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文檔簡(jiǎn)介

第一章立體幾何初步§1簡(jiǎn)單幾何體我們生活的空間里有各式各樣的幾何體,請(qǐng)看下面的圖形!這些幾何體有什么樣的結(jié)構(gòu)特征,請(qǐng)進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)!1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征,并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)特征.(重點(diǎn))2.通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單幾何體的觀察分析,培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和抽象概括能力.(難點(diǎn))探究點(diǎn)1球地球,西瓜,以及足球,籃球等都給我們球的形象.點(diǎn)擊播放1.以半圓的_______________為旋轉(zhuǎn)軸,將半圓旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作球面.2._____所圍成的幾何體叫作球體,簡(jiǎn)稱球.3.半圓的_____叫作球心.4.連接球心和_______________的線段叫作球的半徑.5.連接_____上兩點(diǎn)并且過(guò)_____的線段叫作球的直徑.O球心AB半徑球的相關(guān)概念直徑所在的直線球面圓心球面上任意一點(diǎn)球面球心旋轉(zhuǎn)體的相關(guān)概念旋轉(zhuǎn)面:一條_________繞著它所在的平面內(nèi)的一條_______旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.旋轉(zhuǎn)體:_____的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體.【提示】球面是旋轉(zhuǎn)面,球體是旋轉(zhuǎn)體.平面曲線定直線封閉軸側(cè)面母線OO′底面探究點(diǎn)2圓柱、圓錐、圓臺(tái)1.以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫作圓柱.2.旋轉(zhuǎn)軸叫作圓柱的軸.3.垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫作圓柱的底面.4.不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫作圓柱的側(cè)面.5.無(wú)論轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊都叫作側(cè)面的母線.(一)圓柱

以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫作圓錐.(二)圓錐底面軸側(cè)面母線SO無(wú)論轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊都叫作側(cè)面的母線.垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫作圓錐的底面.旋轉(zhuǎn)軸叫作圓錐的軸.不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫作圓錐的側(cè)面.以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余各邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體叫作圓臺(tái).旋轉(zhuǎn)軸叫作圓臺(tái)的軸.垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫作圓臺(tái)的底面.不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫作圓臺(tái)的側(cè)面.無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊都叫作側(cè)面的母線.(三)圓臺(tái)圓臺(tái)OO′上底面下底面母線軸小結(jié):圓柱、圓錐、圓臺(tái)都是旋轉(zhuǎn)體.圓臺(tái)也可以看作是用平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐而得到的.思考:圓柱、圓錐、圓臺(tái)之間有何關(guān)系?提示:(1)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的形狀不同,它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系,并且在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.當(dāng)圓臺(tái)的下底面保持不變,而上底面越來(lái)越大時(shí),圓臺(tái)就越來(lái)越接近于圓柱,當(dāng)上底面增大到與下底面相同時(shí),圓臺(tái)轉(zhuǎn)化為圓柱;當(dāng)圓臺(tái)的上底面越來(lái)越小時(shí),圓臺(tái)就越來(lái)越接近于圓錐,當(dāng)上底面收縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí),圓臺(tái)就轉(zhuǎn)化為圓錐了.(2)柱體、錐體、臺(tái)體之間的關(guān)系:

我們把若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫作多面體.其中棱柱、棱錐、棱臺(tái)是簡(jiǎn)單多面體.1.定義:兩個(gè)面_________,其余各面都是_______,并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都_________,這些面圍成的幾何體叫作棱柱.

兩個(gè)互相平行的面叫作棱柱的底面,其余各面叫作棱柱的側(cè)面.棱柱的側(cè)面是___________.

兩個(gè)面的公共邊叫作棱柱的棱.底面多邊形與側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫作棱柱的頂點(diǎn).探究點(diǎn)3棱柱互相平行四邊形互相平行平行四邊形底面?zhèn)让鎮(zhèn)壤忭旤c(diǎn)圖形表示2.棱柱的分類:(1)棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……我們把這樣的棱柱分別叫作三棱柱、四棱柱、五棱柱……

三棱柱四棱柱五棱柱

(2)我們把側(cè)棱_____于底面的棱柱叫作直棱柱,底面是_________的直棱柱叫作正棱柱.關(guān)注底面關(guān)注側(cè)棱垂直正多邊形3.棱柱的表示方法(下圖)

用底面各頂點(diǎn)的字母表示棱柱,如:五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1.B1O1想一想:觀察下面的空間幾何體,結(jié)合棱柱的定義,思考下列問(wèn)題.問(wèn)題1:根據(jù)棱柱的定義,上圖中的幾何體是棱柱嗎?提示:不是.如圖所示的幾何體盡管有兩個(gè)平面互相平行,其余各面都是平行四邊形,但是它不滿足每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,故題圖中的幾何體不是棱柱.問(wèn)題2.上圖中的ABCD-A1B1C1D1是棱柱嗎?A1B1C1D1-A2B2C2D2呢?提示:題圖中的ABCD-A1B1C1D1及A1B1C1D1-A2B2C2D2均有兩個(gè)面互相平行,其余各面相鄰的公共邊都互相平行,故均是棱柱.問(wèn)題3.你知道面數(shù)最少的棱柱是幾棱柱嗎?它有幾個(gè)頂點(diǎn),幾條棱?提示:面數(shù)最少的棱柱是三棱柱,它有六個(gè)頂點(diǎn),九條棱.ABCDS底面?zhèn)让鎮(zhèn)壤忭旤c(diǎn)1.定義:有一個(gè)面是多邊形,其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,這些面圍成的幾何體叫作棱錐.這個(gè)多邊形面叫作棱錐的底面.探究點(diǎn)4棱錐有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形叫作棱錐的側(cè)面.各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫作棱錐的頂點(diǎn).相鄰側(cè)面的公共邊叫作棱錐的側(cè)棱.思考:把“有一個(gè)公共頂點(diǎn)”去掉還是棱錐嗎?提示:不是,如圖把兩個(gè)相同的四棱錐底面重合到一起,使兩頂點(diǎn)關(guān)于底面對(duì)稱所形成的幾何體.2.棱錐的分類:按底面多邊形的邊數(shù),可分為三棱錐、四棱錐、五棱錐…ABCDS3.棱錐的表示方法:用表示頂點(diǎn)和底面的字母表示.如上圖中四棱錐S-ABCD.4.正棱錐:棱錐的底面是正多邊形,且各側(cè)面全等,該棱錐就稱作正棱錐.1.棱臺(tái)的概念:用一個(gè)_____于棱錐底面的平面去截棱錐,底面和截面之間的部分叫作棱臺(tái).側(cè)面?zhèn)壤忭旤c(diǎn)探究點(diǎn)5棱臺(tái)DBCAC1

B1A1D1平行上底面下底面2.棱臺(tái)的分類:由三棱錐、四棱錐、五棱錐…截得的棱臺(tái),分別叫作三棱臺(tái),四棱臺(tái),五棱臺(tái)….由正棱錐截得的棱臺(tái)叫作正棱臺(tái).3.棱臺(tái)的表示方法:棱臺(tái)用表示上、下底面各頂點(diǎn)的字母來(lái)表示,如圖四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1.DBCAB1A1D1C1思考:棱柱、棱錐、棱臺(tái)之間存在怎樣的關(guān)系?提示:棱錐是當(dāng)棱柱的一個(gè)底面收縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)形成的空間圖形,棱臺(tái)則可以看成是用一個(gè)平行于棱錐底面的平面截棱錐所得到的空間圖形,它們的關(guān)系可用如圖表示:提升總結(jié):幾何體的分類柱體錐體臺(tái)體球多面體旋轉(zhuǎn)體1.用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體,各個(gè)截面都是圓,則這個(gè)幾何體一定是()

A.圓柱B.圓錐C.球體D.圓柱,圓錐,球體的組合體【解析】當(dāng)用過(guò)高線的平面截圓柱和圓錐時(shí),截面分別為矩形和三角形,只有球滿足任意截面都是圓面.C2.下列說(shuō)法正確的是()

A.有兩個(gè)面平行,其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱.

