軌道微分方程課件

復習:保守力:勢函數的極小處為穩(wěn)定平衡點，極大處為非穩(wěn)定平衡點復習:保守力:勢函數的極小處為穩(wěn)定平衡點，極大處為非穩(wěn)定平衡1第二章有心運動和兩體問題

§2.1有心力和有心運動§2.2距離平方反比引力作用下的質點運動§2.3圓軌道的穩(wěn)定性§2.4與距離平方成反比的斥力作用—粒子的散射§2.5兩體問題*§2.6任意冪有心力問題的計算*§2.7埃農—黑爾斯勢問題第二章有心運動和兩體問題2有心運動：物體在有心力作用下的運動力的作用線總是通過空間某一固定點或稱輳力力指向的固定點稱為力心有心運動：物體在有心力作用下的運動力的作用線總是通過空間某一3有心運動是一種常見的運動：天體的運行原子核外電子的運動人造地球衛(wèi)星的發(fā)射和運行……有心運動是一種常見的運動：4兩體問題：如行星繞太陽的運動——

是行星在太陽引力作用下的一種運動，而太陽本身并非固定不動（繞銀河系中心運動）。

兩體問題研究的是兩個相互作用的物體組成的體系的運動。兩體問題：如行星繞太陽的運動——5§2.1

有心力和有心運動——研究單體繞力心（固定不動）的運動（一）基本特性選力心為坐標原點有心力對力心(坐標原點)的力矩有心力作功P1P2O——與路徑無關，有心力為保守力-或：§2.1有心力和有心運動——研究單體繞力心（固定不動）的運6有心運動的基本特性：1.對力心的動量矩守恒2.有心運動是平面運動決定的平面和為同一平面3.機械能守恒動能定理：有心運動的基本特性：1.對力心的動量矩守恒2.有心運動是7（二）運動方程(動力學方程)有心運動為平面運動，宜用平面極坐標（2.4）這個積分實際上是質點角動量守恒定律的極坐標表示式：（二）運動方程(動力學方程)有心運動為平面運動，宜用平面極坐8（2.6）（2.7）（三）軌道微分方程——將上述微分方程消去時間t，得到r(θ)（2.6）（2.7）（三）軌道微分方程——將上述微分方程消去9（2.9）（2.6）（2.10）——二階非線性微分方程比內（Binet）公式（2.9）（2.6）（2.10）——二階非線性微分方程10§2.2

距離平方反比引力作用下的質點運動——軌道及其特性（一）軌道萬有引力，異性電荷間的相互吸引力，等（2.10）（2.11b）§2.2距離平方反比引力作用下的質點運動——軌道及其特性（11適當選擇極軸方向，使θ0=0（2.15）——典型的圓錐曲線極坐標方程力心（坐標原點）：圓錐曲線的焦點Fe：軌道的偏/離心率p：正焦弦（QQ'）長度的一半適當選擇極軸方向，使θ0=0（2.15）——典型的圓錐曲線極12F：焦點之一，坐標原點b：半短軸ES(2)拋物線：與點F、直線l等距離的動點軌跡(3)雙曲線：與F、F'距離之差為2a的動點軌跡(1)橢圓：與距離之和為2a的動點軌跡

數學知識：圓錐曲線F：焦點之一，坐標原點b：半短軸ES(2)拋物線：與點F、13

2007年10月24日，嫦娥一號月球探測衛(wèi)星成功發(fā)射升空。2007年10月24日，嫦娥一號月球探測衛(wèi)星14地月距離38萬km。當月球探測衛(wèi)星在離月球6.6萬km之外時，衛(wèi)星主要受地球引力作用，其軌道為相對于地球的橢圓型軌道；在離月球6.6萬km之內以后，衛(wèi)星主要受月球引力作用，其軌道為相對于月球的雙曲線軌道。只要使月球探測衛(wèi)星的初始速度>10.6km/s(介于第一宇宙速度7.9km/s和第二宇宙速度11.2km/s之間），衛(wèi)星就可以飛向月球，進入月球軌道。地月距離38萬km。當月球探測衛(wèi)星在離月球6.6萬k15

