隨機運籌學(xué)培訓(xùn)課件

隨機運籌學(xué)之6隨機庫存論隨機運籌學(xué)之6壹、庫存論一、庫存庫存是為了滿足未來需求而暫時閑置的有價值的資源。其含義有兩點：一是資源，凡是人、財、物、信息等有形的實物和無形的物質(zhì)都可以作為資源的范疇，如汽車、電視機、服裝、電影、民航座位、醫(yī)療、咨詢等；二是有價值的資源，有些資源可以滿足未來的需求，但不一定具有價值，如空氣、陽光等，可以隨時隨地獲得，但在獲取時并不需壹、庫存論一、庫存要付出代價。無論是生產(chǎn)領(lǐng)域還是流通領(lǐng)域，庫存是普遍存在的。從宏觀上來看，一個國家全國范圍內(nèi)的生產(chǎn)出來的產(chǎn)品，平均將有2~3個月的庫存期。庫存大部分在生產(chǎn)領(lǐng)域和流通領(lǐng)域，約占總庫存的90%左右。二、庫存的類型對于一個生產(chǎn)企業(yè)來講，庫存主要有以下類型：1、原材料庫存要付出代價。未經(jīng)加工被直接用于生產(chǎn)產(chǎn)品的材料的庫存，其主要作為投入使用，如鋼材、木板、染料等的庫存。2、零部件庫存已經(jīng)過一定的加工被直接用于生產(chǎn)產(chǎn)品的材料的庫存，其主要作為組成部件，如發(fā)動機、CPU、電機等的庫存。3、在制品庫存在完成最終加工之前的物品的庫存。4、成品庫存未經(jīng)加工被直接用于生產(chǎn)產(chǎn)品的材料的庫存，其主要作為投入使用，已完成最終加工的物品的庫存。5、備件、工具、設(shè)備等的庫存用來生產(chǎn)產(chǎn)品的物品的庫存。對于一個流通企業(yè)來講，產(chǎn)品要經(jīng)過流通加工，庫存主要有以下類型：1、流通加工前產(chǎn)品庫存從生產(chǎn)廠家購進的成品，但還未進行流通加工的產(chǎn)品的庫存。2、流通加工后產(chǎn)品庫存已完成最終加工的物品的庫存。已進行了流通加工的產(chǎn)品的庫存。三、庫存的作用1、獲取規(guī)模效益由于生產(chǎn)能力設(shè)計等原因，一定規(guī)模的生產(chǎn)才會使單位成本最低，因而庫存可以獲取規(guī)模效益。2、應(yīng)對不確定性因素市場需求的不確定、供應(yīng)商交貨不確定、產(chǎn)品質(zhì)量的不確定都需要庫存來應(yīng)對，以免導(dǎo)致需求的損失。已進行了流通加工的產(chǎn)品的庫存。3、平穩(wěn)生產(chǎn)過程在需求高峰時期突擊性地擴大生產(chǎn)能力是不現(xiàn)實的，需要通過庫存來滿足高峰時的需求。4、投機行為在產(chǎn)品價格發(fā)生變化時，可以通過庫存來獲利或避免損失。5、最低采購量供應(yīng)商往往對采購方具有最低采購量的限制，當需求不足時，只能通過庫存來慢慢消耗。3、平穩(wěn)生產(chǎn)過程四、庫存管理的任務(wù)（一）庫存的系統(tǒng)分析最簡單的庫存系統(tǒng)至少由補貨環(huán)節(jié)、倉儲環(huán)節(jié)、市場環(huán)節(jié)所組成。如果以倉儲環(huán)節(jié)為中心，補貨環(huán)節(jié)可以是上游供應(yīng)商，也可以是本企業(yè)內(nèi)部的前置車間或工序，市場環(huán)節(jié)可以是終端顧客，也可以是下游企業(yè)，還可以是本企業(yè)內(nèi)部的后續(xù)車間或工序。庫存管理的對象是對整個庫存系統(tǒng)進行管理，補四、庫存管理的任務(wù)庫存系統(tǒng)倉儲環(huán)節(jié)補貨環(huán)節(jié)市場環(huán)節(jié)物流方向庫存系統(tǒng)倉儲環(huán)節(jié)補貨環(huán)節(jié)市場環(huán)節(jié)物流方向貨環(huán)節(jié)不斷地將貨物補充到倉儲環(huán)節(jié)，貨物在倉儲環(huán)節(jié)被暫時儲存后，再被送往市場環(huán)節(jié)。補貨活動具有一定的主動性，依管理者的決策而定，而向市場的出貨則一般是被動的活動，每當市場產(chǎn)生需求時才實施出貨活動。補貨活動會帶來成本，貨物在倉儲環(huán)節(jié)的儲存也會帶來成本，出貨活動同樣帶來成本。（二）影響庫存系統(tǒng)成本的主要因素1、貨物補充的批量貨環(huán)節(jié)不斷地將貨物補充到倉儲環(huán)節(jié)，貨物在倉儲環(huán)節(jié)被暫時儲存后對于補貨活動，成本主要受補貨批量的影響。一般地，補貨批量越大，規(guī)模效益可使邊際成本下降得越多。2、貨物補充的時機對于出貨活動，它與市場相關(guān)聯(lián)。一方面，通過實施出貨活動直接獲得收益；另一方面，如果市場產(chǎn)生了需求而因補貨不能及時滿足需求時，不僅不能獲得收益，而且還可能會招致懲罰成本。缺貨成本主要受補貨時機的影響，如果遲遲不補貨，致使貨源緊缺，則缺貨懲罰成本就會升高。對于補貨活動，成本主要受補貨批量的影響。一般地，補貨批量越大補物時機可以通過查看庫存量來確定，比如當庫存量降低到某一值時就進行貨物補充。貨物補充時機將直接影響到對客戶的服務(wù)水平，如果補貨時機對應(yīng)的庫存量越高，則對客戶的服務(wù)水平也就越高，缺貨的懲罰成本就會越低。關(guān)于貨物在倉儲環(huán)節(jié)的儲存所造成的成本，補貨時機和補貨批量都會產(chǎn)生影響。庫存量越高，對應(yīng)的成本也就越高。因此，補貨時機對應(yīng)的庫存量越高，或補貨批量越大，成本也就越高。補物時機可以通過查看庫存量來確定，比如當庫存量降低到某一值時（三）庫存管理的主要任務(wù)庫存管理的目標就是通過補貨時機和補貨批量來控制庫存系統(tǒng)的運行成本。庫存管理的主要任務(wù)就是確定最優(yōu)的補貨時機和最優(yōu)的補貨批量，使庫存系統(tǒng)的運行成本（包括客戶服務(wù)水平）達到最小。五、庫存管理與倉儲管理的區(qū)別倉儲管理主要涉及庫房的規(guī)劃與設(shè)計、貨架的設(shè)置、分揀的原理、進出貨的規(guī)劃、物料的搬運方（三）庫存管理的主要任務(wù)式等。庫存管理屬于上層決策的范疇，而倉儲管理則屬于底層操作的范疇。式等。貳、隨機型存儲模型概述一、庫存系統(tǒng)的分類一個庫存系統(tǒng)包含許多參數(shù)，比如市場需求、補貨單價、持貨成本系數(shù)、缺貨懲罰成本系數(shù)、補貨啟動費用、補貨提前期等。如果在庫存系統(tǒng)運行過程中，這些參數(shù)都是確定的，則這個庫存系統(tǒng)是確定性的庫存系統(tǒng)。在許多實際庫存系統(tǒng)中，有一些參數(shù)可能是不確定的。例如，最常見的是需求的不確定性。當這些參數(shù)屬于系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)，在一定程度上還可以貳、隨機型存儲模型概述一、庫存系統(tǒng)的分類控制，但市場往往是難以控制的，充其量只能施加一定的影響而已。在庫存系統(tǒng)中，通常用隨機變量來刻畫市場需求的不確定性。隨機變量的分布可以是離散形式，如泊松分布等，也可以是連續(xù)形式，如正態(tài)分布等。庫存系統(tǒng)中只要有一個參數(shù)是隨機變量，則整個系統(tǒng)就變成了隨機模型。對隨機模型而言，確定其評價準則是解決問題的關(guān)鍵。二、隨機型存儲模型的特點控制，但市場往往是難以控制的，充其量只能施加一定的影響而已。隨機型存儲模型的主要特點是需求是隨機的，其概率和分布是已知的。例如，一個商場對某種商品每天的銷售量就是隨機的，1000件商品可能在一個月內(nèi)售完，也可能下個月之后還有剩余。隨機型存儲模型的還有一個重要特點是，是否允許缺貨，一般都可使用概率來表達。例如，如果要求的保證概率為90%，那么缺貨的概率就是10%，即10次訂貨允許缺貨一次。隨機型存儲模型的主要特點是需求是隨機的，其概率和分布是已知的三、隨機型存儲模型的類型1、單周期隨機存儲模型所謂單周期隨機存儲模型是指在一個周期內(nèi)只訂貨一次，周期末庫存貨物與下一個周期的訂貨量沒有關(guān)系，在各周期之間的訂貨量和銷售量是相互獨立的。典型的單周期隨機存儲模型是“報童問題”，因為報紙當天若賣不出去，第二天就過時而喪失了新聞價值。單周期隨機存儲模型將一個存儲周期作為時間最三、隨機型存儲模型的類型小單位，而在周期開始時作一次決策，確定訂貨量。單周期隨機存儲模型又根據(jù)需求量是離散的或連續(xù)的分為隨機離散型和隨機連續(xù)型。2、多周期隨機存儲模型多周期隨機存儲模型是指訂貨機會周期地出現(xiàn)，即在一個階段開始時存儲量為I，訂貨量為Q，若供應(yīng)不足，則I便承擔缺貨；若供應(yīng)有余，則將多余部分存儲起來，存儲量達到I+Q。小單位，而在周期開始時作一次決策，確定訂貨量。四、隨機存儲模型的訂貨策略1、定期訂貨策略定期訂貨策略是指確定一個固定的訂貨周期，每個周期都只根據(jù)上一周期末剩余的存儲量來確定當期的訂貨量，即剩下的存儲量小就多訂貨，剩下的存儲量大就少訂貨，甚至可以不訂貨。定期訂貨策略下訂貨時間固定，而每次訂貨的數(shù)量是不確定的。2、定點訂貨策略四、隨機存儲模型的訂貨策略定點訂貨策略是指確定一個固定的訂貨點，每當庫存下降到訂貨點時就組織訂貨。定點訂貨策略下每次訂貨數(shù)量確定，而訂貨時間是不確定的。因此，要保證按訂貨點訂貨，要求必須對庫存進行連續(xù)的監(jiān)控或記錄。3、定期與定點相結(jié)合的策略定期與定點相結(jié)合的策略是指每隔一定時間對庫存檢查一次，如果庫存數(shù)量大于訂貨點s，就不訂貨；如果庫存數(shù)量小于訂貨點s，就組織訂貨，并使得補充后的存儲數(shù)量達到S。因此，這種策略也定點訂貨策略是指確定一個固定的訂貨點，每當庫存下降到訂貨點時簡稱為（s，S）策略。簡稱為（s，S）策略。叁、隨機庫存的服務(wù)水平一、隨機庫存系統(tǒng)的評價準則對隨機庫存系統(tǒng)，最常見的評價準則有概率準則、期望值準則、方差準則等。在庫存系統(tǒng)中，通常用成本或收益作為系統(tǒng)的績效指標，而評價準則多采用期望值準則，確定補貨時機和補貨批量，使系統(tǒng)成本的期望值達到最小，或使系統(tǒng)收益的期望值達到最大等。叁、隨機庫存的服務(wù)水平一、隨機庫存系統(tǒng)的評價準則肆、單周期隨機型存儲模型一、一次性訂貨的離散型隨機存儲模型例1某商場擬在新年期間出售一批新年賀卡，每售出1千張可盈利7元。如果在新年期間不能售完，就必須削價處理，則1千張?zhí)潛p4元，定能售完。根據(jù)以往的經(jīng)驗，市場需求的概率為下表：問：每年只能訂貨一次，問訂購賀卡幾千張才能使獲利最大或損失最小？1）計算盈利期望值最大的方法2）計算損失期望值最小的方法肆、單周期隨機型存儲模型一、一次性訂貨的離散型隨機存儲模型市場需求的概率信息市場需求的概率信息盈利期望值最大方法盈利期望值最大方法一般地，模型假設(shè)：Q——訂貨量；r——隨機需求變量；P（r）——需求為r的概率；k——單位收益；h——單位損失。1、計算盈利期望值最大的模型可設(shè)出賀卡數(shù)量為r（千張），其概率為P（r）為已知，∑r=0，…，∞P（r）=1，訂貨數(shù)量為Q。一般地，模型假設(shè)：（1）當供過于求（r≤Q）時，只能銷售出r千張賀卡，每千張賺k元，共賺k?r元，沒有銷售出去的賀卡，每千張賠h元，則滯銷損失為h（Q-r）元。因此，盈利的期望值為∑r=0，…，Q[k?r-h（Q-r）]P（r）（2）當供不應(yīng)求（r＞Q）時，因為只有Q千張賀卡可供出售，共賺k?Q元，無滯銷損失。因此，盈利期望值為∑r=Q+1，…，∞k?Q?P（r）因而，當訂貨量為Q時，其盈利的期望值為（1）當供過于求（r≤Q）時，只能銷售出r千張賀卡，每千張賺R（Q）=∑r=0，…，Q[k?r-h（Q-r）]P（r）+∑r=Q+1，…，∞k?Q?P（r）在r為離散變量的情況下，要使訂貨量Q時的盈利期望值最大，則應(yīng)滿足下列關(guān)系式：①R（Q+1）≤R（Q）②R（Q-1）≤R（Q）由條件①，可推得∑r=0，…，QP（r）≥k/（k+h）由條件②，可推得R（Q）=∑r=0，…，Q[k?r-h（Q-r）]P（r∑r=0，…，Q-1P（r）≤k/（k+h）因此，最佳訂貨量Q應(yīng)按下式確定：∑r=0，…，Q-1P（r）≤k/（k+h）≤∑r=0，…，QP（r）2、計算損失期望值最小的模型①當供過于求（r≤Q）時，因為不能銷售出去而承擔損失。因此，損失的期望值為∑r=0，…，Q[h（Q-r）]P（r）②當供不應(yīng)求（r＞Q）時，因為缺貨而失去賺錢的機會。因此，損失的期望值為∑r=0，…，Q-1P（r）≤k/（k+h）∑r=Q+1，…，∞k?（r-Q）P（r）因而，損失的期望值為C（Q）=∑r=0，…，Q[h（Q-r）]P（r）+∑r=Q+1，…，∞k?（r-Q）P（r）同樣地，其損失的期望值應(yīng)滿足③C（Q）≤C（Q+1）④C（Q）≤C（Q-1）由條件③，可推得∑r=0，…，QP（r）≥k/（k+h）∑r=Q+1，…，∞k?（r-Q）P（r）由條件④，可推得∑r=0，…，Q-1P（r）≤k/（k+h）因而，綜合條件③

