《數(shù)值分析》課件

數(shù)值分析主講數(shù)值分析課題組Chenning1主講數(shù)值分析課題組1數(shù)值分析課程簡(jiǎn)介

數(shù)值分析主要包括計(jì)算方法和數(shù)值方法兩部分。它是研究科學(xué)與工程技術(shù)中數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解及其理論的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支，它主要涉及到代數(shù)、微積分、微分方程的數(shù)值解等問題。

數(shù)值分析及計(jì)算的主要任務(wù)，就是研究適合于在計(jì)算機(jī)上使用的的數(shù)值計(jì)算方法及與此相關(guān)的理論，如方法的收斂性、穩(wěn)定性及誤差分析等。此外，還要根據(jù)計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)，研究計(jì)算時(shí)間最短、需要計(jì)算機(jī)內(nèi)存最優(yōu)等計(jì)算方法問題。數(shù)值分析2數(shù)值分析課程簡(jiǎn)介數(shù)值分析主要包括計(jì)算方法和數(shù)第一章數(shù)值計(jì)算中的誤差分析

第二章線性方程組的直接解法第六章曲線擬合

第七章數(shù)值積分與數(shù)值微分第九章常微分方程的數(shù)值解法目錄第八章非線性方程的數(shù)值解法第五章函數(shù)插值第三章線性方程組的迭代解法第四章矩陣特征值特征向量的計(jì)算數(shù)值分析3第一章數(shù)值計(jì)算中的誤差分析第二章線性方程第一章

數(shù)值計(jì)算中的誤差分析

（一）

誤差的來源；（二）絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)值;（三）數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播；（四）數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的問題。數(shù)值分析4第一章數(shù)值計(jì)算中的誤差分析（一）誤差的來源；數(shù)值分第一節(jié)誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)第二節(jié)選用和設(shè)計(jì)算法適應(yīng)遵循的原則數(shù)值分析5第一節(jié)誤差與數(shù)值計(jì)算第二節(jié)選用和設(shè)計(jì)算法數(shù)值分析5誤差與數(shù)值計(jì)算誤差估計(jì)一誤差的來源與分類二誤差與有效數(shù)字?jǐn)?shù)值分析6誤差與數(shù)值計(jì)算誤差估計(jì)一誤差的來源與分類二誤差與一誤差的來源與分類按照誤差的來源,誤差可以分為:模型誤差、觀測(cè)誤差、截?cái)嗾`差、舍入誤差四種.

1.模型誤差

用數(shù)值計(jì)算方法解決問題時(shí),首先必須建立數(shù)學(xué)模型.由于實(shí)際問題的復(fù)雜性,在對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象與簡(jiǎn)化時(shí),往往為了抓住主要因素而忽略了一些次要因素,這樣就會(huì)使得建立起來的數(shù)學(xué)模型只是復(fù)雜客觀現(xiàn)象的一種近似描述,它與實(shí)際問題之間總會(huì)有一些誤差.我們把這種數(shù)學(xué)模型與實(shí)際問題之間出現(xiàn)的這種誤差稱為模型誤差.數(shù)值分析7一誤差的來源與分類按照誤差的來源,誤差可以分為:模

2觀測(cè)誤差

在數(shù)學(xué)模型中往往有一些觀測(cè)或?qū)嶒?yàn)得來的物理量,由于測(cè)量工具和測(cè)量手段的限制,它們與實(shí)際量大小之間必然存在誤差,這種誤差稱為觀測(cè)誤差.

