2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修二人教B版全國(guó)通用版講義：第二章 平面解析幾何初步2.2.3 第1課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。2.3兩條直線的位置關(guān)系第1課時(shí)兩條直線相交、平行與重合的條件學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).2。能根據(jù)斜截式方程和一般式方程判定兩條直線是否平行或重合。3.能應(yīng)用兩直線平行與重合求參數(shù)或直線方程．知識(shí)點(diǎn)兩條直線相交、平行與重合的條件思考1直線l1：2x＋3y－6＝0與直線l2:3x＋2y＋6＝0的位置關(guān)系是怎樣的?答案由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x＋3y－6＝0，，3x＋2y＋6＝0，)）得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－6，,y＝6。））∴l(xiāng)1與l2相交．思考2直線l3：2x＋3y－2＝0與直線l4：4x＋6y＋3＝0的位置關(guān)系是怎樣的?答案eq\f（2，4)＝eq\f(3,6)≠eq\f（－2,3）,∴l(xiāng)3∥l4。梳理兩條直線相交、平行與重合的判定方法（1）代數(shù)法兩條直線l1:A1x＋B1y＋C1＝0，l2:A2x＋B2y＋C2＝0的位置關(guān)系，可以用方程組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，，A2x＋B2y＋C2＝0））的解進(jìn)行判斷（如表所示）：方程組的解位置關(guān)系交點(diǎn)個(gè)數(shù)代數(shù)條件無(wú)解平行無(wú)交點(diǎn)A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(A2C1－A1C2≠0)或eq\f(A1,A2)＝eq\f（B1,B2）≠eq\f（C1,C2)（A2B2C2≠0）有唯一解相交有一個(gè)交點(diǎn)A1B2－A2B1≠0或eq\f(A1,A2)≠eq\f（B1,B2)（A2B2≠0）有無(wú)數(shù)個(gè)解重合無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2（λ≠0)或eq\f(A1,A2）＝eq\f（B1,B2）＝eq\f(C1，C2)(A2B2C2≠0)（2)幾何法設(shè)直線l1：y＝k1x＋b1；l2：y＝k2x＋b2，則：①l1與l2相交?k1≠k2;②l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2；③l1與l2重合?k1＝k2且b1＝b2.1．若兩直線相交，則交點(diǎn)坐標(biāo)一定是兩直線方程所組成的二元一次方程組的解．（√）2．無(wú)論m為何值，x－y＋1＝0與x－2my＋3＝0必相交．(×）類型一兩條直線位置關(guān)系的判定例1判斷下列各組中兩條直線的位置關(guān)系．(1）l1：y＝3x＋4，l2：2x－6y＋1＝0;（2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：y＝eq\f(x,3)＋eq\f(2,3）；(3）l1:(eq\r(2)－1）x＋y＝3，l2：x＋（eq\r(2)＋1）y＝2；（4）l1：x＝5,l2：x＝6.解(1）A1＝3,B1＝－1，C1＝4；A2＝2，B2＝－6，C2＝1.因?yàn)閑q\f（A1,A2）≠eq\f（B1,B2）,所以l1與l2相交．(2)A1＝2，B1＝－6，C1＝4；把l2化為x－3y＋2＝0，所以A2＝1,B2＝－3,C2＝2.因?yàn)閑q\f(A1,A2)＝eq\f（B1,B2）＝eq\f(C1,C2)，所以l1與l2重合．（3)A1＝eq\r(2)－1，B1＝1,C1＝－3;A2＝1,B2＝eq\r（2）＋1，C2＝－2.因?yàn)閑q\f(A1,A2)＝eq\f(B1，B2）≠eq\f(C1,C2),所以l1與l2平行．（4)A1＝1,B1＝0，C1＝－5；A2＝1，B2＝0，C2＝－6，因?yàn)锳1B2－A2B1＝0，而A2C1－A1C2≠0,所以l1與l2平行．反思與感悟兩條直線位置關(guān)系的判定方法設(shè)兩條直線的方程分別為l1:A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.(1）若A1B2－A2B1≠0或eq\f（A1，A2)≠eq\f(B1,B2）（A2，B2≠0)，則兩直線相交．(2)若A1A2＋B1B2＝0，則兩直線相互垂直．（3)若A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0或(B1C2－B2C1≠0)或eq\f（A1，A2)＝eq\f(B1,B2）≠eq\f（C1,C2）（A2B2C2≠0)，則兩直線平行．跟蹤訓(xùn)練1已知兩直線l1：x＋my＋6＝0,l2:（m－2)x＋3y＋2m＝0，當(dāng)m為何值時(shí)，直線l1與l2:(1）相交?（2）平行？(3)重合？解因?yàn)橹本€l1：x＋my＋6＝0，直線l2：(m－2）x＋3y＋2m＝0，所以A1＝1，B1＝m，C1＝6,A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m。(1)若l1與l2相交，則A1B2－A2B1≠0，即1×3－m（m－2)≠0，即m2－2m－3≠0，所以（m－3）（m＋1)≠0，解得m≠3且m≠－1。故當(dāng)m≠3且m≠－1時(shí)，直線l1與l2相交．