自動(dòng)控制原理習(xí)題匯總

A-7-1設(shè)非線性系統(tǒng)具有典型結(jié)構(gòu)，試用等效增益概念分析具有死區(qū)的三位置理想繼電特性（見(jiàn)圖7-15（a））對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。解由等效增益定義知，等效增益曲線如圖7-15（b）所示，其中。設(shè)系統(tǒng)不存在非線性時(shí)，臨界穩(wěn)定增益為，于是=1\*GB3①若<，如圖7-15（b）所示，則因?qū)嶋H增益小于臨界增益，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。=2\*GB3②若>，如圖7-15（c）所示，其中=。則當(dāng)時(shí)，因>，系統(tǒng)不穩(wěn)定，發(fā)散，當(dāng)增加至使。此時(shí)<，系統(tǒng)穩(wěn)定，收斂；當(dāng)減少至使時(shí)，重復(fù)上述過(guò)程?？梢?jiàn)，在這種情況下，系統(tǒng)將出現(xiàn)為振幅的自激振蕩。=3\*GB3③原系統(tǒng)加入具有死區(qū)的理想三位置繼電特性后，改善了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不論原系統(tǒng)是否發(fā)散，現(xiàn)系統(tǒng)都不會(huì)發(fā)散。但可能產(chǎn)生一個(gè)以為振幅的自激振蕩。A-7-2設(shè)系統(tǒng)微分方程為，初始條件為，，試用消去時(shí)間變量的辦法求該系統(tǒng)相軌跡。解因?yàn)?，所以特征根，?-33）（7-34）因?yàn)?=，==所以=，=由式（7-33），式（7-34）得+=+=則系統(tǒng)相軌跡方程為+=相軌跡如圖7-16所示，為一簇同心橢圓，橢圓的大小與初始條件有關(guān)，每一個(gè)橢圓都對(duì)應(yīng)著一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。A-7-3已知非線性系統(tǒng)微分方程為+=0，試用直接積分法求該系統(tǒng)的相軌跡。解求解步驟如下：=1\*GB3①分段微分方程：==2\*GB3②求開(kāi)關(guān)線：==3\*GB3③分段求解微分方程：當(dāng)時(shí)=，=，==，+=+（，）為左半面相軌跡與開(kāi)關(guān)線焦點(diǎn)或初始條件。由相軌跡方程可見(jiàn)，在相平面的右半面（），相軌跡是以原點(diǎn)為圓心,為半徑的半圓弧。當(dāng)時(shí)，解法同上。相軌跡方程為-=+（，）為右半面相軌跡與開(kāi)關(guān)線交點(diǎn)或初始條件。由相軌跡方程可見(jiàn)，在相平面的左半面（），相軌跡方程是雙曲線方程。當(dāng)=時(shí)，相軌跡為=2\*ROMANII，=3\*ROMANIII象限的對(duì)角線。

=4\*GB3④畫(huà)相軌跡：相軌跡如圖7-17所示。由相軌跡可見(jiàn)，當(dāng)初始點(diǎn)落在第=2\*ROMANII象限的對(duì)角線上時(shí)，該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)才可以達(dá)到平衡位置（0,0）.該非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。A-7-4試用等傾線法證明（）相軌跡中有兩條過(guò)原點(diǎn)的直線，其斜率分別為微分方程的兩個(gè)特征根。解微分方程特征根為。由原方程可得=令=，由等傾線方程?？梢?jiàn)等傾線是一束過(guò)原點(diǎn)的直線。這些直線的斜率為，與相軌跡斜率有關(guān)。直線相軌跡的斜率也是等傾線的斜率，故令=，由此得到因?yàn)?，所以是兩個(gè)實(shí)數(shù)。作為相軌跡斜率是有意義的。等傾線和是兩條過(guò)原點(diǎn)的直線，其斜率與相軌跡相同。它們也是相軌跡（如圖7-18所示），其斜率確為微分方程的兩個(gè)特征根。這兩條直線相軌跡是附近相軌跡的漸近線。A-7-5試?yán)L制的相軌跡（,）。解由方程可見(jiàn)（7-35）滿足原方程，為一條相軌跡。利用等傾線法，可求出其它相軌跡。因?yàn)?，，所以。?，得等傾線方程=。可見(jiàn)，等傾線為一簇水平線。當(dāng)時(shí)，。由式（7-35）知，該等傾線亦為一條相軌跡，因相軌跡互不相交，故其它相軌跡均以此線為漸近線。當(dāng)時(shí)，表明相軌跡垂直穿過(guò)軸。當(dāng)時(shí)，，說(shuō)明相平面上下無(wú)窮遠(yuǎn)處的相軌跡斜率為.圖7-19大致示出了該系統(tǒng)的相軌跡。A-7-6試用等傾線法繪出的相軌跡。解由，得=。令=，得等傾線方程。等傾線為一束過(guò)原點(diǎn)的直線，斜率時(shí)。給定不同的，便可以得到對(duì)應(yīng)等傾線的斜率。表7-5列出了不同值下等傾線的斜率和等傾線與軸的夾角。圖7-20畫(huà)出了取不同值時(shí)的等傾線和代表相軌跡切線方向的短線段。這些短線段確定了相平面上任一點(diǎn)相軌跡切線方向的方向場(chǎng)。設(shè)初始點(diǎn)為A(見(jiàn)圖7-20)。自A點(diǎn)開(kāi)始，按圖上短線段確定的方向，依次連接A，B，C...各點(diǎn)直到原點(diǎn)。在繪圖過(guò)程中，相鄰兩等傾線間相軌跡的斜率由這兩條等傾線上相軌跡斜率之和的一半來(lái)確定。在圖7-20上，系統(tǒng)狀態(tài)從A點(diǎn)沿著斜率為的直線轉(zhuǎn)移到B點(diǎn)。A-7-7設(shè)非線性系統(tǒng)方程為，試?yán)L制該系統(tǒng)的相平面圖。解由，原方程可改寫(xiě)為=令=，得等傾線方程，或?qū)憺椤Ｋ砹艘淮剡^(guò)原點(diǎn)的拋物線。拋物線頂點(diǎn)在相平面的（，）點(diǎn)上。取為不同值時(shí)，可以得到頂點(diǎn)在不同位置上且過(guò)原點(diǎn)的拋物線。這就是對(duì)應(yīng)不同值時(shí)額等傾線，如圖7-21所示。A-7-8設(shè)非線性系統(tǒng)方程為，試用法繪出初始狀態(tài)A(=0，=2)出發(fā)的相軌跡。