軟件及教程-數(shù)字圖像邊緣檢測

種算法和算子做了總結和分析。Canny最早提出了邊緣檢測的三條連續(xù)準則:最基礎上給出了邊緣檢測的離散準則,并且證明在離散準則中Canny第三CannyVC++實現(xiàn)了這種算：邊緣檢測，線性濾波器，CannyEdgedetectionisimportantinimageprocession.Thispapermadeasummaryandysisofedgedetectingalgorithmandedgedetector.Cannyhasproposedthreecontinuouscriteriatocomparetheperformanceofdifferentfilters:gooddetection,goodlocalizationandlow-responses.Basedonthesecriteriahegotoptimalfilterforedgedetection:derivativeofGaussianfunction.Aftermorethantenyearsresearch,Canny’stheoryhasbeenamelioratedinmanyaspects,thispaperalsomadeareviewofit.Basedonthepracticeandtheory.DemignygavethreediscretecriteriaforedgedetectionlikeCanny’scriteriaandhehasproofedthatthethirdcriterioncanbereplacedbyanappropriatethresholdingoperation.ThispaperusednumericalmethodtogettheoptimalfilterandsmoothoperatorundertheDemigny’scriteria.ThenIcombinethesefiltersandCanny’sedgedetectingtechniquetogetanintegratededgedetectingalgorithm.IhaveimplementedthealgorithmusingVC++.Fromtheresultsoftheprogramformanyimagesthisfilterandalgorithmareeffective.:edgedetection,linearfilter,canny’scratria,discretecriteria,前 數(shù)字圖像及數(shù)字圖像處 邊緣及邊緣檢 總體結 邊緣檢測Roberts算 Prewitt算子和Sobel算 KirschHueckel2.5FreiChen2.6Wallis2.7MarrHildreth2.8Facet2.9Nalwa2.10TorrePoggio:2.11邊緣檢測的Green函數(shù)方 小波邊緣檢 邊緣檢測的一種概率方 任意曲面上圖像邊緣的檢測基于張量的方 數(shù)學形態(tài)學方 CannyCannyCanny連續(xù)準則極及其算 在Canny準則基礎上邊緣檢測的發(fā) Canny連續(xù)準則存在的問 邊緣檢測的Canny基本符號定 邊緣檢測的離散三準 最優(yōu)檢測-最優(yōu)定位聯(lián)合準則下的最優(yōu)濾波器的計 綜合考慮、、xmax時的最優(yōu)濾波 各種濾波器性能對 完整的邊緣檢測檢測算 平滑算子的計 雙閥值的計 算法的完整實 算法的VC++實現(xiàn)和結算法的Vc++實現(xiàn)的簡單說 算法的結 結 致 參考文

xmax準則下最優(yōu)濾波器的數(shù)值計算程序及結 準則下最優(yōu)線性濾波器的計算程序及結 ..xmax共同作用下的最優(yōu)濾波器的計算程序及結 ..xmax共同作用下的近似最優(yōu)濾波器的計算程序及結 附錄五對應于最優(yōu)線性算子的平滑算子的計算程 研究邊緣檢測的文章有十分多。1959年,文獻上最早提到邊緣檢測[17]。1965年L.G.Roberts最早開始系統(tǒng)研究邊緣檢測［23。從那以后每年都會OnPattern 一種思路。Roberts算子、Prewitt算子和Sobel算子等就是比較簡單而常用的二階導數(shù)是0。［6中利用對二階零交叉點的統(tǒng)計分析得到了圖像中各個像素是邊緣的概率，厚的優(yōu)勢[50][51]，Mallat在這一方面做了不少工作。(Edgeflow)來檢測邊緣[49],[55]，還有基于張Canny[14]總結了以往理論和實踐的成果,提出邊緣檢測Canny三準則:好的檢Canny三準則的基礎上,人們進行了深入研究,得到了很多結果DidierDemigny通過長期的研究[5][4][3][1],最終提出了邊緣檢測質量的離散準則［1］，他發(fā)現(xiàn)在這種離散準則下第三個準則的作用可以被閥值操作代替，并在此基礎上得到了這個離散Canny準則下的最優(yōu)線性濾波器。［１中只給出了離散Canny準則和準則下的最優(yōu)濾波器的計算思路,但是沒有給出最終的結果。我用Mathematica計算出了寬度為1-20DidierDemigny所說的最優(yōu)線性濾波器及其對應的平滑算子。第三,使用這個濾波器和Canny邊緣檢測技術得到了一個比較好的邊緣檢測方法,并用Vc++實現(xiàn)了它。包圍中度過的。這些圖像包括文字、、圖表、插圖等，它使我們感到安適視覺信息的主要途徑。圖像是用各種觀測系統(tǒng)以不同形式和觀測客觀世界圖像是一個二元連續(xù)函f(xyxyD。函數(shù)的定義域設為(x,y)表示二中某個點的坐標，f(x,y)表示(x,y)點的灰度值，值域為f(x,y),(x,y)DD上進行抽樣:用有限個像素(PixelD,度值);在值域空間V進行量化：用有限個值代表V；由于機器設備等的原因這些像素值都是有誤差的或者是帶有隨機噪聲1.1數(shù)字圖像及其矩陣表示代表這個像素的灰度值。因此在圖像的離散模型中我們也常用M表示圖像,使用m(i,j)代表圖像的第(i,j)元。解的最終結果是圖像被分解成一些具有某種特征的最小成分:稱為圖像的基元。相對于整幅圖像來說,這種基元更容易被快速處理。圖像的特征指圖像場中可用做標志的屬性。他可以分為圖像的統(tǒng)計特征和如圖像的直方圖、距、頻譜等等;圖像的視覺特征指的是人的視覺可以直接感受到的自然特征,如區(qū)域的亮度,紋理或輪廓等。利用這兩類特征把圖像分解為1.2邊緣的類型NalwaBinford[44]認為圖像中的邊緣可以由許多的短直線段(他稱之為edgel,我們下面稱之為邊緣元)來近,每一不連續(xù)果灰度曲面在一個點的N階導數(shù)是一個Delta函數(shù),那么我們就定義灰度曲面在這個點是N線性邊緣是0階不連續(xù)的,階梯形邊緣的一階不連續(xù)的,而屋頂形邊緣是2階不連續(xù)的。第二 第六章介紹算法的VC++實現(xiàn)和算法的結果。在本章中對目前出現(xiàn)的邊緣檢測做一個比較全面的介紹[40][41]。我質量的三條準則，對邊緣檢測的發(fā)展有很大的作用，由于這部分內容在

f(f,f xffxyf fx

f(f(x,y)f(x1,y),f(x,y)f(x,y (f(i,j)(f(i,j)f(i1,j1))2(f(i,j1)f(i1,它是一個兩個22模板作用的結果(標注的是當前像素的位置 0

