最近的位置．三、解答題17．（2022·河北衡水·九年級期末）（1）；（2）．18．（2022·河北石家莊·九年級期末）（1）解方程：；（2）計算：19．（2022·河北石家莊·九年級期末）圖1是一種折疊門，由上下軌道和兩扇長寬相等的活頁門組成，整個活頁門的右軸固定在門框上，通過推動左側(cè)活頁門開關(guān)；圖2是其俯視圖簡化示意圖，已知軌道,兩扇活頁門的寬,點固定，當(dāng)點在上左右運(yùn)動時，與的長度不變(所有結(jié)果保留小數(shù)點后一位).

(1)若,求的長；

(2)當(dāng)點從點向右運(yùn)動60時，求點在此過程中運(yùn)動的路徑長.（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77,

cos50°≈0.64,

tan50°≈1.19,

π取3.14）圖1

圖220．（2022·河北唐山·九年級期末）如圖，一艘漁船正以30海里/小時的速度由西向東趕魚群，在A處看風(fēng)小島C在船的北偏東60°．40分鐘后，漁船行至B處，此時看見小島C在船的北偏東30°．已知以小島C為中心周圍10海里以內(nèi)為我軍導(dǎo)彈部隊軍事演習(xí)的著彈危險區(qū)，問這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有進(jìn)入危險區(qū)的可能．21．（2022·河北承德·九年級期末）圖1是掛墻式淋浴花灑的實物圖，圖2是抽象出來的幾何圖形．為使身高175cm的人能方便地淋浴，應(yīng)當(dāng)使旋轉(zhuǎn)頭固定在墻上的某個位置O，花灑的最高點B與人的頭頂?shù)你U垂距離為15cm，已知龍頭手柄OA長為10cm，花灑直徑AB是8cm，龍頭手柄與墻面的較小夾角∠COA＝26°，∠OAB＝146°，則安裝時，旋轉(zhuǎn)頭的固定點O與地面的距離應(yīng)為多少？（計算結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）22．（2022·河北滄州·九年級期末）某體育看臺側(cè)面的示意圖如圖所示，觀眾區(qū)AC的坡度i為1：2，頂端C離水平地面AB的高度為10m，從頂棚的D處看E處的仰角α＝18°30′，豎直的立桿上C、D兩點間的距離為4m，E處到觀眾區(qū)底端A處的水平距離AF為3m．求：（1）觀眾區(qū)的水平寬度AB；（2）頂棚的E處離地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tan18°30′≈0.33，結(jié)果精確到0.1m）23．（2022·河北石家莊·九年級期末）問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，內(nèi)接于半徑為4的，若，則_______；問題探究：（2）如圖2，四邊形內(nèi)接于半徑為6的，若，求四邊形的面積最大值；解決問題（3）如圖3，一塊空地由三條直路（線段、AB、）和一條弧形道路圍成，點是道路上的一個地鐵站口，已知千米，千米，，的半徑為1千米，市政府準(zhǔn)備將這塊空地規(guī)劃為一個公園，主入口在點處，另外三個入口分別在點、、處，其中點在上，并在公園中修四條慢跑道，即圖中的線段、、、，是否存在一種規(guī)劃方案，使得四條慢跑道總長度（即四邊形的周長）最大？若存在，求其最大值；若不存在，說明理由.24．（2022·河北滄州·九年級期末）如圖，某無人機(jī)愛好者在一小區(qū)外放飛無人機(jī)，當(dāng)無人機(jī)飛行到一定高度D點處時，無人機(jī)測得操控者A的俯角為75°，測得小區(qū)樓房BC頂端點C處的俯角為45°．已知操控者A和小區(qū)樓房BC之間的距離為45米，小區(qū)樓房BC的高度為米．求此時無人機(jī)的高度；（假設(shè)定點A，B，C，D都在同一平面內(nèi)．參考數(shù)據(jù)：，．計算結(jié)果保留根號）25．（2022·河北保定·九年級期末）我市某鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校教學(xué)樓后面靠近一座山坡，坡面上是一塊平地，如圖所示，BC∥AD，斜坡AB＝40米，坡角∠BAD＝60°，為防夏季因瀑雨引發(fā)山體滑坡，保障安全，學(xué)校決定對山坡進(jìn)行改造，經(jīng)地質(zhì)人員勘測，當(dāng)坡角不超過45°時，可確保山體不滑坡，改造時保持坡腳A不動，從坡頂B沿BC削進(jìn)到E處，問BE至少是多少米？（結(jié)果保留根號）．26．（2022·河北秦皇島·九年級期末）如圖，在一次數(shù)學(xué)課外實踐活動中，要求測教學(xué)樓的高度AB．小剛在D處用高1.5m的測角儀CD，測得教學(xué)樓頂端A的仰角為30°，然后向教學(xué)樓前進(jìn)40m到達(dá)E，又測得教學(xué)樓頂端A的仰角為60°．求這幢教學(xué)樓的高度AB．（≈1.41，≈1.73）參考答案：1．A【解析】首先利用勾股定理求得AB的長，然后利用余弦的定義即可求解．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴，則cosA=．故選：A．本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．2．C【解析】根據(jù)題意畫出圖形，由勾股定理求出AB的長，再根據(jù)三角函數(shù)的定義解答即可．