（2)若l1∥l2，則有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，，B1C2－B2C1≠0，))即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（3－mm－2＝0，，2m2－18≠0，））即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m2－2m－3＝0，，m2≠9，))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m＝3或m＝－1，，m≠3且m≠－3，)）所以m＝－1.故當(dāng)m＝－1時(shí)，直線l1與l2平行．(3)若l1與l2重合，則有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0,，B1C2－B2C1＝0,)）即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（3－mm－2＝0，,2m2－18＝0，)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m＝3或m＝－1，，m＝3或m＝－3.))所以m＝3。故當(dāng)m＝3時(shí)，直線l1與l2重合．類型二兩條直線平行的應(yīng)用例2（1）求過(guò)點(diǎn)A(1，－4）且與直線2x＋3y＋5＝0平行的直線方程;(2）求過(guò)點(diǎn)P(3,2)且與經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，1)，B（－2，－1）的直線平行的直線方程．解（1）方法一已知直線的斜率為－eq\f（2,3），∵所求直線與已知直線平行，∴所求直線方程的斜率為－eq\f（2,3）.由點(diǎn)斜式,得所求直線的方程為y＋4＝－eq\f（2,3）（x－1），即2x＋3y＋10＝0.方法二設(shè)與直線2x＋3y＋5＝0平行的直線l的方程為2x＋3y＋λ＝0（λ≠5)．∵l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，－4)，∴2×1＋3×(－4）＋λ＝0，解得λ＝10，∴所求直線方程為2x＋3y＋10＝0。（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1),B(－2，－1）的直線的斜率為k＝eq\f(1－－1，0－－2)＝1。∵所求直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，2），∴所求直線方程為y－2＝x－3即x－y－1＝0.反思與感悟（1）求與直線y＝kx＋b平行的直線的方程時(shí)，根據(jù)兩直線平行的條件可巧設(shè)為y＝kx＋m（m≠b),然后通過(guò)待定系數(shù)法,求參數(shù)m的值．(2)求與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程時(shí)，可設(shè)方程為Ax＋By＋m＝0(m≠C）,代入已知條件求出m即可．其中對(duì)于斜率為零及不存在的情形要單獨(dú)討論．跟蹤訓(xùn)練2若直線l與直線2x＋3y＋5＝0平行，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為eq\f(5,6），求直線l的方程．解設(shè)直線l的方程為2x＋3y＋C＝0,令x＝0，得y＝－eq\f（C,3），令y＝0，得x＝－eq\f(C,2)。由題意，得－eq\f（C，3)－eq\f(C，2）＝eq\f(5，6），解得C＝－1.所以直線的方程為2x＋3y－1＝0.

類型三兩條直線的交點(diǎn)問(wèn)題例3求經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)直線2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交點(diǎn)的直線l的方程．解方法一解方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2x＋3y＋8＝0,，x－y－1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，)）∴直線2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，－2)．又直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴直線l的方程為eq\f(y－0,－2－0)＝eq\f(x－0，－1－0），即2x－y＝0.方法二設(shè)所求直線方程為2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，∵直線過(guò)原點(diǎn)（0,0），∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴直線方程為2x＋3y＋8＋8x－8y－8＝0,即2x－y＝0.反思與感悟利用過(guò)交點(diǎn)的直線系方程避免了解方程組的過(guò)程，減少了運(yùn)算量，因此我們必須熟練掌握這一方法,并能靈活運(yùn)用它解決求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程的問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練3三條直線x＋y＋1＝0，2x－y＋8＝0,ax＋3y－5＝0只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則a＝________.答案3或－6解析當(dāng)直線ax＋3y－5＝0與x＋y＋1＝0平行時(shí)，a＝3.當(dāng)直線ax＋3y－5＝0與2x－y＋8＝0平行時(shí)，eq\f（a，2)＝eq\f(3，－1）≠eq\f（－5,8），得a＝－6,∴a＝3或a＝－6。