解由原式可知，，把原方程變?yōu)槭剑?-13）的形式，得=在本題中，，所以相平面橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為。從A點(diǎn)開(kāi)始繪圖，根據(jù)式（7-36）算出===-0.25在-平面上，以（=0.25，0）點(diǎn)為圓心，過(guò)點(diǎn)A作一段小圓弧到某點(diǎn)B（0.1,0.94），稱(chēng)此點(diǎn)為“預(yù)測(cè)點(diǎn)”。根據(jù)式（7-36）可算出===在-平面上，以（=，0）點(diǎn)為圓心，過(guò)A點(diǎn)作一圓弧，此圓弧過(guò)點(diǎn)B（0.1,0.94）.B點(diǎn)便是第一段小圓弧終點(diǎn)。按此步驟分別作出eq\o(BC,\S\up5(⌒)),eq\o(CD,\S\up5(⌒)),eq\o(DE,\S\up5(⌒)),eq\o(EF,\S\up5(⌒)),eq\o(FG,\S\up5(⌒)),eq\o(GH,\S\up5(⌒)),,最終繪出該非線性系統(tǒng)從A點(diǎn)出發(fā)的相軌跡，如圖7-22所示。A-7-9試分別繪制和的相軌跡，并比較二者有何異同（）。解=1\*GB3①，（）=0，必有=0和/或=0.由=知，奇點(diǎn)為=0上所有點(diǎn)，有無(wú)窮多個(gè)，這些非孤立奇點(diǎn)構(gòu)成一條“奇線”。因?yàn)?0，所以。積分得，對(duì)應(yīng)的相軌跡如圖7-23(a)所示。=2\*GB3②由可直接繪相軌跡，如圖7-23（b）所示。由圖7-23可見(jiàn)，圍著相軌跡形狀是一樣的，均斜率為的直線。不同之處在于圖（a）中初始點(diǎn)可以取在相平面上任意一點(diǎn)，例如取，則系統(tǒng)沿AB運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的相軌跡是圖（a）中最右邊那條；圖（b）中當(dāng)M確定后，初始點(diǎn)不能再相平面上任取，例如當(dāng)，由原方程，只能是。當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的相軌跡與圖（a）一樣，時(shí)圖（b）中最右邊的那條直線，初始點(diǎn)由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B。若,對(duì)應(yīng)的相軌跡只能是圖（b）中最左邊的那條，初始點(diǎn)由C運(yùn)動(dòng)到D。A-7-10設(shè)非線性系統(tǒng)如圖7-24（a）所示，試?yán)L制初始點(diǎn)在，的相軌跡，計(jì)算這條封閉相軌跡所對(duì)應(yīng)的周期，并將結(jié)果與線性無(wú)阻尼運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行比較。解=1\*GB3①畫(huà)相軌跡：由圖7-24（b）可得開(kāi)關(guān)線為。當(dāng)時(shí)，，：積分可得，其中。故（7-37）在區(qū)域內(nèi)，相軌跡是一頂點(diǎn)在，開(kāi)口向左的拋物線。當(dāng)時(shí)，：積分可得，由區(qū)域內(nèi)的相軌跡與開(kāi)關(guān)線的交點(diǎn)決定。由式（7-37）值，故（7-38）由上式可見(jiàn)，在區(qū)域內(nèi)，相軌跡為水平直線。當(dāng)時(shí)，：積分接觸。由區(qū)域內(nèi)的相軌跡與開(kāi)關(guān)線的交點(diǎn)決定。因?yàn)閰^(qū)域內(nèi)的相軌跡是水平直線，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為（）。因，故由此可見(jiàn)，在區(qū)域內(nèi)，相軌跡是一頂點(diǎn)在（），開(kāi)口向右的拋物線，與區(qū)域內(nèi)相軌跡對(duì)稱(chēng)。實(shí)際上，由相軌跡對(duì)稱(chēng)條件可知，因與無(wú)關(guān)，所以該非線性系統(tǒng)相軌跡上下對(duì)稱(chēng)，左右對(duì)稱(chēng)且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。相軌跡如圖（7-24（b））所示。、=2\*GB3②計(jì)算周期T：由相軌跡可見(jiàn)，該系統(tǒng)相軌跡是一對(duì)封閉曲線，在給定初始條件下，系統(tǒng)以固定周期運(yùn)動(dòng)。由于相軌跡是對(duì)稱(chēng)的，所以只需要計(jì)算。設(shè)初始點(diǎn)為A（），另外再在相軌跡取兩點(diǎn)：B（）C（），其中。=3\*GB3③與線性無(wú)阻尼運(yùn)動(dòng)比較：在線性無(wú)阻尼運(yùn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)等幅振蕩（相軌跡是橢圓），周期，與初始條件無(wú)關(guān)。在本題中，與初始條件有關(guān)。A-7-11上題中，若，試用圓弧法確定封閉相軌跡對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)周期。解當(dāng)時(shí)，利用上題結(jié)論，繪制的相軌跡如圖7-25所示，AB段相軌跡對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)勻速運(yùn)動(dòng)：。作垂線交軸于p點(diǎn)，以p點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑，作圓弧近似代替BC段相軌跡，量得==0.506。作垂線交軸于Q點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑，作圓弧eq\o(CD,\S\up5(⌒))近似代替CD段相軌跡，量得==0.454，于是有=4(0.5+0.506+0.454)=5.84上題中，當(dāng)時(shí)，T=6?？梢?jiàn)，本題圖解法得到的結(jié)果誤差不大。