2.0圖 我的書桌:Roberts算子處理的結果(1963Roberts[23]提出了邊緣檢測和邊緣檢測的這個簡單算子。MachinePerceptionof3-DSolids是Roberts在1963年寫的(MIT)博士。這是一篇大家都應該閱讀的。它是最早分析圖像中的邊緣、線、模型和圖形學的文章。作者系統(tǒng)是第一個3D視覺系統(tǒng),其中有許多后來被大家常用的算多“塊”組成的，而“塊”是由邊緣組成的。作者使用他的簡單的22算子得子和Sobel算子。Prewitt邊緣檢測算子使用兩個有向算子(一個水平的，一個是垂直的，一

P

1 Prewitt算子檢測圖M的邊緣的話，我們可以先分別用水平M1，M2M中相同位置處的兩個偏導數(shù)。然后把M1，M2對應位置的兩個數(shù)平方后相加得到一個新的矩陣G,G表示M中各個像素的灰度的梯度值(一近)。然后就可以通過閥值處理 E((MP)2(MP)2) Sobel算子和Prewitt算子的不同就在于使用的模板不一 s 0 s 這些模板是怎么來的呢Mx,yxy 則梯度是(,)顯然,3×3

a

a

gx2(2agy2(2a 2G2(22

2(2ab) a=b=1/61/6Prewitt算子2倍，那么Sobel算子是比較好的。也就是算子的好壞取決于噪聲的結構。圖2.2我的書桌:Prewitt算子處理結果(圖2.3我的書桌:Sobel算子處理結果( 3 2 1 (i,

a0 7m(i,j)max{1,max{5sk4tk:k skakak1aktkak3ak4Kak

、年,Hueckel兩次在ACM上文章[26][27]，提出了一個新的算法。Hueckel算子的基本思想是：(以一維為例，假設圖像是M(x))我們利s(x) x b x

E x0l[M(x)s(x)]2x0

s(x,y) xcos()ysin() b xcos()ysin()

DE[M(x,y)s(x,y)]2 D b4

8

b0b bb1 Mb822 1 1 2 022 0 2 1 122 22

1

0 1 1

2.4Frei-ChenBV基（待續(xù)1111 114(V2i4(V2i(V2iE這里的E

8bc

對每一個點都算出這個ET>0ET一個固定的閥值)以上，則這個像素就是邊緣。像素的四鄰接像素：

(i,

0 則b(i,j)log(a(i,j))1(log(a)log(a)log(a)log(a [10]中給出了一些1980年前有關邊緣檢測的參考文獻MarrHildreth02.5所示，2.52f()f(x,y)f(x,y)f(x,

1 1

L 3

噪聲就會更敏感，因而更不穩(wěn)定。所以在做L變換之前做平滑是必需的了。又因為卷積是可結合可交換的，所以先做卷積然后用L算子做卷積就LoG濾波器(是墨西哥帽函數(shù) 2 1x2y2LoG(x,y)x2y222exp2 1x2y22

exp2 LoG濾波器由一個中心負區(qū)域(半徑為2)，然后有一個正區(qū)域(總的半徑為最小是32)圍繞著他。LoG模板做卷積，然后尋找那些零交叉像素：如果一個像素處值小于0。而且其它周圍的各個鄰接8個像素都是大于0，0是一個正部線性的。當這個條件滿足的時候，LoG算子的性能比較好；而如果這個條件緣來說這些條件，所以效果就不好。LoG算子還有一個缺點就是：它際上邊緣只是那些梯度為局部最大的點。所以說LoG算子多算了一些點。圖 LoG算子的圖為了處理的范圍的灰度變化，Marr和Hildreth使用了4個不同尺寸的函數(shù)，稱為不同的通道。將這四個不同尺度的LoG濾波器同時作用于圖像LoG的性質[8]，這個算子引起了人們的很大，1986年W.H.Lunscher和M.P.他LoG算子的優(yōu)點：和其它那些算子一樣，LoG算子也是先對邊緣作出假設，然后在這個假設下尋找邊緣像素。但是，LoG算子對邊緣的假設條件最少，因此它的應用范這些邊緣，而LoG算子的結果就沒有這個缺點；可以通過一個參數(shù)(也就是函數(shù)標準偏差)來調整LoG算子的結果。但是到底如何選擇這個參數(shù)當時并沒有。于是W.H.Lunscher和M.P.Beddoes在[46]中對LoG算子的參數(shù)選擇做了深入的討論，并研究了在噪樣和對系數(shù)進行量化，在[47]中作者又討論了這個問題。這兩篇使得LoG算法更加實用化。圖2.7是LoG算子處理的結果圖2.7我的書桌LoG算子處理的結果(Facet1984IEEERobertM.Haralick[35]對前面的工作做了一個小結,提出Facet模型。Facet模型的本質是：任何利用一個像素的鄰域中像Haralick使用離散Chebyshew正交多項式作為基底,利用當前像素鄰域中的f(r,c)kkrkckr krckc2kr3kr2ckrc 那么沿著(表示從r軸開始沿順時針方向的方向角)f'(r,c)limf(rhsin,chcos)f(r,

f'(r,c)f(r,c)sinf(r,c)