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5，∴cos∠B=，故選C．本題考查銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是熟練掌握在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．3．C根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，可知在直角三角形中，各邊的長度都擴(kuò)大3倍，銳角A的三角函數(shù)值不變．故選C．4．B【解析】關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得答案．解∵點（-sin60°，cos60°）即為點（-，），∴點（-sin60°，cos60°）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是（-，-）．故選B．本題考查了關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．5．B【解析】根據(jù)已知可設(shè)AC＝4a，AB＝5a，利用勾股定理求出BC，即可解答．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，∴，設(shè)AC＝4a，AB＝5a，∴BC＝，∴tanB＝，故選：B．本題考查了互余兩角三角函數(shù)的的關(guān)系，根據(jù)已知可設(shè)AC＝4a，AB＝5a，利用勾股定理求出BC的長是解題的關(guān)鍵．6．A【解析】根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)求解．∵在中，，∴在中，，故選：A．本題主要考查勾股定理和三角函數(shù)．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么．7．D【解析】解直角三角形，已知一條直角邊和一個銳角，求斜邊的長．，．故選D．本題考查解直角三角形應(yīng)用，掌握特殊銳角三角函數(shù)的值是解題關(guān)鍵．8．C【解析】設(shè)PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根據(jù)，列出方程即可解決問題．解：設(shè)PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，∴∴，∴（1-）x=1，∴x=．故選C．本題考查解直角三角形、三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)列方程，屬于中考?？碱}型．9．D【解析】先根據(jù)題意得出AD的長，在Rt△AED中利用銳角三角函數(shù)的定義求出ED的長，由CE＝CD＋DE即可得出結(jié)論．解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是矩形，∵BC＝15m，AB＝1.5m，∴AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，在Rt△AED中，∵∠EAD＝30°，AD＝15m，∴ED＝AD?tan30°＝15×＝5，∴CE＝CD＋DE＝．故選：D．本題考查的是解直角三角形在實際生活中的應(yīng)用，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵，屬于基本知識的考查．10．A∵堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，∴，∵BC=50，∴AC=50，∴（m）．故選A11．D【解析】根據(jù)題意確定∠CAB的度數(shù)，再利用三角函數(shù)求解即可．解：如圖，∵點在點A的南偏西方向上，∴∠CAB=50°．∵該河道為東西流向且與河岸平行，點B在點A正南方向，∴AB⊥BC．∵點向正西方向走a米到達(dá)點，∴BC=a．∵，∴．故選：D．本題考查的是解直角三角形的實際應(yīng)用，涉及到三角函數(shù)值的問題，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，能在圖形中找出相應(yīng)的角或線段，牢記三角函數(shù)公式等，考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識與能力．12．##0.5【解析】過點B作BD⊥AC于點D，由題可知，點D恰在格點上，令小方格的邊長為1，則BD=，CD=，求得．解：過點B作BD⊥AC于點D，由題可知，點D恰在格點上，∴三角形ABD和三角形BCD為直角三角形，令小方格的邊長為1，∴BD=，CD=，∴．故答案為：．本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，求一個角的正切值，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形進(jìn)而求解．13．3【解析】代入特殊角三角函數(shù)值，化簡零次冪，然后再計算．解：原式＝2×1+1＝2+1＝3，故答案為：3．本題考查實數(shù)的混合運(yùn)算，理解a0＝1（a≠0），熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．14．