A-7-12求下列方程奇點(diǎn)，并確定奇點(diǎn)類(lèi)型：=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵解=1\*GB2⑴因?yàn)椋杂芍?，即奇點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。在奇點(diǎn)（0,0）處，將進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，保留一次項(xiàng)，有奇點(diǎn)附近線性化方程為，特征根為，奇點(diǎn)為中心型。=2\*GB2⑵因?yàn)?，由知，即奇點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，將進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，保留一次項(xiàng)，有，奇點(diǎn)附近線性化方程為，特征根為，奇點(diǎn)為焦點(diǎn)。A-7-13設(shè)系統(tǒng)如圖7-26所示。假設(shè)系統(tǒng)僅受到初始條件作用，是畫(huà)出平面上的相軌跡。解=1\*GB3①球微分方程：由結(jié)構(gòu)圖知，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，開(kāi)關(guān)線為。=2\*GB3②求相軌跡方程：當(dāng)時(shí)是與初始條件或此區(qū)域內(nèi)相軌跡起點(diǎn)有關(guān)的積分常數(shù)。由上式可見(jiàn)，在區(qū)域內(nèi)相軌跡是一開(kāi)口向左，頂點(diǎn)在e軸上的拋物線。當(dāng)e<0時(shí)是與初始條件或或此區(qū)域內(nèi)相軌跡起點(diǎn)有關(guān)的積分常數(shù)。在e<0區(qū)域內(nèi)相軌跡是一開(kāi)口向右，頂點(diǎn)在e軸上的拋物線。當(dāng)e=0時(shí)此時(shí)相軌跡正處于開(kāi)關(guān)線上，發(fā)生突跳，設(shè)突跳時(shí)刻為，將上式在時(shí)刻積分：==由于時(shí)刻跳躍幅值有限（），故=0，==當(dāng)e由負(fù)向向正運(yùn)動(dòng)穿過(guò)開(kāi)關(guān)線，=2M。所以，在開(kāi)關(guān)線上=上式表明了相軌跡在開(kāi)關(guān)線上的跳躍幅度和方向。=3\*GB3③繪制相軌跡：相軌跡如圖7-27所示。相軌跡在開(kāi)關(guān)線上出現(xiàn)跳躍，幅度為2M。時(shí)，相軌跡下跳；當(dāng)時(shí)，相軌跡上跳。最終相軌跡收斂于坐標(biāo)原點(diǎn)。A-7-14設(shè)恒溫箱動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖7-28所示。若要求穩(wěn)定保持200℃，恒溫箱由常溫20℃啟動(dòng)，試在相平面上做出溫度控制的相軌跡，并計(jì)算升溫時(shí)間和保持溫度的精度。解由圖7-28可得下跳分段微分方程為相對(duì)應(yīng)的相軌跡如圖7-29所示，相軌跡在開(kāi)關(guān)線上跳至另一條相軌跡。升溫時(shí)間：在升溫時(shí)，相軌跡沿AB運(yùn)動(dòng)。AB對(duì)應(yīng)相軌跡方程為由相平面可見(jiàn)，保溫精度為℃A-7-15試用相平面法分析圖7-30所示下跳在β=0，β<0，β>0三種情況下的相軌跡特點(diǎn)。解由圖7-30可得=開(kāi)關(guān)線為。求解=可以得到這兩個(gè)方程分別對(duì)應(yīng)平面上開(kāi)口向右，向左頂點(diǎn)在c軸上的兩條拋物線。位置與初始條件繪另一個(gè)區(qū)域的相軌跡與開(kāi)關(guān)線的交點(diǎn)有關(guān)。開(kāi)關(guān)線是過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，斜率與β值有關(guān)。=1\*GB3①當(dāng)β=0時(shí)，開(kāi)關(guān)線為軸，相軌跡由兩個(gè)拋物線封閉組成，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)是周期運(yùn)動(dòng)，如圖7-31（a）所示。=2\*GB3②當(dāng)β<0時(shí)，開(kāi)關(guān)線向右傾斜，位于=1\*ROMANI，=3\*ROMANIII象限，相軌跡仍由拋物線組成，但每次轉(zhuǎn)換時(shí)，均增加，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)為振蕩發(fā)散，如圖7-31（b）所示。=3\*GB3③當(dāng)β>0時(shí)，開(kāi)關(guān)線向右傾斜，位于=2\*ROMANII，=4\*ROMANIV象限，相軌跡仍由拋物線組成，但每次轉(zhuǎn)換時(shí)，均減小，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)為振蕩收斂，如圖7-31（c）所示。分析本題結(jié)果知，當(dāng)開(kāi)關(guān)線變化后使每次轉(zhuǎn)換時(shí)的值增大，會(huì)降低系統(tǒng)的平穩(wěn)性，甚至?xí)绊懴到y(tǒng)的穩(wěn)定性。反之。若開(kāi)關(guān)線變化后使每次轉(zhuǎn)換時(shí)的值較小則會(huì)提高系統(tǒng)的平穩(wěn)性。A-7-16設(shè)變?cè)鲆婵刂葡到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-32所示，試用相平面法研究系統(tǒng)在斜坡輸入量作用下的相軌跡，并分析采用變?cè)鲆娣糯笃鲗?duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的影響。解假設(shè)開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，即，則描述系統(tǒng)的方程組為，其中因?yàn)?，故有，初始條件為，。整理上述關(guān)系式后可得開(kāi)關(guān)線為。