2 2 2 f

r

sin sincos cos

從而有梯度方向角k2kk2k

k2kk2k

令rc

則 f()6[ksin3ksin2cosksincos2kcos3

f()A

些算子尤其是Marr和Hildreth[9]的零交叉點算子做了比較。1986年,VishvjitS.NalwaThomasO.Binford在[44]中提出了一種邊緣NalwaBinford認為圖像中的邊緣可以由許多的短直線段(edgel,我們下面稱之為邊緣元)來近，每一個邊緣元都由一個位置和一個角度確定。N階DeltaN階不連續(xù)的。2.802.8他還認為當灰度曲面被設備轉化為數(shù)字圖像時，都要經過一個“模糊(Bluring)”的過程。這個過程可以用濾波來近。盡管“模糊”過程限制Aliasing現(xiàn)象。E(x) E(x) kx x

k1=k2=0E(x)*G(x),注意里的*表示卷積，G(x)表示的是一定參數(shù)的函G(x)nex2/2 于是k(x(E(x)*G(x))k(x

x[k(xu)Sx

k(x

dux[(kk)(xu)S [S(k2k1)x]G(x)(k2k1)[xG(x)SG(x)(k2x / k slope x(等價于先用函數(shù)濾波,然后用Lalacian算子求二階導數(shù))，通過檢測 2.9 函作者提出了法(以圖2.9中這個55的圖像塊為例使用55Image[x,y]1xy方向移動,遍Min (Image[x,y](aaxaa,a 0x x,

I[x,y]74.737.34x16.52 的初值用

tan1(16.52) 向是常數(shù))M zxcos()ysin()a0,a1,a2,a3 x,

(Image[x,y](aazaz2az3

I[x,y]71.7421.83z6.19z2zxcos()ysin(

(可選項10*(2683-1295)/1295=10.710.7>1.47(閥值,具體計算方法參見)。因此繼續(xù)計算，否則當前檢測沒有檢測到邊緣元。 Minp(Image[x,y] (zp)ks, x,zxcos()ysin(

這里的0.85和0.6的來源請參見，0.6決定了檢測的尺度I[x,y]95.5732.52Tanh((0.85)(zp

Minx,a0,a1x,

(Image[x,y](aazaz2

I[x,y]77.8015.86z

D、E中最小二乘擬合的殘差，因為26151203所以本次檢測檢測由于梯度的方向角是120度,而邊緣元的方向和它正交,所以邊緣元的方向是30度。D中的p指的是邊緣位于離當前的原點(5X5矩陣的左下角)沿著Z(120度角)方向0.9像素處。他特別他沒有說這種方法是最優(yōu)的。他說前面有很多人在中說自擬合多項式(而且大部分像素位置都要計算4個擬合多項式)。而且第二個多項式1986年VincentTorre和TomasoA.Poggio[43]：數(shù)字圖像的邊緣檢測本質上是一個數(shù)值導數(shù)問題，但是數(shù)值導數(shù)是一個問題。所謂問題是20世紀初Hadamard定義：如果一個問題的解滿足:已經成理論,，Torre和Poggio找到了幾種方法，也可以參考[50]。因此,邊求梯度。作者對具有最小不確定性(Hermite函數(shù)和Gabor函數(shù))，具有帶通屬性(Sinc和把問題裝化為良態(tài)問題的性能，具有最小不確定性的濾波器是最好的選擇。從實踐的角度來講函數(shù)是不錯的濾波器。在二維時，函數(shù)濾波可Torre和Poggi證明利用旋轉對稱的濾波器(如濾波器)濾波可以保證TorrePoggi

/

要比

1988年JunS.Huang和DongH.g在[18]中從概率統(tǒng)計的角度對邊緣檢測進行了討論。他們,邊緣檢測中最大的問題是噪聲對檢測結果的影響。但是事實上也不怎么好：FreiChen[45]提出利用圖像的幾何性質得到一種避提出[35]SlopeFacet模型，本質上說他是實用量三個參數(shù)的回歸分析,可是其中的回歸變點問題(regressionalchange-point)還沒有解決，作者通過分析各種邊為了解決這個問題，JunS.Huang和DongH.g提出來統(tǒng)計變點理論。把圖像分成很多小塊，每一塊都是一個nn的正方形，使得這個正方形中n是由圖像的分辨率決定的，而且還是比較小的。這些小塊就不難發(fā)現(xiàn)有四種類型,如圖3.10所示。我們發(fā)現(xiàn)，對于(b)()和(),都是在這個小塊中存在灰度Xi,i,,n2N表示這個nn由于各種噪聲的作用，它是隨機的。一般地說，圖像上全局噪聲不是一致的,但是在局部卻是相關的，在這個小塊上我們假設噪聲是獨立正態(tài)分布。{Xi,i1,2,

(a)一致區(qū) (b)階梯形邊(c)

(d)圖 nn子塊的幾種情(注意:上述對像素數(shù)目的要求主要是為了使得統(tǒng)計規(guī)律能滿足。ii N(,2ii X N(,2 那么就是說在給定分法(P)的時候存在著下面的這樣一個條件假設

H0:12Lm1Ha:12Lm1

mmXmmXXW2max S m

2S(

(XX

/(N

P 如果W2則H，也就是說這不是一個一致區(qū)域；那么這個時候的使得W2最大的分組就對應著邊緣。 中作者給出了a經過數(shù)值計算結果 TorreaoAmaralGreen函數(shù)的性質得到了一種邊緣檢測的新方法。)I(x)limI(xu)I(x u 令I%(x)I(x 把I%(x)展

I%(xu)I u2%%% 2顯然I%(x)可以通過求解（2.65）這個微分方程得到。假設邊界條

I%(x)I(xu) G()I(x 其中G2為（2.68）定義的Green G() ,

u2%%% 2

x

I?(x)I(xu)