1．直線Ax＋4y－1＝0與直線3x－y－C＝0重合的條件是（）A．A＝12，C≠0 B．A＝－12，C＝eq\f(1,4）C．A＝－12，C≠－eq\f(1,4） D．A＝－12，C＝－eq\f（1，4）答案D解析由l1與l2重合，則eq\f(A，3）＝eq\f（4,－1)＝eq\f(－1,－C),從而A＝－12，C＝－eq\f（1，4)。2．直線2x－y＋k＝0和直線4x－2y＋1＝0的位置關(guān)系是()A．平行 B．不平行C．平行或重合 D．既不平行也不重合答案C解析當(dāng)k＝eq\f（1,2）時(shí)，兩直線重合，當(dāng)k≠eq\f(1,2）時(shí)，兩直線平行．3．已知過(guò)點(diǎn)A（－2，m)和B（m,4）的直線與直線2x＋y－1＝0平行，則m的值為(）A．－8 B．0C．2 D．10答案A解析由－2＝eq\f(4－m，m－－2），得m＝－8.4．過(guò)點(diǎn)(－1，－3)且與直線2x＋y－1＝0平行的直線方程為_(kāi)_______________________．答案2x＋y＋5＝0解析設(shè)所求直線方程為2x＋y＋C＝0，將點(diǎn)(－1，－3)代入方程，2×（－1)－3＋C＝0，得C＝5。∴直線方程為2x＋y＋5＝0.5．已知?ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，1),B（1，0），C（4,3)，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．解設(shè)D(m，n)，由題意，得AB∥DC，AD∥BC，則有kAB＝kDC,kAD＝kBC.所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（0－1，1－0）＝\f（3－n，4－m），，\f(n－1，m－0)＝\f（3－0，4－1），)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（m＝3,，n＝4.)）所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3,4）．兩條直線相交、平行與重合的條件兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置關(guān)系,可以用方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷，也可用直線方程的系數(shù)進(jìn)行判斷，方法如下：方程組的解位置關(guān)系交點(diǎn)個(gè)數(shù)代數(shù)條件無(wú)解平行無(wú)交點(diǎn)A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0（A2C1－A1C2≠0）或eq\f(A1,A2）＝eq\f（B1,B2）≠eq\f(C1，C2）（A2B2C2≠0）有唯一解相交有一個(gè)交點(diǎn)A1B2－A2B1≠0或eq\f(A1,A2）≠eq\f(B1,B2）(A2B2≠0）有無(wú)數(shù)個(gè)解重合無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2（λ≠0)或eq\f(A1,A2)＝eq\f（B1，B2)＝eq\f(C1,C2）（A2B2C2≠0)一、選擇題1．兩條直線2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交點(diǎn)在y軸上，那么k的值是（)A．－24 B．6C．±6 D．以上都不對(duì)答案C解析聯(lián)立兩條直線的方程，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2x＋3y－k＝0，,x－ky＋12＝0，）)解得x＝eq\f（k2－36，3＋2k）.∵兩直線的交點(diǎn)在y軸上,∴eq\f(k2－36，3＋2k）＝0，∴k＝±6(經(jīng)檢驗(yàn)知符合題意）．2．已知直線3x＋y－3＝0與6x＋my＋1＝0平行，則m的值等于（)A．－18 B．－2C．2 D．18答案C解析由eq\f(3，6)＝eq\f（1,m）≠eq\f（－3,1）,得m＝2。3．下列直線中與直線x－y－1＝0平行的是()A．x＋y－1＝0B．x－y＋1＝0C．a(chǎn)x－ay－a＝0D．x－y＋1＝0或ax－ay－a＝0答案B解析根據(jù)兩直線平行的判定條件知，A不正確，B正確，對(duì)于C、D，當(dāng)a≠0時(shí),ax－ay－a＝0與直線x－y－1＝0重合；當(dāng)a＝0時(shí)，ax－ay－a＝0不是直線方程．4．過(guò)點(diǎn)A(4，a)和點(diǎn)B(5,b）的直線與y＝x＋m平行,則|AB|的值為()A．6 B。eq\r(2）C．2 D．不能正確答案B解析由kAB＝1，得eq\f（b－a,1)＝1，∴b－a＝1?！啵麬B｜＝eq\r（5－42＋b－a2)＝eq\r（1＋1）＝eq\r（2)。5．平行于直線4x＋3y－3＝0，且不過(guò)第一象限的直線的方程是(）A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0答案B解析∵與直線4x＋3y－3＝0平行，∴A，D不正確．對(duì)于C選項(xiàng)，直線過(guò)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(21，2),0）），（0,14)兩點(diǎn),則直線過(guò)第一象限．∴C不正確,故選B.6．