3截?cái)嗾`差

由實(shí)際問題建立起來的數(shù)學(xué)模型,在很多情況下要得到準(zhǔn)確解是困難內(nèi)的,通常要用數(shù)值方法求出它的近似解.這種數(shù)學(xué)模型的精確解與由數(shù)值方法求出的近似解之間的誤差稱為截?cái)嗾`差,由于截?cái)嗾`差是數(shù)值計(jì)算方法固有的,故又稱為方法誤差.82觀測(cè)誤差3截?cái)嗾`差8

4舍入誤差

用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí),由于計(jì)算機(jī)的數(shù)位有限,計(jì)算時(shí)只能對(duì)超過位數(shù)的數(shù)字進(jìn)行四舍五入,由此產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差.二.誤差與有效數(shù)字

1絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限e=x-x*.

稱為近似值x*的絕對(duì)誤差限。

簡(jiǎn)稱誤差限或精度.設(shè)x*為準(zhǔn)確值x的一個(gè)近似值，稱為近似值x*的絕對(duì)誤差94舍入誤差二.誤差與有效數(shù)有了誤差限和近似值，可得到準(zhǔn)確值范圍

易知，由四舍五入所得到的數(shù)，其誤差限一定不超過被保留數(shù)的最后數(shù)位上的半個(gè)單位10有了誤差限和近似值，可得到準(zhǔn)確值范圍易知，由四舍例：?jiǎn)?.142,3.141,22/7分別作為的近似值各具有幾位有效數(shù)字？3.142具有4位有效數(shù)字；3.141具有3位有效數(shù)字；22/7具有3位有效數(shù)字。11例：?jiǎn)?.142,3.141,22/7分別作為2絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和其誤差限

設(shè)x*為準(zhǔn)確值x的一個(gè)近似值，稱絕對(duì)誤差限與準(zhǔn)確值之比為近似值x*的相對(duì)誤差。記:稱為x*的相對(duì)誤差限。若存在正數(shù),使得122絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和其誤差限設(shè)x*為準(zhǔn)確值x的3有效數(shù)字有效數(shù)字。自左向右看，第一個(gè)非零數(shù)誤差不超過該數(shù)的半個(gè)單位。133有效數(shù)字有效數(shù)字。自左向右看，第一個(gè)非零數(shù)誤差不超過1414有三位有效數(shù)字。

表示近似數(shù)0.003400準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第五位,例1-1：是具有7位有效數(shù)字的近似數(shù)，其誤差限是例1-2：15有三位有效數(shù)字。表示近似數(shù)0.003400準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后絕對(duì)誤差（限）相對(duì)誤差（限）有效數(shù)字有效數(shù)字與絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差的關(guān)系16絕對(duì)誤差（限）相對(duì)誤差（限）有效數(shù)字有效數(shù)字與絕對(duì)誤差、相對(duì)

4有效數(shù)字與絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差的關(guān)系：174有效數(shù)字與絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差的關(guān)系：17解EX:P13.518解EX:P13.518小結(jié)模型誤差觀測(cè)誤差截?cái)嗾`差舍入誤差絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差限

相對(duì)誤差相對(duì)誤差限有效數(shù)字有效數(shù)字與絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差的關(guān)系19小結(jié)模型誤差觀測(cè)誤差截?cái)嗾`差舍入誤差絕對(duì)誤差第二節(jié)選用和設(shè)計(jì)算法適應(yīng)遵循的原則一、選用數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算公式，控制舍入誤差的傳播

二、盡量簡(jiǎn)化計(jì)算步驟以減少計(jì)算次數(shù)

三、盡量避免兩個(gè)相鄰的數(shù)相減四、小結(jié)20第二節(jié)選用和設(shè)計(jì)算法適應(yīng)一、選用數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算公式基本運(yùn)算：指四則運(yùn)算和常用函數(shù)的計(jì)算。設(shè)數(shù)值近似值分別是相應(yīng)的解為計(jì)算中求解與參量有關(guān),記：1、基本運(yùn)算的誤差估計(jì)設(shè)在點(diǎn)可微,當(dāng)數(shù)據(jù)誤差較小時(shí)，解的絕對(duì)誤差為