G()I(x I(x)limI(xu)I(xu)limI?(x)u0

u()G )]Iu02u )]ID 1[G()G() u3%u2%%%

D 1[G(x)G G3(x)Acosexp{}cos()exp{}, 1.596,0.702, A2cos[()(222)/3]sin[12/u

2.11D2(x)（虛線）D3x)（實線）兩個濾波器小波多尺度邊緣檢測方法［51［52］1(x)dx0lim(x)

I*(x)I(t)(xt)dt I*(x)I(t)(x

2I

I

I(x)

2(x)x2 I(x)dx ，II(x)dx I(x和II(x)是小波記

(x)1x/s則I(x)s

(x)1I(x/

x

s(x)s2 s(x)

(x/ sI(x關于小波I(x和II(x)s和位x上的規(guī)范小波變換WII(x)I*I(x)I*(ss)(x)s(I* WIII(x)I*II(x)I*(s

s)(x)

2(I*s

這樣WII(x的局部極值對應著WIII(xI*(x 點就可只求WII(x的局部極值或者WIII(x WIIsWII

(j 1

WIIs WIIj取不同的尺度s1Lsj和計算WsI(x，（1j

jJ設閥值為T，WI Ts WIIR，

s WII1998DavidH.MarimontYossiRubner［6］提出一種邊緣檢測I(xS(x)n(x)，其中S(x)為真實信號，n(x)是噪聲。假設噪聲是平那么我們就認為這個點是邊緣，也就是說滿足（290。S S這里的xSxSxxx

T(x)(x;2)e2B(2 (DT)(x)1(T(x1)T(xx (DxxT1)(x)T1(x1)2T1(x)T1(x(DT)(x)1((DT)(x1)(DT)(xxxx xx

令 r

nnxx FK(n)n

0 E

B1T(0)1T2 2D2T2(2)8T2(1)6T2E1T(4)2T(3)2T(2)2T(1)5T2 2F1T(3)T(2)1T(1)T2 2 P{zc|Ixx;Ixxx}P{Sxx/＝Gxxx

x|Ixx;IxxxG

G(t)L

abt,

a

1t11t1t

, 1t11t1ta

,b=L(h,k;)hk(x,y;(xyP{edge}P{zc|sxxsxxx P{edge}P{zc|SxxSxxxP{edge|Sx0}P{Sx0}P{edge|Sx0}P{Sx xG G+xxxxG

P{S

G-

G-

xxx

x由于Ｓｘ滿足分布，所以我們利用（2.98）就可以知道某個點是邊緣的概率。就會大幅增加因此，引入了“可信度概率(Confidence令Ｘ＝SxxN( xxx Ixx 0 Ixxx

，

2xxx

2X)t1Xchi-square分布，記為2。2 做假設檢驗H0:0，如果QXt1Xc()則H假設。這里 c(2分布的上100H不成立，就說明QXt1X 2中心chi-square分布，而是一個非中心chi-square2(2()P{2()c( “可信度概率(ConfidenceProbability)”。這個“可信度概率(ConfidenceProbability)”隨著檢測的信噪比的提高而提2.12是作者給出圖 (a)原圖像(b)細(c)邊緣概率圖：越深表示概率越大(d)細,,像的熱擴散方程 c2f的差分解。這里的c是演化速率函數(shù)，如果c0梯度來決定的。由曲面演化理論和公式可以知道，演化速率函數(shù)是曲面主則有銳化的效果。利用算子的曲線坐標形式，可以得到曲面坐標下的2.17數(shù)學形態(tài)學方法2.13數(shù)學形態(tài)學的方法學形態(tài)學的基本思想如圖2.13所示。1ABC=AB,當且僅當C(m,n)=[A(m-i,n-j)+B(i,j)- 其中[L表示對所有的B(i,j)取L中最大值2ABC=ABC(m,n)=[A(m-i,n-j)+B(i,j)- 其中[L表示對所有的B(i,j)取L中最小值在圖像各部分之間的關系時,我們需要設計一種收集信息的探針,稱為移動結構元素,便可以各個部分之間的關系。在形態(tài)學中,結構元素是最重設n維歐氏空間E(n),則結構元素B可以定義為是E(n)或其子空間E(n)上素包含原點,其尺寸相對地遠小于所的物體。{B(x),xE(n)}稱為結構元素簇,點x為其“中心邊緣反映的是圖像的不連續(xù)性。對圖像的邊緣檢測正是利用了這種特性。數(shù)學形態(tài)學中的膨脹和腐蝕運算有著很直觀的幾何背景,它們可以使被處理的圖像在一定方向上增厚或減薄,其方向取決于所選取的結構元素BBB。顯然,一個點的單元素結構矩陣只能使圖形發(fā)生平移(B不包含原點)或不變化(B包括原點);而直線形結構矩陣則適于按照一定方向處理圖像,使圖形某一端或某一側面發(fā)生變化,而不是在四周進行運算。若選擇圖2.14中的四鄰域團形結構矩陣進行膨脹或腐圖像與這兩種運算的差則可以用作全方位的邊緣檢測,即A-(AA-(AB)便可檢出圖像A的邊緣。2.14鄰域團形結構矩陣

B)這么多方法，到底哪法好呢？這個問題沒有一般的答案。因為任何1986年JohnCanny在IEEE上了劃時代意義的文章AComputationalApproachtoEdgeDetection[14]。這篇文章承前啟后，作者對過去的一些方著名的Canny準則(Canny'sCriteria)，并在此基礎上得到了一個很不錯的實用算法。本章主要是介紹Canny準則及其發(fā)展。Canny了以往的邊緣檢測算子和邊緣檢測的應用，他發(fā)現(xiàn)盡管這些應邊緣出現(xiàn)的地方檢測結果中不應該沒有；另一方面也不要出現(xiàn)虛邊緣。這[48]，但Canny是第一個明確提出這三條并完整解決這個問題的Canny給出了這三條準則的數(shù)學表達式(以一維為例)。這就使假設濾波器的有限沖擊響應f(x),x[W,W]G(xx=0處，噪聲為n(x)好的檢測結果(Good就是要把是邊緣但是沒有檢測出來的和不是邊緣卻檢測出來是邊緣的這種f(x)使得檢測后的圖像在邊緣點的信噪比最大化。WW

