彈性力學(xué)-第六章-用有限單元法解平面問題課件

第六章

用有限元法解平面問題胡衡武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院彈性力學(xué)及有限元二零零八年六月第六章用有限元法解平面問題胡衡彈性力學(xué)及有1有限元法的概念有限單元法的目的是求解連續(xù)體的力學(xué)問題，它將連續(xù)體變換為由有限個(gè)有限大小的單元組成的離散化結(jié)構(gòu)：這樣的離散化結(jié)構(gòu)與桁架相比，其區(qū)別在于桁架的單元是桿件，而這里的單元是三角形塊體。塊體與塊體之間只在結(jié)點(diǎn)處相連接，彈性體受的面力和體力都按靜力等效移植到結(jié)點(diǎn)上。有限元法的概念有限單元法的目的是求解連續(xù)體的力學(xué)問題，它將連2有限元法的基本量有限元法是二十世紀(jì)五十年代以來隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用發(fā)展起來的一種數(shù)值解法。在有限元法中，為了簡(jiǎn)潔清晰地表明各基本量之間的關(guān)系，也為了便于程序編寫，廣泛地采用矩陣表示和矩陣運(yùn)算，因此，我們先來介紹一些基本量和基本方程的矩陣表示:體力列陣：面力列陣：有限元法的基本量有限元法是二十世紀(jì)五十年代以來隨著3有限元法的基本量應(yīng)力列陣：應(yīng)變列陣：位移列陣：運(yùn)用幾何方程的應(yīng)變列陣：平面應(yīng)力狀態(tài)下的物理方程的矩陣表示：有限元法的基本量應(yīng)力列陣：應(yīng)變列陣：位移列陣：運(yùn)用幾何方程的4有限元法的量對(duì)于平面應(yīng)變問題，在D中做如下變換：換為換為有限元法的量對(duì)于平面應(yīng)變問題，在D中做如下變換：換為換為5有限元法的基本方程有限元法的基本方程6有限元法的基本方程在有限單元法中，作用于彈性體的各種外力常以作用于某些點(diǎn)的等效集中力來代替。這些點(diǎn)上的集中力以及它們相應(yīng)的虛位移可用列陣表示為：于是，外力在虛位移上的虛功為：則集中力下的虛功方程為：有限元法的基本方程在有限單元法中，作用于彈性體的各種外力常以7有限元法的求解步驟(1)（1）取有限單元的結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量，如對(duì)三角形三結(jié)點(diǎn)有限元，它們是：ijm（2）應(yīng)用插值公式，由單元的結(jié)點(diǎn)位移求出單元的位移函數(shù)，即求出關(guān)系式：這種插值公式表示單元中的位移分布形式，在有限元中稱為位移模式，其中N為形函數(shù)矩陣。有限元法的求解步驟(1)（1）取有限單元的結(jié)點(diǎn)位移為基本未知8有限元法的求解步驟(2)（3）應(yīng)用幾何方程，由單元的位移模式求出單元的應(yīng)變，即求出關(guān)系式：（4）應(yīng)用物理方程，由單元的應(yīng)變求出單元的應(yīng)力：（5）應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力求出單元的結(jié)點(diǎn)力。ijm結(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力稱為結(jié)點(diǎn)力，在三角形單元中，結(jié)點(diǎn)力列陣為：有限元法的求解步驟(2)（3）應(yīng)用幾何方程，由單元的位移模式9有限元法的求解步驟(3)（5）應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力求出單元的結(jié)點(diǎn)力。ijm集中力下的虛功方程為：：?jiǎn)卧獎(jiǎng)哦染仃囉邢拊ǖ那蠼獠襟E(3)（5）應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力求出10有限元法的求解步驟(4)（6）將單元中的各種外力載荷向結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)移，化為結(jié)點(diǎn)載荷：ijm（7）列出各結(jié)點(diǎn)的平衡方程，組成整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程組。例如，由于結(jié)點(diǎn)i受有環(huán)繞它的單元轉(zhuǎn)移過來的結(jié)點(diǎn)載荷和結(jié)點(diǎn)力，因此結(jié)點(diǎn)i的平衡方程為：表示對(duì)那些環(huán)繞i結(jié)點(diǎn)的單元求和。i=1,2,3…nn表示應(yīng)列平衡方程的結(jié)點(diǎn)數(shù)。有限元法的求解步驟(4)（6）將單元中的各種外力載荷向結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)11有限元法的求解步驟(5)（8）將代入下式：得到：這里稱為整體勁度矩陣，是整體結(jié)點(diǎn)載荷列陣，是整體結(jié)點(diǎn)位移列陣。有限元法的求解步驟(5)（8）將代入下式：得到：這里12位移模式單元的位移模式位移模式單元的位移模式13單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣（1）單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣（1）14單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣（2）其中：i,j,m可交替輪換單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣（2）其中：i,j,m可交替輪15單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣（3）單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣（3）16單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣（4）在三結(jié)點(diǎn)三角形單元中，當(dāng)位移函數(shù)取為線性位移模式時(shí)，實(shí)際上就是將位移函數(shù)在單元中用泰勒級(jí)數(shù)展開并忽略，二階以上的項(xiàng)得到的結(jié)果。再經(jīng)過求導(dǎo)運(yùn)算得出的應(yīng)變和應(yīng)力都是常量。由此可見，線性位移的誤差是,的二階小量，而應(yīng)力和應(yīng)變則是一階小量。故應(yīng)力的精度低于位移的精度。為了提高計(jì)算精度，一般可以采取兩種方法，一是將單元的尺寸減小，而是采用包含更高此項(xiàng)的位移模式。單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣（4）在三結(jié)點(diǎn)三角形單元中，當(dāng)位移函17單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣（1）：?jiǎn)卧獎(jiǎng)哦染仃噯卧慕Y(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣（1）：?jiǎn)卧獎(jiǎng)哦染仃?8單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣（2）單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣（2）19單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣（3）單元?jiǎng)偠染仃嚨奶攸c(diǎn)：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚾Q于單元的形狀和彈性常數(shù)，與單元位置無關(guān)，與單元的大小無關(guān)。單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱矩陣。單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣（3）單元?jiǎng)偠染仃嚨奶攸c(diǎn)：20單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣（4）