21基本運(yùn)算：指四則運(yùn)算和常用函數(shù)的計(jì)算。設(shè)數(shù)值近似值分別是相應(yīng)解的相對(duì)誤差為

[注]:函數(shù)的和、差、積、商的部分誤差公式為：22解的相對(duì)誤差為[注]:函數(shù)的和、差、積、商的部分誤差公式為可得：

即：和、差的誤差限不超過各數(shù)的誤差限的和，積、商的相對(duì)誤差限不超過各數(shù)的相對(duì)誤差限的和。則的相對(duì)誤差為x相對(duì)誤差的n倍。特別有相對(duì)誤差為x相對(duì)誤差的0.5倍。

例1、設(shè),求y的相對(duì)誤差與x的相對(duì)誤差之間的關(guān)系。解：由公式知，23可得：即：和、差的誤差限不超過各數(shù)的誤差限的和，(1’)(2’)算法1：x=0.182322forn=1:20nx=-5*x+1/nend算法2：x=0.00873016forn=20:-1:1n-1x=-(1/5)*x+1/(5*n)endx=0.1823n=1x=0.0884n=2x=0.0581n=3x=0.0431n=4x=0.0346n=5x=0.0271n=6x=0.0313n=7x=-0.0134n=8x=0.1920n=9x=-0.8487n=1x=4.3436n=11x=-21.6268n=12x=108.2176n=13x=-541.0110n=14x=2.7051e+003n=15x=-1.3526e+004n=16x=6.7628e+004n=17x=-3.3814e+005n=18x=1.6907e+006n=19x=-8.4535e+006n=20x=4.2267e+007x=0.0087ans=19x=0.0083ans=18x=0.0089ans=17x=0.0093ans=16x=0.0099ans=15x=0.0105EX24(1’)(2’)算法1：x=0.182322算法2：x=0.

一個(gè)算法是否穩(wěn)定是非常重要的，如果算法不穩(wěn)定，則數(shù)值的結(jié)果就會(huì)嚴(yán)重背離數(shù)學(xué)模型的真實(shí)結(jié)果。在選擇數(shù)值計(jì)算公式來進(jìn)行計(jì)算時(shí)，應(yīng)用在數(shù)值計(jì)算過程中不會(huì)導(dǎo)致誤差迅速增長(zhǎng)的計(jì)算公式。一、選用數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算公式，控制舍入誤差的傳播例1

計(jì)算定積分(1.2.1)25一個(gè)算法是否穩(wěn)定是非常重要的，如果算法不解算法一

利用分部積分法不難求得遞推關(guān)系式:26解算法一利用分部積分法不難求得遞推關(guān)系式:26則由以上的的不等式可以看出

27則由以上的的不等式可以看出27算法二28算法二2829293030s0=1-exp(-1);s1=1-s0;forn=2:20s(n)=1-n*s(n-1);ends(1:20)01234560.63210.36790.26420.20730.17090.14550.1268789101112130.11240.10090.09160.08390.07740.07180.0669141516171819200.06270.05900.05550.0572-0.02951.5596-30.1924s(30)=1/31;forn=30:-1:2s(n-1)=(1-s(n))/n;ends(1:20)201918171615140.63210.36790.26420.20730.17090.14550.1268131211109870.11240.10090.09160.08390.07740.07180.066965432100.06270.05900.05570.05280.05010.04770.045531s0=1-exp(-1);01234560.63210.36二、盡量簡(jiǎn)化計(jì)算步驟以減少計(jì)算次數(shù)

同樣一個(gè)問題,如果能減少運(yùn)算次數(shù),不但可以節(jié)省計(jì)算機(jī)的計(jì)算時(shí)間,而且還能減少舍入誤差,這是數(shù)值計(jì)算必須遵守的原則.例2解32二、盡量簡(jiǎn)化計(jì)算步驟以減少計(jì)算次數(shù)同樣一個(gè)三、盡量避免兩個(gè)相鄰的數(shù)相減