HGWG(x)f 0nHn[Wf2(x)dx]1/0n

0這里的n20HSNR(f)HGHn

WG(WG(x)f21/

f

定位準則(GoodHG(x)Hn(x)x0處取得最大值，所HG(xx0

H(x)H(0)H(0)xo(x2)H 即HG(0)x0Hn(x0 2 n2Wf2 20E(x2)0

(x0))2

0

G

x)ffx)2fx)2Loc(f)0

Wf(xWJ(f)

WG(x)f

WG(x)f

n[

f2(x)dx]1/

Wf20 0R(0)1/ xaveR(0) R(0)g2R(0)g2

f(xf2(x)dx 2 f2(x)dx Wf(xnN2W2W n 顯然,只要我們固定了k，就固定了2W長區(qū)域中出現(xiàn)最大值的個數(shù)。這就是f(x滿足這個準則，那么由(3.13)fwf(xw也滿足這個準則。假設W與w成比例,也就是說對給定的kf(x的空一般情況下，在給定約束(即給定k)J(f)的最優(yōu)點不存在緊湊的表方法求的了屋頂形邊緣和ridge邊緣的最優(yōu)算子，你可以在這中看到他的下面開始討論階梯形邊緣。假設這個邊緣G(xA的階躍信號0AWf0AWf

0 和

Loc(f) f

Wn0W

f2ffw(xSNR(fw)Loc(fw)

f(xwwSNR(fwLoc(f

0fAfJ(fw 0fAf

1/2

0 f 0 f

0ff0ff

f2(x)dx]1/2Wf2

Canny在中利用變分法求得了這個帶有約束的泛函最優(yōu)化問題(結果參見Canny發(fā)現(xiàn)這個問題的解可以由函數(shù)的一階導數(shù)去很好的近。盡管函數(shù)的性能要差一點(是原來的80%)H(x,y)(G(x,y))*I(x,y)(G(x,y)*I(x, 圖像在該像素處的梯度的大小來估計。而這個梯度又可以利用二元函數(shù)G(x,y)*I(x,y)

21/邊緣強度=(G*I)rG*IrG*I n rG*In1rG*I

Canny還提出一種對噪聲的估計的實用的方法。假設邊緣信號的響應是比較以通過濾波后的圖像的統(tǒng)計累積直方圖得到(實踐數(shù)據表明取閥值為這個累積直方圖的0.8(后來的中設定的是0.70)點處的響應值比較好。決這個問題，Canny提出了一種雙閥值方法。前面利用累計統(tǒng)計直方圖得到一個高閥值T1，然后再取一個低閥值T2( 6.5中使用的是T20.4T1)。如果圖不是邊緣；如果在低閥值和高閥值之間，我們就看它的8個鄰接像素有沒有大它們當x時的衰度，比如說函數(shù)的參數(shù)等等。我前面得到的最器檢測到的這個邊緣的位置(把檢測結果和函數(shù)做平滑)。然后用一個較大圖 =1.4時的濾波器的近模G2 向的偏導數(shù)(G2 G ArctanGy Gx（水豎直，45o方向，135o度方向也就是把0o分為5個部分：0-22.5o以及157.5-180o算做是水平方向；22.5-67.5o算做45o方向；67.5-112.5o算是豎直方向；112.5-157.5o記為135度方向。需要記住的是記?。哼@些方向是梯3.2個像素的灰度值相比不是最大的，那么這個像素值置為0，即不是邊緣；.還可以利用多尺度綜合技術做的更好。圖3.3是Canny檢測的處理的結果。Canny準則開辟了一條尋找最優(yōu)濾波器的一條道路。在Canny之后陸續(xù)出現(xiàn)了很多，它們對Canny準則及Canny的理論進行補充和深入研究的。圖 1986年Spacek利用Canny三個準則，但是采用了與Canny不同的優(yōu)化技術得到了階梯形邊緣的一個含有參數(shù)(4個參數(shù)，它們有一些邊界條件確RDeriche邊緣檢測的迭代算子Ny(i)h(k)x(ikk

NH(z1)h(n)zn

bkz(k H(z1) 1akk

y(i)bkx(ik)aky(ik k k為如果尋找一個有理傳輸函數(shù)

a(z1)來比較好的H(z1)后對具體一階導數(shù)是邊緣檢測的一個很不錯的算子[9][14][42]LunscherBeddoes的Canny第一個問題是(3.4)式中滿足等式的 的不只是一階導數(shù)的第一個零交個隨機過程，根據隨機過程理論(3.8)E[(H(x))2]的估計是有問題的。 TagaredeFigueiredo

(x)Pr umBetweenxandn= RH(0)expf2(x)/22 nHH顯然(x0

R 1max1

Hn

(x)(x)expf2(x)/22

Jn0Q

x2(1

x2f2

fw(w)2設圖像中的邊緣都是帶有白噪聲的階梯形邊緣，但是實際上圖像中的邊緣MariaPetrouJosefKittler1esx/ xc(x)

esx xSpacek1991SudeepSarkarKimL.Boyer[40]對前面的工作做了一個小結，并IIRCanny準則是續(xù)準則，也就是說是在假設圖像和濾波器都是波器它是無法使用的，比如說Sobel等濾波器。在2.10中Torre和Pggio證明數(shù)圖像的導數(shù)一個題所以直接從連續(xù)域中分析然后再把連續(xù)濾波器離散化這樣得到的濾波器從理DidierDemigny[3CannyDidierDemigny[3][4][5]。最終邊緣檢測的離散Canny上一章中我們了邊緣檢測的Canny連續(xù)準則，在最后我們這種連n，gngngn1 以同樣的方式，我們可以定義g的二階導數(shù)：gngng 如果shesheh gngn gn0gn0

