四年級奧數(shù)b第五章-容斥原理(二)課件

金杯數(shù)學（4b）

天津科學技術出版社金杯數(shù)學（4b）天津科學技術出版社聽說我們即將學習圖片中老師講的那個題目。會不會很難啊，看起來挺復雜的！聽說我們即將學習圖片中老師講的那個題目。會不會很難啊，看起來一點都不難，我們現(xiàn)在就近距離的學習解答這個題目！------請問，小明爺爺奶奶家有多少人？？小明家5個人（爸爸、媽媽、小明、爺爺、奶奶）小明叔叔家5個人（叔叔、嬸嬸、妹妹爺爺、奶奶）小明伯伯家5個人（伯伯、伯母、姐姐、爺爺、奶奶）這還不簡單，3×5=15（個）同學們你們覺得小尼回答正確嗎？一點都不難，我們現(xiàn)在就近距離的學習解答這個題目！小明家5個人現(xiàn)在不知道，等我們學了今天的課程，就知道是怎么一回事了！現(xiàn)在不知道，【知識領航】容斥原理的運用很廣泛，它不僅適用于兩個事物之間的包含與排除關系，而且也運用于三個事物之間。有時要試著從問題的另一面去思考，如“3人跳繩比賽獲獎，1人跳繩、踢毽子兩項都獲獎”就要想到“只有跳繩比賽獲獎的有2人”。【知識領航】容斥原理的運用很廣泛，它不僅適用于兩個事物【方法點撥

】容斥原理的第二種類型是：如果被統(tǒng)計的事物有甲、乙、丙三類，那么，甲類或乙類或丙類物體的個數(shù)=甲類物體的個數(shù)+乙類物體的個數(shù)+丙類物體的個數(shù)－既是甲類又是乙類的物體個數(shù)－既是甲類又是丙類的物體個數(shù)－既是乙類又是丙類的物體個數(shù)－既是甲類又是乙類而且是丙類的物體個數(shù)的2倍。【方法點撥】容斥原理的第二種類型是：如果被統(tǒng)計的事物有【技巧感悟】

分析：答對第一題的有52人，答對第二題的有49人，根據(jù)題意，答對第一題和第二題的總人數(shù)是52+49=101人，但其中兩題都答對的43人被算了兩次，用101－43=58人就得到至少有一題答對的人數(shù)。所以兩題都答得不對的有62－58=4人。解：52+49－43=58（人）62－58=4（人）答：至少答對一題的有58人，兩題都沒答對的有4人。第一題(52-43)人第二題(49-43)人？例1：四年級某班62個同學在課堂小測驗中，答對第一題的有52人，答對第二題的有49人，兩題都答對的有43人。至少答對一題的有多少人？兩題都沒答對的有幾人？【技巧感悟】分析：答對第一題的有52人，答對第二題的有4【熱身演練】某班有40個學生，其中15人參加數(shù)學興趣小組，18人參加航模興趣小組，有10人兩個小組都參加，那么有幾個人兩個小組都不參加？(1)共40人數(shù)學15人航模18人10？【熱身演練】某班有40個學生，其中15人參加數(shù)學興趣小組，例2、育才小學舉辦學生美術作品展覽。其中有22幅不是四年級的，有26幅不是五年級的。四、五年級的參展作品共有12幅，其他年級參展的作品共有多少幅？

分析：由題意可知，22幅作品是一、二、三、五、六年級的總數(shù)；26幅作品是一、二、三、四、六年級的總數(shù)。22+26=48幅，這是一個四、五年級和兩個一、二、三、六年級參展的作品總數(shù)，從中去掉四、五年級共參展的12幅即可得到兩個一、二、三、六年級參展的作品總數(shù)，再除以2，就求出了其他年級參展的作品。解：【技巧感悟】（22+26－12）÷2=18(幅)答：其他年級參展的作品共有18幅。例2、育才小學舉辦學生美術作品展覽。其中有22幅不是四年級的【熱身演練】希望小學畫展上展出了許多幅畫，其中有16幅不是六年級的，有15幅畫不是五年級的。五、六年級共有25幅畫，那么其他年級的畫共有多少幅？(2)【熱身演練】希望小學畫展上展出了許多幅畫，其中有16幅不是例3、某班有52人，其中會下棋的有48人，會畫畫的有37人，會跳舞的有39人，這個班三項都會的至少有多少人？【技巧感悟】