在數(shù)值計(jì)算中，兩個(gè)相近的數(shù)相減會(huì)造成有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失。這種情況，應(yīng)當(dāng)多保留兩個(gè)數(shù)的有效數(shù)字，盡量避免減法運(yùn)算，改變計(jì)算方法如可通過因式分解、分子分母有理化、三角函數(shù)恒等式、其他恒等式、Taylor展式等計(jì)算公式，防止減法運(yùn)算的出現(xiàn)。例3解33三、盡量避免兩個(gè)相鄰的數(shù)相減在數(shù)值計(jì)算中，兩3434

除了以上的三條運(yùn)則外，在實(shí)際計(jì)算中還要注意以下兩原則：絕對(duì)值太小的數(shù)不宜作除數(shù)、合理安排運(yùn)算順序,防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)。例5求解二次方程解：利用因式分解易得若用求根公式得：用8位小數(shù)的機(jī)器處理時(shí)，有易得顯然是錯(cuò)誤的；處理方法是改寫差式，才得有效結(jié)果。35除了以上的三條運(yùn)則外，在實(shí)際計(jì)算中還要注意以六、小結(jié)36六、小結(jié)36數(shù)值分析主講數(shù)值分析課題組Chenning37主講數(shù)值分析課題組1數(shù)值分析課程簡(jiǎn)介

數(shù)值分析主要包括計(jì)算方法和數(shù)值方法兩部分。它是研究科學(xué)與工程技術(shù)中數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解及其理論的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)分支，它主要涉及到代數(shù)、微積分、微分方程的數(shù)值解等問題。

數(shù)值分析及計(jì)算的主要任務(wù)，就是研究適合于在計(jì)算機(jī)上使用的的數(shù)值計(jì)算方法及與此相關(guān)的理論，如方法的收斂性、穩(wěn)定性及誤差分析等。此外，還要根據(jù)計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)，研究計(jì)算時(shí)間最短、需要計(jì)算機(jī)內(nèi)存最優(yōu)等計(jì)算方法問題。數(shù)值分析38數(shù)值分析課程簡(jiǎn)介數(shù)值分析主要包括計(jì)算方法和數(shù)第一章數(shù)值計(jì)算中的誤差分析

第二章線性方程組的直接解法第六章曲線擬合

第七章數(shù)值積分與數(shù)值微分第九章常微分方程的數(shù)值解法目錄第八章非線性方程的數(shù)值解法第五章函數(shù)插值第三章線性方程組的迭代解法第四章矩陣特征值特征向量的計(jì)算數(shù)值分析39第一章數(shù)值計(jì)算中的誤差分析第二章線性方程第一章

數(shù)值計(jì)算中的誤差分析

（一）

誤差的來源；（二）絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)值;（三）數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播；（四）數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的問題。數(shù)值分析40第一章數(shù)值計(jì)算中的誤差分析（一）誤差的來源；數(shù)值分第一節(jié)誤差與數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)第二節(jié)選用和設(shè)計(jì)算法適應(yīng)遵循的原則數(shù)值分析41第一節(jié)誤差與數(shù)值計(jì)算第二節(jié)選用和設(shè)計(jì)算法數(shù)值分析5誤差與數(shù)值計(jì)算誤差估計(jì)一誤差的來源與分類二誤差與有效數(shù)字?jǐn)?shù)值分析42誤差與數(shù)值計(jì)算誤差估計(jì)一誤差的來源與分類二誤差與一誤差的來源與分類按照誤差的來源,誤差可以分為:模型誤差、觀測(cè)誤差、截?cái)嗾`差、舍入誤差四種.