gn Canny準則需要一個輸入信號。它是我們從圖像信號中抽象出來的，是我

enA(UnUnd 這里的U是離散的Heaviside序列，也就Un1,n U0,U4.1如說[36]中的指數(shù)濾波器、[32]中的Deriche濾波器以及函數(shù)的一階導數(shù)做d.這是很有道理的：對同一在不同的分辨率下掃描，其中的一條線（連續(xù)的模擬信號）用不同長度d離散數(shù)字表示，這個d與分辨率成正比。后面給出的準則可以用來計算在給定分辨率下的最優(yōu)參數(shù)。eeeek0,有hk0和hkhk成立,并且h00 Wk綜上,h（注意,W個參變緣，也就是要檢測卷積信號she的最大值和最小值的位置。準則:準則對于(4.6)給出的信號en來說，濾波器的輸出結果顯示在n0附近取得最大則只考慮檢測信號的最大值。在沒有噪聲的情況下輸出信號sn滿足：nnsnAknd

snA(hnhnds0Ahd s1h1hd之間。令n0為滿足sn00最近的整數(shù)。那么n0s0位置。對于“好的”濾波器，應該n01ss2

22 kCanny所做的那樣，我們定義邊緣檢測的結果好壞的準則為在信號極值點n0處輸入信號與輸出信號的信噪比的提高。利用(4.9)和(4.11)得到 kn0d1 h2]1/k 準則根據h的稱性質和在假設下邊緣位于n01的事實，下面這個量必

hF k

hkh令(4.13)的梯度為0我們就可以計算得到hk的最優(yōu)值。于是得到 dk1, kd,hk

2d+1個常系（DOB：dk1,hk h 1k0d,h 濾波器確實使得這0的時候只能保證極下面我們說明下最優(yōu)分辨率參數(shù)的存在性：當這個濾波器的帶寬增大的時候，輸出信號（也就是的分子部分）伴隨著輸入信號的兩個灰度躍遷各自（4.15d2d2

N

d的地方)n01。這種2d+1的情況下不會發(fā)生，但是我們還是的考慮帶寬準則 essn0并且sn10.0或者 es

0的概率P。如果方差為2 信號中，那么在n0處的總輸 h kn0d1 n0 s00s00

0hnd)0

00k

得到s0P0

P(s0)1erf(A et2t 其中,erf(x) 0

e2dt n0d kn0d1 k h2 hk 根據h的稱性質以及在n01時要達到好的定位，下面這個量要達

hn0n2 kn0d1

些系數(shù)等于零的意思?？紤]到h00且h(d1)0，所以有d hkhk0h0

k

k

k

h2k 2 hFkd kkk

在(4.25)中，如果我們令hg，不難發(fā)現(xiàn)這個式子和(4.13)

dk1,hk 所以,利用邊界條件hd10dk1,hkd1h

1kd,

kdd2(dd2(d

12當d增加的時候到無窮大的時候，定位準則存在極限 12就意味著當輸入信號的信噪比大于10dB99%的地方都會成我們可以定義一個歸一化準則

N xmax準0所在的位置m00

00

sm1

k

m0 s h m0

k

k

m0 sm和sm1是兩個具有相同方差x 22 k1 kk于是，極大值點位于m0的概率PN

k

x x2x1)(22)

xe22x

2(12

dx11

Parcos(

1Canny

arcos(

.xmax準則下的最G

kk

hkkkk

hk2(G4)hk1(62G)hk(G4)hk1hk20 這就導致了一個線性差分方程組，它具有解的形式為qk[24]，這里的qq4(G4)q3(62G)q2(G4)q11q1令cos

hkABkCcoskDsin 號無關)所以，對于具有任意長沖擊響應2W1)的濾波器我們都可以得到最優(yōu)A、B、C、D四個系數(shù)中的一個可以任意選取。其他三個常

h0hW1hW2取。沖擊響應長度為(2W1)的最優(yōu)濾波器可以由下式得到：hk(kDsink W2sin(WW sin(W

取滿足(4.43)式的 2Wxmax（4.41確定了的值，再利用（4.42）就可以得到D的值。經過大量的數(shù)值試驗，我們以2W

4.2.3.４.xmax

利用（4.44）可以計算得到相應于不同Wxmax，參看表W123456789W表 不同參數(shù)下xmax的 xmaxW的線性xmax(2W 它的歸一化準則xmaxN(取值在0,1之間)可以定義如xmax

0.699(2W

和或者準則中的任何一個來說，最優(yōu)濾波器的尺度是d和h h2和

22

h2k （4.21（4.23）（GlobalAmplification。這就隱含了我們可以固定hkh1＝１和hkk hk

以推出對每一個在2到W中的任何一個整數(shù)k有：hk12(1)hkhk1

1F dd

顯然，當＝0時這個方程對應著的最優(yōu)化；當時，它對應著最優(yōu)們找到了當k0時的hk的表達式，其中的正實數(shù)q是：11112dk0,hAqkBqk

k0,h00

F

d,h(Aq 記住對任意k0hkhk。邊界條件h11和hW10把A和B定為q和F和的乘積準則記為準則，準則的最優(yōu)化是前面優(yōu)化的特殊情形。當我們選擇滿足 dh0d

1dhk dABF由前一節(jié)中那樣確定的時候，（454）定義了一個乘積下的最優(yōu)濾波器的參數(shù)q。求得準則下對應不同W的最優(yōu)線性濾波器。（4.52）給出了濾波器的表達式，但是需要利用邊界條件h11和hW1和約束條件以及（4.50）和（4.54）確定常數(shù)。由h11和hW10把A,B定qF

W1(1F)qWA B

(1q2W(1F)

q(1q2W從而得到關于qF 11 Fd1

d

(1 dhkAqkBqkF,dk 綜合考慮、xmax時的最優(yōu)濾波因為對于和準則來說，最優(yōu)濾波器的尺度為2W12d1。下面我們就在這個尺度去尋找在限制xmax時的最優(yōu)濾波器，這里的xmax隨著濾波器的尺不寫求和的指標限制1和d。下面這個量就要實現(xiàn)最小化： hk h2h hk k2hkk2