分析：會下棋的有48人，所以不會下棋的有52－48=4人；同樣，不會畫畫的有52－37=15人；不會跳舞的有52－39=13人。三項中有一個項目不會的最多有4+15+13=32人，因此，三項都會的至少有52－32=20人。解：（52－48）+（52－37）+（52－39）=32（人）答：這個班三項都會的至少有20人。52―32=20（人）例3、某班有52人，其中會下棋的有48人，會畫畫的有37人，【熱身演練】四（1）班有54人參加秋游活動，其中35人喜歡玩“捉特務”，45人喜歡玩“老鷹捉小雞”，40人喜歡踢足球，50人喜歡跳牛皮筋。這個班至少有多少學生對這四項活動都喜歡？(3)【熱身演練】四（1）班有54人參加秋游活動，其中35人喜歡例4、四（3）班同學對作文、數(shù)學、自然三科中至少有一門感興趣，其中30人喜歡作文，32人喜歡數(shù)學，21人喜歡自然；既喜歡作文又喜歡數(shù)學的有15人，既喜歡數(shù)學又喜歡自然的有12人，既喜歡作文又喜歡自然的有14人；三門都喜歡的有8人。求全班的總人數(shù)。

分析與解

：如下圖：

【技巧感悟】（1）將喜歡作文、數(shù)學、自然的人數(shù)加起來：30+32+21=83（人）答：全班的總人數(shù)是50人。7648數(shù)學13作文9自然3（2）對兩門學科感興趣的已在上面重復統(tǒng)計了一次，應排除：83－（15+12+14）=42（人）

（3）對三門都感興趣的，在（1）中加了三次，在（2）的括號中加了三次，但在（2）式中又被減去了三次，也就是同時對三門感興趣的都被排除在外，還必須補回來：42+8=50（人）綜合算式：（30+32+21）－（15+12+14）+8=50（人）例4、四（3）班同學對作文、數(shù)學、自然三科中至少有一門感興趣【熱身演練】某校有數(shù)學、語文、外語三個興趣小組，參加數(shù)學小組的有35人，參加語文小組的有38人，參加外語小組的有28人，同時參加數(shù)學、語文兩個小組的有8人，同時參加數(shù)學、外語兩個小組的有12人，同時參加語文、外語兩個小組的有10人，三個小組都參加的有4人。這個學校參加課外興趣小組的共有多少人？(4)【熱身演練】某校有數(shù)學、語文、外語三個興趣小組，參加數(shù)學小例5、某個班的全體學生在進行了短跑、游泳、籃球三個項目的測試后，有4名學生在這三個項目上都沒有達到優(yōu)秀，其余每人至少有一項達到了優(yōu)秀，這部分學生達到優(yōu)秀的項目、人數(shù)如下表：

分析：全班學生由兩部分人組成，一部分是三個項目都沒有達到優(yōu)秀的4人，另一部分是至少有一項達到優(yōu)秀的人，所以關鍵是求出至少有一個項目達到優(yōu)秀的學生數(shù)?！炯记筛形颉壳筮@個班的學生人數(shù)。項目短跑游泳籃球短跑游泳短跑籃球游泳籃球短跑游泳籃球人數(shù)171815

6

5

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2例5、某個班的全體學生在進行了短跑、游泳、籃球三個項目的【技巧感悟】

解法一：如下圖所示，把每個項目達到優(yōu)秀的人數(shù)用圓圈表示。先填短跑、游泳、籃球三個項目都優(yōu)秀的人數(shù)（2人），4人4人短跑8人籃球6人游泳8人3人

2人最后考慮單項優(yōu)秀的學生數(shù)，由于籃球有15人優(yōu)秀，從圖中可知，籃球優(yōu)秀的已有3+2+4=9（人），則在籃球的圈中，單項優(yōu)秀的人數(shù)為15－9=6（人）；同樣道理，游泳單項優(yōu)秀的人數(shù)為18－（2+4+4）=8（人）；短跑單項優(yōu)秀的人數(shù)為17－（4+2+3）=8（人）。這樣一來，短跑、游泳、籃球三項中至少有一項優(yōu)秀的學生人數(shù)就是2＋3＋4＋4＋6＋8＋8=35（人），全班人數(shù)是：35+4=39（人）。再填籃球、短跑都優(yōu)秀的人數(shù)（5人），但是，前面三項都優(yōu)秀的人數(shù)已包含兩項優(yōu)秀的人數(shù)，所以在短跑與籃球的交界處只要填5－2=3（人）；同樣道理，在短跑與游泳的交界處只要填6－2=4（人）；在游泳與籃球的交界處只要填6－2=4（人）；【技巧感悟】解法一：如下圖所示，把每個項目達到優(yōu)秀的人【技巧感悟】