-舉例xyijmaai,j,m可交替輪換單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣（4）

-舉例xyijmaai,21單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣（5）xyijmaa單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣（5）xyijmaa22載荷向結(jié)點(diǎn)移置（1）xyijmaa對(duì)于變形體，包括彈性體在內(nèi)，所謂靜力等效，是指原載荷與結(jié)點(diǎn)載荷在任何虛位移上的虛功相等。原載荷與結(jié)點(diǎn)載荷向任意點(diǎn)簡(jiǎn)化時(shí)，它們具有相同的主矢量和主矩。假設(shè)各結(jié)點(diǎn)的虛位移為：假設(shè)將集中力移置各結(jié)點(diǎn)上后，各結(jié)點(diǎn)上的結(jié)點(diǎn)載荷為：載荷向結(jié)點(diǎn)移置（1）xyijmaa對(duì)于變形體，包括彈性體在內(nèi)23載荷向結(jié)點(diǎn)移置（2）xyijmaa則作用于P點(diǎn)的虛位移為：按照靜力等效原則，結(jié)點(diǎn)載荷在結(jié)點(diǎn)虛位移上的虛功，應(yīng)當(dāng)?shù)扔诩休d荷在其作用點(diǎn)上的虛功：載荷向結(jié)點(diǎn)移置（2）xyijmaa則作用于P點(diǎn)的虛位移為：按24載荷向結(jié)點(diǎn)移置（3）此為三結(jié)點(diǎn)單元上的集中載荷向結(jié)點(diǎn)移置的計(jì)算公式，其中的各項(xiàng)N為形函數(shù)在集中載荷作用處的數(shù)值。xyijmaa載荷向結(jié)點(diǎn)移置（3）此為三結(jié)點(diǎn)單元上的集中載荷向結(jié)點(diǎn)移置的計(jì)25載荷向結(jié)點(diǎn)移置（4）設(shè)單元受分布體力，可將微分體積上的體力當(dāng)作集中力，利用集中載荷的計(jì)算公式，將體力也移至結(jié)點(diǎn)：例如，設(shè)單元ijm的密度為，試求自重的等效結(jié)點(diǎn)載荷。載荷向結(jié)點(diǎn)移置（4）設(shè)單元受分布體力26載荷向結(jié)點(diǎn)移置（5）移置到各結(jié)點(diǎn)的載荷均為1/3自重。載荷向結(jié)點(diǎn)移置（5）移置到各結(jié)點(diǎn)的載荷均為1/3自重。27設(shè)單元體受分布面力，可將微分面積上的面力當(dāng)作集中力，利用集中載荷的計(jì)算公式，將面力也移置結(jié)點(diǎn)：載荷向結(jié)點(diǎn)移置（6）例如，設(shè)單元ij邊上受有x方向上的均布面力q，試求等效結(jié)點(diǎn)載荷設(shè)單元體受分布面力28載荷向結(jié)點(diǎn)移置（7）載荷向結(jié)點(diǎn)移置（7）29結(jié)構(gòu)整體分析（1）對(duì)于每個(gè)單元，我們已經(jīng)知道了如何計(jì)算單元的勁度矩陣以及載荷列陣：結(jié)構(gòu)整體分析（1）對(duì)于每個(gè)單元，我們已經(jīng)知道了如何計(jì)算單元的30結(jié)構(gòu)整體分析（2）根據(jù)虛功原理，我們也推導(dǎo)了結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系：對(duì)于i點(diǎn),一個(gè)單元上的結(jié)點(diǎn)力為:i