B.有兩個(gè)面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱.

C.有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐.

D.棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn).D3.以下四個(gè)敘述:①正棱錐的所有側(cè)棱相等;②直棱柱的側(cè)面都是全等的矩形;③圓柱的母線垂直于底面;④用經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐,所得的截面一定是全等的等腰三角形.其中,正確的個(gè)數(shù)為()A.4B.3C.2D.1B【解析】①③④正確.5.下面是關(guān)于四棱柱的四種說(shuō)法:①若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱;②若有兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱;③若四個(gè)側(cè)面兩兩全等,則該四棱柱為直四棱柱;④若四棱柱的四條對(duì)角線兩兩相等,則該四棱柱為直四棱柱.其中,正確說(shuō)法的編號(hào)是________.【解析】①錯(cuò)誤,必須是兩個(gè)相鄰的側(cè)面;②正確,兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱,又垂直于底面;③錯(cuò)誤,反例可以是一個(gè)斜四棱柱;④正確,對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形.故應(yīng)填②④.【答案】②④6.下列幾何體是不是棱臺(tái),為什么?(1)(2)(1)不是棱臺(tái),因?yàn)榇藥缀误w的側(cè)棱的延長(zhǎng)線不相交于一點(diǎn),不是由棱錐截得的.(2)不是棱臺(tái),因?yàn)樗皇怯善叫欣忮F的底面的平面截得的幾何體.1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球都是旋轉(zhuǎn)體.圓柱是矩形繞一邊旋轉(zhuǎn)而成的,圓錐是直角三角形繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的,圓臺(tái)既可以看作是由圓錐截得的,也可以看作是直角梯形繞直角腰旋轉(zhuǎn)而成的,球是半圓繞直徑旋轉(zhuǎn)而成的.2.棱柱、圓柱統(tǒng)稱柱體;棱錐、圓錐統(tǒng)稱錐體;棱臺(tái)、圓臺(tái)統(tǒng)稱臺(tái)體.§1直線與直線的方程1.1直線的傾斜角和斜率第二章解析幾何初步38直線—最簡(jiǎn)單的幾何圖形飛逝的流星沿不同的方向運(yùn)動(dòng)在空中形成美麗的直線觀察下面的蹺蹺板,蹺蹺板的位置固定嗎?我們學(xué)過(guò)函數(shù)y=x+1,它的圖像是什么?

如何在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)確定它的位置?y1xo-1兩點(diǎn)確定一條直線.一條直線.1.正確理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握直線的傾斜角和斜率的定義和范圍.(重點(diǎn))2.理解直線的傾斜角的唯一性和斜率的存在性.(難點(diǎn))3.了解斜率公式的推導(dǎo)過(guò)程,掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式.思考1:我們知道,兩點(diǎn)確定一條直線.一點(diǎn)能確定一條直線的位置嗎?已知直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn),直線l的位置能夠確定嗎?過(guò)定點(diǎn)O(0,0)的直線有多少條?xyOll′l''提示:一點(diǎn)不能確定一條直線,無(wú)數(shù)條探究點(diǎn)1直線的確定思考3:過(guò)原點(diǎn)且與x軸正方向所成的角為30o的直線有多少條?一條思考4:過(guò)點(diǎn)P(-2,0)且與x軸正方向所成的角等于120o的直線有多少條?一條l1l2l3Xy思考2:不能確定,有無(wú)數(shù)條PO在平面直角坐標(biāo)系中,確定直線位置的幾何條件是:已知直線上的一個(gè)點(diǎn)和這條直線的方向一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向就能確定一條直線.xyOPl交流歸納思考1:在直角坐標(biāo)系中,過(guò)點(diǎn)P的一條直線繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),不管旋轉(zhuǎn)多少周,它對(duì)x軸的相對(duì)位置有幾種情形,請(qǐng)畫出來(lái)?OOO探究點(diǎn)2直線的傾斜角直線的傾斜角當(dāng)直線l和x軸平行時(shí),我們規(guī)定直線的傾斜角為0°.明確直線的旋轉(zhuǎn)方向思考2:由傾斜角的定義你能說(shuō)出傾斜角α的范圍嗎?0°≤α<180°

思考1:在平面直角坐標(biāo)系中,直線的傾斜角刻畫了直線傾斜的程度,在日常生活中,還有沒(méi)有表示傾斜程度的量?前進(jìn)量升高量探究點(diǎn)3直線的斜率前進(jìn)量升高量例如,“進(jìn)2升3”與“進(jìn)2升2”比較,前者更陡一些,因?yàn)槠露龋ū龋┩ǔS眯懽帜竗表示,即傾斜角是的直線有斜率嗎?

傾斜角是的直線的斜率不存在.直線的斜率如果使用“傾斜角”這個(gè)概念,那么這里的“坡度(比)”實(shí)際就是“傾斜角α的正切”.如:傾斜角時(shí),直線的斜率如:傾斜角時(shí),即這條直線的斜率為-1.傾斜角α不是90°的直線都有斜率,并且傾斜角不同,直線的斜率也不同.因此,可以用斜率表示直線的傾斜程度.x.pyOx.pyOx.pyOx.pyOoo標(biāo)出下列圖中直線的傾斜角,并說(shuō)出各自斜率的符號(hào)?(1)(2)(3)(4)k>0k<0k=0k不存在思考2:當(dāng)0°≤α<90°時(shí),斜率是非負(fù)的,傾斜角變化時(shí),直線斜率如何變化?提示:傾斜角越大,直線的斜率就越大.思考3:當(dāng)90°<α<180°時(shí),斜率是負(fù)的,傾斜角變化時(shí),直線的斜率如何變化?提示:傾斜角越大,直線的斜率就越大.傾斜角與斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖示傾斜角(范圍)斜率(范圍)α=0°0°<α<90°α=90°90°<α<180°k=0k>0斜率不存在k<0【提升總結(jié)】下列哪些說(shuō)法是正確的()A.任意一條直線都有傾斜角,也都有斜率B.直線的傾斜角越大,斜率也越大C.平行于x軸的直線的傾斜角是0或πD.兩直線的傾斜角相等,它們的斜率也相等E.兩直線的斜率相等,它們的傾斜角也相等F.過(guò)原點(diǎn)的直線,斜率越大,越靠近y軸E概念辨析l1l2l3xyO思考:已知直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo),如何計(jì)算直線的斜率?探究點(diǎn)4兩點(diǎn)的斜率公式已知兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),并且x1≠x2,如何計(jì)算直線P1P2的斜率k.當(dāng)為銳角時(shí),在Rt