解法二：與例４的解法相同。先把三個單項的人數(shù)相加，在減去兩項都優(yōu)秀的人數(shù)之和，然后再加上三項都優(yōu)秀的人數(shù)，這樣就求出了短跑、游泳、籃球三項中至少有一項優(yōu)秀的學生人數(shù)，最后再加上三項都沒有達到優(yōu)秀的人數(shù)就得到了全班人數(shù)。（17+18+15）－（6+5+6）+2=35（人）答：這個班的學生人數(shù)是39人。

35+4=39（人）【技巧感悟】解法二：與例４的解法相同。先把三個單項的人小朋友們，今天學習怎樣，知識點掌握了沒有?小朋友們，今天學習怎樣，知識點掌握了沒有?金杯數(shù)學（4b）

天津科學技術出版社金杯數(shù)學（4b）天津科學技術出版社聽說我們即將學習圖片中老師講的那個題目。會不會很難啊，看起來挺復雜的！聽說我們即將學習圖片中老師講的那個題目。會不會很難啊，看起來一點都不難，我們現(xiàn)在就近距離的學習解答這個題目！------請問，小明爺爺奶奶家有多少人？？小明家5個人（爸爸、媽媽、小明、爺爺、奶奶）小明叔叔家5個人（叔叔、嬸嬸、妹妹爺爺、奶奶）小明伯伯家5個人（伯伯、伯母、姐姐、爺爺、奶奶）這還不簡單，3×5=15（個）同學們你們覺得小尼回答正確嗎？一點都不難，我們現(xiàn)在就近距離的學習解答這個題目！小明家5個人現(xiàn)在不知道，等我們學了今天的課程，就知道是怎么一回事了！現(xiàn)在不知道，【知識領航】容斥原理的運用很廣泛，它不僅適用于兩個事物之間的包含與排除關系，而且也運用于三個事物之間。有時要試著從問題的另一面去思考，如“3人跳繩比賽獲獎，1人跳繩、踢毽子兩項都獲獎”就要想到“只有跳繩比賽獲獎的有2人”?！局R領航】容斥原理的運用很廣泛，它不僅適用于兩個事物【方法點撥

】容斥原理的第二種類型是：如果被統(tǒng)計的事物有甲、乙、丙三類，那么，甲類或乙類或丙類物體的個數(shù)=甲類物體的個數(shù)+乙類物體的個數(shù)+丙類物體的個數(shù)－既是甲類又是乙類的物體個數(shù)－既是甲類又是丙類的物體個數(shù)－既是乙類又是丙類的物體個數(shù)－既是甲類又是乙類而且是丙類的物體個數(shù)的2倍?！痉椒c撥】容斥原理的第二種類型是：如果被統(tǒng)計的事物有【技巧感悟】

分析：答對第一題的有52人，答對第二題的有49人，根據(jù)題意，答對第一題和第二題的總人數(shù)是52+49=101人，但其中兩題都答對的43人被算了兩次，用101－43=58人就得到至少有一題答對的人數(shù)。所以兩題都答得不對的有62－58=4人。解：52+49－43=58（人）62－58=4（人）答：至少答對一題的有58人，兩題都沒答對的有4人。第一題(52-43)人第二題(49-43)人？例1：四年級某班62個同學在課堂小測驗中，答對第一題的有52人，答對第二題的有49人，兩題都答對的有43人。至少答對一題的有多少人？兩題都沒答對的有幾人？【技巧感悟】分析：答對第一題的有52人，答對第二題的有4【熱身演練】某班有40個學生，其中15人參加數(shù)學興趣小組，18人參加航模興趣小組，有10人兩個小組都參加，那么有幾個人兩個小組都不參加？(1)共40人數(shù)學15人航模18人10？【熱身演練】某班有40個學生，其中15人參加數(shù)學興趣小組，例2、育才小學舉辦學生美術作品展覽。其中有22幅不是四年級的，有26幅不是五年級的。四、五年級的參展作品共有12幅，其他年級參展的作品共有多少幅？