點(diǎn)的力平衡要求圍繞i

點(diǎn)的各單元產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)力與各單元分配到i

點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)載荷相等。結(jié)構(gòu)整體分析（2）根據(jù)虛功原理，我們也推導(dǎo)了結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移31結(jié)構(gòu)整體分析（3）綜上所述，i

點(diǎn)的平衡方程為。將所有結(jié)點(diǎn)的平衡方程寫在一起，就得到了整個(gè)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)平衡方程：這里稱為整體勁度矩陣，是整體結(jié)點(diǎn)載荷列陣，是整體結(jié)點(diǎn)位移列陣。結(jié)構(gòu)整體分析（3）綜上所述，i點(diǎn)的平衡方程為。將所有結(jié)點(diǎn)的32結(jié)構(gòu)整體分析（4）其中：n為結(jié)點(diǎn)數(shù),下標(biāo)1,2,3…是結(jié)點(diǎn)在整體結(jié)構(gòu)中的編號(hào)。注：i,j,m是結(jié)點(diǎn)在單元中的局部編號(hào)。整體剛度矩陣的一個(gè)元素Krs就是由按整體編碼的，同下標(biāo)的單元?jiǎng)哦染仃囋氐寞B加得到的：結(jié)構(gòu)整體分析（4）其中：n為結(jié)點(diǎn)數(shù),下標(biāo)1,2,3…是33有限元計(jì)算簡(jiǎn)例(1)xy2m2m2m2m2N/m2N/m123456有限元計(jì)算簡(jiǎn)例(1)xy2m2m2m2m2N/m2N/m1234有限元計(jì)算簡(jiǎn)例(2)

—單元?jiǎng)偠染仃嚨囊饬xi--3Ij--1m--212356IIIIIIIV4kij表示由于j結(jié)點(diǎn)沿x或y方向上的位移而引起的在i結(jié)點(diǎn)的沿x或y方向結(jié)點(diǎn)力。有限元計(jì)算簡(jiǎn)例(2)

—單元?jiǎng)偠染仃嚨囊饬xi--3Ij--35有限元計(jì)算簡(jiǎn)例(3)iIIIIVjmIIIijm12356IIIIIIIV4IIIIIIIV有限元計(jì)算簡(jiǎn)例(3)iIjmIIIijm12356IIIII36結(jié)構(gòu)整體分析（4）整體剛度矩陣中的一個(gè)元素Krs表示，由于s結(jié)點(diǎn)的位移而引起的在r結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)力，下面舉例說明：結(jié)構(gòu)整體分析（4）整體剛度矩陣中的一個(gè)元素Krs表示，由于s37結(jié)構(gòu)整體分析（5）iIIIIVjmIIIijm12356IIIIIIIV4整體剛度矩陣中的K23,表示3號(hào)結(jié)點(diǎn)的位移由于結(jié)構(gòu)勁度在2號(hào)結(jié)點(diǎn)上引起的結(jié)點(diǎn)力，因此，它將由兩部分組成，一部分來自I單元，一部分來自III單元。觀察以下表格，可知。IIII結(jié)構(gòu)整體分析（5）iIjmIIIijm12356IIIIII38結(jié)構(gòu)整體分析（6）整體勁度矩陣的獲得過程：首先將整體剛度全部充零，然后逐個(gè)單元的建立單元?jiǎng)哦染仃?，最后根?jù)結(jié)點(diǎn)的局部編碼與整體編碼的關(guān)系，將所有單元?jiǎng)哦染仃嚨拿恳粋€(gè)子矩陣都疊加到整體勁度矩陣中去。結(jié)構(gòu)整體分析（6）整體勁度矩陣的獲得過程：首先將整體剛度全部39