和④，有最佳訂貨量條件為∑r=0，…，Q-1P（r）≤k/（k+h）≤∑r=0，…，QP（r）與盈利期望值最大模型結(jié)論完全一致。例2已知某地有一天將有許多人聚集。盒飯的需求量是一個離散型隨機變量。若賣出一盒，將獲利1元；若不能賣出一盒，損失0.2元。問應(yīng)訂購多少盒才能使獲利最大？由條件④，可推得隨機運籌學(xué)培訓(xùn)課件例3新華書店擬訂購一批掛歷在元旦期間出售。每出售一本可獲利8元。在元旦前不能出售，每出售一本損失12元。根據(jù)以往的經(jīng)驗，市場需求服從λ=1000泊松分布。問應(yīng)訂購多少本掛歷才能獲利最大？例4某運動時裝店在春季準備銷售一種新服裝，估計銷售情況如表。已知進價為180元/套，銷售價為300元/套，在春季末銷售為120元/套。問該店進貨多少套為宜？例3新華書店擬訂購一批掛歷在元旦期間出售。每出售一本可獲利服裝需求狀況服裝需求狀況貨物需求狀況貨物需求狀況例6設(shè)某貨物的需求量在17件至26件之間，已知需求量的分布概率如表，并且其成本價為每件5元，售價為每件10元，處理價為2元。問進貨多少時才能使總利潤的期望值最大？二、一次性訂貨的連續(xù)型隨機存儲模型假定訂貨單位成本為k元，售價為p元，單位存儲費為c1元，需求量r是連續(xù)的隨機變量，密度函數(shù)為f（r），其分布函數(shù)為F（a）=∫0af（r）dr例6設(shè)某貨物的需求量在17件至26件之間，已知需求量的分布（a>0）；c2為一次訂貨費。（1）當訂貨量為Q時，實際的銷售量只能是min[r，Q]。（2）當r>Q時，發(fā)生缺貨損失；當r<Q時，發(fā)生存儲費用。因此，需要支付的存儲費為：Cs（Q）=c1（Q-r）當r<Q時

0當r≥Q時因此，一次訂貨的盈利為：R（Q）=p?min[r，Q]-（c2+kQ）-Cs（Q）（a>0）；c2為一次訂貨費。其中，期望銷售收入為E[p?min{r，Q}]=p∫0Qrf（r）dr+p∫Q+∞Qf（r）dr而期望費用為c1∫0Q（Q-r）f（r）dr+（c2+kQ）?？傊谕麧橢[R（Q）]為E[R（Q）]=p∫0Qrf（r）dr+p∫Q+∞Qf（r）dr-c1∫0Q（Q-r）f（r）dr-（c2+kQ）=p∫0+∞r(nóng)f（r）dr-p∫Q+∞r(nóng)f（r）dr+p∫Q+∞Qf（r）dr-c1∫0Q（Q-r）f（r）dr-（c2+kQ）其中，期望銷售收入為=pE（r）-[p∫Q+∞（r-Q）f（r）dr+c1∫0Q（Q-r）f（r）dr+（c2+kQ）]令E[C（Q）]=p∫Q+∞（r-Q）f（r）dr+c1∫0Q（Q-r）f（r）dr+（c2+kQ）由于利潤的最大化等價于成本的最小化，因而由極值原理有：dE[C（Q）]/dQ=c1∫0Qf（r）dr-p∫Q+∞f（r）dr+k在dE[C（Q）]/dQ=0時，令F（Q）=∫0Qf（r）dr=pE（r）-[p∫Q+∞（r-Q）f（r）dr+c1∫0Q有：c1F（Q）-p[1-F（Q）]+k=0，即F（Q）=（p-k）/（c1+p）再由該式解出Q，即為E[C（Q）]的最小值點。討論：1）當p-k<0時，由于需求量為Q的概率為F（Q）>0，因而上式中的Q取0值，即當售價低于進價時，以不訂貨為佳。2）如果單位缺貨損失c3>p，則應(yīng)以c3為單位缺貨損失代替p（缺貨喪失的不僅僅是銷售機會，還有企業(yè)的信譽），此時有有：c1F（Q）-p[1-F（Q）]+k=0，即F（Q）=（c3-k）/（c1+c3）3）對正態(tài)分布，首先確定（p-k）/（c1+p）的值；再由F（z）=∫0zf（r）dr確定積分上限z值；最后由z=（x-μ）/σ可以推導(dǎo)出x=Q的值。例4某公司出售某種商品，其單位成本為10元/件，單位售價為15元/件，單位存儲費用為2元/件。需求量為隨機變量，且服從正態(tài)分布N（200，302）。假設(shè)只許訂貨一次，試確定最佳訂貨量。例5假定某市場每天對蔬菜的需求量是連續(xù)型隨F（Q）=（c3-k）/（c1+c3）機變量ξ（單位：千克）。蔬菜的需求量服從[1000，2000]上的均勻分布。假定每出售蔬菜1千克，可獲利0.3元；但假如銷售不出，則浪費保養(yǎng)費0.1元/千克。問題：每天組織多少千克蔬菜，才能使收益最大？機變量ξ（單位：千克）。蔬菜的需求量服從[1000，2000伍、多周期隨機型存儲模型一、多周期隨機型存儲定點（量）控制模型考慮正態(tài)分布的模型環(huán)境：1、提前期確定、需求不確定的定點（量）控制系統(tǒng)的存儲模型假設(shè)用B表示單位產(chǎn)品計的訂貨點，d表示每天的平均需求量，L表示以天計的訂貨提前期，σ表示提前期中每天需求的標準差，SL表示服務(wù)水平。訂貨點由：P{提前期內(nèi)的需求≤B}≥SL伍、多周期隨機型存儲模型一、多周期隨機型存儲定點（量）控制模由提前期內(nèi)每天的需求服從正態(tài)分布N（d，σ2），則提前期內(nèi)的需求服從正態(tài)分布N（Ld，Lσ2）。因此，正態(tài)分布標準化為：P{（提前期內(nèi)的需求-Ld）/L1/2σ

≤（B-Ld）/L1/2σ}≥SL由正態(tài)分布表，知（B-Ld）/L1/2σ=zSL，因而B=Ld+L1/2σzSL其中，

L1/2σzSL為安全庫存量。B的值扣除安全庫存量，就是提前期內(nèi)的平均需求量。由提前期內(nèi)每天的需求服從正態(tài)分布N（d，σ2），則提前期內(nèi)的例1家家樂超市的中華牙膏每天的需求量為40支，需求變動的標準差為10，訂貨提前期為12天，如果家家樂超市希望中華牙膏不出現(xiàn)缺貨的概率要不小于95%，假設(shè)提前期12天是確定的，則對于中華牙膏這種商品應(yīng)該訂貨點設(shè)置在什么水平才能保證不缺貨的概率為95%？2、需求確定、提前期不確定的定點（量）控制系統(tǒng)的存儲模型假設(shè)用B表示單位產(chǎn)品計的訂貨點，d表示每天的需求量，L表示以天計的平均訂貨提前期，σL表示訂貨提前期的標準差，SL表示服務(wù)水平。例1家家樂超市的中華牙膏每天的需求量為40支，需求變動的標訂貨點由：P{提前期內(nèi)的需求≤B}≥SL提前期服從正態(tài)分布N（L，σL2），則提前期內(nèi)的需求服從正態(tài)分布N（dL，d2σL2）。標準化正態(tài)分布為：P{（提前期內(nèi)的需求-Ld）/dσL