在相平面的=1\*ROMANI區(qū)（），描述系統(tǒng)的微分方程為奇點(diǎn)在（,0）處(稱(chēng)為點(diǎn))，是穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。在相平面的=2\*ROMANII區(qū)（）和=3\*ROMANIII區(qū)（），描述系統(tǒng)的微分方程為奇點(diǎn)在（,0）處(稱(chēng)為點(diǎn))，是穩(wěn)定焦點(diǎn)。因?yàn)閗《1，所以總在的左邊。當(dāng)V取不同的數(shù)值時(shí)，這兩個(gè)奇點(diǎn)可能處于相平面不同區(qū)域。為便于作圖，不妨取T=0.5.K=5，K=0.1，=0.6。當(dāng)V<時(shí)，有<<，即奇點(diǎn)，均在=1\*ROMANI區(qū)內(nèi)。相應(yīng)的相軌跡如圖7-33（a）所示（取V=0.2）。系統(tǒng)以非周期運(yùn)動(dòng)形式由初始點(diǎn)A（0,0.2）運(yùn)動(dòng)到平衡位置（0.4,0），穩(wěn)態(tài)誤差=0.4，與線性放大器情況相比較（穩(wěn)態(tài)誤差為=0.04），穩(wěn)態(tài)誤差增大了。當(dāng)<V<時(shí)，有>,<,即奇點(diǎn)在=2\*ROMANII區(qū)內(nèi)，在=1\*ROMANI區(qū)內(nèi)。因?yàn)槭?1\*ROMANI區(qū)內(nèi)相軌跡的奇點(diǎn)，現(xiàn)在又位于=2\*ROMANII區(qū)，故是虛奇點(diǎn)，是實(shí)奇點(diǎn)。相應(yīng)的相軌跡如圖7-33（b）所示（取V=0.5）。從圖上可以看出，當(dāng)相軌跡由A運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn),相軌跡進(jìn)行轉(zhuǎn)換。原理的相軌跡不能運(yùn)動(dòng)至奇點(diǎn)。新相軌跡的奇點(diǎn)又在=1\*ROMANI區(qū)內(nèi)，當(dāng)相軌跡由B轉(zhuǎn)移到C時(shí)又發(fā)生轉(zhuǎn)換，使=2\*ROMANII區(qū)相軌跡不能趨向于點(diǎn)。所以，系統(tǒng)的誤差信號(hào)表現(xiàn)出振蕩特性，最終平衡在（，0）處，穩(wěn)態(tài)誤差就是。在現(xiàn)在所取得參數(shù)下，穩(wěn)態(tài)誤差為0.6，與線性放大器情況相比（穩(wěn)態(tài)誤差為=0.1），穩(wěn)態(tài)誤差增大了。當(dāng)V>時(shí)，有>>，即奇點(diǎn)，均在=2\*ROMANII區(qū)內(nèi)。所以是實(shí)奇點(diǎn)，是虛奇點(diǎn)。相應(yīng)的相軌跡如圖7-33（c）所示（取V=4）。從圖上可以看出，相軌跡收斂于穩(wěn)定焦點(diǎn)，的橫坐標(biāo)就是穩(wěn)態(tài)誤差，即==0.8，與線性放大器的情況相同，所以，在這種情況下（V>），引入非線性放大器不會(huì)增加斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。以上分析表明，只有在大輸入量（V>）的情況下，引入非線性放大器才會(huì)使穩(wěn)態(tài)誤差與線性放大器情況時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差相同。除此之外，在小會(huì)中輸入量情況下，穩(wěn)態(tài)誤差均增大，輸入量越小，兩者相差越大，可見(jiàn)，引入非線性放大器后沒(méi)有使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差減小，在有些情況下，反而使穩(wěn)態(tài)誤差增大了。A-7-17試求圖7-34所示非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。解=1\*GB3①對(duì)于圖7-34（a），因?yàn)椋覇沃灯鎸?duì)稱(chēng)，故===2\*GB3②對(duì)于圖7-34（b），因?yàn)閳D示非線性可以分解為圖7-35所示兩個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)，所以A-7-18設(shè)非線性特性如圖7-36（a）所示，試計(jì)算描述函數(shù)解設(shè)，且X>1，由曲線【圖7-36（b）】可得非線性特性輸出曲線，如圖7-36（c）所示。因?yàn)?1，所以。故===因?yàn)?，由圖7-37可得==.故)==)A-7-19已知非線性控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-38所示。為使系統(tǒng)不產(chǎn)生自振，試?yán)妹枋龊瘮?shù)法確定繼電特性參數(shù)a,b的數(shù)值。解，當(dāng)時(shí)，；；當(dāng)時(shí)，?？梢?jiàn)存在極值。由，得。因此曲線如圖7-39所示。下面求曲線與實(shí)軸交點(diǎn)。令=,得。整理后有，或=，故，與實(shí)軸交點(diǎn)為（-4/3,0），因?yàn)檎龢O點(diǎn)個(gè)數(shù)P=0，為使系統(tǒng)不產(chǎn)生自振，要求與-1/N(X)兩曲線無(wú)交點(diǎn)，由圖7-39知，要求，即。A-7-20設(shè)非線性系統(tǒng)方程為用描述函數(shù)法分析該系統(tǒng)是否存在周期運(yùn)動(dòng)解。若有，幅值和頻率是多少？該解是否對(duì)應(yīng)自激振蕩（）？解=1\*GB3①畫(huà)典型結(jié)構(gòu)圖：用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)時(shí)，該系統(tǒng)必須具備典型結(jié)構(gòu)。原方程可以寫(xiě)為故該系統(tǒng)的等效結(jié)構(gòu)圖如圖7-40所示。=2\*GB3②寫(xiě)出描述函數(shù)：由圖7-40知設(shè)，則，可以采用積分得辦法求出和。