結(jié)構(gòu)整體分析（7）

-計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嘐

結(jié)構(gòu)整體分析（7）

-計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嘐40

結(jié)構(gòu)整體分析（8）

-得到整體剛度矩陣E

結(jié)構(gòu)整體分析（8）

-得到整體剛度矩陣E41

結(jié)構(gòu)整體分析（9）

-在整體剛度矩陣中引入邊界條件12356IIIIIIIV4需求解的結(jié)點(diǎn)還剩：因此關(guān)于這六個(gè)零分量的六個(gè)平衡方程不用建立，須將整體剛度矩陣的第1，3，7，8，10，12以及同序列的各列去掉。最后得到：

結(jié)構(gòu)整體分析（9）

-在整體剛度矩陣中引入邊界條件12342

結(jié)構(gòu)整體分析（10）

-結(jié)點(diǎn)載荷12356IIIIIIIV4iIIIIVjmIIIijm不考慮位移邊界條件的情況下：1N/m

結(jié)構(gòu)整體分析（10）

-結(jié)點(diǎn)載荷12356IIIIIII43結(jié)構(gòu)整體分析（11）12356IIIIIIIV4iIIIIVjmIIIijm1N/m考慮邊界條件，去掉零位移對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)載荷：至此，結(jié)構(gòu)的整體結(jié)構(gòu)剛度矩陣以及整體載荷列陣都已經(jīng)得到，下面根據(jù)平衡方程求解結(jié)點(diǎn)位移。結(jié)構(gòu)整體分析（11）12356IIIIIIIV4iIjmII44結(jié)構(gòu)整體分析（12）