≤（B-Ld）/dσL}≥SL由正態(tài)分布知，（B-Ld）/dσL=zSL，則B=Ld+dσLzSL訂貨點由：其中，dσLzSL為安全庫存量，B的值扣除安全庫存量，就是提前期內(nèi)的平均需求量。例2某超市的綠箭牌口香糖每天的需求量較為穩(wěn)定，需求量為60盒，但是這種商品的訂貨提前期很不穩(wěn)定，有時需要5天，而有時卻需要15天。通過對供應(yīng)商的供貨提前期進行統(tǒng)計檢驗得知提前期的分布服從正態(tài)分布，平均提前期為8天，提前期的標準差為5天。假定該超市希望綠箭牌口香糖不出現(xiàn)缺貨的概率不小于95%，則綠箭牌口香糖的訂貨點應(yīng)設(shè)置為多少？其中，dσLzSL為安全庫存量，B的值扣除安全庫存量，就是提3、需求不確定、提前期不確定的定點（量）控制系統(tǒng)的存儲模型假定需求和提前期是相互獨立的，用B表示單位產(chǎn)品計的訂貨點，d表示每天的平均需求量，L表示以天計的平均訂貨提前期，σL表示訂貨提前期的標準差，σ表示需求的標準差，SL表示服務(wù)水平，則訂貨點為B=d×L+zSL（Lσ2+d2σL2）1/2例3假定某超市的牛奶需求量和需求時間都很不穩(wěn)定，根據(jù)歷史資料統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：牛奶的平均需求3、需求不確定、提前期不確定的定點（量）控制系統(tǒng)的存儲模型量為200箱，標準差為10箱，而提前期平均為15天，標準差4天。要使該超市的牛奶不出現(xiàn)缺貨的概率不小于95%，則牛奶的訂貨點應(yīng)設(shè)置為多少？二、多周期隨機型存儲定期控制模型在多周期隨機型存儲定期控制模型中，需要確定訂貨周期和目標庫存水平。1、訂貨周期的確定經(jīng)濟訂貨次數(shù)=年需求量÷經(jīng)濟訂貨批量訂貨周期=12÷經(jīng)濟訂貨次數(shù)（單位為月）量為200箱，標準差為10箱，而提前期平均為15天，標準差42、目標庫存水平的確定訂貨量有兩個用途：一是為了滿足訂貨周期加上訂貨提前期內(nèi)的平均需求量，二是為了滿足安全庫存的需求。把訂貨周期加上訂貨提前期的時期稱為訂貨保管期。在定期控制系統(tǒng)中，在訂貨周期T進行再訂購，固定提前期為L，需求是隨機分布的且均值為d，訂貨量為：訂貨量=保管期內(nèi)的平均需求量+安全庫存-現(xiàn)有庫存2、目標庫存水平的確定定期控制系統(tǒng)現(xiàn)有庫存時間安全庫存訂貨周期Ss第一個訂單量收到訂單1的貨下第一個訂單收到訂單2的貨第二個訂單量第一個提前期下第二個訂單定期控制系統(tǒng)現(xiàn)有時間安全訂貨周期Ss第一個訂單量收到訂單1的Q=d（T+L）+zσT+L-I其中，Q——訂購量

T——兩次盤點間的間隔天數(shù)

L——提前期的天數(shù)（下訂單與收到貨物之間的時間長度）

d——預(yù)測的日平均需求量

z——特定服務(wù)水平概率下的標準倍數(shù)

σT+L——盤點周期與提前期期間需求的標準差Q=d（T+L）+zσT+L-II——現(xiàn)有庫存水平（包括已訂購而尚未到達的）。例4某企業(yè)的自行車每天的需求量為10輛，標準差為3輛。訂貨周期為30天，提前期為14天。管理部門制定的目標是要滿足98%的對庫存物料的需求。在盤點周期開始時，庫存中有200輛自行車，求訂購量應(yīng)該是多少？I——現(xiàn)有庫存水平（包括已訂購而尚未到達的）。伍、（s，S）型存儲模型一、需求為連續(xù)的隨機變量設(shè)貨物單位成本為K，單位存儲費為C1，單位缺貨費為C2，每次訂貨費為C3，需求r是隨機變量，密度函數(shù)為Φ（r），∫Φ（r）dr=1，分布函數(shù)為F（a）=∫0aΦ（r）dr，期初存儲為I，訂貨量為Q，期初存儲達到S=I+Q。目標是確定Q的值使損失的期望值最小。期初存儲I為常量，訂貨量為Q，則期初存儲達到S=I+Q，本階段需訂貨費C3+KQ，本階段需付存伍、（s，S）型存儲模型一、需求為連續(xù)的隨機變量儲費用的期望值為∫0S

C1（S-r）Φ（r）dr，需付缺貨費用的期望值為∫s∞

C2（r-S）Φ（r）dr，因此訂貨費、存儲費及缺貨費之和為C（S）=C3+KQ+∫0S

C1（S-r）Φ（r）dr+∫s∞

C2（r-S）Φ（r）dr=C3+KQ+C1S∫0S

Φ（r）dr-C1

∫0S

rΦ（r）dr+C2

∫s∞

rΦ（r）dr-C2

S

∫s∞

Φ（r）dr=C3+K（S-I）+C1S∫0S

Φ（r）dr-C1

∫0S

rΦ（r）dr+C2

∫s∞

rΦ（r）dr-C2

S

∫s∞

Φ（r）dr儲費用的期望值為∫0SC1（S-r）Φ（r）dr，需付缺貨dC（S）/dS=K+C1∫0S

Φ（r）dr-C2

∫s∞

Φ（r）dr=0，有F（S）=∫0S

Φ（r）dr=（C2-K）/（C1+C2）稱為臨界值，并且小于1。因此，存儲策略為：由∫0S

Φ（r）dr=N，確定S的值，再由Q=S-I確定訂貨量。對于模型中的訂購費C3，如果本階段不訂貨可以節(jié)省訂購費C3，可以設(shè)想是否存在一個數(shù)值s（s≤S）使下面不等式成立：Ks+C1∫0s

（s-r）Φ（r）dr+C2

∫s∞

（r-s）Φ（r）dr≤C3+KS+C1∫0S

（S-r）Φ（r）dr+dC（S）/dS=K+C1∫0SΦ（r）dr-C2∫sC2

∫S∞

（r-S）Φ（r）dr當s=S時，不等式成立。當s<S時，不等式右端存儲費用期望值大于左端存儲費用期望值，右端缺貨費用期望值小于左端缺貨費用期望值。如果有至少一個s的值使下列不等式成立，則選其中最小者作為（s，S）存儲策略的s。C3+K（S-s）+C1[∫0S

（S-r）Φ（r）dr-∫0s

（s-r）Φ（r）dr]+C2[∫S∞

（r-S）Φ（r）dr-∫s∞

（r-s）Φ（r）dr]≥0C2∫S∞（r-S）Φ（r）dr相應(yīng)的存儲策略是：每階段初期檢查存儲，當庫存I<s時，需要訂貨，訂貨數(shù)量為Q，Q=S-I；當庫存I≥s時，本階段不訂貨。二、需求是離散的隨機變量設(shè)需求r取值為r0，r1，…，rm（ri<ri+1