考慮到傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)的唯一性，可將寫(xiě)成三角級(jí)數(shù)，其一次諧波的系數(shù)即為和。因?yàn)樗怨?即=0，=。于是=3\*GB3③求周期解，由N(X)=得令上式實(shí)部，虛部為零，可得解出X=2，。故該系統(tǒng)存在周期運(yùn)動(dòng)解，振幅X=2，頻率。=4\*GB3④判斷是否存在自振：為不穩(wěn)定二階振蕩環(huán)節(jié)（P=2），其概略幅相特性曲線在相平面上兩曲線友誼交點(diǎn)M。在-1/N(X)曲線上，在交點(diǎn)M附近沿X增大方向取一點(diǎn)L，由原點(diǎn)過(guò)L作射線。曲線對(duì)該射線穿越次數(shù)為故該系統(tǒng)存在自振，自振參數(shù)即為周期運(yùn)動(dòng)解A-7-21設(shè)非線性系統(tǒng)如圖7-42所示，試討論參數(shù)T對(duì)系統(tǒng)自振的影響。若T=0.25，試求出輸出振蕩的振幅和頻率。解,x>h其中，M=4;h=1，且其虛部，實(shí)部的計(jì)算數(shù)據(jù)如下：由于，，當(dāng)T=0.25時(shí)，。其實(shí)部，虛部計(jì)算數(shù)據(jù)如下：利用以上數(shù)據(jù)，在復(fù)平面上作出曲線（T=0.25）和曲線，如圖7-43所示。有圖所見(jiàn)，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)自振，自振參數(shù)為X/h=1.1，=12。因h=1，所以自振振幅X=1.1，頻率=12。將振幅X折算到輸出端，考慮到所以輸出振幅故輸出端振蕩的振幅，頻率=12。為討論T對(duì)自振的影響，令由，得。代入得令，得。故此時(shí)對(duì)應(yīng)曲線與曲線相切。由上式可見(jiàn)，T對(duì)系統(tǒng)自振的影響為:T<0.138，與無(wú)交點(diǎn)，系統(tǒng)不產(chǎn)生自振，但系統(tǒng)不穩(wěn)定：T>0.138，與有兩個(gè)交點(diǎn)A和B，如圖7-43所示，小擾動(dòng)時(shí)自振。大擾動(dòng)時(shí)發(fā)散。T越大，自振振幅越小。自振頻率越高。A-7-22設(shè)非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-44所示，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解設(shè)內(nèi)回路輸出為，原系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換后如圖7-45所示，其中，N代表原結(jié)構(gòu)圖中的飽和非線性環(huán)節(jié)。線性不放傳遞函數(shù)為飽和線性的描述函數(shù)利用計(jì)算機(jī)，求出與曲線的交點(diǎn)參數(shù)為，說(shuō)明該系統(tǒng)存在周期運(yùn)動(dòng)。為確定該周期運(yùn)動(dòng)是否穩(wěn)定，需判斷G(s）中正極點(diǎn)個(gè)數(shù)P，由G(s）分母。畫(huà)等效系統(tǒng)的根軌跡，如圖7-46所示，該等效系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)（K=20）即為G（s）的極點(diǎn)。由根軌跡知，當(dāng)K>11時(shí)，G(s)有兩個(gè)極點(diǎn)在右半復(fù)平面，故P=2.將與曲線繪在圖7-47中，在兩曲線交點(diǎn)M附近沿X增大方向取一點(diǎn)Q，作為等效（）點(diǎn)，曲線在該點(diǎn)以遠(yuǎn)有故該非線性系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)解釋不穩(wěn)定的。A-7-23試求圖7-48所示非線性系統(tǒng)的等效形式。解=1\*GB3①對(duì)圖7-48（a），由于非線性特性系統(tǒng)對(duì)稱(chēng)，故只需要考慮X>0的情況。當(dāng)y有輸出時(shí)。此時(shí)，，故

其中，。利用非線性系統(tǒng)環(huán)節(jié)的對(duì)稱(chēng)性，可得等效非線性特性如圖7-49（a）所示。圖7-49（b）為非線性系統(tǒng)的等效形式。=2\*GB3②對(duì)圖7-48（b），由于非線性特性對(duì)稱(chēng)，故只需要考慮x>0的情況。當(dāng)時(shí)，y=M，否則y=0；當(dāng)時(shí)，。令，則有，故即當(dāng)時(shí)，，y=M。所以等效非線性系統(tǒng)特性如圖7-49（c）所示，其中。D-7-1已知二階欠阻尼系統(tǒng)如圖7-79所示，設(shè)系統(tǒng)開(kāi)始時(shí)處于平衡狀態(tài)，試畫(huà)出系統(tǒng)在階躍函數(shù)及斜坡函數(shù)作用下的相軌跡，并在圖中標(biāo)出系統(tǒng)的超調(diào)量及穩(wěn)態(tài)誤差。解=1\*GB3①由圖7-79知、階躍輸入，因?yàn)椋跏紬l件，由圖可知所以有上式可寫(xiě)為令，的等傾線方程為，可見(jiàn)，等傾線為一束過(guò)原點(diǎn)的直線，其斜率為-K/（T）。由初始條件及等傾線，可在相平面上繪出相軌跡如圖7-80上式。超調(diào)量及穩(wěn)態(tài)誤差也如圖上式。=2\*GB3②對(duì)斜坡輸入有，，初始條件相軌跡方程整理的等傾線方程為令，求出奇點(diǎn)為由圖7-79知，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)阻尼比為一對(duì)實(shí)部的共軛跟，故奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。相軌跡如圖7-81所示。D-7-2某系統(tǒng)相平面如圖7-82所示，試求從點(diǎn)到點(diǎn)所需要的時(shí)間，其中分別取1,2,3,和4.解由圖7-82可得到相軌跡方程因?yàn)樗訢-7-3已知帶速度反饋的非線性系統(tǒng)如圖7-83所示。系統(tǒng)原來(lái)處于靜止?fàn)顟B(tài)，且，輸入，試分別畫(huà)出有速度反饋時(shí)的系統(tǒng)相軌跡。