-求解結(jié)構(gòu)整體分析（12）

-求解45結(jié)構(gòu)整體分析（13）

-整理結(jié)果求應(yīng)力求應(yīng)力所需關(guān)系式如下：結(jié)構(gòu)整體分析（13）

-整理結(jié)果求應(yīng)力求應(yīng)力所需關(guān)系式如下46結(jié)構(gòu)整體分析（14）

-整理結(jié)果求應(yīng)力12356IIIIIIIV4iIIIIVjmIIIijmI,II，IVII結(jié)構(gòu)整體分析（14）

-整理結(jié)果求應(yīng)力12356IIIII47結(jié)構(gòu)整體分析（14）

-整理結(jié)果求應(yīng)力12356IIIIIIIV4對(duì)于單元III：IIIijm結(jié)構(gòu)整體分析（14）

-整理結(jié)果求應(yīng)力12356IIIII48結(jié)構(gòu)整體分析（15）有限元法的求解步驟：劃分有限元，利用已知的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)以及結(jié)構(gòu)的物理特性寫出單元?jiǎng)哦染仃?，利用整體編碼與局部編碼的關(guān)系寫出整體剛度矩陣以及力列陣，在整體剛度矩陣以及力列陣中將對(duì)應(yīng)于零位移的行與列劃去，得到引入邊界條件后的平衡方程組。求解平衡方程組，得到結(jié)點(diǎn)位移，并由此分析應(yīng)力分布。結(jié)構(gòu)整體分析（15）有限元法的求解步驟：49有限單元法的單元?jiǎng)澐郑?）有限單元的劃分需要注意以下幾點(diǎn)：對(duì)于結(jié)構(gòu)的不同部位，可以根據(jù)需要，采用不同大小的單元。應(yīng)使三角形單元的內(nèi)角大致相當(dāng)，因?yàn)閼?yīng)力與位移的誤差與最小內(nèi)角的正玄成反比。應(yīng)該充分利用結(jié)構(gòu)特性，減少計(jì)算工作量。在結(jié)構(gòu)的厚度或彈性常數(shù)有突變處，除了應(yīng)該采用較小的單元外，還應(yīng)該把突變線作為單元的界限。如果結(jié)構(gòu)受有集度突變的載荷，也應(yīng)該在突變部位采用較小的有限元，并在突變處設(shè)置結(jié)點(diǎn)，使應(yīng)力的突變有所反應(yīng)。有限單元法的單元?jiǎng)澐郑?）有限單元的劃分需要注意以下幾點(diǎn)：50有限單元法的單元?jiǎng)澐郑?）當(dāng)結(jié)構(gòu)具有凹槽或孔洞時(shí)，為了正確地描述應(yīng)力集中效應(yīng)，必須把該處的網(wǎng)格畫得很密。當(dāng)計(jì)算容量不允許時(shí)，可以分兩次計(jì)算。第一次計(jì)算時(shí)，將需要細(xì)化網(wǎng)格的目標(biāo)區(qū)域的網(wǎng)格畫得稀疏一點(diǎn)，甚至和其他區(qū)域的網(wǎng)格大致相同，第二次計(jì)算時(shí)，將需要細(xì)化的部分區(qū)域（區(qū)域邊界上的結(jié)點(diǎn)位移是第一次計(jì)算后的已知值）取出，利用第一次計(jì)算的計(jì)算結(jié)果，就可以計(jì)算分析網(wǎng)格很密的目標(biāo)區(qū)域了。有限單元法的單元?jiǎng)澐郑?）當(dāng)結(jié)構(gòu)具有凹槽或孔洞時(shí)，為了正確地51計(jì)算結(jié)果的整理（1）為了得到結(jié)構(gòu)內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力，必須通過平均計(jì)算，通常可采用繞結(jié)點(diǎn)平均法或二單元平均法。所謂繞結(jié)點(diǎn)平均法就是把環(huán)繞某一結(jié)點(diǎn)的各單元的常量應(yīng)力加以平均，用來表征該結(jié)點(diǎn)處的應(yīng)力。12356IIIIIIIV4a所謂二單元平均法就是把兩個(gè)相鄰單元的常量應(yīng)力加以平均，用來表征公共邊中點(diǎn)的應(yīng)力。計(jì)算結(jié)果的整理（1）為了得到結(jié)構(gòu)內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力，必須通過平均52計(jì)算結(jié)果的整理（2）1234在結(jié)構(gòu)有應(yīng)力集中的區(qū)域，應(yīng)力往往數(shù)值較大且變化劇烈，在推導(dǎo)最大應(yīng)力時(shí)，必須充分注意如何達(dá)到最高精度。設(shè)已知上圖凹槽邊界處的結(jié)點(diǎn)應(yīng)力已知，有兩種方法可以推導(dǎo)邊界上的最大應(yīng)力：第一種：手繪應(yīng)力曲線，如果曲線變化不是很強(qiáng)烈，則直接可以觀察出最大應(yīng)力所在處；第二種，利用插值公式，求得應(yīng)力的函數(shù)表達(dá)式，并利用該表達(dá)式求得最大應(yīng)力及其所在坐標(biāo)。計(jì)算結(jié)果的整理（2）1234在結(jié)構(gòu)有應(yīng)力集中的區(qū)域，應(yīng)力往往53第六章