），其概率為P（r0），P（r1），…，P（rm），且∑P（ri）=1，原有存儲量為I，并且在本階段內(nèi)為常量，當本階段開始時訂貨量為Q，存儲量達到I+Q，本階段所需的各種費用為：相應(yīng)的存儲策略是：每階段初期檢查存儲，當庫存I<s時，需要訂（1）訂貨費：C3+KQ（2）存儲費：當需求r<I+Q時，未能售出的存儲部分需要支付存儲費；當需求r≥I+Q時，不需要支付存儲費。因此，存儲費的期望值為：∑r≤I+QC1（I+Q-r）P（r）（r=I+Q時，不支付存儲費及缺貨費）（3）缺貨費：當需求r>I+Q時，（r-I-Q）部分需支付缺貨費因此，缺貨費的期望值為：∑r>I+QC2（r-I-Q）P（r）（1）訂貨費：C3+KQ綜上所述，本階段所需訂貨費、存儲費和缺貨費之和為：C（S）=C（I+Q）=C3+KQ+∑r≤I+QC1（I+Q-r）P（r）+∑r>I+QC2（r-I-Q）P（r）=C3+K（S-I）+∑r≤SC1（S-r）P（r）+∑r>SC2（r-S）P（r），求出S值使C（S）最小。求解方法如下：（1）將需求r的隨機變量值按大小順序排列為r0，r1，…，rm，ri<ri+1，