解=1\*GB3①無(wú)速度反饋：由圖知，。當(dāng)時(shí)，，而，；當(dāng)當(dāng)時(shí)，必有，故。相軌跡方程為顯然，開(kāi)關(guān)線初始條件當(dāng)時(shí)，，有。由初始條件故有這是一條拋物線，其頂點(diǎn)為-R。當(dāng)，由相軌跡的對(duì)稱(chēng)性知，相軌跡是一條開(kāi)口相反的拋物線，其頂點(diǎn)為R。當(dāng)時(shí)，因，有，相軌跡為水平直線。無(wú)速度反饋時(shí)，系統(tǒng)的相軌跡如圖7-48所示。=2\*GB3②有速度反饋：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-85所示。由圖知由于，所以相軌跡方程為開(kāi)關(guān)線初始條件有速度反饋時(shí)系統(tǒng)的相軌跡如圖7-87所示。D-7-4設(shè)非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-87所示，其中非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解非線性環(huán)節(jié)的負(fù)倒描述函數(shù)為線性部分頻率特性為其中令=0，得與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處頻率。將代入，得與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處的幅值為-1/6.作與-1/N（X）曲線，如圖7-88所示，由圖知，與-1/N（X）交點(diǎn)處頻率為，振幅由求出，即。因此，該非線性系統(tǒng)存在不穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，其頻率為，振幅為。D-7-5設(shè)非線性系統(tǒng)如圖4-89所示，已知非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，當(dāng)=1\*GB3①=2\*GB3②試求自激振蕩的頻率這份，并討論“有”或“無(wú)”非線性環(huán)節(jié)是，K對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。解由題意=1\*GB3①：令求出曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處的頻率及相應(yīng)幅值畫(huà)出與-1/N（X）曲線如圖7-90（a）所示。由圖知，系統(tǒng)存在穩(wěn)定的自激振蕩，其自振頻率，自激振幅為=2\*GB3②其與曲線如圖7-90（b）所示。由圖知，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，不存在自激振蕩。=3\*GB3③非線性環(huán)節(jié)及K對(duì)穩(wěn)定性的影響：當(dāng)無(wú)非線性環(huán)節(jié)是，對(duì)于=1\*GB3①，時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定；對(duì)于=2\*GB3②，系統(tǒng)始終穩(wěn)定，不受K值影響。D-7-6設(shè)飽和非線性系統(tǒng)如圖7-91所示，飽和非線性描述函數(shù)曲線如圖7-92所示。試求=1\*GB2⑴系統(tǒng)穩(wěn)定是K的最大值=2\*GB2⑵K=3時(shí)，系統(tǒng)自激振蕩的振幅與頻率解=1\*GB2⑴確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的其幅頻與相頻為令，得與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處頻率；將代入，得與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處的幅值為-2K/3。由圖7-92描述函數(shù)可知，當(dāng)時(shí)，負(fù)倒描述函數(shù)-1/N()從。顯然，若要求系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)有即故=1.5。=2\*GB2⑵確定自振參數(shù)當(dāng)K=3時(shí)，，與-1/N（）曲線有交點(diǎn)，系統(tǒng)出現(xiàn)穩(wěn)定的自振，其頻率；令-1/N（）=，求出N(X)=0.5，由圖7-92描述函數(shù)知，1/=0.4，故自振振幅。D-7-7設(shè)非線性系統(tǒng)如圖7-93所示，其中參數(shù)均為正。試確定=1\*GB2⑴系統(tǒng)產(chǎn)生自振時(shí)，各參數(shù)應(yīng)滿足的條件；=2\*GB2⑵自振頻率和振幅解將圖示非線性系統(tǒng)化為典型結(jié)構(gòu)當(dāng)時(shí)，有令即由此可知，使系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)定自振時(shí)各參數(shù)應(yīng)滿足的條件為自振參數(shù)為，D-7-8已知非線性系統(tǒng)如圖7-94（a）所示，非線性原件的負(fù)倒描述函數(shù)如圖7-94（b）所示。試試使系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩的h和M的數(shù)值。解顯然當(dāng)時(shí)，與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的幅值為令求出h和M的關(guān)系D-7-9設(shè)非線性可知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-95所示，試畫(huà)出的相軌跡圖；當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)，。指出相軌跡路徑。解=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，：若，由線性部分傳遞函數(shù)知顧得若，同理得相軌跡方程為相軌跡及其走向如圖7-96（a）所示。