這里的和是連個正的常數(shù)，記住h1是可以任意選取的（4.57）

a2hk2a1hk1a0hk0a1hk1a2hk2 a2 a128 a02412

1h

1hFdd

和Gdd1d

結果證明當根是復數(shù)的時候上述準則達到最大化。當k0的時候，hh的表達式如下（q是一個正實數(shù)：hkAqkcoskBqkcoskCqksinkDqksink q和是已知的。由于在優(yōu)化中要使用h2階導數(shù)，h1任意 h0hW1hW2常數(shù)的尋找。使用邊界條件，可以計算常數(shù)BC，D。于是，利用（4.60）FAG現(xiàn)在可以用來確定作為q的函數(shù)。但是，這個xmax共同作用下的最優(yōu)濾波器的計算程序及結這個方程更加復雜，解起來比較。DidierDemigny[1]給出了他們計算經過大量數(shù)值試驗得出的x準則下最優(yōu)濾波器的參數(shù),q（僅僅給出了W2,4,6,8,10,2042。我們就利用這些參數(shù)來計算W2,4,6,8,10,20W2468q表 似變化不大。例如，對W10，當q0.77時當0N9290％；當0N6575％；當0xmax9282％；當0xmax發(fā)生些微的變化（35。檢測質量和三個準則的積準則的相對穩(wěn)定。當0時，當k0hk(ACk)qk(BDk)qk 同上，DidierDemigny[1]也給出了他們計算經過大量數(shù)值試驗得出的x準則下最優(yōu)濾波器的一近的參數(shù),q（僅僅給出了W2,4,6,8,10,20的，見W2468q表4.3 對應不同尺度W的參數(shù)q的值試驗告訴我們對于（4.62）中的濾波器，當q1的時候xmax取得最大。在這種情況下，（4.58）的根是四個相等的根。答案是一個簡單的濾波器：dk0,hkk(kW1)(kW k0, 0kd,

我們定義滿足準則ijHijLHHHxHHx，HL表示（4.62）HP表示（4.63）給出的濾波器。WHxWH4.3.2節(jié)計算WHx4.4.2WHL4.4.3中W下HP的表達式由(4.63)Shen濾波器（又叫指數(shù)濾波器，Deriche濾波器，Gaussian函數(shù)一階導數(shù)濾波器（FDOG）的沖擊響應。這些濾波器的尺度參數(shù)可以通過最大化4.2中我們可以看到這些濾波器當W20時的沖擊響應。HxHLHPHx的圖形。就可以計算它們各種準則下的性能指標，也就它們的，，xmax，以及x圖 4.3給出了所有上述濾波器的最優(yōu)檢測準則的值。我們發(fā)現(xiàn)除了H濾波器和H濾波器在這個準則下是最圖 各種最優(yōu)濾波器在不同d時準則圖 各種最優(yōu)濾波器在不同d時準則器（比如HxHxHLHP）和沒有考慮xmax準則得到的最優(yōu)濾波器之HL來說，因為提高了可以使得濾波器的定位準確性得到小的提高，所以可以放松在xmax方面的約束。如圖4.5所示，與定位性質相似的情形出現(xiàn)在xmax準則時。我們可以當帶寬增加的時候那些沖擊響應停留在0點的濾波器在xmax準則下結果圖 4.6給出了4.34.5給出的獨，H定位也很差，H檢測結果。他們都可以用一個較好的濾波器H圖 各種準則下最優(yōu)濾波器在不同d時的準則的圖4.7給出了xmax聯(lián)合準則下的結果。圖4.6、圖4.7中按照檢測性能得到的優(yōu)劣排序的差異清楚地顯示出了準則與xmax之間的。Canny之所以提出xmax準則［14］是因為他最大化聯(lián)合準則時，得到的結果不是令他滿意，面這樣情況下發(fā)現(xiàn)這個結果的：當一個單階梯信號作為輸入信號時（d Filter，就是準則下的最優(yōu)濾波器）和差分盒子濾波器xmax準則的情況下尋找有效濾波器。H濾波器看起來是一個正確的答案。圖 各種準則下最優(yōu)濾波器在不同d時xmax準則的準則和最優(yōu)定位準則。那么當然由這兩個準則決定的最優(yōu)濾波器是最好的了。我們面4.3.2中給出了這個和積準則下的最優(yōu)濾波器，4.3.3所以,我們的最后結果就是:H是最優(yōu)線性濾波器.圖 最優(yōu)濾波器和經典濾波在下的比假設dWW1,2,L20。sdi為d的第isi為s的第iiW(W1),L1,0,1,L,Wsisi1di注意，當i{W(W1),L1,0,1,LWdisi0以W1為例。此時，我們已經有：d(d1,d0,d1)(0.5,0,