1970年4月24日，中國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，中國航天活動的序幕從此拉開。1970年4月24日，中國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心16中國已經發(fā)射過各種軌道的人造地球衛(wèi)星，但是發(fā)射人造月球衛(wèi)星尚屬首次。從地球到月球不但距離遙遠（38萬km），而且月球自身還在圍繞地球進行公轉，平均運動速度1.023km/s。因此，讓嫦娥一號衛(wèi)星與運動著的月球精確交會，并沿著衛(wèi)星在月球上的工作軌道運行，是一個非常困難的事情。在世界探月歷史上，多次發(fā)生衛(wèi)星距離月球很遠飛過，與月球“失之交臂”，也曾發(fā)生過衛(wèi)星未能進入環(huán)繞月球的軌道，撞到月球表面上“粉身碎骨”。由此可見，嫦娥一號飛行軌道的設計是整個工程中的一項關鍵技術。中國已經發(fā)射過各種軌道的人造地球衛(wèi)星，但是發(fā)17

當時，中國的航天器已經到達的距地球最遠的距離為7萬公里，而地月距離為38萬公里，而且月球及其與地球和太陽的相對關系非常復雜。所以嫦娥一號衛(wèi)星與一般的地球衛(wèi)星有很大不同，在軌道設計、測控、制導導航與控制、熱控和數據接收天線研制等方面具有自己的特殊性和關鍵技術。

當時，中國的航天器已經到達的距地球最遠的距離18

2010年10月1日,嫦娥二號發(fā)射升空。與嫦娥一號相比，嫦娥二號在外形和重量上并沒有太大變化，其最大優(yōu)點是飛到月球更快了，嫦娥一號環(huán)繞地球7天，然后才飛向月球。而嫦娥二號將直接飛到月球，飛行時間約120h。除了“直飛”月球外，嫦娥二號的繞月飛行軌道將由嫦娥一號時的200km高度降低到100km，因而把月球看得更清楚了。由于其主要任務是獲得更清晰更詳細的月球表面影像數據，因此衛(wèi)星上搭載的CCD分辨率更高，使拍攝的月球圖片分辨率從120m提高到10m。2013年12月14日，嫦娥三號探測器在月球表面預選著陸區(qū)域成功著陸，標志著我國繼前蘇聯(lián)和美國之后成為世界上第三個實現地外天體軟著陸的國家。2010年10月1日,嫦娥二號發(fā)射升空。與嫦娥一號19（二）軌道的特性(2.15)——離力心距離最近/遠對橢圓軌道，分別稱近日點(G)和遠日點(G')機械能：因機械能守恒，取近日點進行計算（二）軌道的特性(2.15)——離力心距離最近/遠對橢圓軌道20(2.19)討論：行星的運動，電子繞原子核的運動r有限→橢圓(2.15)質點沒有足夠的能量達到無窮遠處，只能圍繞力心在有限范圍內運動拋物線的開口恰好可使質點脫離力心束縛雙曲線的兩條漸近線質點有充分的能量脫離力心的吸引彗星軌道(E≥0)，宇宙飛船(Emin=0)彗星軌道(E＞0時)(2.19)討論：行星的運動，電子繞原子核的運動r有限→橢圓21橢圓軌道的特性：軌道的半長軸而∴軌道的半長軸由總機械能決定機械能確定后，偏心率由角動量確定軌道越扁橢圓軌道的特性：軌道的半長軸而∴軌道的半長軸由總機械能決22小結:有心運動的基本特性對力心的力矩為零，動量矩守恒有心運動是平面運動，用平面極坐標描述有心力為保守力，機械能守恒有心運動的動力學方程：有心運動的軌道微分方程：平方反比引力作用下質點的運動：橢圓軌道：軌道越扁小結:有心運動的基本特性對力心的力矩為零，動量矩守恒有心運動23例2.1質量為m的人造地球衛(wèi)星，以圓軌道繞地球轉動。為使其軌道半徑r1→r2(＞r1)，衛(wèi)星先沿一與兩圓軌道相切的橢圓軌道運動，到達軌道2后再加速進入圓軌道2。求出衛(wèi)星在兩軌道處的速度增加值Δv1和Δv2。引力常數為G，地球質量為m’。忽略空氣阻力。橢圓半長軸橢圓軌道A點AB橢圓軌道B點(3)(4)例2.1質量為m的人造地球衛(wèi)星，以圓軌道繞地球轉動。為使24解方程(1)~(4)得：地球衛(wèi)星軌道運動規(guī)律及變軌方法；有心運動機械能守恒；解方程(1)~(4)得：地球衛(wèi)星軌道運動規(guī)律及變軌方法；有心25例2.2彗星的軌道為拋物線，其近日點距離是地球(圓)軌道半徑的1/n，求證此彗星在地球軌道內運行的時間為一年的近日點(1)求彗星在地球軌道內運行的時間(2)軌道角動量守恒一年？地球繞太陽運動的軌道周期T例2.2彗星的軌道為拋物線，其近日點距離是地球(圓)軌道半26地球繞太陽轉動的角速度為ω，則一年得證(2)地球繞太陽轉動的角速度為ω，則一年得證(2)27作業(yè)P72(4),5,(8)作業(yè)P7228復習:保守力:勢函數的極小處為穩(wěn)定平衡點，極大處為非穩(wěn)定平衡點復習:保守力:勢函數的極小處為穩(wěn)定平衡點，極大處為非穩(wěn)定平衡29第二章有心運動和兩體問題