=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，：若，故；若故。相軌跡方程如下：相軌跡及其走向如圖7-96（b）所示。D-7-10設(shè)非線性系統(tǒng)如圖7-97所示，其中，飽和特性參數(shù)帶死區(qū)的繼電特性參數(shù)M=1.7，h=1.4.試用描述函數(shù)法分析系統(tǒng)是否存在自振？若存在，求出自振振幅和頻率。解根據(jù)信號(hào)的等效變換，對(duì)圖示狀態(tài)中的兩個(gè)串聯(lián)非線性特性進(jìn)行結(jié)構(gòu)歸化，所得等效非線性特性仍為帶死區(qū)的繼電特性，只是。帶死區(qū)繼電特性的描述函數(shù)為其中，。由于令作穩(wěn)定性分析，如圖7-98所示。其中由圖可知，系統(tǒng)存在自振，其中點(diǎn)對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定自振，對(duì)應(yīng)穩(wěn)定自振，其振幅為，頻率。D-7-11某二階非線性系統(tǒng)的相平面和一條相軌跡如圖7-99所示，圖中原點(diǎn)0為平衡狀態(tài)，B0段的相軌跡方程為，AB段為平行于x軸的線段。試求相點(diǎn)從A運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)所需的時(shí)間。解因?yàn)樗杂谑牵帱c(diǎn)從A到0運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間為D-7-12非線性系統(tǒng)如圖7-100所示，其中非線性特性的描述函數(shù)為試用描述函數(shù)法判斷系統(tǒng)是否發(fā)生自振(要求作圖)？解描述函數(shù)顯然頻率特性若。畫(huà)7-101所示。由圖知，無(wú)交點(diǎn)，故系統(tǒng)不會(huì)發(fā)生自振。D-7-13設(shè)非線性系統(tǒng)如圖7-102所示，其中非線性部分的描述函數(shù)為試用描述函數(shù)法分析系統(tǒng)存在自振時(shí)參數(shù)K與h應(yīng)滿足的條件。解因負(fù)倒描述函數(shù)為當(dāng)時(shí)，右；當(dāng)時(shí)，有。故，必存在極值。令得極值線性部分的頻率特性為其與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)為系統(tǒng)穩(wěn)定性分析曲線如圖7-103所示。由圖知，若系統(tǒng)存在自振，則應(yīng)有即參數(shù)K,h應(yīng)滿足如下條件：D-7-14已知非線性系統(tǒng)如圖7-104所示，其中均大于零。現(xiàn)要求系統(tǒng)輸出量的自振振幅，角頻率，試確定參數(shù)及的數(shù)值。解非線性部分的描述函數(shù)與負(fù)倒描述函數(shù)為由題意，自振振幅故有令則有求得。由于即得因此，所求參數(shù)為D-7-15設(shè)非線性系統(tǒng)如圖7-105所示，試在相平面上繪出起始于（-2,0）點(diǎn)的相軌跡，并求出相軌跡與開(kāi)關(guān)線的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)值。解由圖知故相軌跡方程為開(kāi)關(guān)線為。對(duì)于，有積分得整理得因起點(diǎn)為（-2,0）即，故相軌跡方程為這是一個(gè)拋物線方程，相軌跡在開(kāi)關(guān)線c=1上的交點(diǎn)坐標(biāo)為，即（1,3）。根據(jù)相軌跡的對(duì)稱(chēng)性可知，另一對(duì)稱(chēng)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-3）。對(duì)于，有積分并整理得由起點(diǎn)（1,3），即，得相軌跡方程這也是一個(gè)拋物線方程，相軌跡在開(kāi)關(guān)線c=-1上的交點(diǎn)為（-1，-3.6.56），其對(duì)稱(chēng)相點(diǎn)為（-1，-3.6.56）。當(dāng)起點(diǎn)為（-1，-3.6.56）時(shí)，相軌跡方程也是積分并整理后得其與開(kāi)關(guān)線c=1的交點(diǎn)為（1,4.1231），對(duì)稱(chēng)相點(diǎn)（1,4.1231）繪系統(tǒng)相軌跡曲線如圖7-106所示。D-7-16設(shè)非線性系統(tǒng)如圖7-107所示。試在相平面上畫(huà)出起始于，的相軌跡，要求寫(xiě)出相軌跡的方程式，并求出相軌跡相軌跡與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，相軌跡與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處相應(yīng)的時(shí)間。解=1\*GB3①相軌跡：因?yàn)楫?dāng)c>0時(shí)，由，參照D-7-15方法，求出相軌跡方程為代入起始點(diǎn)值（0,2），有其與c軸交點(diǎn)：；與軸交點(diǎn)由相軌跡對(duì)稱(chēng)性得（0，-2）。當(dāng)c<0時(shí)，相軌跡方程為代入初始點(diǎn)值（0，-2），由其與c軸交點(diǎn)為（），與軸交點(diǎn)（0，-2）。相軌跡曲線如圖7-108所示。=2\*GB3②運(yùn)動(dòng)時(shí)間eq\o(DA,\S\up5(⌒))段eq\o(AB,\S\up5(⌒))段：由相軌跡的對(duì)稱(chēng)性，有eq\o(BC,\S\up5(⌒))段eq\o(CD,\S\up5(⌒))段：由相軌跡的對(duì)稱(chēng)性，有于是，一個(gè)自振周期為D-7-17社非線性系統(tǒng)如圖7-109所示。若希望輸出c（t）為頻率，幅值的周期（近似正弦）信號(hào)，試確定系統(tǒng)參數(shù)K與的值（非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)）。解系統(tǒng)線性部分傳遞函數(shù)為由題意，要求系統(tǒng)產(chǎn)生自振，其自振頻率，自振振幅。