【解析】先證明得到，再通過平行證明即可得到的值；通過已知條件得到，再通過勾股定理分別求出AD、AC的長度，便可求解．四邊形ABCD是矩形，是等邊三角形，；故答案為：；四邊形ABCD是矩形，是等邊三角形設(shè)，則在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得故答案為：．本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)，知識點較多，能夠綜合運(yùn)用上述知識是解題的關(guān)鍵．15．

【解析】①當(dāng)CF最大時，即CF為以A為圓心AC為半徑的圓的直徑，過點A作AM⊥CE，垂足為點M，根據(jù)已知條件可得到△AEC為等腰三角形，進(jìn)而得到，然后根據(jù)即可求解；②當(dāng)CF最小時，即點C與點F重合時，過點A作AN⊥CE，垂足為點N，根據(jù)即可求解．解：∵AB＝1，四邊形ABCD為正方形，∴，①當(dāng)CF最大時，即CF為以A為圓心AC為半徑的圓的直徑，如下圖所示：過點A作AM⊥CE，垂足為點M，∵△AEF為等邊三角形，∴AF＝AE，∠FAE＝60°，∴AE＝AC，∠EAC＝120°，∴△AEC為等腰三角形，∵AM⊥CE，∴，在Rt△AMC中，，即，∴MC=，∴；故答案為：；②當(dāng)CF最小時，即點C與點F重合時，如下圖所示：過點A作AN⊥CE，垂足為點N，在Rt△ANC中，，∴，，∵，∴，故答案為：．本題考查正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用相關(guān)知識解題．16．解：如圖，過M作東西方向的垂線，設(shè)垂足為N．則∠MAN=90°-60°=30°．在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，∠MAN=30°，AM=100海里，∴AN=AM?cos∠MAN=100×=海里．故該船繼續(xù)航行海里可使?jié)O船到達(dá)離燈塔距離最近的位置．17．（1）；（2），．【解析】（1）原式第一項化為最簡二次根式，第二項利用特殊角的三角函數(shù)值計算，第三項利用利用零指數(shù)冪法則計算即可得到結(jié)果；（2）先把方程化為一般式，然后利用因式分解法解方程．解析：（1）原式==；（2），（2y﹣1）（y+2）=0，2y﹣1=0或y+2=0，所以，．18．（1），；（2）2【解析】（1）先移項，再利用提公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關(guān)于x的一元一次方程，再進(jìn)一步求解即可；（2）代入三角函數(shù)值，再進(jìn)一步計算即可．（1）解：2（x﹣3）2＝x2﹣9，2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣9）＝0，則x﹣3＝0或x﹣9＝0，解得x1＝3，x2＝9；（2）解：＝2×+1﹣＝+1﹣（﹣1）＝+1﹣+1＝2．本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．19．（1）43.2cm.

