行測(cè)考點(diǎn)(一本通上總結(jié))

一．?dāng)?shù)量關(guān)系1.濃度問題知識(shí)框架數(shù)學(xué)運(yùn)算問題一共分為十四個(gè)模塊，其中一塊是濃度問題。濃度問題在公務(wù)員考試中主要只有三類，溶質(zhì)變化、溶劑變化和不同溶液混合，其中不同溶液混合分為規(guī)律變化和無規(guī)律變化兩種形式。只要掌握其解題技巧，這類問題便可輕松搞定濃度問題。核心點(diǎn)撥1、題型簡(jiǎn)介化學(xué)定量分析常涉及溶液的配置和溶液濃度的計(jì)算，在實(shí)際生活中我們也常遇到溶液配比的問題，由此產(chǎn)生的許多問題歸為濃度問題。公務(wù)員考試中濃度問題實(shí)際是從小學(xué)應(yīng)用題演變而來的，其本質(zhì)是比例問題。2、核心知識(shí)一般溶液是指將一種固體或液體溶于另一種液體（一般為水）中，得到的均勻混合物，被溶解的固體或液體為溶質(zhì)，起溶解作用的液體（一般為水）為溶劑。濃度問題就是研究溶質(zhì)、溶劑、溶液和濃度之間關(guān)系的問題。它們存在以下四個(gè)基本關(guān)系：溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量+溶劑質(zhì)量；

溶質(zhì)質(zhì)量=濃度×溶液質(zhì)量；；

溶液質(zhì)量=。（1）溶劑的變化——蒸發(fā)與稀釋問題溶液蒸發(fā)

水含量降低

溶質(zhì)濃度增加；

溶質(zhì)不變?nèi)芤合♂?/p>

溶劑含量增加

溶質(zhì)濃度降低；利用相同溶質(zhì)的不同比例求解溶劑變化的情況。（2）溶質(zhì)變化——溶質(zhì)的增減問題一般而言，直接計(jì)算溶質(zhì)的增減比較復(fù)雜，由于溶劑與溶質(zhì)對(duì)立而統(tǒng)一，大部分情況下，溶質(zhì)變化的濃度問題需要通過計(jì)算溶劑的變化來反推濃度。（3）不同溶液的混合問題A.濃度呈規(guī)律性變化這類題往往具有多次操作，濃度不斷變化且呈一定規(guī)律的特征。其關(guān)鍵是抓住濃度變化的統(tǒng)一規(guī)律，從而忽略掉每個(gè)步驟的分析過程，應(yīng)用公式法，簡(jiǎn)化計(jì)算。B．無規(guī)律變化①某一溶液相對(duì)于混合后溶液，溶質(zhì)增加；另一種溶液相對(duì)于混合后溶液，溶質(zhì)減少。由于總?cè)苜|(zhì)不變，因此增加的溶質(zhì)等于減少的溶質(zhì)。此類混合問題采用十字交叉法。②使用混合判定法，從選項(xiàng)入手，根據(jù)溶液混合特性，使用帶入排除法解題。3、核心知識(shí)使用詳解濃度問題主要有四種解決方法。其中，方程法具有思維過程簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，適用于大部分濃度問題。因此，同學(xué)需要優(yōu)先而扎實(shí)地掌握以不變應(yīng)萬(wàn)變的方程法。（1）方程法一般來說，該方法有兩個(gè)要素，第一是設(shè)未知數(shù)，要求易于求解；第二是找等量關(guān)系列出方程。濃度問題中往往以濃度作為未知數(shù)，這樣等量關(guān)系易于表達(dá)，但也伴有濃度數(shù)值大多是小數(shù)不好計(jì)算的弊病，同學(xué)可在實(shí)際做題中細(xì)加體會(huì)。（2）特殊值法在很多情況下，同學(xué)可選取符合一般情況的特殊值求解。（3）十字交叉法十字交叉法主要用于解決加權(quán)平均值問題，在濃度問題中即混合濃度問題。兩部分混合，第一部分的平均值為a，第二部分的平均值為b（這里假設(shè)a＞b），混合后的平均值為r，利用十字交叉法有：