1.模型誤差

用數(shù)值計(jì)算方法解決問題時(shí),首先必須建立數(shù)學(xué)模型.由于實(shí)際問題的復(fù)雜性,在對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象與簡(jiǎn)化時(shí),往往為了抓住主要因素而忽略了一些次要因素,這樣就會(huì)使得建立起來的數(shù)學(xué)模型只是復(fù)雜客觀現(xiàn)象的一種近似描述,它與實(shí)際問題之間總會(huì)有一些誤差.我們把這種數(shù)學(xué)模型與實(shí)際問題之間出現(xiàn)的這種誤差稱為模型誤差.數(shù)值分析43一誤差的來源與分類按照誤差的來源,誤差可以分為:模

2觀測(cè)誤差

在數(shù)學(xué)模型中往往有一些觀測(cè)或?qū)嶒?yàn)得來的物理量,由于測(cè)量工具和測(cè)量手段的限制,它們與實(shí)際量大小之間必然存在誤差,這種誤差稱為觀測(cè)誤差.

3截?cái)嗾`差

由實(shí)際問題建立起來的數(shù)學(xué)模型,在很多情況下要得到準(zhǔn)確解是困難內(nèi)的,通常要用數(shù)值方法求出它的近似解.這種數(shù)學(xué)模型的精確解與由數(shù)值方法求出的近似解之間的誤差稱為截?cái)嗾`差,由于截?cái)嗾`差是數(shù)值計(jì)算方法固有的,故又稱為方法誤差.442觀測(cè)誤差3截?cái)嗾`差8

4舍入誤差

用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí),由于計(jì)算機(jī)的數(shù)位有限,計(jì)算時(shí)只能對(duì)超過位數(shù)的數(shù)字進(jìn)行四舍五入,由此產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差.二.誤差與有效數(shù)字

1絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限e=x-x*.

稱為近似值x*的絕對(duì)誤差限。

簡(jiǎn)稱誤差限或精度.設(shè)x*為準(zhǔn)確值x的一個(gè)近似值，稱為近似值x*的絕對(duì)誤差454舍入誤差二.誤差與有效數(shù)有了誤差限和近似值，可得到準(zhǔn)確值范圍

易知，由四舍五入所得到的數(shù)，其誤差限一定不超過被保留數(shù)的最后數(shù)位上的半個(gè)單位46有了誤差限和近似值，可得到準(zhǔn)確值范圍易知，由四舍例：?jiǎn)?.142,3.141,22/7分別作為的近似值各具有幾位有效數(shù)字？3.142具有4位有效數(shù)字；3.141具有3位有效數(shù)字；22/7具有3位有效數(shù)字。47例：?jiǎn)?.142,3.141,22/7分別作為2絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和其誤差限

設(shè)x*為準(zhǔn)確值x的一個(gè)近似值，稱絕對(duì)誤差限與準(zhǔn)確值之比為近似值x*的相對(duì)誤差。記:稱為x*的相對(duì)誤差限。若存在正數(shù),使得482絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和其誤差限設(shè)x*為準(zhǔn)確值x的3有效數(shù)字有效數(shù)字。自左向右看，第一個(gè)非零數(shù)誤差不超過該數(shù)的半個(gè)單位。493有效數(shù)字有效數(shù)字。自左向右看，第一個(gè)非零數(shù)誤差不超過5014有三位有效數(shù)字。

表示近似數(shù)0.003400準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第五位,例1-1：是具有7位有效數(shù)字的近似數(shù)，其誤差限是例1-2：51有三位有效數(shù)字。表示近似數(shù)0.003400準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后絕對(duì)誤差（限）相對(duì)誤差（限）有效數(shù)字有效數(shù)字與絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差的關(guān)系52絕對(duì)誤差（限）相對(duì)誤差（限）有效數(shù)字有效數(shù)字與絕對(duì)誤差、相對(duì)

4有效數(shù)字與絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差的關(guān)系：534有效數(shù)字與絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差的關(guān)系：17解EX:P13.554解EX:P13.518小結(jié)模型誤差觀測(cè)誤差截?cái)嗾`差舍入誤差絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差限