中設(shè)直線P1P2的傾斜角為α(α≠90°),當(dāng)直線P1P2的方向(即從P1指向P2的方向)向上時(shí),過(guò)點(diǎn)P1作x軸的平行線,過(guò)點(diǎn)P2作y軸的平行線,兩線相交于點(diǎn)Q,于是點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x2,y1

).當(dāng)為鈍角時(shí),在Rt

中兩點(diǎn)的斜率公式lP1P2∟同樣,當(dāng)?shù)姆较蛳蛏蠒r(shí),也有兩點(diǎn)的斜率公式lP1P2l問(wèn)題1:已知直線上兩點(diǎn),運(yùn)用上述公式計(jì)算直線的斜率時(shí),與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序有關(guān)嗎?無(wú)關(guān)兩點(diǎn)的斜率公式問(wèn)題2:當(dāng)直線平行于y軸,或與y軸重合時(shí),上述斜率公式還適用嗎?為什么?不適用,因?yàn)榉帜笧榱銌?wèn)題3:當(dāng)直線與x

軸平行或重合時(shí),上述式子還成立嗎?為什么?經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式為:成立,此時(shí)為0其中x1≠x2例1求過(guò)已知兩點(diǎn)的直線的斜率:(1)直線PQ過(guò)點(diǎn)P(2,3),Q(6,5).(2)直線AB過(guò)點(diǎn)A(-3,5),B(4,-2).解:

(1)直線PQ的斜率(2)直線AB的斜率例2如圖,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直線AB,BC,CA的斜率,并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角.OxyACB所以直線AB的傾斜角為銳角,直線BC的傾斜角為鈍角,直線CA的傾斜角為銳角.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0),B(-5,3)兩點(diǎn)的直線的斜率和傾斜角.

即直線的斜率為-1,傾斜角為【變式練習(xí)】CAA.B.C.D.3.若直線的傾斜角為

,則直線的斜率為(

)B.7.經(jīng)過(guò)P(0,-1)作直線l,若直線l與連接A(1,-2),B(2,1)的線段總有公共點(diǎn),求直線l的傾斜角與斜率的范圍.PABxy1.直線的傾斜角及范圍.2.直線的斜率及范圍.3.直線的斜率公式.1.2直線的方程第1課時(shí)直線方程的點(diǎn)斜式

1.若直線的傾斜角為,則斜率是什么?xyo

思考:上一節(jié)我們分析了在直角坐標(biāo)系內(nèi)確定一條直線的幾何要素.那么我們能否用給定的條件(點(diǎn)的坐標(biāo)和斜率),將直線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)()滿足的關(guān)系表示出來(lái)呢?請(qǐng)進(jìn)入本節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容!1.了解直線方程的定義.2.了解直線方程的點(diǎn)斜式的推導(dǎo)過(guò)程,記住直線的

點(diǎn)斜式和斜截式方程.(重點(diǎn))3.會(huì)求直線的點(diǎn)斜式和斜截式方程.(難點(diǎn))思考:探究點(diǎn)1直線的方程.直線方程的定義探究點(diǎn)2直線的點(diǎn)斜式方程思考:已知直線經(jīng)過(guò)已知點(diǎn),并且它的斜率是,能否將直線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系表示出來(lái)呢?在這里,我們要明確的問(wèn)題是直線存在斜率.P(x,y)

Oxy.P0(x0,y0)根據(jù)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式,得設(shè)點(diǎn)是直線上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn),l.經(jīng)過(guò)探究,上述兩條都成立,所以這個(gè)方程就是,),yP過(guò)點(diǎn),斜率為的直線的方程.k(000lx思考交流Oxyy0l直線的方程:它的斜率是特別地Oxyx0l..【提升總結(jié)】在利用點(diǎn)斜式求直線方程時(shí)要注意考慮直線的斜率是否存在,存在時(shí)可以用點(diǎn)斜式方程求,不存在時(shí)不能用點(diǎn)斜式方程求.1.寫出下列直線的點(diǎn)斜式方程:2.說(shuō)出下列點(diǎn)斜式方程所對(duì)應(yīng)的直線斜率k和傾斜角:【變式練習(xí)】斜截式方程直線方程的斜截式思考1:直線方程y=kx+b中k和b的含義分別是什么?提示:直線方程y=kx+b中k和b的含義分別是直線的斜率和直線在y軸上的截距.截距是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo),稱為直線在y軸上的截距,也稱為縱截距.思考2.斜截式與點(diǎn)斜式存在什么關(guān)系?提示:斜截式是點(diǎn)斜式的特殊情況,當(dāng)已知直線l與y軸的交點(diǎn)為(0,b)和直線的斜率時(shí)得到直線的斜截式方程.練一練寫出下列直線的斜截式方程:該直線的點(diǎn)斜式方程是解:根據(jù)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式得直線AB的斜率可化為點(diǎn)斜式方程與斜截式方程的對(duì)比點(diǎn)斜式方程:

y-y0=k(x-x0)幾何意義:k是直線的斜率,(x0,y0)是直線上的一個(gè)點(diǎn)斜截式方程:y=kx+b幾何意義:k是直線的斜率,b是直線在y軸上的截距明確b的幾何意義,不是距離【提升總結(jié)】1.通過(guò)點(diǎn)(0,2),且傾斜角為45°的直線方程是()

A.y=-x+2B.y=-x-2

C.y=x+2D.y=x-2解:C2.過(guò)點(diǎn)(1,3)且在x軸上的截距為2的直線方程是_______________.解:直線在x軸上的截距為2,則直線與x軸的交點(diǎn)為(2,0),

3.已知直線過(guò)和,求直線的方程.因?yàn)橹本€過(guò),

它在軸上的截距解:因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)和所以直線的方程為4.求過(guò)點(diǎn)(1,2)且與兩坐標(biāo)軸組成一等腰直角三角形的直線方程.解:因?yàn)橹本€與坐標(biāo)軸組成一等腰直角三角形,所以k=±1.直線過(guò)點(diǎn)(1,2)代入點(diǎn)斜式方程得y–2=x-1或y-2=-(x-1),即x-y+1=0或x+y-3=0.xyOlP0xyOlb點(diǎn)斜式、斜截式方程在直線斜率存在時(shí)才可以應(yīng)用.(x0,y0)第2課時(shí)直線方程的兩點(diǎn)式和一般式點(diǎn)斜式方程:

y-y0=k(x-x0)

條件:k是直線的斜率,(x0,y0)是直線上的一個(gè)點(diǎn)斜截式方程:y=kx+b

條件:k是直線的斜率,b是直線在y軸上的截距直線方程的點(diǎn)斜式和斜截式是什么?適用條件是什么?