用有限元法解平面問題胡衡武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院彈性力學(xué)及有限元二零零八年六月第六章用有限元法解平面問題胡衡彈性力學(xué)及有54有限元法的概念有限單元法的目的是求解連續(xù)體的力學(xué)問題，它將連續(xù)體變換為由有限個(gè)有限大小的單元組成的離散化結(jié)構(gòu)：這樣的離散化結(jié)構(gòu)與桁架相比，其區(qū)別在于桁架的單元是桿件，而這里的單元是三角形塊體。塊體與塊體之間只在結(jié)點(diǎn)處相連接，彈性體受的面力和體力都按靜力等效移植到結(jié)點(diǎn)上。有限元法的概念有限單元法的目的是求解連續(xù)體的力學(xué)問題，它將連55有限元法的基本量有限元法是二十世紀(jì)五十年代以來隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用發(fā)展起來的一種數(shù)值解法。在有限元法中，為了簡(jiǎn)潔清晰地表明各基本量之間的關(guān)系，也為了便于程序編寫，廣泛地采用矩陣表示和矩陣運(yùn)算，因此，我們先來介紹一些基本量和基本方程的矩陣表示:體力列陣：面力列陣：有限元法的基本量有限元法是二十世紀(jì)五十年代以來隨著56有限元法的基本量應(yīng)力列陣：應(yīng)變列陣：位移列陣：運(yùn)用幾何方程的應(yīng)變列陣：平面應(yīng)力狀態(tài)下的物理方程的矩陣表示：有限元法的基本量應(yīng)力列陣：應(yīng)變列陣：位移列陣：運(yùn)用幾何方程的57有限元法的量對(duì)于平面應(yīng)變問題，在D中做如下變換：換為換為有限元法的量對(duì)于平面應(yīng)變問題，在D中做如下變換：換為換為58有限元法的基本方程有限元法的基本方程59有限元法的基本方程在有限單元法中，作用于彈性體的各種外力常以作用于某些點(diǎn)的等效集中力來代替。這些點(diǎn)上的集中力以及它們相應(yīng)的虛位移可用列陣表示為：于是，外力在虛位移上的虛功為：則集中力下的虛功方程為：有限元法的基本方程在有限單元法中，作用于彈性體的各種外力常以60有限元法的求解步驟(1)（1）取有限單元的結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量，如對(duì)三角形三結(jié)點(diǎn)有限元，它們是：ijm（2）應(yīng)用插值公式，由單元的結(jié)點(diǎn)位移求出單元的位移函數(shù)，即求出關(guān)系式：這種插值公式表示單元中的位移分布形式，在有限元中稱為位移模式，其中N為形函數(shù)矩陣。有限元法的求解步驟(1)（1）取有限單元的結(jié)點(diǎn)位移為基本未知61有限元法的求解步驟(2)（3）應(yīng)用幾何方程，由單元的位移模式求出單元的應(yīng)變，即求出關(guān)系式：（4）應(yīng)用物理方程，由單元的應(yīng)變求出單元的應(yīng)力：（5）應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力求出單元的結(jié)點(diǎn)力。ijm結(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力稱為結(jié)點(diǎn)力，在三角形單元中，結(jié)點(diǎn)力列陣為：有限元法的求解步驟(2)（3）應(yīng)用幾何方程，由單元的位移模式62有限元法的求解步驟(3)（5）應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力求出單元的結(jié)點(diǎn)力。ijm集中力下的虛功方程為：：?jiǎn)卧獎(jiǎng)哦染仃囉邢拊ǖ那蠼獠襟E(3)（5）應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力求出63有限元法的求解步驟(4)（6）將單元中的各種外力載荷向結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)移，化為結(jié)點(diǎn)載荷：ijm（7）列出各結(jié)點(diǎn)的平衡方程，組成整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程組。例如，由于結(jié)點(diǎn)i受有環(huán)繞它的單元轉(zhuǎn)移過來的結(jié)點(diǎn)載荷和結(jié)點(diǎn)力，因此結(jié)點(diǎn)i的平衡方程為：表示對(duì)那些環(huán)繞i結(jié)點(diǎn)的單元求和。i=1,2,3…nn表示應(yīng)列平衡方程的結(jié)點(diǎn)數(shù)。有限元法的求解步驟(4)（6）將單元中的各種外力載荷向結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)64有限元法的求解步驟(5)（8）將代入下式：得到：這里稱為整體勁度矩陣，是整體結(jié)點(diǎn)載荷列陣，是整體結(jié)點(diǎn)位移列陣。有限元法的求解步驟(5)（8）將代入下式：得到：這里65位移模式單元的位移模式位移模式單元的位移模式66單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣（1）單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣（1）67單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣（2）其中：i,j,m可交替輪換單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣（2）其中：i,j,m可交替輪68單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣（3）單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣（3）69單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣（4）在三結(jié)點(diǎn)三角形單元中，當(dāng)位移函數(shù)取為線性位移模式時(shí)，實(shí)際上就是將位移函數(shù)在單元中用泰勒級(jí)數(shù)展開并忽略，二階以上的項(xiàng)得到的結(jié)果。再經(jīng)過求導(dǎo)運(yùn)算得出的應(yīng)變和應(yīng)力都是常量。由此可見，線性位移的誤差是,的二階小量，而應(yīng)力和應(yīng)變則是一階小量。故應(yīng)力的精度低于位移的精度。為了提高計(jì)算精度，一般可以采取兩種方法，一是將單元的尺寸減小，而是采用包含更高此項(xiàng)的位移模式。單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣（4）在三結(jié)點(diǎn)三角形單元中，當(dāng)位移函70單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣（1）：?jiǎn)卧獎(jiǎng)哦染仃噯卧慕Y(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣（1）：?jiǎn)卧獎(jiǎng)哦染仃?1單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣（2）單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣（2）72單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣（3）單元?jiǎng)偠染仃嚨奶攸c(diǎn)：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚾Q于單元的形狀和彈性常數(shù)，與單元位置無關(guān)，與單元的大小無關(guān)。單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱矩陣。單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣（3）單元?jiǎng)偠染仃嚨奶攸c(diǎn)：73單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣（4）