ri+1-

ri=⊿ri≠0（i=1，2，…，m）綜上所述，本階段所需訂貨費、存儲費和缺貨費之和為：（2）S只從r0，r1，…，rm中取值。當S取值為ri

時，記為Si，⊿Si=Si+1-Si=

ri+1-

ri=⊿ri≠0（i=1，2，…，m）（3）求S的值使C（S）最小。得到：∑r≤S（i-1）P（r）<（C2-K）/（C1+C2）≤∑r≤S（i）P（r）求出Si為S，本階段訂貨量為Q=S-I。例1某公司利用塑料制成產(chǎn)品出售，已知每箱塑料購價為800元，訂購費C3=60元，存儲費每箱為（2）S只從r0，r1，…，rm中取值。當S取值為ri時，C1=40元，缺貨費每箱C2=1015元，原有存儲量I=10箱。已知對原料需求的概率為P（30）=0.20，P（40）=0.20，P（50）=0.40，P（60）=0.20，求該公司訂購原料的最佳訂購量。例2某工廠在一段時間內(nèi)對某一產(chǎn)品的需求量是一隨機變量，如表。每次訂購費為500元，每月存儲費用為50元，，每月每件缺貨費為1000元，每件單價為600元，采用（s，S）策略求存儲方案。C1=40元，缺貨費每箱C2=1015元，原有存儲量I=1隨機運籌學(xué)培訓(xùn)課件演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！隨機運籌學(xué)之6隨機庫存論隨機運籌學(xué)之6壹、庫存論一、庫存庫存是為了滿足未來需求而暫時閑置的有價值的資源。其含義有兩點：一是資源，凡是人、財、物、信息等有形的實物和無形的物質(zhì)都可以作為資源的范疇，如汽車、電視機、服裝、電影、民航座位、醫(yī)療、咨詢等；二是有價值的資源，有些資源可以滿足未來的需求，但不一定具有價值，如空氣、陽光等，可以隨時隨地獲得，但在獲取時并不需壹、庫存論一、庫存要付出代價。無論是生產(chǎn)領(lǐng)域還是流通領(lǐng)域，庫存是普遍存在的。從宏觀上來看，一個國家全國范圍內(nèi)的生產(chǎn)出來的產(chǎn)品，平均將有2~3個月的庫存期。庫存大部分在生產(chǎn)領(lǐng)域和流通領(lǐng)域，約占總庫存的90%左右。二、庫存的類型對于一個生產(chǎn)企業(yè)來講，庫存主要有以下類型：1、原材料庫存要付出代價。未經(jīng)加工被直接用于生產(chǎn)產(chǎn)品的材料的庫存，其主要作為投入使用，如鋼材、木板、染料等的庫存。2、零部件庫存已經(jīng)過一定的加工被直接用于生產(chǎn)產(chǎn)品的材料的庫存，其主要作為組成部件，如發(fā)動機、CPU、電機等的庫存。3、在制品庫存在完成最終加工之前的物品的庫存。4、成品庫存未經(jīng)加工被直接用于生產(chǎn)產(chǎn)品的材料的庫存，其主要作為投入使用，已完成最終加工的物品的庫存。5、備件、工具、設(shè)備等的庫存用來生產(chǎn)產(chǎn)品的物品的庫存。對于一個流通企業(yè)來講，產(chǎn)品要經(jīng)過流通加工，庫存主要有以下類型：1、流通加工前產(chǎn)品庫存從生產(chǎn)廠家購進的成品，但還未進行流通加工的產(chǎn)品的庫存。2、流通加工后產(chǎn)品庫存已完成最終加工的物品的庫存。已進行了流通加工的產(chǎn)品的庫存。三、庫存的作用1、獲取規(guī)模效益由于生產(chǎn)能力設(shè)計等原因，一定規(guī)模的生產(chǎn)才會使單位成本最低，因而庫存可以獲取規(guī)模效益。2、應(yīng)對不確定性因素市場需求的不確定、供應(yīng)商交貨不確定、產(chǎn)品質(zhì)量的不確定都需要庫存來應(yīng)對，以免導(dǎo)致需求的損失。已進行了流通加工的產(chǎn)品的庫存。3、平穩(wěn)生產(chǎn)過程在需求高峰時期突擊性地擴大生產(chǎn)能力是不現(xiàn)實的，需要通過庫存來滿足高峰時的需求。4、投機行為在產(chǎn)品價格發(fā)生變化時，可以通過庫存來獲利或避免損失。5、最低采購量供應(yīng)商往往對采購方具有最低采購量的限制，當需求不足時，只能通過庫存來慢慢消耗。3、平穩(wěn)生產(chǎn)過程四、庫存管理的任務(wù)（一）庫存的系統(tǒng)分析最簡單的庫存系統(tǒng)至少由補貨環(huán)節(jié)、倉儲環(huán)節(jié)、市場環(huán)節(jié)所組成。如果以倉儲環(huán)節(jié)為中心，補貨環(huán)節(jié)可以是上游供應(yīng)商，也可以是本企業(yè)內(nèi)部的前置車間或工序，市場環(huán)節(jié)可以是終端顧客，也可以是下游企業(yè)，還可以是本企業(yè)內(nèi)部的后續(xù)車間或工序。庫存管理的對象是對整個庫存系統(tǒng)進行管理，補四、庫存管理的任務(wù)庫存系統(tǒng)倉儲環(huán)節(jié)補貨環(huán)節(jié)市場環(huán)節(jié)物流方向庫存系統(tǒng)倉儲環(huán)節(jié)補貨環(huán)節(jié)市場環(huán)節(jié)物流方向貨環(huán)節(jié)不斷地將貨物補充到倉儲環(huán)節(jié)，貨物在倉儲環(huán)節(jié)被暫時儲存后，再被送往市場環(huán)節(jié)。補貨活動具有一定的主動性，依管理者的決策而定，而向市場的出貨則一般是被動的活動，每當市場產(chǎn)生需求時才實施出貨活動。補貨活動會帶來成本，貨物在倉儲環(huán)節(jié)的儲存也會帶來成本，出貨活動同樣帶來成本。（二）影響庫存系統(tǒng)成本的主要因素1、貨物補充的批量貨環(huán)節(jié)不斷地將貨物補充到倉儲環(huán)節(jié)，貨物在倉儲環(huán)節(jié)被暫時儲存后對于補貨活動，成本主要受補貨批量的影響。一般地，補貨批量越大，規(guī)模效益可使邊際成本下降得越多。2、貨物補充的時機對于出貨活動，它與市場相關(guān)聯(lián)。一方面，通過實施出貨活動直接獲得收益；另一方面，如果市場產(chǎn)生了需求而因補貨不能及時滿足需求時，不僅不能獲得收益，而且還可能會招致懲罰成本。缺貨成本主要受補貨時機的影響，如果遲遲不補貨，致使貨源緊缺，則缺貨懲罰成本就會升高。對于補貨活動，成本主要受補貨批量的影響。一般地，補貨批量越大補物時機可以通過查看庫存量來確定，比如當庫存量降低到某一值時就進行貨物補充。貨物補充時機將直接影響到對客戶的服務(wù)水平，如果補貨時機對應(yīng)的庫存量越高，則對客戶的服務(wù)水平也就越高，缺貨的懲罰成本就會越低。關(guān)于貨物在倉儲環(huán)節(jié)的儲存所造成的成本，補貨時機和補貨批量都會產(chǎn)生影響。庫存量越高，對應(yīng)的成本也就越高。因此，補貨時機對應(yīng)的庫存量越高，或補貨批量越大，成本也就越高。補物時機可以通過查看庫存量來確定，比如當庫存量降低到某一值時（三）庫存管理的主要任務(wù)庫存管理的目標就是通過補貨時機和補貨批量來控制庫存系統(tǒng)的運行成本。庫存管理的主要任務(wù)就是確定最優(yōu)的補貨時機和最優(yōu)的補貨批量，使庫存系統(tǒng)的運行成本（包括客戶服務(wù)水平）達到最小。