兩點(diǎn)確定一條直線!那么經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)的直線的方程能否用“公式”直接寫出來(lái)呢?本節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)!1.了解直線方程的兩點(diǎn)式的推導(dǎo)過(guò)程,記住直線的兩點(diǎn)式和一般式方程.(重點(diǎn))2.會(huì)求直線的兩點(diǎn)式和一般式方程.(難點(diǎn))探究點(diǎn)1直線方程的兩點(diǎn)式思考1:兩點(diǎn)式方程不能表示和坐標(biāo)軸垂直的直線方程.左邊全為y,右邊全為x,兩邊的分母全為常數(shù),分子,分母中的減數(shù)相同.記憶特點(diǎn):若點(diǎn)P1(x1,

y1

),P2(

x2,

y2)中有x1=x2

或y1=

y2,此時(shí)過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程是什么?當(dāng)x1=x2

時(shí)方程為:x

=x1當(dāng)y1=

y2時(shí)方程為:y=

y1思考2:思考3:直線方程的兩點(diǎn)式不能表示有什么特征的直線?提示:直線方程的兩點(diǎn)式中要求x1≠x2,y1≠y2,即兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線,即它只能表示斜率存在且不為零的直線.截距式方程注意:通常稱為直線方程的截距式.思考4:截距式與兩點(diǎn)式的關(guān)系是什么?提示:截距式源于兩點(diǎn)式,是兩點(diǎn)式的特殊情形.當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)(a,0)和(0,b)兩點(diǎn)時(shí),將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式,得化簡(jiǎn)得【變式練習(xí)】

1.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(3,9)、(-1,1)的直線在x軸上的

截距為()

A.B.C.D.2A2.求過(guò)點(diǎn)P(1,3),并且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程.解:當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí),由于斜率為故直線方程為y=3x;當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí),設(shè)方程為將點(diǎn)P(1,3)代入得a=-2,故直線方程為y=x+2.綜上可得,y=3x,y=x+2.在利用截距式方程求直線方程時(shí),要對(duì)截距是否為零進(jìn)行討論,當(dāng)截距不為零時(shí)可以用截距式,當(dāng)截距為零時(shí),直線方程不能用截距式表示.特別提醒:探究點(diǎn)2直線方程的一般式思考:直線方程的一般式在無(wú)特殊說(shuō)明的條件下,直線方程寫成一般式.思考1:“A,B不同時(shí)為零”指的是什么?提示:“A,B不同時(shí)為零”指的是A,B中至少有一個(gè)不為零,它包括三種情況:①A≠0且B≠0,②A≠0且B=0,③A=0且B≠0.思考2:當(dāng)A,B同時(shí)為零時(shí),方程Ax+By+C=0表示什么?提示:當(dāng)C=0時(shí),方程對(duì)任意的x,y都成立,故方程表示整個(gè)坐標(biāo)平面;當(dāng)C≠0時(shí),方程無(wú)解,方程不表示任何圖像,故方程Ax+By+C=0,不一定代表直線,只有當(dāng)A,B不同時(shí)為零時(shí),即A2+B2≠0時(shí)才代表直線.14.直線Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0)滿足什么條件

時(shí),直線過(guò)原點(diǎn)()

A.A=B=0B.C≠0,B=0

C.C≠0,A=0D.C=0D5.直線l:ax+y-2-a=0在x軸和y軸上的截距相等,則a的值是()A.1 B.-1 C.-2或-1 D.-2或1D6.下列說(shuō)法正確的是(

)A.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線都可以用方程表示B.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線都可以用方程表示C.不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用方程表示D.經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線都可以用方程表示D1.直線方程的兩點(diǎn)式設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直線l上的任意兩點(diǎn),則:2.直線方程的截距式a,b的幾何意義:a為直線在x軸上的截距;b為直線在y軸上的截距.x1≠x2,y1≠y23.直線方程的一般式關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0)表示的是一條直線,我們把它叫作直線方程的一般式.1.3兩條直線的位置關(guān)系平面內(nèi)兩條直線位置關(guān)系有哪些?oyxl1l2oyxl1,l2oyxl1l2在平面直角坐標(biāo)系中,怎樣根據(jù)直線方程的特征判斷兩條直線方程的位置關(guān)系呢?請(qǐng)進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)!平行垂直重合思考:平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系如何?1.記住兩直線平行與垂直的判定方法.(重點(diǎn))2.會(huì)用條件判定兩直線平行與垂直.(難點(diǎn))探究點(diǎn)1兩條直線平行我們知道,斜率相等的兩條直線傾斜角相等,它們相互平行;反之,兩條直線平行,它們的傾斜角相等,若傾斜角不為90°,則它們的斜率相等.斜率存在時(shí)兩直線的平行兩條不重合直線和,0xyl1l2α1

α2若,則反之,若,則直線不重合特殊情況下的兩直線平行當(dāng)兩條直線中有一條直線沒(méi)有斜率時(shí):

當(dāng)另一條直線的斜率也不存在時(shí),

兩直線的傾斜角都為

90°

此時(shí),兩直線位置關(guān)系為:l2oxyl1互相平行或重合.思考:“l(fā)1∥l2?k1=k2”成立的條件和含義是什么?提示:公式成立的條件是兩條直線有斜率且不重合.公式的含義是如果它們平行,那么它們的斜率相等;反之,如果它們的斜率相等,那么它們平行.例1判斷下列各對(duì)直線是否平行,并說(shuō)明理由:由方程可知,軸,軸,且兩直線在軸上截距不相等,所以.(1)設(shè)兩直線的斜率分別是,,在y軸上截距分別是,,則因?yàn)樗?設(shè)兩直線的斜率分別是,,在y軸上截距分別是,,則因?yàn)?,所以不平?解:例2求過(guò)點(diǎn)且平行于直線的直線方程.解:所求直線平行于直線,所以它們的斜率相等,都為而所求直線過(guò)所以,所求直線的方程為,即.直線x+ay-7=0與直線(a+1)x+2y-14=0互相平行,

則a的值是()

A.1B.-2

C.1或-2D.-1或2B【變式練習(xí)】當(dāng)兩條直線中一條直線斜率不存在,另一條直線的斜率為0時(shí),

即一條直線的傾斜角為90°.

另一條直線的傾斜角為0°.此時(shí),兩直線位置關(guān)系為:oxyl1l2互相垂直.探究點(diǎn)2兩條直線垂直已知直線過(guò)原點(diǎn)作與垂直的直線,求的斜率.思考1:兩條直線的斜率存在時(shí),怎樣用斜率來(lái)判斷兩條直線垂直?為O

思考2:當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),

l1⊥l2?k1k2=-1還適用嗎?此時(shí)直線的位置關(guān)系是什么?提示:當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)上述公式不適用,此時(shí)直線的傾斜角是90°,故兩條直線的斜率都不存在,兩條直線平行;一條不存在,一條斜率為0時(shí),兩條直線垂直.例3判斷下列兩直線是否垂直,并說(shuō)明理由:(1)解:設(shè)兩直線的斜率分別是則

有所以(2)解:設(shè)兩直線的斜率分別是則有所以(3)解:已知直線的斜率為,所求直線與已知直線垂直,所以該直線的斜率為,且該直線過(guò)點(diǎn),因此所求直線方程為,即例4求過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線方程.求出斜率,利用點(diǎn)斜式求方程.【變式練習(xí)】將直線y=3x繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)900,再向右平移1個(gè)單位,所得到的直線為()A設(shè)(不全為0),則(不全為0),(1)與平行垂直與(2)補(bǔ)充提升:直線的一般式方程平行與垂直的判斷:①③④⑤3.過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是()x-2y-1=0B.