-舉例xyijmaai,j,m可交替輪換單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣（4）

-舉例xyijmaai,74單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣（5）xyijmaa單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣（5）xyijmaa75載荷向結(jié)點(diǎn)移置（1）xyijmaa對(duì)于變形體，包括彈性體在內(nèi)，所謂靜力等效，是指原載荷與結(jié)點(diǎn)載荷在任何虛位移上的虛功相等。原載荷與結(jié)點(diǎn)載荷向任意點(diǎn)簡(jiǎn)化時(shí)，它們具有相同的主矢量和主矩。假設(shè)各結(jié)點(diǎn)的虛位移為：假設(shè)將集中力移置各結(jié)點(diǎn)上后，各結(jié)點(diǎn)上的結(jié)點(diǎn)載荷為：載荷向結(jié)點(diǎn)移置（1）xyijmaa對(duì)于變形體，包括彈性體在內(nèi)76載荷向結(jié)點(diǎn)移置（2）xyijmaa則作用于P點(diǎn)的虛位移為：按照靜力等效原則，結(jié)點(diǎn)載荷在結(jié)點(diǎn)虛位移上的虛功，應(yīng)當(dāng)?shù)扔诩休d荷在其作用點(diǎn)上的虛功：載荷向結(jié)點(diǎn)移置（2）xyijmaa則作用于P點(diǎn)的虛位移為：按77載荷向結(jié)點(diǎn)移置（3）此為三結(jié)點(diǎn)單元上的集中載荷向結(jié)點(diǎn)移置的計(jì)算公式，其中的各項(xiàng)N為形函數(shù)在集中載荷作用處的數(shù)值。xyijmaa載荷向結(jié)點(diǎn)移置（3）此為三結(jié)點(diǎn)單元上的集中載荷向結(jié)點(diǎn)移置的計(jì)78載荷向結(jié)點(diǎn)移置（4）設(shè)單元受分布體力，可將微分體積上的體力當(dāng)作集中力，利用集中載荷的計(jì)算公式，將體力也移至結(jié)點(diǎn)：例如，設(shè)單元ijm的密度為，試求自重的等效結(jié)點(diǎn)載荷。載荷向結(jié)點(diǎn)移置（4）設(shè)單元受分布體力79載荷向結(jié)點(diǎn)移置（5）移置到各結(jié)點(diǎn)的載荷均為1/3自重。載荷向結(jié)點(diǎn)移置（5）移置到各結(jié)點(diǎn)的載荷均為1/3自重。80設(shè)單元體受分布面力，可將微分面積上的面力當(dāng)作集中力，利用集中載荷的計(jì)算公式，將面力也移置結(jié)點(diǎn)：載荷向結(jié)點(diǎn)移置（6）例如，設(shè)單元ij邊上受有x方向上的均布面力q，試求等效結(jié)點(diǎn)載荷設(shè)單元體受分布面力81載荷向結(jié)點(diǎn)移置（7）載荷向結(jié)點(diǎn)移置（7）82結(jié)構(gòu)整體分析（1）對(duì)于每個(gè)單元，我們已經(jīng)知道了如何計(jì)算單元的勁度矩陣以及載荷列陣：結(jié)構(gòu)整體分析（1）對(duì)于每個(gè)單元，我們已經(jīng)知道了如何計(jì)算單元的83結(jié)構(gòu)整體分析（2）根據(jù)虛功原理，我們也推導(dǎo)了結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系：對(duì)于i點(diǎn),一個(gè)單元上的結(jié)點(diǎn)力為:i

點(diǎn)的力平衡要求圍繞i

點(diǎn)的各單元產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)力與各單元分配到i

點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)載荷相等。結(jié)構(gòu)整體分析（2）根據(jù)虛功原理，我們也推導(dǎo)了結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移84結(jié)構(gòu)整體分析（3）綜上所述，i

點(diǎn)的平衡方程為。將所有結(jié)點(diǎn)的平衡方程寫在一起，就得到了整個(gè)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)平衡方程：這里稱為整體勁度矩陣，是整體結(jié)點(diǎn)載荷列陣，是整體結(jié)點(diǎn)位移列陣。結(jié)構(gòu)整體分析（3）綜上所述，i點(diǎn)的平衡方程為。將所有結(jié)點(diǎn)的85結(jié)構(gòu)整體分析（4）其中：n為結(jié)點(diǎn)數(shù),下標(biāo)1,2,3…是結(jié)點(diǎn)在整體結(jié)構(gòu)中的編號(hào)。注：i,j,m是結(jié)點(diǎn)在單元中的局部編號(hào)。整體剛度矩陣的一個(gè)元素Krs就是由按整體編碼的，同下標(biāo)的單元?jiǎng)哦染仃囋氐寞B加得到的：結(jié)構(gòu)整體分析（4）其中：n為結(jié)點(diǎn)數(shù),下標(biāo)1,2,3…是86有限元計(jì)算簡(jiǎn)例(1)xy2m2m2m2m2N/m2N/m123456有限元計(jì)算簡(jiǎn)例(1)xy2m2m2m2m2N/m2N/m1287有限元計(jì)算簡(jiǎn)例(2)