§2.1有心力和有心運動§2.2距離平方反比引力作用下的質點運動§2.3圓軌道的穩(wěn)定性§2.4與距離平方成反比的斥力作用—粒子的散射§2.5兩體問題*§2.6任意冪有心力問題的計算*§2.7埃農—黑爾斯勢問題第二章有心運動和兩體問題30有心運動：物體在有心力作用下的運動力的作用線總是通過空間某一固定點或稱輳力力指向的固定點稱為力心有心運動：物體在有心力作用下的運動力的作用線總是通過空間某一31有心運動是一種常見的運動：天體的運行原子核外電子的運動人造地球衛(wèi)星的發(fā)射和運行……有心運動是一種常見的運動：32兩體問題：如行星繞太陽的運動——

是行星在太陽引力作用下的一種運動，而太陽本身并非固定不動（繞銀河系中心運動）。

兩體問題研究的是兩個相互作用的物體組成的體系的運動。兩體問題：如行星繞太陽的運動——33§2.1

有心力和有心運動——研究單體繞力心（固定不動）的運動（一）基本特性選力心為坐標原點有心力對力心(坐標原點)的力矩有心力作功P1P2O——與路徑無關，有心力為保守力-或：§2.1有心力和有心運動——研究單體繞力心（固定不動）的運34有心運動的基本特性：1.對力心的動量矩守恒2.有心運動是平面運動決定的平面和為同一平面3.機械能守恒動能定理：有心運動的基本特性：1.對力心的動量矩守恒2.有心運動是35（二）運動方程(動力學方程)有心運動為平面運動，宜用平面極坐標（2.4）這個積分實際上是質點角動量守恒定律的極坐標表示式：（二）運動方程(動力學方程)有心運動為平面運動，宜用平面極坐36（2.6）（2.7）（三）軌道微分方程——將上述微分方程消去時間t，得到r(θ)（2.6）（2.7）（三）軌道微分方程——將上述微分方程消去37（2.9）（2.6）（2.10）——二階非線性微分方程比內（Binet）公式（2.9）（2.6）（2.10）——二階非線性微分方程38§2.2

距離平方反比引力作用下的質點運動——軌道及其特性（一）軌道萬有引力，異性電荷間的相互吸引力，等（2.10）（2.11b）§2.2距離平方反比引力作用下的質點運動——軌道及其特性（39適當選擇極軸方向，使θ0=0（2.15）——典型的圓錐曲線極坐標方程力心（坐標原點）：圓錐曲線的焦點Fe：軌道的偏/離心率p：正焦弦（QQ'）長度的一半適當選擇極軸方向，使θ0=0（2.15）——典型的圓錐曲線極40F：焦點之一，坐標原點b：半短軸ES(2)拋物線：與點F、直線l等距離的動點軌跡(3)雙曲線：與F、F'距離之差為2a的動點軌跡(1)橢圓：與距離之和為2a的動點軌跡