x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=01答案:(1)4x+y-14=0(2)x-2y-3=04.若直線x+ay+1=0與直線(a+1)x-2y+3=0互相垂直,則實(shí)數(shù)a=_______.斜率間的關(guān)系(若l1,l2的斜率都存在,設(shè)l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2)l1∥l2?k1=k2,且b1≠b2l1⊥l2?k1?k2=-1

1.4兩條直線的交點(diǎn)我們知道,平面內(nèi)任意一條直線都會(huì)與一個(gè)二元一次方程對(duì)應(yīng),即直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)是這個(gè)方程的解,反之亦成立.那么兩條直線是否有交點(diǎn)與它們對(duì)應(yīng)的方程所組成的方程組是否有解有沒(méi)有關(guān)系,如果有,是什么關(guān)系?1.理解兩直線的位置關(guān)系與方程組解的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系.(重點(diǎn))2.能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo).(難點(diǎn))思考1:兩直線是什么位置關(guān)系?其交點(diǎn)坐標(biāo)是多少?提示:相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)2xy02在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出下列兩條直線的圖像探究?jī)蓷l直線的交點(diǎn)坐標(biāo)思考2:已知直線l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0,若他們相交,如何求交點(diǎn)坐標(biāo)?提示:?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為二元一次方程組求解的問(wèn)題;兩條直線相交,交點(diǎn)一定同時(shí)在這兩條直線上,交點(diǎn)坐標(biāo)是這兩個(gè)方程組的唯一解;反之,如果這兩個(gè)二元一次方程組成的方程組只有一個(gè)解,那么以這個(gè)解為坐標(biāo)的點(diǎn),必是直線l1和l2的交點(diǎn),因此求兩條直線的交點(diǎn),就是求這兩個(gè)直線方程的公共解.

方程組A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0的解兩條直線l1,l2的公共點(diǎn)直線l1,l2間的位置關(guān)系一組無(wú)數(shù)組無(wú)解一個(gè)無(wú)數(shù)個(gè)零個(gè)相交重合平行兩條直線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)與兩條直線的位置關(guān)系【提升總結(jié)】例1.求下列兩條直線的交點(diǎn):解:所以,這兩條直線的交點(diǎn)是.得解方程組思考:點(diǎn)(1,-1)在直線l1上嗎?在直線l2上嗎?在直線l1上,不在直線l2上.【變式練習(xí)】例2.設(shè)三條直線若這三條直線交于一點(diǎn),求k的值.【變式練習(xí)】例3.求經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且經(jīng)過(guò)以下兩條直線的交點(diǎn)的直線方程:l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.解:解方程組x-2y+2=0,2x-y-2=0,所以l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)是(2,2).設(shè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線方程為y=kx,把(2,2)代入方程,得k=1,所求方程為x-y=0.x=2,y=2.得求經(jīng)過(guò)兩條直線x+2y-1=0和2x-y-7=0的交點(diǎn),且垂直于直線x+3y-5=0的直線方程.解:解方程組x+2y-1=0,2x-y-7=0,得x=3,y=-1.所以這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-1).又因?yàn)橹本€x+3y-5=0的斜率是所以所求直線的斜率是3.所求直線方程為y+1=3(x-3)即3x-y-10=0.【變式練習(xí)】思考1:當(dāng)λ變化時(shí),方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么圖形?圖形有何特點(diǎn)?拓展探究:過(guò)定點(diǎn)的直線系方程文字?jǐn)⑹觯喝ˇ?0,1,…,得直線3x+4y-2=0,5x+5y=0,…方程表示的圖形為直線.作出圖形可知,所有直線都過(guò)一個(gè)定點(diǎn),該點(diǎn)為M(-2,2),為l1:3x+4y-2=0與l2:2x+y+2=0的交點(diǎn),即此方程為過(guò)定點(diǎn)M(-2,2)的直線系方程.思考2:方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)表示怎樣的直線?提示:若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0相交于M(x0,y0),則方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)表示過(guò)l1與l2交點(diǎn)的直線系方程(但不包括直線l2).(2)平行

2.經(jīng)過(guò)直線2x+3y-7=0與7x+15y+1=0的交點(diǎn),且平行

于直線x+2y-3=0的直線方程是___________.

3x+6y-2=03.直線mx-y+2m+1=0經(jīng)過(guò)一定點(diǎn),則該點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(-2,1)B.(2,1)C.(1,-2)D.(1,2)

A4.經(jīng)過(guò)兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點(diǎn)且與直線3x+y-1=0垂直的直線方程為_(kāi)______________.5x-15y-18=0求兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)的步驟:首先判斷兩直線是否平行,若不平行,再解方程組求其交點(diǎn)坐標(biāo).1.5平面直角坐標(biāo)系中的距離公式第1課時(shí)兩點(diǎn)間的距離公式

在初中,我們已經(jīng)學(xué)過(guò)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式;如果把這個(gè)問(wèn)題拓展到平面直角坐標(biāo)系內(nèi)又如何來(lái)求兩點(diǎn)間的距離呢?(x1,y2)1.掌握兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)過(guò)程.(重點(diǎn))2.會(huì)利用兩點(diǎn)間的距離公式解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題.

(難點(diǎn))思考:A(-2,0),B(3,0)兩點(diǎn)間的距離是多少?我們能得到什么結(jié)論?11223-1-1-2-20yxAB如圖,A,B兩點(diǎn)間的距離為53探究點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離公式OxyP2(x2,0)P1(x1,y)P2(x2,y)|x2–x1||x2–x1|P1(x1,0)當(dāng)y1

=y2時(shí),結(jié)論:思考:A(0,2),B(0,-2)兩點(diǎn)間的距離是多少?我們能得到什么結(jié)論?112233-1-1-2-20yxAB如圖,A,B兩點(diǎn)間的距離為4OxyP2(0,y2)P1(x1,y1)P2(x1,y2)|y2–y1|P1(0,y1)|y2–y1|當(dāng)x1

=x2時(shí),結(jié)論:思考:已知平面上兩點(diǎn)P1(x1,y1)和P2(x2,y2),如何求點(diǎn)P1和P2的距離|P1P2|?xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)OxyP1(x1,y1)P2(x2,y2)Q(x2,y1)Ox2y2x1y1xoy當(dāng)y1=y2時(shí),當(dāng)x1=x2時(shí),試求:P1,P2兩點(diǎn)間的距離.兩點(diǎn)間距離公式特別地,點(diǎn)A(x,y)到原點(diǎn)(0,0)的距離為一般地,若兩點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則A,B兩點(diǎn)間的距離公式為(1)(2)

例1求下列兩點(diǎn)間的距離:解:直接利用公式【變式練習(xí)】xyOA(-1,0)B(1,0)根據(jù)邊的關(guān)系判斷.···【變式練習(xí)】根據(jù)圖形特點(diǎn),建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,利用坐標(biāo)解決有關(guān)問(wèn)題,這種方法叫坐標(biāo)法也稱為解析法.

