第二節(jié) 拱的幾何非線性因素

第二節(jié)拱的幾何非線性因素1.考慮軸力影響的拱的平衡方程基本假定為分析方便，在建立拱的平衡方程時作如下假定:(1)拱圈截面變形仍按平面變形考慮，截面法線方向與切線方向的夾角在變形前后保持不變，且拱圈截面變形仍符合虎克定理。⑵彈性中心在變形前后的位置不變，即將拱軸變形引起的彈性中心位置的改變量忽略不計。作以上假定主要是使問題的分析簡化，以突出闡明拱腳推力與拱圈撓度相互作用的非線性關(guān)系。假定(2)符合拱橋的基本工作狀態(tài)，如果要進一步計入拱圈材料的非彈性性質(zhì)，則只要由此求出拱圈的非彈性變形，按照本章所述原則仍可據(jù)以推求拱腳推力與拱圈撓度的相互作用關(guān)系。假定(2)忽略了拱軸變形引起了的彈性中心位置的改變，因為分析表明此項改變是相當微小的，將其忽略后不但簡化了分析計算，而且便于與傳統(tǒng)方法比較，也為具體設(shè)計帶來方便。幾何方程在拱軸線上取一微段ds,它在x、y坐標軸上的投影分別為dx、dy,微段與水平軸(x軸)的傾角為4)，見圖設(shè)拱軸變形后微段起點處在x、y方向上的位移分別為饑及微段終點處得位移分別為“+d祝及他+也一變形后的微段與水平軸的傾角改變?yōu)?IV令￡表示微段的軸向正應(yīng)變，則由微段變形后的幾何關(guān)系有:[(1+e)ds]2=(dx+d")?+(dy+d他尸將上式展開，注意到=cos(p,=sin(p,并略去d“/ds、d他/ds等二階微量,則可得:du ,dw. f八e=—cos(p+—sni(p (5-1)設(shè)用8表示微段的角變位，則sin0=sin?—(p)=sin(pxcos(p—cos(pxsin(p因￡為微量，1/(1+E)=1-E4-￡2 —1-則sin(pi=(dy+cktr)/(I+e)ds=(1—e)Isin(p+——I

COS(P1=(dx+d”)/(I+￡)ds=(1—E)(8S(P+器)代入上式便有sin0=(1—￡)sin0=(1—￡)d"cos(p——sin(pds,由于小變形,e<1,近似取1—8=1,sin。=6,于是可得:qdur du. xc、e="^8s(p*sin(p(5-2)沿法線方向距軸向為Z的任意點P,在拱軸變形后沿x、y軸的位移分量設(shè)為由圖5?2所示幾何關(guān)系可知:“—Z0COS(p

<irz=—z0sin(p則由式(5?1)可得P點的正應(yīng)變?yōu)椋篸i<2 d“ d6ep=——cos(p+——sin(p=——cos(p+——sin(p—z—

ds ds ds ds ds(5-3)廣義力與廣義位移的關(guān)系根據(jù)胡克定律，截面上任意一點的正應(yīng)力為:由正應(yīng)力合成截面上的軸力N及彎矩M。在此規(guī)定軸力以使拱截面受壓為正,dA彎矩以使拱截面卜?緣纖維受拉為正，于是軸力為:dAN=—fapdA=—EfepdA=—E

丿a 丿A注意到￡、8均與A、z無關(guān)，且拱軸線通過截面形心，JAdA=A,故有:N=-EAe(5-4)Iap?z?dA=EIap?z?dA=EAZ-dA=Elg(5-5)可得:此處同樣注意到JAzdA=O,fAz2dA=\,聯(lián)立求解式(54)及式(5-2),可得:d“—=ecos(p—Osin(pd他〒一=Esin(p+0cos(p或代換成E—0dyd他ds將式(54)及式(5?5)中的e=-^及詈=—昔代入上式，并注意到Un(p=%即可解得:d“ d他dyNxd“ d他dyNx 刁、獷一石忘一巫(l+E屮)d2^_M1dx2Elcos(p(5-7)(5-8)此三式是拱截面考慮軸力對變形影響的關(guān)系式，亦可以稱為廣義力與廣義位移關(guān)系式。將式(5-8)展開，即得：d2^trM d/N\dyNd2y(5-9)2?撓度理論的控制方程取簡支曲梁為無較拱的基本計算結(jié)構(gòu)，將贅余力簡化到彈性中心上(圖5-3),并假定彈性中心位置在變形前后保持不變。則考慮推力與撓度相互作用對拱內(nèi)力影響的控制方程可導(dǎo)出如下：1)恒載作用階段恒載為對稱荷載，6g=0o則在恒載作用下拱任一截面的彎矩為(下標g表示恒載作用)：-Hg[yo-(y+Wg-Hg[yo-(y+Wg)]=M|+Mg+Hg(y-y0)+HgWg(5-10)將式(5?10)代入式(5?9)得:d2WeHe石亍+百Wgsec(p=fg(x)式中：以X)=一叫+Mg+Hg(y-y0)]-石(jg^taii<p)(5-12)其邊界條件為:(5-13)2)活載作用階段活載作用于拱上時，拱任一截面彎矩為(下標q表示活載作用):M=Ml+ +Mg+Mq+QqX+%(y-y0)+Hq(y—y°)+(Hg+Hq)Wg+(Hg+Hq)Wq(5-14)將其代入式(5-9),并注意到式(5-11),則有d2Wasec(pz 、(% +%)Wq=fq(X)(5-15)式中：fq(x)= gp[Mq+Mq+QqX+Hq(y-y0)]-冠(盤恰】】屮)_^fWgSeC<P(5-16)其邊界條件為:Wq(￡=Wq(-幻=0(5-17)以上各式中M0一一簡支曲梁上的荷載彎矩；M、H、Q一一彈性中心處得贅余彎矩、水平力及剪力，下標g表示有恒載引起，下標q表示由活載引起；yo一一彈性中心至坐標原點的距離；￡一一拱軸計算跨徑的一半。式(5-11)及式(5-14)極為拱在恒載、活載作用卞考慮水平推力與撓度互相作用對拱內(nèi)力影響的控制方程。3.約束方程無較拱在取簡支曲梁作為基本計算結(jié)構(gòu)時，拱腳的三個位移(相對水平位移、左、右拱腳的轉(zhuǎn)動)均受到限制。將這三個位移約束條件用拱的撓度及軸力來表示，即得求解控制方程的約束方程。由拱腳的廣義力與廣義位移方程式中，已獲得拱軸任一點處的水平位移表達式(5-7)o因此，拱腳的相對水平位移為：△h=[：(獸)血=-[擺第_善(1+訶△h=對上式等號右邊第一項進行分部積分：1廣d2y1廣d2y由于他⑴=他(―1)=0,因此等式右邊第一項為零，故f1d2yJ_1^^dx=-J_1^d^dx由此可得:△h=d2yr1△h=又由式(5-6)可得左右拱腳的轉(zhuǎn)角為：(P!=0d(P!=0d他(—釣 Nr因為結(jié)構(gòu)對稱性,則A]=A”tan(pi=tan(pro1)恒載作用階段讐，則有:恒載為對稱荷載，N]=Nr=Ng,且??；"=讐，則有:△h=2[fwg器dx_f第(l+tan2<p)dx

d他(仍△h=2?=-----才呵"由此可歸納成恒載作用階段的兩個約束方程：fw搭氐-f啓(1+2皿=0(5-18)(5-18)式中：“勿、州、％分別表示左拱腳處恒