數學知識：圓錐曲線F：焦點之一，坐標原點b：半短軸ES(2)拋物線：與點F、41

2007年10月24日，嫦娥一號月球探測衛(wèi)星成功發(fā)射升空。2007年10月24日，嫦娥一號月球探測衛(wèi)星42地月距離38萬km。當月球探測衛(wèi)星在離月球6.6萬km之外時，衛(wèi)星主要受地球引力作用，其軌道為相對于地球的橢圓型軌道；在離月球6.6萬km之內以后，衛(wèi)星主要受月球引力作用，其軌道為相對于月球的雙曲線軌道。只要使月球探測衛(wèi)星的初始速度>10.6km/s(介于第一宇宙速度7.9km/s和第二宇宙速度11.2km/s之間），衛(wèi)星就可以飛向月球，進入月球軌道。地月距離38萬km。當月球探測衛(wèi)星在離月球6.6萬k43

1970年4月24日，中國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，中國航天活動的序幕從此拉開。1970年4月24日，中國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心44中國已經發(fā)射過各種軌道的人造地球衛(wèi)星，但是發(fā)射人造月球衛(wèi)星尚屬首次。從地球到月球不但距離遙遠（38萬km），而且月球自身還在圍繞地球進行公轉，平均運動速度1.023km/s。因此，讓嫦娥一號衛(wèi)星與運動著的月球精確交會，并沿著衛(wèi)星在月球上的工作軌道運行，是一個非常困難的事情。在世界探月歷史上，多次發(fā)生衛(wèi)星距離月球很遠飛過，與月球“失之交臂”，也曾發(fā)生過衛(wèi)星未能進入環(huán)繞月球的軌道，撞到月球表面上“粉身碎骨”。由此可見，嫦娥一號飛行軌道的設計是整個工程中的一項關鍵技術。中國已經發(fā)射過各種軌道的人造地球衛(wèi)星，但是發(fā)45

當時，中國的航天器已經到達的距地球最遠的距離為7萬公里，而地月距離為38萬公里，而且月球及其與地球和太陽的相對關系非常復雜。所以嫦娥一號衛(wèi)星與一般的地球衛(wèi)星有很大不同，在軌道設計、測控、制導導航與控制、熱控和數據接收天線研制等方面具有自己的特殊性和關鍵技術。

當時，中國的航天器已經到達的距地球最遠的距離46

2010年10月1日,嫦娥二號發(fā)射升空。與嫦娥一號相比，嫦娥二號在外形和重量上并沒有太大變化，其最大優(yōu)點是飛到月球更快了，嫦娥一號環(huán)繞地球7天，然后才飛向月球。而嫦娥二號將直接飛到月球，飛行時間約120h。除了“直飛”月球外，嫦娥二號的繞月飛行軌道將由嫦娥一號時的200km高度降低到100km，因而把月球看得更清楚了。由于其主要任務是獲得更清晰更詳細的月球表面影像數據，因此衛(wèi)星上搭載的CCD分辨率更高，使拍攝的月球圖片分辨率從120m提高到10m。2013年12月14日，嫦娥三號探測器在月球表面預選著陸區(qū)域成功著陸，標志著我國繼前蘇聯(lián)和美國之后成為世界上第三個實現地外天體軟著陸的國家。2010年10月1日,嫦娥二號發(fā)射升空。與嫦娥一號47（二）軌道的特性(2.15)——離力心距離最近/遠對橢圓軌道，分別稱近日點(G)和遠日點(G')機械能：因機械能守恒，取近日點進行計算（二）軌道的特性(2.15)——離力心距離最近/遠對橢圓軌道48(2.19)討論：行星的運動，電子繞原子核的運動r有限→橢圓(2.15)質點沒有足夠的能量達到無窮遠處，只能圍繞力心在有限范圍內運動拋物線的開口恰好可使質點脫離力心束縛雙曲線的兩條漸近線質點有充分的能量脫離力心的吸引彗星軌道(E≥0)，宇宙飛船(Emin=0)彗星軌道(E＞0時)(2.19)討論：行星的運動，電子繞原子核的運動r有限→橢圓49橢圓軌道的特性：軌道的半長軸而∴軌道的半長軸由總機械能決