五、庫存管理與倉儲管理的區(qū)別倉儲管理主要涉及庫房的規(guī)劃與設(shè)計、貨架的設(shè)置、分揀的原理、進出貨的規(guī)劃、物料的搬運方（三）庫存管理的主要任務(wù)式等。庫存管理屬于上層決策的范疇，而倉儲管理則屬于底層操作的范疇。式等。貳、隨機型存儲模型概述一、庫存系統(tǒng)的分類一個庫存系統(tǒng)包含許多參數(shù)，比如市場需求、補貨單價、持貨成本系數(shù)、缺貨懲罰成本系數(shù)、補貨啟動費用、補貨提前期等。如果在庫存系統(tǒng)運行過程中，這些參數(shù)都是確定的，則這個庫存系統(tǒng)是確定性的庫存系統(tǒng)。在許多實際庫存系統(tǒng)中，有一些參數(shù)可能是不確定的。例如，最常見的是需求的不確定性。當這些參數(shù)屬于系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)，在一定程度上還可以貳、隨機型存儲模型概述一、庫存系統(tǒng)的分類控制，但市場往往是難以控制的，充其量只能施加一定的影響而已。在庫存系統(tǒng)中，通常用隨機變量來刻畫市場需求的不確定性。隨機變量的分布可以是離散形式，如泊松分布等，也可以是連續(xù)形式，如正態(tài)分布等。庫存系統(tǒng)中只要有一個參數(shù)是隨機變量，則整個系統(tǒng)就變成了隨機模型。對隨機模型而言，確定其評價準則是解決問題的關(guān)鍵。二、隨機型存儲模型的特點控制，但市場往往是難以控制的，充其量只能施加一定的影響而已。隨機型存儲模型的主要特點是需求是隨機的，其概率和分布是已知的。例如，一個商場對某種商品每天的銷售量就是隨機的，1000件商品可能在一個月內(nèi)售完，也可能下個月之后還有剩余。隨機型存儲模型的還有一個重要特點是，是否允許缺貨，一般都可使用概率來表達。例如，如果要求的保證概率為90%，那么缺貨的概率就是10%，即10次訂貨允許缺貨一次。隨機型存儲模型的主要特點是需求是隨機的，其概率和分布是已知的三、隨機型存儲模型的類型1、單周期隨機存儲模型所謂單周期隨機存儲模型是指在一個周期內(nèi)只訂貨一次，周期末庫存貨物與下一個周期的訂貨量沒有關(guān)系，在各周期之間的訂貨量和銷售量是相互獨立的。典型的單周期隨機存儲模型是“報童問題”，因為報紙當天若賣不出去，第二天就過時而喪失了新聞價值。單周期隨機存儲模型將一個存儲周期作為時間最三、隨機型存儲模型的類型小單位，而在周期開始時作一次決策，確定訂貨量。單周期隨機存儲模型又根據(jù)需求量是離散的或連續(xù)的分為隨機離散型和隨機連續(xù)型。2、多周期隨機存儲模型多周期隨機存儲模型是指訂貨機會周期地出現(xiàn)，即在一個階段開始時存儲量為I，訂貨量為Q，若供應(yīng)不足，則I便承擔缺貨；若供應(yīng)有余，則將多余部分存儲起來，存儲量達到I+Q。小單位，而在周期開始時作一次決策，確定訂貨量。四、隨機存儲模型的訂貨策略1、定期訂貨策略定期訂貨策略是指確定一個固定的訂貨周期，每個周期都只根據(jù)上一周期末剩余的存儲量來確定當期的訂貨量，即剩下的存儲量小就多訂貨，剩下的存儲量大就少訂貨，甚至可以不訂貨。定期訂貨策略下訂貨時間固定，而每次訂貨的數(shù)量是不確定的。2、定點訂貨策略四、隨機存儲模型的訂貨策略定點訂貨策略是指確定一個固定的訂貨點，每當庫存下降到訂貨點時就組織訂貨。定點訂貨策略下每次訂貨數(shù)量確定，而訂貨時間是不確定的。因此，要保證按訂貨點訂貨，要求必須對庫存進行連續(xù)的監(jiān)控或記錄。3、定期與定點相結(jié)合的策略定期與定點相結(jié)合的策略是指每隔一定時間對庫存檢查一次，如果庫存數(shù)量大于訂貨點s，就不訂貨；如果庫存數(shù)量小于訂貨點s，就組織訂貨，并使得補充后的存儲數(shù)量達到S。因此，這種策略也定點訂貨策略是指確定一個固定的訂貨點，每當庫存下降到訂貨點時簡稱為（s，S）策略。簡稱為（s，S）策略。叁、隨機庫存的服務(wù)水平一、隨機庫存系統(tǒng)的評價準則對隨機庫存系統(tǒng)，最常見的評價準則有概率準則、期望值準則、方差準則等。在庫存系統(tǒng)中，通常用成本或收益作為系統(tǒng)的績效指標，而評價準則多采用期望值準則，確定補貨時機和補貨批量，使系統(tǒng)成本的期望值達到最小，或使系統(tǒng)收益的期望值達到最大等。叁、隨機庫存的服務(wù)水平一、隨機庫存系統(tǒng)的評價準則肆、單周期隨機型存儲模型一、一次性訂貨的離散型隨機存儲模型例1某商場擬在新年期間出售一批新年賀卡，每售出1千張可盈利7元。如果在新年期間不能售完，就必須削價處理，則1千張?zhí)潛p4元，定能售完。根據(jù)以往的經(jīng)驗，市場需求的概率為下表：問：每年只能訂貨一次，問訂購賀卡幾千張才能使獲利最大或損失最?。?）計算盈利期望值最大的方法2）計算損失期望值最小的方法肆、單周期隨機型存儲模型一、一次性訂貨的離散型隨機存儲模型市場需求的概率信息市場需求的概率信息盈利期望值最大方法盈利期望值最大方法一般地，模型假設(shè)：Q——訂貨量；r——隨機需求變量；P（r）——需求為r的概率；k——單位收益；h——單位損失。1、計算盈利期望值最大的模型可設(shè)出賀卡數(shù)量為r（千張），其概率為P（r）為已知，∑r=0，…，∞P（r）=1，訂貨數(shù)量為Q。一般地，模型假設(shè)：（1）當供過于求（r≤Q）時，只能銷售出r千張賀卡，每千張賺k元，共賺k?r元，沒有銷售出去的賀卡，每千張賠h元，則滯銷損失為h（Q-r）元。因此，盈利的期望值為∑r=0，…，Q[k?r-h（Q-r）]P（r）（2）當供不應(yīng)求（r＞Q）時，因為只有Q千張賀卡可供出售，共賺k?Q元，無滯銷損失。因此，盈利期望值為∑r=Q+1，…，∞k?Q?P（r）因而，當訂貨量為Q時，其盈利的期望值為（1）當供過于求（r≤Q）時，只能銷售出r千張賀卡，每千張賺R（Q）=∑r=0，…，Q[k?r-h（Q-r）]P（r）+∑r=Q+1，…，∞k?Q?P（r）在r為離散變量的情況下，要使訂貨量Q時的盈利期望值最大，則應(yīng)滿足下列關(guān)系式：①R（Q+1）≤R（Q）②R（Q-1）≤R（Q）由條件①，可推得∑r=0，…，QP（r）≥k/（k+h）由條件②，可推得R（Q）=∑r=0，…，Q[k?r-h（Q-r）]P（r∑r=0，…，Q-1P（r）≤k/（k+h）因此，最佳訂貨量Q應(yīng)按下式確定：∑r=0，…，Q-1P（r）≤k/（k+h）≤∑r=0，…，QP（r）2、計算損失期望值最小的模型①當供過于求（r≤Q）時，因為不能銷售出去而承擔損失。因此，損失的期望值為∑r=0，…，Q[h（Q-r）]P（r）②當供不應(yīng)求（r＞Q）時，因為缺貨而失去賺錢的機會。因此，損失的期望值為∑r=0，…，Q-1P（r）≤k/（k+h）∑r=Q+1，…，∞k?（r-Q）P（r）因而，損失的期望值為C（Q）=∑r=0，…，Q[h（Q-r）]P（r）+∑r=Q+1，…，∞k?（r-Q）P（r）同樣地，其損失的期望值應(yīng)滿足③C（Q）≤C（Q+1）④C（Q）≤C（Q-1）由條件③，可推得∑r=0，…，QP（r）≥k/（k+h）∑r=Q+1，…，∞k?（r-Q）P（r）由條件④，可推得∑r=0，…，Q-1P（r）≤k/（k+h）因而，綜合條件③