用“坐標(biāo)法”解決有關(guān)幾何問(wèn)題的基本步驟:第一步:建立坐標(biāo)系,用坐標(biāo)系表示有關(guān)的量第二步:進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算第三步:把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系【提升總結(jié)】1.已知點(diǎn)A(-2,-1),B(a,3)且AB=5,則a的值是()A.1B.-5C.1或-5D.-1或5C2.已知點(diǎn)M(-1,3),N(5,1),點(diǎn)P(x,y)到M,N的距離相等,則點(diǎn)P(x,y)所滿足的方程是()A.x+3y-8=0B.3x-y-4=0C.x-3y+9=0D.x-3y+8=0B|AB|=9|AB|=8|AB|=5解:|AB|=5,|BC|=,|AC|=,滿足|AB|2=|AC|2+|BC|2,所以是直角三角形.1.x軸上A,B兩點(diǎn)間的距離公式2.平面直角坐標(biāo)系中,A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)間的距離公式第2課時(shí)點(diǎn)到直線的距離公式小偉家小偉家住在公路的一側(cè),最近他爸爸買了一輛轎車,他家為了方便準(zhǔn)備修一條水泥路和公路連接,請(qǐng)問(wèn)怎樣修才能使他家距離公路最近,請(qǐng)畫出所修的路線.你認(rèn)為哪種方案最節(jié)省材料?你的理由是什么?最短距離應(yīng)是垂線段AB,所畫的這條線段我們給它起了一個(gè)名字,叫作——點(diǎn)到直線的距離!我們本節(jié)課來(lái)研究它!小偉家AB1.知道點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過(guò)程.(重點(diǎn))2.會(huì)利用點(diǎn)到直線的距離公式求點(diǎn)到直線的距離.

(難點(diǎn))3.會(huì)求兩條平行直線之間的距離.思考1:平行四邊形的面積公式是什么?思考2:如圖,如何計(jì)算平行四邊形ABCD的面積?什么量可以先求出來(lái)?底乘以高提示:由兩點(diǎn)間的距離公式可求得只要知道AB邊上的高,即點(diǎn)D(或點(diǎn)C)到直線AB的距離,就能求出四邊形的面積.思考3:如何計(jì)算點(diǎn)D(2,4)到直線AB:5x+4y-7=0的距離呢?提示:過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB,垂足為E,則點(diǎn)D到直線AB的距離就是線段DE的長(zhǎng).通過(guò)求點(diǎn)E的坐標(biāo),用兩點(diǎn)間的距離公式求DE.E5x+4y-7=04.用兩點(diǎn)間的距離公式,求出點(diǎn)D到AB的距離1.由DE⊥AB,可知DE所在直線的斜率為2.求出DE的方程即4x-5y+12=0.3.由AB和DE所在直線的方程5x+4y-7=0,4x-5y+12=0,得垂足E的坐標(biāo)QPyxol思考:已知點(diǎn)P0(x0,y0)和直線l:Ax+By+C=0,怎樣求點(diǎn)P到直線l的距離?如圖,P到直線l的距離,就是指從點(diǎn)P到直線l的垂線段PQ的長(zhǎng)度,其中Q是垂足.

當(dāng)A=0或B=0時(shí),直線方程為y=y1或x=x1的形式.xyox=x1P(x0,y0)yo

y=y1p(x0,y0)xQ(x0,y1)Q(x1,y0)點(diǎn)P(-1,2)到直線3x=2的距離是______.(2)點(diǎn)P(-1,2)到直線3y=2的距離是______.練一練直線的方程直線的斜率直線的方程直線的方程交點(diǎn)點(diǎn)之間的距離(到的距離)點(diǎn)的坐標(biāo)直線的斜率點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)兩點(diǎn)間距離公式xyO下面設(shè)A≠0,B≠0,我們進(jìn)一步探求點(diǎn)到直線的距離公式:思路1:若直線不平行于坐標(biāo)軸(即A≠0且B≠0),由

可得它的斜率是直線PQ的方程是與聯(lián)立,解得一般地,對(duì)于直線思路2:三角形的面積公式·PQ是RtΔPMN斜邊上的高,由三角形面積可知由此我們得到,的距離點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)到直線直線方程為一般式例1.(1)求原點(diǎn)到直線l1:5x-12y-9=0的距離;(2)求點(diǎn)P(-1,2)到直線l2:2x+y-10=0的距離.分析:根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解.解:

(1)原點(diǎn)到直線l1的的距離

(2)點(diǎn)P到直線l2的距離求下列點(diǎn)到直線的距離:(1)(0,0),3x-2y+4=0(2)(2,-3),x=y答案:(1)(2)

【變式練習(xí)】例2.用解析法證明:等腰三角形底邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)到兩腰的距離之差等于一腰上的高.證明:在△ABC中,AB=AC,P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF⊥AB于F.以BC所在直線為x軸,以BC的中垂線為y軸,建立直角坐標(biāo)系如圖.yADFBOCEPx設(shè)A(0,b),B(-a,0),C(a,0)(a>0,b>0),則直線AB方程為bx-ay+ab=0,直線AC方程為bx+ay-ab=0,取P(x0,0),使x0>a,則點(diǎn)P到直線AB,AC的距離分別為則點(diǎn)C到直線AB的距離為則由線到線的距離點(diǎn)到線的距離分析:一般地,已知兩條平行直線設(shè)是直線上任意一點(diǎn),則即于是點(diǎn)到直線的距離就是直線和的距離.注意:兩條直線的未知量的系數(shù)相同才能使用上式.思考:直角坐標(biāo)系中兩條平行直線的距離如何求呢?【變式練習(xí)】求下列兩條平行直線的距離:(1)3x-2y-1=0,3x-2y+6=0(2)x+2y=0,2x+4y-7=0解析:(1)1.若直線3x+4y-3=0與直線6x+my+2=0平行,則它們之間的距離為()A.1B.D.A.2x+y=0B.2x+y-2=0C.2x+y=0或2x+y+2=0D.2x+y=0或2x+y-2=0

C.D2.與直線2x+y+1=0平行且距離等于的直線方程為()C3.求點(diǎn)(-1,3)到直線3x+4y-5=0的距離.4.求兩條平行直線3x+4y-1=0與3x+4y-6=0之間的距離.5.已知點(diǎn)P(2,-1),求下列問(wèn)題:(1)過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離為2的直線的方程.(2)過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程,最大距離是多少?(3)是否存在過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離為6的直線的方程?若存在,求出方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.平面內(nèi)的幾種距離公式小結(jié)平面上的距離兩點(diǎn)間的距離點(diǎn)到直線的距離兩條平行線間的距離§2直觀圖