相對(duì)誤差相對(duì)誤差限有效數(shù)字有效數(shù)字與絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差的關(guān)系55小結(jié)模型誤差觀測(cè)誤差截?cái)嗾`差舍入誤差絕對(duì)誤差第二節(jié)選用和設(shè)計(jì)算法適應(yīng)遵循的原則一、選用數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算公式，控制舍入誤差的傳播

二、盡量簡(jiǎn)化計(jì)算步驟以減少計(jì)算次數(shù)

三、盡量避免兩個(gè)相鄰的數(shù)相減四、小結(jié)56第二節(jié)選用和設(shè)計(jì)算法適應(yīng)一、選用數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算公式基本運(yùn)算：指四則運(yùn)算和常用函數(shù)的計(jì)算。設(shè)數(shù)值近似值分別是相應(yīng)的解為計(jì)算中求解與參量有關(guān),記：1、基本運(yùn)算的誤差估計(jì)設(shè)在點(diǎn)可微,當(dāng)數(shù)據(jù)誤差較小時(shí)，解的絕對(duì)誤差為

57基本運(yùn)算：指四則運(yùn)算和常用函數(shù)的計(jì)算。設(shè)數(shù)值近似值分別是相應(yīng)解的相對(duì)誤差為

[注]:函數(shù)的和、差、積、商的部分誤差公式為：58解的相對(duì)誤差為[注]:函數(shù)的和、差、積、商的部分誤差公式為可得：

即：和、差的誤差限不超過各數(shù)的誤差限的和，積、商的相對(duì)誤差限不超過各數(shù)的相對(duì)誤差限的和。則的相對(duì)誤差為x相對(duì)誤差的n倍。特別有相對(duì)誤差為x相對(duì)誤差的0.5倍。

例1、設(shè),求y的相對(duì)誤差與x的相對(duì)誤差之間的關(guān)系。解：由公式知，59可得：即：和、差的誤差限不超過各數(shù)的誤差限的和，(1’)(2’)算法1：x=0.182322forn=1:20nx=-5*x+1/nend算法2：x=0.00873016forn=20:-1:1n-1x=-(1/5)*x+1/(5*n)endx=0.1823n=1x=0.0884n=2x=0.0581n=3x=0.0431n=4x=0.0346n=5x=0.0271n=6x=0.0313n=7x=-0.0134n=8x=0.1920n=9x=-0.8487n=1x=4.3436n=11x=-21.6268n=12x=108.2176n=13x=-541.0110n=14x=2.7051e+003n=15x=-1.3526e+004n=16x=6.7628e+004n=17x=-3.3814e+005n=18x=1.6907e+006n=19x=-8.4535e+006n=20x=4.2267e+007x=0.0087ans=19x=0.0083ans=18x=0.0089ans=17x=0.0093ans=16x=0.0099ans=15x=0.0105EX60(1’)(2’)算法1：x=0.182322算法2：x=0.

一個(gè)算法是否穩(wěn)定是非常重要的，如果算法不穩(wěn)定，則數(shù)值的結(jié)果就會(huì)嚴(yán)重背離數(shù)學(xué)模型的真實(shí)結(jié)果。在選擇數(shù)值計(jì)算公式來進(jìn)行計(jì)算時(shí)，應(yīng)用在數(shù)值計(jì)算過程中不會(huì)導(dǎo)致誤差迅速增長(zhǎng)的計(jì)算公式。一、選用數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算公式，控制舍入誤差的傳播例1

計(jì)算定積分(1.2.1)61一個(gè)算法是否穩(wěn)定是非常重要的，如果算法不解算法一

利用分部積分法不難求得遞推關(guān)系式:62解算法一利用分部積分法不難求得遞推關(guān)系式:26則由以上的的不等式可以看出

63則由以上的的不等式可以看出27算法二64算法二2865296630s0=1-exp(-1);s1=1-s0;forn=2:20s(n)=1-n*s(n-1);ends(1:20)01234