和④，有最佳訂貨量條件為∑r=0，…，Q-1P（r）≤k/（k+h）≤∑r=0，…，QP（r）與盈利期望值最大模型結(jié)論完全一致。例2已知某地有一天將有許多人聚集。盒飯的需求量是一個離散型隨機變量。若賣出一盒，將獲利1元；若不能賣出一盒，損失0.2元。問應(yīng)訂購多少盒才能使獲利最大？由條件④，可推得隨機運籌學(xué)培訓(xùn)課件例3新華書店擬訂購一批掛歷在元旦期間出售。每出售一本可獲利8元。在元旦前不能出售，每出售一本損失12元。根據(jù)以往的經(jīng)驗，市場需求服從λ=1000泊松分布。問應(yīng)訂購多少本掛歷才能獲利最大？例4某運動時裝店在春季準備銷售一種新服裝，估計銷售情況如表。已知進價為180元/套，銷售價為300元/套，在春季末銷售為120元/套。問該店進貨多少套為宜？例3新華書店擬訂購一批掛歷在元旦期間出售。每出售一本可獲利服裝需求狀況服裝需求狀況貨物需求狀況貨物需求狀況例6設(shè)某貨物的需求量在17件至26件之間，已知需求量的分布概率如表，并且其成本價為每件5元，售價為每件10元，處理價為2元。問進貨多少時才能使總利潤的期望值最大？二、一次性訂貨的連續(xù)型隨機存儲模型假定訂貨單位成本為k元，售價為p元，單位存儲費為c1元，需求量r是連續(xù)的隨機變量，密度函數(shù)為f（r），其分布函數(shù)為F（a）=∫0af（r）dr例6設(shè)某貨物的需求量在17件至26件之間，已知需求量的分布（a>0）；c2為一次訂貨費。（1）當訂貨量為Q時，實際的銷售量只能是min[r，Q]。（2）當r>Q時，發(fā)生缺貨損失；當r<Q時，發(fā)生存儲費用。因此，需要支付的存儲費為：Cs（Q）=c1（Q-r）當r<Q時

0當r≥Q時因此，一次訂貨的盈利為：R（Q）=p?min[r，Q]-（c2+kQ）-Cs（Q）（a>0）；c2為一次訂貨費。其中，期望銷售收入為E[p?min{r，Q}]=p∫0Qrf（r）dr+p∫Q+∞Qf（r）dr而期望費用為c1∫0Q（Q-r）f（r）dr+（c2+kQ）?？傊?，期望利潤E[R（Q）]為E[R（Q）]=p∫0Qrf（r）dr+p∫Q+∞Qf（r）dr-c1∫0Q（Q-r）f（r）dr-（c2+kQ）=p∫0+∞r(nóng)f（r）dr-p∫Q+∞r(nóng)f（r）dr+p∫Q+∞Qf（r）dr-c1∫0Q（Q-r）f（r）dr-（c2+kQ）其中，期望銷售收入為=pE（r）-[p∫Q+∞（r-Q）f（r）dr+c1∫0Q（Q-r）f（r）dr+（c2+kQ）]令E[C（Q）]=p∫Q+∞（r-Q）f（r）dr+c1∫0Q（Q-r）f（r）dr+（c2+kQ）由于利潤的最大化等價于成本的最小化，因而由極值原理有：dE[C（Q）]/dQ=c1∫0Qf（r）dr-p∫Q+∞f（r）dr+k在dE[C（Q）]/dQ=0時，令F（Q）=∫0Qf（r）dr=pE（r）-[p∫Q+∞（r-Q）f（r）dr+c1∫0Q有：c1F（Q）-p[1-F（Q）]+k=0，即F（Q）=（p-k）/（c1+p）再由該式解出Q，即為E[C（Q）]的最小值點。討論：1）當p-k<0時，由于需求量為Q的概率為F（Q）>0，因而上式中的Q取0值，即當售價低于進價時，以不訂貨為佳。2）如果單位缺貨損失c3>p，則應(yīng)以c3為單位缺貨損失代替p（缺貨喪失的不僅僅是銷售機會，還有企業(yè)的信譽），此時有有：c1F（Q）-p[1-F（Q）]+k=0，即F（Q）=（c3-k）/（c1+c3）3）對正態(tài)分布，首先確定（p-k）/（c1+p）的值；再由F（z）=∫0zf（r）dr確定積分上限z值；最后由z=（x-μ）/σ可以推導(dǎo)出x=Q的值。例4某公司出售某種商品，其單位成本為10元/件，單位售價為15元/件，單位存儲費用為2元/件。需求量為隨機變量，且服從正態(tài)分布N（200，302）。假設(shè)只許訂貨一次，試確定最佳訂貨量。例5假定某市場每天對蔬菜的需求量是連續(xù)型隨F（Q）=（c3-k）/（c1+c3）機變量ξ（單位：千克）。蔬菜的需求量服從[1000，2000]上的均勻分布。假定每出售蔬菜1千克，可獲利0.3元；但假如銷售不出，則浪費保養(yǎng)費0.1元/千克。問題：每天組織多少千克蔬菜，才能使收益最大？機變量ξ（單位：千克）。蔬菜的需求量服從[1000，2000伍、多周期隨機型存儲模型一、多周期隨機型存儲定點（量）控制模型考慮正態(tài)分布的模型環(huán)境：1、提前期確定、需求不確定的定點（量）控制系統(tǒng)的存儲模型假設(shè)用B表示單位產(chǎn)品計的訂貨點，d表示每天的平均需求量，L表示以天計的訂貨提前期，σ表示提前期中每天需求的標準差，SL表示服務(wù)水平。訂貨點由：P{提前期內(nèi)的需求≤B}≥SL伍、多周期隨機型存儲模型一、多周期隨機型存儲定點（量）控制模由提前期內(nèi)每天的需求服從正態(tài)分布N（d，σ2），則提前期內(nèi)的需求服從正態(tài)分布N（Ld，Lσ2）。因此，正態(tài)分布標準化為：P{（提前期內(nèi)的需求-Ld）/L1/2σ