觀察下列一組圖片,看一看它們是否能反映空間圖形的一些特征.圖畫、照片等都是空間圖形在平面上的反映,通過(guò)對(duì)圖像、照片的研究可以了解空間圖形的一些性質(zhì)和特征.把空間圖形在平面上反映出來(lái)是一件很有意義的事情.用直觀圖表示的空間圖形,能使其既富有立體感,又能表達(dá)出圖形各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系.下面進(jìn)入本節(jié)課的內(nèi)容!1.了解空間幾何體的表示形式,進(jìn)一步提高對(duì)空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí).(重點(diǎn))2.能用斜二測(cè)畫法畫出空間幾何體的直觀圖.(難點(diǎn))3.直觀感受空間幾何體的直觀形象,培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和抽象概括能力.1.把一本書(shū)豎直正面放置,其視覺(jué)效果是一個(gè)矩形;把一本書(shū)水平放置,其視覺(jué)效果還是一個(gè)矩形嗎?2.對(duì)于柱體、錐體、臺(tái)體及簡(jiǎn)單的組合體,在平面上應(yīng)怎樣作圖才具有強(qiáng)烈的立體感?提示:不是,是平行四邊形請(qǐng)往下看!探究點(diǎn)1:水平放置的平面圖形的畫法思考1:把一個(gè)矩形水平放置,從適當(dāng)?shù)慕嵌扔^察,給人以平行四邊形的感覺(jué),比較兩圖,其中哪些線段之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系發(fā)生了變化?哪些沒(méi)有發(fā)生變化?提示:線段之間的平行關(guān)系沒(méi)有變化,垂直關(guān)系變化;長(zhǎng)度沒(méi)有變化,寬度變化思考2:把一個(gè)直角梯形水平放置得其直觀圖如下,比較兩圖,其中哪些線段之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系發(fā)生了變化?哪些沒(méi)有發(fā)生變化?提示:上、下底沒(méi)有變化,左、右腰有變化思考3:畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖,關(guān)鍵是確定直觀圖中各頂點(diǎn)的位置,我們可以借助平面直角坐標(biāo)系解決這個(gè)問(wèn)題.那么如何畫水平放置的正六邊形的直觀圖呢?請(qǐng)往下看!例1畫水平放置的正六邊形的直觀圖.解:畫法:(1)在已知圖形(正六邊形)所在平面上建立平面直角坐標(biāo)系xOy.另選一平面畫直觀圖,先畫x′軸和y′軸,使∠x(chóng)′O′y′=45°.45°(2)將已知圖形中平行于x軸或y軸的線段在直觀圖中分別畫成平行于x′軸和y′軸的線段,且已知圖形中平行于x軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變;平行于y軸的線段,在直觀圖中長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的(3)連線成圖(擦去輔助線).(3)已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變;平行于y軸的線段,長(zhǎng)度為原來(lái)的(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于x′軸和y′軸的線段;(1)在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系xOy.畫直觀圖時(shí),它們分別對(duì)應(yīng)x′軸和y′軸,兩軸相交于O′,使∠x(chóng)′O′y′=45°,它們確定的平面表示水平平面;上面畫直觀圖的方法叫斜二測(cè)畫法,這種畫法的規(guī)則是:平行仍平行水平線不變,豎直線減半提示:我們將正六邊形看作圓的內(nèi)接正六邊形時(shí),可以近似得到圓的直觀圖畫法.即將圓任意n等分,作此正n邊形的直觀圖,當(dāng)n非常大時(shí),平滑連接各頂點(diǎn),可近似得到圓的直觀圖.思考4:如果把一個(gè)圓水平放置,看起來(lái)像什么圖形?在實(shí)際畫圖時(shí)有什么辦法?探究點(diǎn)2:空間幾何體的直觀圖的畫法思考5:對(duì)于柱、錐、臺(tái)等幾何體的直觀圖,可用斜二測(cè)畫法畫出一個(gè)底面,我們能否再用一個(gè)坐標(biāo)確定底面外的點(diǎn)的位置?提示:立體圖形與平面圖形相比多了一個(gè)z軸,其直觀圖中對(duì)應(yīng)于z軸的是z′軸,平面x′O′y′表示水平平面,平面y′O′z′和x′O′z′表示直立平面.平行于z軸的線段,在直觀圖中平行性和長(zhǎng)度都不變.例2畫出正六棱柱的直觀圖.解:畫法:(1)畫底面(根據(jù)平面圖形的直觀圖畫法).(2)畫z'軸(z'軸與x'軸的交角為90°),并畫高,側(cè)棱(與原長(zhǎng)相等),連線成圖.x'y'O'z'ABCDEFA'B'C'D'E'F'(3)擦去輔助線,被遮線畫虛線.x'y'O'z'B'C'D'E'F'A'BCDEFAH'G'x'y'O'z'ABCDES正五棱錐思考6:仿照前例,你是否可以得到正五棱錐和圓柱的直觀圖的畫法.圓柱x'y'O'z'ABCDEFA'B'C'D'E'F'【提升總結(jié)】斜二測(cè)畫法的作圖技巧1.建立直角坐標(biāo)系時(shí),要讓原平面圖形的頂點(diǎn)盡可能多的落在坐標(biāo)軸或與坐標(biāo)軸平行的線段上.2.原圖中不與x軸或y軸平行的線段,可以先作坐標(biāo)軸的平行線為輔助線畫出其端點(diǎn),然后再連線.思考7:空間幾何體的直觀圖唯一嗎?提示:不唯一,作直觀圖時(shí),由于選軸不同,畫出的直觀圖也不同.1.關(guān)于斜二測(cè)畫法,下列說(shuō)法正確的是()A.三角形的直觀圖可能是一條線段B.平行四邊形的直觀圖一定是平行四邊形C.正方形的直觀圖是正方形D.菱形的直觀圖是菱形B2.如圖所示的正方形

的邊長(zhǎng)為1,它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖,則原圖形的周長(zhǎng)為()

A.6B.8C.

D.

3.如圖為水平放置的△OAB的直觀圖,由圖判斷原三角形中AB,OB,OD,BD由小到大的順序?yàn)?/p>

.OD<BD<AB=OB124.如圖,一個(gè)平面圖形的水平放置的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)等腰梯形,它的底角為45°,兩腰和上底邊長(zhǎng)均為1,求這個(gè)平面圖形的面積.ABCDABCDx′y′O′熟練掌握斜二測(cè)畫法規(guī)則:畫軸畫線取長(zhǎng)度建立適當(dāng)坐標(biāo)系水平線不變堅(jiān)直線減半§2圓與圓的方程2.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1.兩點(diǎn)間距離公式已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),則要化為一般式xyP0(x0,y0)OSRQd2.點(diǎn)到直線的距離公式一石激起千層浪奧運(yùn)五環(huán)福建土樓樂(lè)在其中小憩片刻生活掠影定點(diǎn)定長(zhǎng)圓心半徑·rC初中學(xué)習(xí)的圓的定義:平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.在平面直角坐標(biāo)系中,怎么用坐標(biāo)的方法刻畫圓呢?1.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程,能根據(jù)圓心、半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(重點(diǎn))2.會(huì)用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(難點(diǎn))

思考1:直線可以用一個(gè)方程來(lái)表示,圓是否也可以用一個(gè)方程來(lái)表示?你能推導(dǎo)出圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程嗎?探究點(diǎn)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程AMrxoy(x,y)(a,b)設(shè)點(diǎn)M(x,y)為圓A上任一點(diǎn),|MA|=r則P={M||MA|=r}圓上所有點(diǎn)的集合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程xyOCM(x,y)圓心C(a,b),半徑r若圓心為O(0,0),則圓的方程為:x,y的系數(shù)相同思考2:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2中有幾個(gè)待確定的量?要求它們需幾個(gè)獨(dú)立的條件?提示:三個(gè)待確定的量a,b,r;要求它們需三個(gè)獨(dú)立的條件.例1.求以C(4,-6)為圓心,半徑等于3的圓的方程.解:將圓心C(4,-6)、半徑等于3代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,可得所求圓的方程為(x+3)2+(y-4)2=5【變式練習(xí)】寫出下列各圓的方程:(1)圓心在點(diǎn)C(-3,4),半徑是(x-8)2+(y+3)2=25(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,1),圓心在點(diǎn)C(8,-3)解:根據(jù)已知條件,圓心C(a,b)是M1M2的中點(diǎn),那么它的坐標(biāo)為例2.已知兩點(diǎn)M1(4,9)和M2(6,3),求以M1M2為直徑的圓的方程.所求圓的方程為圓的半徑為溫馨提示:中點(diǎn)坐標(biāo):A(x1,y1),B(x2,y2)的中點(diǎn)坐標(biāo)為例3.的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程.分析:不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓,三角形有唯一的外接圓.因?yàn)锳(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圓上,所以它們的坐標(biāo)都滿足方程.解:設(shè)圓方程為則