則s1s2d1d2d1s0s1d0d10.500.5s1s0d1d01.00.50

s(s1,s0,s1)(0.5,1,

s (0.5,1,0.5)(0.25,0.5, 0.51W1,2,L6）ndnsn001001200123001 234001234500123456計算低閥值：Tl0.4Th尺度W的平滑算子s)按行對原圖像做卷積運算，然后用相應的d)對平滑后的算子按列做卷積運算，得到Gy；再用s按列對原圖像做卷積運算，然后d對平滑后的算子按行做卷積運算，得到G2 計 G ArcG2 Gx00-22.5o以及157.5-180（45o方向（135o方向求GTh，Tl0.4Th緣;小于Th但是大于Tl的時候看他周圍像素處有沒有大于Th的邊算法的VC+將5.4中的完整算法用VC++實現(xiàn)的主要問題是圖像的存取。事實上只要得到理256色灰度圖像。程序中添加了幾種其它的邊緣檢測方法。這些方法在編程我們就用這個圖像作為我們的測試圖像來檢驗算法的效果。圖6.2、6.3、6.4Mallat才提出了小波多尺度邊緣檢測。6.16.2W=26.3W=46.4W=86.5W=15我用Mathematica將W從1到20變化時程序處理的結果和原圖像做成GIF信息確實藏在不同的尺度下，小尺度并不一定含有的信息。本文首先對邊緣檢測的算法、算子和Canny準則的發(fā)展分別做了綜述。然后根據DidierDemigny提出來的邊緣檢測的離散準則，通過大量的數(shù)值1-20DidierDemignyCanny致別感謝師，他嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度和淵博的知識給了我很多的啟示。感謝還要為、等同學和我一起合作討論以及同學、同謹此向所有幫助過我的老師和致以由衷的感謝！D.Demigny,“OnOptimalLinearFilteringforEdgeDetection,”IEEED.Demigny,L.Kessal,andJ.Pons,“FastRecursiveImplementationoftheGaussianFilter,”inProc.11thIFIPInt.Conf.VeryLargeScaleIntegration,Montpellier,France,Dec.2001,pp.339–346.D.DemignyandTawfikKamlé,“ADiscerteExpressionofCanny'sCriteriaforStepEdgeDetectorPerformanceEvaluation,”IEEETrans.PatternysisandMachineInligence,Vol.19,No.11,pp.1199-1210,Nov.1997D.DemignyandM.Karabernou,”AnEffectiveResolutionDefinitionorHowtoChooseanEdgeDetectior,It’sScaleParameterandtheThreshold.”Proc.IEEEInt’lConf.ImageProcessing,Vol.1,pp.829-832,Lausanne,Sept.1996D.Demigny,F.G.LorcaandL.Kessal,“EvaluationofEdgeDetectorsPerformanceswithaDiscreteExpressionofCanny'sCriteria,”inProc.Int.Conf.ImageProcessing,Washington,MA,pp.169–172,Oct.D.H.MarimontandY.Rubner,”AProbabilisticFrameworkforEdgeDetectionandScaleSelection,”ComputerVision,1998.SixthInternationalConferenceon,4-7pp.207–214,Jan1998D.GemanandG.Reynolds,“ConstrainedRestorationandtheRecoveryofDiscontinuities,”IEEETrans.Pattern.MachineInl.,vol.14,pp.367–383,Jan.1993.D.Marr,Vision,Springer-Verlag,NewD.C.MarrandE.Hildreth,“TheoryofEdgeDetection,”Proc.Roy.Soc.London,vol.B275,pp.187-217,1980EdgeDetection,TheEarlyYears,BeforeHemantD.TagareandRuiJ.P.deFigueiredo,“OntheLocalizationPerformanceMeasureandOptimalEdgeDetection,”IEEETrans.PatternysisandMachineInligence,Vol.12,pp.1186-1190,1990HankyuMoon,RamaCappaandAzrielRosenfeld,”O(jiān)ptimalEdge-BasedShapeDetection,”IEEETrans.OnImageProcessing,Vol.11,No.11,pp.1209-1227,Nov.2002I.E.AbdouandW.K.Pratt,“tativeDesignandEvalutionofEnhancementandThrsholdingEdgeDetectors,Proc.IEEE,Vol.67,No.5,pp.753-763,MayJohnCanny,Member,IEEE,“AComputationalApproachtoEdgeDetection,”IEEETrans.PatternysisandMachineInligence,Vol.PAMI-8,No.1,pp.679-697,Novmber1986JohnCanny,“FindingEdgesandLinesinImages,”MITArtif.Inl.Lab.,Cambridge,MA,Tech.Rep.AI-TR-720,1983.J.Prewitt,“ObjectEnhancementandExtraction,”PictureProcess.pp.75–149,Julez,B.,“AMethodofCodingTVSignalsBasedonEdgeDetection,”BellSystemTech.(38),No.4,July1959,pp.1001-1020.Compression,.JunS.HuangandDongH.g,“StatisticalTheoryofEdgeComputerVision,Graphics,AndImageProcessing43,337- Jos'eR.A.TorreaoandMarcosS.Amaral,“ANewFilterforStep-Edge ad/RelatTec/Download/rt04-01.ps.gzK.RaoandJ.Ben-Arie,“OptimalEdgeDetectionUsingExpansionMatchingandRestoration,”IEEETrans.Pattern.MachineInl.,vol.16,pp.1169–1182,Dec.1994.K.S.Shanmugan,F.DickeyandJ.Green,“AnOptimalFrequencyFilterForEdgeDetectionInDigitalImages,”IEEETrans.PatternysisandMachineInligence,Vol.PAMI-1,pp.39-47,1979L.A.Spacek,“EdgeDetectionandmotiondetection,”ImageVisionComput,vol.4,pp.43,1986L.G.Roberts,“MachinePerceptionofThree-DimensionSolids,”inOpticalandElectro-OptimalInformationProcessing,J.t.Tippett,etal.,Ed.Cambridge,MA: L.PipesandL.Harvill,“TheCalculusofFiniteDifferencesandLinearDifferenceEquationswithConstantCoefficients,”inAppliedMathematicsforEngineersandPhysicists.NewYork:McGraw-Hill,1971,pp. L.Sobel,“CameraModelsandMachinePerception,”PhDtheses,StanfordUniversity,Standford,CA,1970M.Hueckel,“ALocalVisualOperatorwhichRecognizesEdgesandM.Hueckel,“AnOperatorwhichLocatesEdgesInDigitizedPictures,”JournaloftheACM,Vol.18,pp.113-125,1971 MariaPetrouandJosefKittler,“OptimalEdgeDetectorsforRampEdges,“IEEETrans.PatternysisandMachineInligence,Vol.13,No.5,pp.483-491,MAY1991ModelBasedRecognition N.PalandS.Pal,“AReviewonImageSegmentationTechniques,”PatternRecognit.,vol.26,no.9,pp.1277–1294,1993.P.PeronaandJ.Malik,“Scale-SpaceandEdgeDetectionUsingAnisotropicDiffusion,”IEEETrans.Pattern.MachineInl.vol.12,pp.629–639,July1990.R.Deriche,“FastAlgorithmforLow-LevelVision,”IEEETrans.PatternMachineInl.,vol.12,pp.78–87,Jan. R.Deriche,“UsingCanny'sCriteriatoDeriveaRecursi