≤（B-Ld）/L1/2σ}≥SL由正態(tài)分布表，知（B-Ld）/L1/2σ=zSL，因而B=Ld+L1/2σzSL其中，

L1/2σzSL為安全庫存量。B的值扣除安全庫存量，就是提前期內(nèi)的平均需求量。由提前期內(nèi)每天的需求服從正態(tài)分布N（d，σ2），則提前期內(nèi)的例1家家樂超市的中華牙膏每天的需求量為40支，需求變動的標準差為10，訂貨提前期為12天，如果家家樂超市希望中華牙膏不出現(xiàn)缺貨的概率要不小于95%，假設(shè)提前期12天是確定的，則對于中華牙膏這種商品應(yīng)該訂貨點設(shè)置在什么水平才能保證不缺貨的概率為95%？2、需求確定、提前期不確定的定點（量）控制系統(tǒng)的存儲模型假設(shè)用B表示單位產(chǎn)品計的訂貨點，d表示每天的需求量，L表示以天計的平均訂貨提前期，σL表示訂貨提前期的標準差，SL表示服務(wù)水平。例1家家樂超市的中華牙膏每天的需求量為40支，需求變動的標訂貨點由：P{提前期內(nèi)的需求≤B}≥SL提前期服從正態(tài)分布N（L，σL2），則提前期內(nèi)的需求服從正態(tài)分布N（dL，d2σL2）。標準化正態(tài)分布為：P{（提前期內(nèi)的需求-Ld）/dσL

≤（B-Ld）/dσL}≥SL由正態(tài)分布知，（B-Ld）/dσL=zSL，則B=Ld+dσLzSL訂貨點由：其中，dσLzSL為安全庫存量，B的值扣除安全庫存量，就是提前期內(nèi)的平均需求量。例2某超市的綠箭牌口香糖每天的需求量較為穩(wěn)定，需求量為60盒，但是這種商品的訂貨提前期很不穩(wěn)定，有時需要5天，而有時卻需要15天。通過對供應(yīng)商的供貨提前期進行統(tǒng)計檢驗得知提前期的分布服從正態(tài)分布，平均提前期為8天，提前期的標準差為5天。假定該超市希望綠箭牌口香糖不出現(xiàn)缺貨的概率不小于95%，則綠箭牌口香糖的訂貨點應(yīng)設(shè)置為多少？其中，dσLzSL為安全庫存量，B的值扣除安全庫存量，就是提3、需求不確定、提前期不確定的定點（量）控制系統(tǒng)的存儲模型假定需求和提前期是相互獨立的，用B表示單位產(chǎn)品計的訂貨點，d表示每天的平均需求量，L表示以天計的平均訂貨提前期，σL表示訂貨提前期的標準差，σ表示需求的標準差，SL表示服務(wù)水平，則訂貨點為B=d×L+zSL（Lσ2+d2σL2）1/2例3假定某超市的牛奶需求量和需求時間都很不穩(wěn)定，根據(jù)歷史資料統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：牛奶的平均需求3、需求不確定、提前期不確定的定點（量）控制系統(tǒng)的存儲模型量為200箱，標準差為10箱，而提前期平均為15天，標準差4天。要使該超市的牛奶不出現(xiàn)缺貨的概率不小于95%，則牛奶的訂貨點應(yīng)設(shè)置為多少？二、多周期隨機型存儲定期控制模型在多周期隨機型存儲定期控制模型中，需要確定訂貨周期和目標庫存水平。1、訂貨周期的確定經(jīng)濟訂貨次數(shù)=年需求量÷經(jīng)濟訂貨批量訂貨周期=12÷經(jīng)濟訂貨次數(shù)（單位為月）量為200箱，標準差為10箱，而提前期平均為15天，標準差42、目標庫存水平的確定訂貨量有兩個用途：一是為了滿足訂貨周期加上訂貨提前期內(nèi)的平均需求量，二是為了滿足安全庫存的需求。把訂貨周期加上訂貨提前期的時期稱為訂貨保管期。在定期控制系統(tǒng)中，在訂貨周期T進行再訂購，固定提前期為L，需求是隨機分布的且均值為d，訂貨量為：訂貨量=保管期內(nèi)的平均需求量+安全庫存-現(xiàn)有庫存2、目標庫存水平的確定定期控制系統(tǒng)現(xiàn)有庫存時間安全庫存訂貨周期Ss第一個訂單量收到訂單1的貨下第一個訂單收到訂單2的貨第二個訂單量第一個提前期下第二個訂單定期控制系統(tǒng)現(xiàn)有時間安全訂貨周期Ss第一個訂單量收到訂單1的Q=d（T+L）+zσT+L-I其中，Q——訂購量

T——兩次盤點間的間隔天數(shù)

L——提前期的天數(shù)（下訂單與收到貨物之間的時間長度）

d——預(yù)測的日平均需求量

z——特定服務(wù)水平概率下的標準倍數(shù)

σT+L——盤點周期與提前期期間需求的標準差Q=d（T+L）+zσT+L-II——現(xiàn)有庫存水平（包括已訂購而尚未到達的）。例4某企業(yè)的自行車每天的需求量為10輛，標準差為3輛。訂貨周期為30天，提前期為14天。管理部門制定的目標是要滿足98%的對庫存物料的需求。在盤點周期開始時，庫存中有200輛自行車，求訂購量應(yīng)該是多少？I——現(xiàn)有庫存水平（包括已訂購而尚未到達的）。伍、（s，S）型存儲模型一、需求為連續(xù)的隨機變量設(shè)貨物單位成本為K，單位存儲費為C1，單位缺貨費為C2，每次訂貨費為C3，需求r是隨機變量，密度函數(shù)為Φ（r），∫Φ（r）dr=1，分布函數(shù)為F（a）=∫0aΦ（r）dr，期初存儲為I，訂貨量為Q，期初存儲達到S=I+Q。目標是確定Q的值使損失的期望值最小。期初存儲I為常量，訂貨量為Q，則期初存儲達到S=I+Q，本階段需訂貨費C3+KQ，本階段需付存伍、（s，S）型存儲模型一、需求為連續(xù)的隨機變量儲費用的期望值為∫0S

C1（S-r）Φ（r）dr，需付缺貨費用的期望值為∫s∞

C2（r-S）Φ（r）dr，因此訂貨費、存儲費及缺貨費之和為C（S）=C3+KQ+∫0S

C1（S-r）Φ