當(dāng)0＜k＜eq\f(1,2）時(shí),直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析由方程組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(kx－y＝k－1，，ky－x＝2k,））得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(k,k－1），\f（2k－1,k－1）））.因?yàn)?＜k＜eq\f(1，2）,所以eq\f(k，k－1)＜0,eq\f（2k－1，k－1)＞0，所以交點(diǎn)在第二象限．7．方程(a－1）x－y＋2a＋1＝0（a∈R）所表示的直線()A．恒過(guò)定點(diǎn)(－2，3)B．恒過(guò)定點(diǎn)(2,3)C．恒過(guò)點(diǎn)(－2，3）和點(diǎn)(2,3）D．都是平行直線答案A解析（a－1）x－y＋2a＋1＝0可化為－x－y＋1＋a（x＋2）＝0,由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－x－y＋1＝0，，x＋2＝0，)）得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－2,,y＝3.））8．已知直線l1，l2，l3的斜率分別是k1，k2,k3，其中l(wèi)1∥l2，且k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的兩根,則k1＋k2＋k3的值是()A．1B.eq\f（3,2)C.eq\f（7,2）D．1或eq\f(7,2)答案D解析由k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的兩根，解方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（k1＝－\f(1，2）,，k3＝2)）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1＝2,，k3＝－\f(1，2）。））又l1∥l2，所以k1＝k2,所以k1＋k2＋k3＝1或eq\f（7，2)。二、填空題9．過(guò)l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交點(diǎn)，且平行于l3：x＋2y－5＝0的直線方程為_(kāi)_____________．答案8x＋16y＋21＝0解析由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（3x－5y－10＝0,，x＋y＋1＝0，））得交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(5，8），－\f（13,8）))。又l3的斜率為－eq\f（1，2），∴所求直線方程為y＋eq\f(13，8)＝－eq\f（1,2)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f（5,8）)),即8x＋16y＋21＝0。10．已知直線l1：（k－3）x＋(4－k）y＋1＝0與直線l2：2(k－3）x－2y＋3＝0平行，則k的值是________．答案3或5解析當(dāng)k＝3時(shí),兩條直線平行；當(dāng)k＝4時(shí),兩條直線不平行．當(dāng)k≠3且k≠4時(shí),由兩直線平行,斜率相等,得eq\f(3－k，4－k)＝k－3，解得k＝5。∴k＝3或5.11．已知直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0,－1)和點(diǎn)B(－eq\f（4,a）,1），直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,1)和點(diǎn)N(0，－2），若l1與l2沒(méi)有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．答案－6解析由題意，得l1∥l2，∴kAB＝kMN.∵kAB＝eq\f(2,－\f（4，a))＝－eq\f(a，2），kMN＝eq\f（－2－1,0－1）＝3，∴－eq\f(a，2）＝3，∴a＝－6。三、解答題12．已知兩直線l1:mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.試確定m，n的值，使：(1)l1與l2相交于點(diǎn)P（m，－1）;(2)l1∥l2.解（1)∵直線l1與l2相交于點(diǎn)P(m，－1）,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－8＋n＝0，,2m－m－1＝0，)）∴m＝1，n＝7。（2)由m·m－8×2＝0，得m＝±4。由8×（－1)－n·m≠0,n≠－eq\f（8，m)，即當(dāng)m＝4，n≠－2時(shí),或當(dāng)m＝－4，n≠2時(shí)，l1∥l2。13．是否存在實(shí)數(shù)a,使三條直線：l1:ax＋y＋1＝0，l2:x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0圍成一個(gè)三角形?并說(shuō)明理由．解①當(dāng)eq\f(a,1)＝eq\f(1,a）≠eq\f(1，1)時(shí)，l1∥l2，解得a＝－1；②當(dāng)eq\f(a，1)＝eq\f（1，1)≠eq\f（1，a)時(shí)，l1∥l3，無(wú)解；③當(dāng)eq\f（1,a)＝eq\f（1，1）≠eq\f（a，1）時(shí),l2∥l3，無(wú)解;④當(dāng)l1與l2，l3相交于同一點(diǎn)時(shí)，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋ay＋1＝0，,x＋y＋a＝0,））得交點(diǎn)（－1－a,1)，將其代入ax＋y＋1＝0，得a＝－2或a＝1.故當(dāng)a≠1且a≠－1且a≠－2時(shí)，這三條直線能圍成一個(gè)三角形．四、探究與