—單元?jiǎng)偠染仃嚨囊饬xi--3Ij--1m--212356IIIIIIIV4kij表示由于j結(jié)點(diǎn)沿x或y方向上的位移而引起的在i結(jié)點(diǎn)的沿x或y方向結(jié)點(diǎn)力。有限元計(jì)算簡(jiǎn)例(2)

—單元?jiǎng)偠染仃嚨囊饬xi--3Ij--88有限元計(jì)算簡(jiǎn)例(3)iIIIIVjmIIIijm12356IIIIIIIV4IIIIIIIV有限元計(jì)算簡(jiǎn)例(3)iIjmIIIijm12356IIIII89結(jié)構(gòu)整體分析（4）整體剛度矩陣中的一個(gè)元素Krs表示，由于s結(jié)點(diǎn)的位移而引起的在r結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)力，下面舉例說明：結(jié)構(gòu)整體分析（4）整體剛度矩陣中的一個(gè)元素Krs表示，由于s90結(jié)構(gòu)整體分析（5）iIIIIVjmIIIijm12356IIIIIIIV4整體剛度矩陣中的K23,表示3號(hào)結(jié)點(diǎn)的位移由于結(jié)構(gòu)勁度在2號(hào)結(jié)點(diǎn)上引起的結(jié)點(diǎn)力，因此，它將由兩部分組成，一部分來自I單元，一部分來自III單元。觀察以下表格，可知。IIII結(jié)構(gòu)整體分析（5）iIjmIIIijm12356IIIIII91結(jié)構(gòu)整體分析（6）整體勁度矩陣的獲得過程：首先將整體剛度全部充零，然后逐個(gè)單元的建立單元?jiǎng)哦染仃?，最后根?jù)結(jié)點(diǎn)的局部編碼與整體編碼的關(guān)系，將所有單元?jiǎng)哦染仃嚨拿恳粋€(gè)子矩陣都疊加到整體勁度矩陣中去。結(jié)構(gòu)整體分析（6）整體勁度矩陣的獲得過程：首先將整體剛度全部92

結(jié)構(gòu)整體分析（7）

-計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嘐

結(jié)構(gòu)整體分析（7）

-計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嘐93

結(jié)構(gòu)整體分析（8）

-得到整體剛度矩陣E

結(jié)構(gòu)整體分析（8）

-得到整體剛度矩陣E94

結(jié)構(gòu)整體分析（9）

-在整體剛度矩陣中引入邊界條件12356IIIIIIIV4需求解的結(jié)點(diǎn)還剩：因此關(guān)于這六個(gè)零分量的六個(gè)平衡方程不用建立，須將整體剛度矩陣的第1，3，7，8，10，12以及同序列的各列去掉。最后得到：

結(jié)構(gòu)整體分析（9）

-在整體剛度矩陣中引入邊界條件12395

結(jié)構(gòu)整體分析（10）

-結(jié)點(diǎn)載荷12356IIIIIIIV4iIIIIVjmIIIijm不考慮位移邊界條件的情況下：1N/m

結(jié)構(gòu)整體分析（10）

-結(jié)點(diǎn)載荷12356IIIIIII96結(jié)構(gòu)整體分析（11）12356IIIIIIIV4iIIIIVjmIIIijm1N/m考慮邊界條件，去掉零位移對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)載荷：至此，結(jié)構(gòu)的整體結(jié)構(gòu)剛度矩陣以及整體載荷列陣都已經(jīng)得到，下面根據(jù)平衡方程求解結(jié)點(diǎn)位移。結(jié)構(gòu)整體分析（11）12356IIIIIIIV4iIjmII97結(jié)構(gòu)整體分析（12）

-求解結(jié)構(gòu)整體分析（12）

-求解98結(jié)構(gòu)整體分析（13）

-整理結(jié)果求應(yīng)力求應(yīng)力所需關(guān)系式如下：結(jié)構(gòu)整體分析（13）

-整理結(jié)果求應(yīng)力求應(yīng)力所需關(guān)系式如下99結(jié)構(gòu)整體分析（14）

-整理