分析：由題意可知，22幅作品是一、二、三、五、六年級的總數(shù)；26幅作品是一、二、三、四、六年級的總數(shù)。22+26=48幅，這是一個四、五年級和兩個一、二、三、六年級參展的作品總數(shù)，從中去掉四、五年級共參展的12幅即可得到兩個一、二、三、六年級參展的作品總數(shù)，再除以2，就求出了其他年級參展的作品。解：【技巧感悟】（22+26－12）÷2=18(幅)答：其他年級參展的作品共有18幅。例2、育才小學舉辦學生美術作品展覽。其中有22幅不是四年級的【熱身演練】希望小學畫展上展出了許多幅畫，其中有16幅不是六年級的，有15幅畫不是五年級的。五、六年級共有25幅畫，那么其他年級的畫共有多少幅？(2)【熱身演練】希望小學畫展上展出了許多幅畫，其中有16幅不是例3、某班有52人，其中會下棋的有48人，會畫畫的有37人，會跳舞的有39人，這個班三項都會的至少有多少人？【技巧感悟】

分析：會下棋的有48人，所以不會下棋的有52－48=4人；同樣，不會畫畫的有52－37=15人；不會跳舞的有52－39=13人。三項中有一個項目不會的最多有4+15+13=32人，因此，三項都會的至少有52－32=20人。解：（52－48）+（52－37）+（52－39）=32（人）答：這個班三項都會的至少有20人。52―32=20（人）例3、某班有52人，其中會下棋的有48人，會畫畫的有37人，【熱身演練】四（1）班有54人參加秋游活動，其中35人喜歡玩“捉特務”，45人喜歡玩“老鷹捉小雞”，40人喜歡踢足球，50人喜歡跳牛皮筋。這個班至少有多少學生對這四項活動都喜歡？(3)【熱身演練】四（1）班有54人參加秋游活動，其中35人喜歡例4、四（3）班同學對作文、數(shù)學、自然三科中至少有一門感興趣，其中30人喜歡作文，32人喜歡數(shù)學，21人喜歡自然；既喜歡作文又喜歡數(shù)學的有15人，既喜歡數(shù)學又喜歡自然的有12人，既喜歡作文又喜歡自然的有14人；三門都喜歡的有8人。求全班的總人數(shù)。

分析與解

：如下圖：

【技巧感悟】（1）將喜歡作文、數(shù)學、自然的人數(shù)加起來：30+32+21=83（人）答：全班的總人數(shù)是50人。7648數(shù)學13作文9自然3（2）對兩門學科感興趣的已在上面重復統(tǒng)計了一次，應排除：83－（15+12+14）=42（人）

（3）對三門都感興趣的，在（1）中加了三次，在（2）的括號中加了三次，但在（2）式中又被減去了三次，也就是同時對三門感興趣的都被排除在外，還必須補回來：42+8=50（人）綜合算式：（30+32+21）－（15+12+14）+8=50（人）例4、四（3）班同學對作文、數(shù)學、自然三科中至少有一門感興趣【熱身演練】某校有數(shù)學、語文、外語三個興趣小組，參加數(shù)學小組的有35人，參加語文小組的有38人，參加外語小組的有28人，同時參加數(shù)學、語文兩個小組的有8人，同時參加數(shù)學、外語兩個小組的有12人，同時參加語文、外語兩個小組的有10人，三個小組都參加的有4人。這個學校參加課外興趣小組的共有多少人？(4)【熱身演練】某校有數(shù)學、語文、外語三個興趣小組，參加數(shù)學小例5、某個班的全體學生在進行了短跑、游泳、籃球三個項目的測試后，有4名學生在這三個項目上都沒有達到優(yōu)秀，其余每人至少有一項達到了優(yōu)秀，這部分學生達到優(yōu)秀的項目、人數(shù)如下表：

分析：全班學生由兩部分人組成，一部分是三個項目都沒有達到優(yōu)秀的4人，另一部分是至少有一項達到優(yōu)秀的人，所以關鍵是求出至少有一個項目達到優(yōu)秀的學生數(shù)。【技巧感悟】求這個班的學生人數(shù)。項目短跑游泳籃球短跑游泳短跑籃球游泳籃球短跑游泳籃球人數(shù)171815

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2例5、某個班的全體學生在進行了短跑、游泳、籃球三個項目的【技巧感悟】