集合與常用邏輯用

大一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)(文)第一章集合與常用邏輯用語1．集合與元素(1)集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于兩種，用符號(hào)∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*(或N＋)ZQR2.集合間的基本關(guān)系關(guān)系自然語言符號(hào)語言Venn圖子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，則x∈B)A?B(或B?A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個(gè)元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中元素相同或集合A，B互為子集A＝B3.集合的運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集圖形符號(hào)A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈B}?UA＝{x|x∈U，且x?A}4.集合關(guān)系與運(yùn)算的常用結(jié)論(1)若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集個(gè)數(shù)為2n個(gè)，非空子集個(gè)數(shù)為2n－1個(gè)，真子集有2n－1個(gè)．(2)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(2)若{x2,1}＝{0,1}，則x＝0,1.()(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．()(4)對(duì)于任意兩個(gè)集合A，B，關(guān)系(A∩B)?(A∪B)恒成立．()(5)若A∩B＝A∩C，則B＝C.()(6)含有n個(gè)元素的集合有2n個(gè)真子集．()1．(2015·四川)設(shè)集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，則A∪B等于()A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}2．已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B為整數(shù)集，則A∩B等于()A．{－1,0,1,2}B．{－2，－1,0,1}C．{0,1}D．{－1,0}3．(2015·陜西)設(shè)集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，則M∪N等于()A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1]4．(教材改編)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，則?R(A∪B)＝________.5．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，則A∩B的元素個(gè)數(shù)為________．題型一集合的含義例1(1)已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是()A．1B．3C．5D．9(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________．思維升華(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型集合；(2)集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時(shí)要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．(1)設(shè)集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，則M中的元素個(gè)數(shù)為()A．3B．4C．5D．6(2)設(shè)a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，則b－a＝________.題型二集合間的基本關(guān)系例2(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，則滿足條件A?C?B的集合C的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4(2)已知集合A＝{x|x2－2017x＋2016<0}，B＝{x|x<a}，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．思維升華(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時(shí)，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會(huì)造成漏解；(2)已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系．常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．(1)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，則下列結(jié)論正確的是()A．A＝B B．A∩B＝?C．A?B D．B?A(2)已知集合A＝{x|eq\r(x)＝eq\r(x2－x)，x∈R}，B＝{1，m}，若A?B，則m的值為()A．2 B．－1C．－1或2 D．2或eq\r(2)題型三集合的基本運(yùn)算命題點(diǎn)1集合的運(yùn)算例3(1)設(shè)全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，則?U(A∪B)等于()A．{1,4} B．{1,5}C．{2,5} D．{2,4}(2)已知集合A＝{x|x－2≥0}，B＝{x|0<log2x<2}，則?R(A∩B)是()A．{x|2<x<4} B．{x|x≥2}C．{x|x≤2或x≥4} D．{x|x<2或x≥4}命題點(diǎn)2利用集合運(yùn)算求參數(shù)例4(1)已知集合A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m等于()A．0或eq\r(3) B．0或3C．1或eq\r(3) D．1或3(2)設(shè)集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)≥1C．a(chǎn)≥0 D．a(chǎn)≤0思維升華(1)一般來講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的實(shí)數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況．(2)運(yùn)算過程中要注意集合間的特殊關(guān)系的使用，靈活使用這些關(guān)系，會(huì)使運(yùn)算簡化．(1)(2015·天津)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，則集合A∩(?UB)等于()A．{2,5} B．{3,6}C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}(2)已知集合A＝{x|x>2或x<－1}，B＝{x|a≤x≤b}，若A∪B＝R，A∩B＝{x|2<x≤4}，則eq\f(b,a)＝_______________.題型四集合的新定義問題例5若集合A具有以下性質(zhì)：(Ⅰ)0∈A,1∈A；(Ⅱ)若x∈A，y∈A，則x－y∈A，且x≠0時(shí)，eq\f(1,x)∈A.則稱集合A是“好集”．下列命題正確的個(gè)數(shù)是()(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；(2)有理數(shù)集Q是“好集”；(3)設(shè)集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，則x＋y∈A.A．0B．1C．2D．3思維升華解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點(diǎn)：(1)緊扣新定義．首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；(2)用好集合的性質(zhì)．解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運(yùn)算與性質(zhì)．