所以得

所以,所求圓的方程為y-8【變式練習(xí)】已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1),B(2,-2),且圓心C在直線l:x-y+1=0上,求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:因?yàn)锳(1,1),B(2,-2),所以AB的中點(diǎn)所以AB的垂直平分線的方程為即由得所以C(-3,-2),所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為xyO【提升總結(jié)】待定系數(shù)法求圓的方程的步驟(1)根據(jù)題意,設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)根據(jù)已知條件,建立關(guān)于a,b,r

的方程組.(3)解方程組,求出a,b,r

的值,并把它們代入所設(shè)的方程中去,就得到所求圓的方程.探究點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系思考1:點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有幾種?提示:三種.分別為點(diǎn)在圓內(nèi),點(diǎn)在圓上和點(diǎn)在圓外三種情形.思考2:在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)M(x0,y0)和圓C:

,如何判斷點(diǎn)M在圓外、圓上、圓內(nèi)?(x0-a)2+(y0-b)2>r2時(shí),點(diǎn)M在圓C外;(x0-a)2+(y0-b)2=r2時(shí),點(diǎn)M在圓C上;(x0-a)2+(y0-b)2<r2時(shí),點(diǎn)M在圓C內(nèi).提示:解:由P1P2為直徑可知圓心的坐標(biāo)為(4,6),半徑為,所以圓方程為(x-4)2+(y-6)2=5,把M,Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程(6-4)2+(3-6)2=13>5(8-4)2+(1-6)2=41>5所以M,Q兩點(diǎn)均在圓外.例4.已知兩點(diǎn)P1(3,8)和P2(5,4),求以P1P2為直徑的圓的方程,并判斷M(6,3),Q(8,1)是在圓上,圓外還是圓內(nèi)?圓心(2,-4),半徑

1.求下列圓的圓心與半徑⑴圓(x-1)2+(y-1)2=9.⑵圓(x-2)2+(y+4)2=2.⑶圓(x+1)2+(y+2)2=m2.圓心(1,1),半徑3.圓心(-1,-2),半徑|m|.2.你能快速說(shuō)出下列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎?(1)圓心C(-3,4),半徑為5.(2)圓心C(2,-1),半徑為3.3.點(diǎn)(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部,則a的取值范圍是()A.-1<a<1B.0<a<1C.a>1或a<-1D.a=±1【解析】由于點(diǎn)(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部,所以(1-a)2+(1+a)2<4,a2<1,所以-1<a<1.A5.寫出下列各圓的方程:經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,1),圓心為點(diǎn)C(6,-2);過(guò)A(2,5),B(0,-1)點(diǎn),且以為直徑的圓.答案:(1)(2)6.寫出圓心為A(2,-3),半徑長(zhǎng)等于5的圓的方程,并判斷點(diǎn)M(5,-7),N(0,-1)是否在這個(gè)圓上?

點(diǎn)M在圓上,點(diǎn)N在圓內(nèi).7.過(guò)點(diǎn)A(1,-1),B(-1,1)且圓心在直線x+y-2=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,根據(jù)已知條件可得(1-a)2+(-1-b)2=r2,①

(-1-a)2+(1-b)2=r2,②

a+b-2=0,③聯(lián)立①,②,③,解得a=1,b=1,r=2.

所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=4.1.圓的方程的推導(dǎo)步驟:建系設(shè)點(diǎn)→寫條件→列方程→化簡(jiǎn)→說(shuō)明2.圓的方程的特點(diǎn):點(diǎn)(a,b)、r分別表示圓心坐標(biāo)和圓的半徑.3.求圓的方程的兩種方法:待定系數(shù)法和直接法.4.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.2.2圓的一般方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程xyOCM(x,y)圓心C(a,b),半徑r若圓心為O(0,0),則圓的方程為:?直線方程有不同的表示形式,那圓的方程呢?今天我們就來(lái)學(xué)習(xí)圓的方程的另一種形式——圓的一般方程.1.掌握?qǐng)A的一般方程,會(huì)由圓的一般方程確定圓的圓心、半徑.(重點(diǎn))2.能通過(guò)配方等手段,把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,會(huì)用待定系數(shù)法求圓的方程.(重點(diǎn)、難點(diǎn))將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開(kāi)得任何一個(gè)圓的方程都是二元二次方程探究點(diǎn)圓的一般方程思考:平面內(nèi)任一圓的一般方程都是關(guān)于x,y的二元二次方程,反之是否成立呢?提示:不一定,圓的一般方程是關(guān)于x,y的二元二次方程,但二元二次方程不一定表示圓,如方程x2+2xy+y2=0,即x+y=0代表一條直線而不是一個(gè)圓.【解析】配方得不一定是圓以(1,-2)為圓心,以2為半徑的圓【解析】配方得不是圓想一想:以下兩個(gè)方程都表示圓嗎?總結(jié):圓的一般方程方程稱為圓的一般方程.圓心為,半徑為

思考:圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的不同與特點(diǎn)?提示:(1)形式不同:(x-a)2+(y-b)2=r2x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)(2)圓的一般方程的特點(diǎn):(a)x2,y2

的系數(shù)為1(b)沒(méi)有xy項(xiàng)(c)D2+E2-4F>0例1.求過(guò)點(diǎn)M(-1,1),且圓心與已知圓C:x2+y2-4x+6y-3=0相同的圓的方程.解:將已知圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x-2)2+(y+3)2=16.圓心C的坐標(biāo)為

(2,-3),半徑為4,故所求圓的半徑為所求圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25.求下列各圓的半徑和圓心坐標(biāo):(2)x2+y2+2by=0(b≠0).(1)x2+y2-6x=0.圓心為(0,-b),半徑為圓心為(3,0),半徑為3【變式練習(xí)】例2.求過(guò)三點(diǎn)O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程,并指出這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo).將O,M1,

M2

的坐標(biāo)代入圓的方程,得:解得:F=0,D=-8,E=6.解:設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,待定系數(shù)法所求圓的一般方程為x2+y2-8x+6y=0,半徑為圓心坐標(biāo)為(4,-3).(1)根據(jù)題意選擇圓的方程的形式———標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D,E,F(xiàn)的方程組;(3)解出a,b,r或D,E,F(xiàn),代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟:【提升總結(jié)】1.判斷下列方程是不是表示圓:以(2,3)為圓心,以3為半徑的圓表示點(diǎn)(2,3)不表示任何圖形3.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線是以(-2,3)為圓心,4為半徑的圓.求D,E,F的值.答案:D=4,E=-6,F=-32.已知圓x2+y2-4x+2

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