因此負(fù)倒描述函數(shù)與交點(diǎn)處頻率特性因?yàn)樵谪?fù)實(shí)軸上相交，故令；令則有得。所以，所求產(chǎn)生值為D-7-18設(shè)單位負(fù)反饋非線性結(jié)構(gòu)圖如圖7-110所示，非線性部分的描述函數(shù)為=1\*GB2⑴分析系統(tǒng)是否存在自振？=2\*GB2⑵若有自振，計(jì)算自振頻率及振幅；=3\*GB2⑶定性分析開(kāi)環(huán)增益變化時(shí)對(duì)自振產(chǎn)生（幅值和頻率）的影響。解=1\*GB2⑴自振判斷由可分別繪出負(fù)倒描述函數(shù)曲線曲線，如圖7-111所示。由圖知，系統(tǒng)存在穩(wěn)定的自振。=2\*GB2⑵計(jì)算自振參數(shù)在曲線的交點(diǎn)處，有求得自振頻率又故自振振幅為5.3=3\*GB2⑶定性分析增益影響其中K=15。當(dāng)開(kāi)環(huán)增益K加大時(shí)，自振頻率不變，自振振幅隨K增大而增大，稱(chēng)正比關(guān)系；反之亦然。D-7-19設(shè)非線性系統(tǒng)如圖7-112所示，試大致畫(huà)出的相軌跡。解由圖知而且有故系統(tǒng)分段微分方程為當(dāng)時(shí)令，求得奇點(diǎn)為。在該區(qū)域內(nèi)，特征方程為特征根，故該奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。令，的等傾線方程為可知，等傾線為一簇過(guò)原點(diǎn)的直線。當(dāng)時(shí)顯然無(wú)奇點(diǎn)。等傾線方程為等傾線為一簇平行于橫軸的直線。在。當(dāng)時(shí)無(wú)奇點(diǎn)，等傾線是一簇平行于橫軸的直線，在。。由于，故在相平面上，起始于（4,0）的相軌跡如圖7-103所示。D-7-20非線性系統(tǒng)如圖7-114所示，其中非線性元件的負(fù)倒描述函數(shù)為=1\*GB2⑴試分析系統(tǒng)是否存在自振？若存在，求h=0.8時(shí)系統(tǒng)的自振參數(shù)（頻率與振幅）；=2\*GB2⑵試分析h變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)自振參數(shù)的影響。解=1\*GB2⑴穩(wěn)定性分析頻率特性負(fù)倒描述函數(shù)其中繪曲線，如圖7-115所示。由圖可知，存在交點(diǎn)，故系統(tǒng)存在穩(wěn)定的自振。令即由虛部相等，的自振頻率由實(shí)部相等，的自振振幅因?yàn)閔=0.8，所以自振參數(shù)為=2\*GB2⑵h對(duì)自振參數(shù)的影響H增大，系統(tǒng)自振頻率減小。自振振幅變大；h減小，系統(tǒng)自振頻率增大，自振振幅減小。D-7-21設(shè)非線性系統(tǒng)如圖7-116所示，其中，非線性部分的描述函數(shù)為=1\*GB2⑴當(dāng)時(shí)，試分析系統(tǒng)是否存在自振？若存在，求出自振的振幅和頻率；=2\*GB2⑵當(dāng)時(shí)，時(shí)分析其對(duì)系統(tǒng)的影響。解=1\*GB2⑴系統(tǒng)中，線性部分的傳遞函數(shù)為代入表達(dá)式，有因?yàn)镸=h=1，所以令求求極值，有繪出曲線，如圖7-117所示。由圖可見(jiàn)，有交點(diǎn)，系統(tǒng)存在自振。令（舍去）得令，即求出。由-1/N(x)走向可知：對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定自振；對(duì)應(yīng)穩(wěn)定自振。=2\*GB2⑵線性部分頻率特性為顯然繪出曲線，如圖7-118所示。由圖可見(jiàn)，無(wú)交點(diǎn)，系統(tǒng)不存在自振，且曲線，所以此時(shí)非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。D-7-22非線性系統(tǒng)如圖7-119所示，其中非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。=1\*GB2⑴當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)受擾動(dòng)后得穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)呈現(xiàn)什么形式？=2\*GB2⑵當(dāng)時(shí)，要使系統(tǒng)產(chǎn)生幅值X=的自振，K應(yīng)取何值？自振頻率為何值？=3\*GB2⑶當(dāng)0時(shí)，要使系統(tǒng)產(chǎn)生幅值？解=1\*GB2⑴時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性運(yùn)動(dòng)形式系統(tǒng)頻率特性為負(fù)倒描述函數(shù)為繪出曲線，如圖7-120所示，由圖知，存在交點(diǎn)，且當(dāng)自振增大時(shí)，從不穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)域，所示系統(tǒng)受擾后穩(wěn)定性運(yùn)動(dòng)狀態(tài)呈現(xiàn)穩(wěn)定自振。=2\*GB2⑵時(shí)系統(tǒng)的K與自振頻率因自振振幅，故交點(diǎn)處的負(fù)倒描述函數(shù)為線性部分的頻率特性為因交點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸上必有解得有求出。于是，所求參數(shù)及自振頻率為=3\*GB2⑶時(shí)的系統(tǒng)參數(shù)K及的值線性部分頻率特性為由題意，系統(tǒng)自振頻率，自振振幅，在的交點(diǎn)上，有因根據(jù)可求出由可求出。故所求參數(shù)值為D-7-23非線性系統(tǒng)如圖7-121所示，試在平面上繪相軌跡圖。解由圖知故系統(tǒng)的分段線性微分方程為開(kāi)關(guān)線方程為以及、系統(tǒng)相軌跡圖如圖7-122所示。D-7-24設(shè)非線性系統(tǒng)如圖7-123所示。=1\*GB2⑴列寫(xiě)平面的相軌跡微分方程；=2\*GB2⑵