(2015·湖北)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定義集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，則AB中元素的個(gè)數(shù)為()A．77B．49C．45D．30[方法與技巧]1．集合中的元素的三個(gè)特征，特別是無序性和互異性在解題時(shí)經(jīng)常用到．解題后要進(jìn)行檢驗(yàn)，要重視符號(hào)語言與文字語言之間的相互轉(zhuǎn)化．2．對(duì)連續(xù)數(shù)集間的運(yùn)算，借助數(shù)軸的直觀性，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化；對(duì)已知連續(xù)數(shù)集間的關(guān)系，求其中參數(shù)的取值范圍時(shí)，要注意單獨(dú)考察等號(hào)能否取到．3．對(duì)離散的數(shù)集間的運(yùn)算，或抽象集合間的運(yùn)算，可借助Venn圖．這是數(shù)形結(jié)合思想的又一體現(xiàn)．[失誤與防范]1．解題中要明確集合中元素的特征，關(guān)注集合的代表元素(集合是點(diǎn)集、數(shù)集還是圖形集)．對(duì)可以化簡的集合要先化簡再研究其關(guān)系運(yùn)算．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，時(shí)刻關(guān)注對(duì)空集的討論，防止漏解．3．解題時(shí)注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系；二是集合與集合的包含關(guān)系．4．Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進(jìn)行集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的常用方法，其中運(yùn)用數(shù)軸圖示法時(shí)要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心．A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：30分鐘)1．下列集合中表示同一集合的是()A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}答案B解析選項(xiàng)A中的集合M表示由點(diǎn)(3,2)所組成的單點(diǎn)集，集合N表示由點(diǎn)(2,3)所組成的單點(diǎn)集，故集合M與N不是同一個(gè)集合．選項(xiàng)C中的集合M表示由直線x＋y＝1上的所有點(diǎn)組成的集合，集合N表示由直線x＋y＝1上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M與N不是同一個(gè)集合．選項(xiàng)D中的集合M是數(shù)集，而集合N是點(diǎn)集，故集合M與N不是同一個(gè)集合．對(duì)選項(xiàng)B，由集合元素的無序性，可知M，N表示同一個(gè)集合．2．設(shè)集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，則集合B中的元素個(gè)數(shù)為()A．4B．5C．6D．7答案C解析∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2,3,4,5,6,8.∴B中共有6個(gè)元素．3．(2015·課標(biāo)全國Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，則集合A∩B中元素的個(gè)數(shù)為()A．5B．4C．3D．2答案D解析A＝{…，5,8,11,14,17，…}，B＝{6,8,10,12,14}，集合A∩B中有兩個(gè)元素．4．(2015·課標(biāo)全國Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，則A∩B等于()A．{－1,0} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}答案A解析由A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}＝{x|－2＜x＜1}，得A∩B＝{－1,0}，故選A.5．已知集合A，B均為全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，則A∩(?UB)等于()A．{3}B．{4}C．{3,4}D．?答案A解析∵U＝{1,2,3,4}，?U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，∴{3}?A?{1,2,3}，又?UB＝{3,4}，∴A∩(?UB)＝{3}．6．設(shè)集合A＝{3，x2}，B＝{x，y}，若A∩B＝{2}，則y的值為()A．1B．2C．4D．3答案B解析由A∩B＝{2}得x2＝2，∴x＝±eq\r(2)，故y＝2.7．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，則P的子集共有()A．2個(gè)B．4個(gè)C．6個(gè)D．8個(gè)答案B解析∵M(jìn)＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}．∴M∩N的子集共有22＝4個(gè)．8．已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A?B，則a的取值范圍為()A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)答案B解析用數(shù)軸表示集合A，B(如圖)由A?B得a≥0.9．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案(－∞，1]解析∵1?{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.10．已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(?UA)＝?，則m的可能取值組成的集合為________．答案{0,1，－eq\f(1,2)}解析A＝{－1,2}，B＝?時(shí)，m＝0；B＝{－1}時(shí)，m＝1；B＝{2}時(shí)，m＝－eq\f(1,2).11．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，則A∩B＝________.答案{(0,1)，(－1,2)}解析A、B都表示點(diǎn)集，A∩B即是由A中在直線x＋y－1＝0上的所有點(diǎn)組成的集合，代入驗(yàn)證即可．12．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，則m＝________，n＝________.答案－11解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)可知m<1，則B＝{x|m<x<2}，畫出數(shù)軸，可得m＝－1，n＝1.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：15分鐘)13．已知集合A＝{x|x≤1}．若B?A，則集合B可以是()A．{x|x≤2} B．{x|x>1}C．{x|x≤0} D．R答案C解析因?yàn)锽?A，且A＝{x|x≤1}，所以選項(xiàng)中只有C滿足題意．故選C.14．全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2>0}，B＝{x|x－a≤0}，若?UB?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1) B．(－∞，2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)答案D解析A＝{x|x2－3x＋2>0}＝(－∞，1)∪(2，＋∞)，B＝{x|x≤a}，則?UB＝(a，＋∞)．∵(a，＋∞)?(－∞，1)∪(2，＋∞)，∴a≥2.故選D.15．定義在R上的運(yùn)算：xy＝eq\f(x－5,2－y).若關(guān)于x的不等式x(x＋3－a)>0的解集為A，B＝[－3,3]，若A∩B＝?，則a的取值范圍是________．答案[4，＋∞)解析x(x＋3－a)>0?eq\f(x－5,x＋1－a)<0.由A∩B＝?得，當(dāng)x∈[－3,3]時(shí)，eq\f(x－5,x＋1－a)≥0或x＋1－a＝0，由于在[－3,3]上，x－5<0，所以x＋1－a≤0，即a≥x＋1在[－3，3]上恒成立，所以a≥4.16．已知全集U＝{－2，－1,0,1,2}，集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\