（2）62.8cm.【解析】（1）如圖，作OH⊥AB于H，在Rt△OBH中，由cos∠OBC=，求得BH的長，再根據(jù)AC=AB－2BH即可求得AC的長；（2）由題意可知△OBC是等邊三角形，由此即可求出弧OC的長，即點O在此過程中運(yùn)動的路徑長.（1）如圖，作OH⊥AB于H，∵OC=OB=60，∴CH=BH，在Rt△OBH中，∵cos∠OBC=，∴BH=OB·cos50°≈60×0.64=38.4，∴AC=AB－2BH≈120－2×38.4=43.2，∴AC的長約為43.2cm；（2）∵AC=60，∴BC=60，∵OC=OB=60，∴OC=OB=BC=60，∴△OBC是等邊三角形，∴的長==2=62.8，∴點O在此過程中運(yùn)動的路徑長約為62.8cm.本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、弧長公式等，結(jié)合題意正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵.20．不可能．【解析】根據(jù)題意實質(zhì)是比較C點到AB的距離與10的大小．因此作CD⊥AB于D點，求CD的長．解：作CD⊥AB于D，根據(jù)題意，AB=30×=20，∠CAD=30°，∠CBD=60°，在Rt△ACD中，AD=CD，在Rt△BCD中，BD=CD，∵AB=AD﹣BD，∴CD﹣CD=20，CD=＞10，所以不可能．本題考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．21．177cm【解析】記地面水平線為，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，分別在Rt和在Rt中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出OE、BF，而點B到地面的高度為175+15＝190cm，進(jìn)而求OG即可．解：如圖，過點B作地面的垂線，垂足為D，過點A作地面GD的平行線，交OC于點E，交BD于點F，在Rt中，∠AOE＝26°，OA＝10，則OE＝OA?cos∠AOE≈10×0.90＝9cm，在Rt中，∠BAF＝30°，AB＝8，則BF＝AB?sin∠BOF＝8×＝4cm，∴OG＝BD﹣BF﹣OE＝（175+15）﹣4﹣9＝177cm，答：旋轉(zhuǎn)頭的固定點O與地面的距離應(yīng)為177cm．本題考查的是解直角三角形的實際應(yīng)用，掌握構(gòu)造直角三角形與矩形，利用銳角三角函數(shù)與矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（1）20m；（2）21.6m【解析】（1）由AB⊥BC，AC的坡度i，由BC長度求AB長度即可；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，則EF＝EN+MN+MF=EN+CD+BC，（1）∵觀眾區(qū)AC的坡度i為1：2，CB=10m，∴AB＝2BC＝20（m），

答：觀眾區(qū)的水平寬度AB為20m；（2）如圖，作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，則四邊形MFBC、MCDN為矩形，∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝23，在Rt△END中，tan∠EDN＝，則EN＝DN?tan∠EDN≈7.59，∴EF＝EN+MN+MF＝7.59+4+10≈21.6（m），答：頂棚的E處離地面的高度EF約為21.6m．本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，弄清坡度的概念，將實際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為解直角三角形的問題，當(dāng)有些圖形不是直角三角形時，可適當(dāng)添加輔助線，把它們分割成直角三角形或矩形是解決本題的關(guān)鍵．23．（1）；（2）四邊形ABCD的面積最大值是；（3）存在，其最大值為.【解析】（1）連接OA、OB，作OH⊥AB于H，利用求出∠AOH=∠AOB=，根據(jù)OA=4，利用余弦公式求出AH，即可得到AB的長；（2）連接AC，由得出AC=，再根據(jù)四邊形的面積=，當(dāng)DH+BM最大時，四邊形ABCD的面積最大，得到BD是直徑，再將AC、BD的值代入求出四邊形面積的最大值即可；（3）先證明△ADM≌△BMC,得到△CDM是等邊三角形，求得等邊三角形的邊長CD，再根據(jù)完全平方公式的關(guān)系得出PD=PC時PD+PC最大，根據(jù)CD、∠DPC求出PD，即可得到四邊形周長的最大值.（1）連接OA、OB，作OH⊥AB于H，∵，∴∠AOB=120.∵OH⊥AB，∴∠AOH=∠AOB=，AH=BH=AB，∵OA=4，∴AH=，∴AB=2AH=.故答案為：.（2）∵∠ABC=120,四邊形ABCD內(nèi)接于，∴∠ADC=60，∵的半徑為6，∴由（1）得AC=,如圖，連接AC，作DH⊥AC,BM⊥AC,∴四邊形的面積=,當(dāng)DH+BM最大時，四邊形ABCD的面積最大，連接BD，則BD是的直徑，∴BD=2OA=12，BD⊥AC，∴四邊形的面積=.∴四邊形ABCD的面積最大值是（3）存在；∵千米，千米，，∴△ADM≌△BMC,∴DM=MC,∠AMD=∠BCM,∵∠BCM+∠BMC=180-∠B=120，∴∠AMD+∠BMC=120，∴∠DMC=60，∴△CDM是等邊三角形，∴C、D、M三點共圓，∵點P在弧CD上,∴C、D、M、P四點共圓，∴∠DPC=180-∠