平均值

交叉作差

對(duì)應(yīng)量第一部分

a

r-b

A總體平均值

r第二部分

b

a-r

B得到等式：（r-b）÷（a-r）=A÷B。（4）混合特性判定法同學(xué)可從選項(xiàng)入手，根據(jù)溶液混合特性直接排除一些選項(xiàng)，通常與代入排除法混合使用。其優(yōu)點(diǎn)在于可以省去繁瑣的計(jì)算，但較依賴于命題者對(duì)選項(xiàng)的設(shè)置。在熟練掌握上述基本方法的前提下，有意識(shí)地運(yùn)用該方法，可提高解題效率。（5）公式法多次混合問題公式：設(shè)原有鹽水的質(zhì)量為M，濃度為c0先倒出M0克鹽水，再倒入M0克清水，如此重復(fù)n次后，溶液濃度cn為：先倒入M0克清水，再倒出M0克鹽水，如此重復(fù)n次后，溶液濃度cn為：夯實(shí)基礎(chǔ)溶劑變化例1：當(dāng)含鹽30%的60千克鹽水蒸發(fā)為含鹽40%的鹽水時(shí)，鹽水重量為多少克？A.45

B.50

C.55

D.60【答案】A【解析】[題鑰]“當(dāng)含鹽30%的60千克鹽水蒸發(fā)為含鹽40%的鹽水時(shí)”，表明考查的是蒸發(fā)問題。在此類問題中，溶質(zhì)不變?！胞}水重量為多少克”，本題要求的是溶液質(zhì)量。[解析]應(yīng)用方程法：假設(shè)最后鹽水質(zhì)量為x千克；根據(jù)“溶質(zhì)不變”列方程：60×30%=x×40%；計(jì)算得x=45千克；所以，選A。例2：甲容器中有6%的食鹽水300克，乙容器中有10%的食鹽水120克。往甲、乙兩個(gè)容器中分別倒入等量的水，使兩個(gè)容器的食鹽水濃度一樣，問倒入多少克水？A.100

B.120

C.180

D.240【答案】D【解析】[題鑰]“往甲、乙兩個(gè)容器中分別倒入等量的水”，表明考查的是稀釋問題。在此類問題中，溶質(zhì)不變?！笆箖蓚€(gè)容器的食鹽水濃度一樣”說明溶質(zhì)之比等于溶液質(zhì)量之比。[解析]兩個(gè)容器中食鹽的含量之比為：(300×6%)：(120×10%)=3：2；由于最后兩個(gè)容器的食鹽水濃度一樣：故最后兩個(gè)容器中食鹽水的質(zhì)量之比為3：2；設(shè)倒入x克水：則有(300+x)：(120+x)=3：2；解得x=240。溶質(zhì)變化例3：一個(gè)容器內(nèi)裝有10升酒精，倒出2.5升后，用水加滿；再倒出5升，再用水加滿，這是容器里的酒精溶度是多少？A.35%

B.37.5%

C.40%

D.42.5%【答案】B【解析】[題鑰]“一個(gè)容器內(nèi)裝有10升酒精，倒出2.5升后，用水加滿；再倒出5升，再用水加滿”，表明溶質(zhì)質(zhì)量變化，步步求解。[解析]第一次加水后溶質(zhì)變化為原來的：；第二次加水后變?yōu)樵瓉淼模?；所求溶度為：；所以，選B。不同溶液混合例4：從裝滿1000克濃度為50%的酒精瓶中倒出200克酒精，倒入蒸餾水將瓶加滿，這樣反復(fù)三次后，瓶中的酒精濃度是：A.22.5%

B.24.4%

C.25.6%

D.27.5%【答案】C【解析】[題鑰]每次操作后，酒精濃度減小，且其變化呈現(xiàn)出一定的規(guī)律。[解析]根據(jù)題意：每次操作后，酒精濃度變?yōu)樵瓉淼模?000-200）/1000=0.8；故反復(fù)三次后濃度變?yōu)椋?0%×0.8×0.8×0.8=25.6%；所以，選C。例5：甲杯中有濃度17%的溶液400克，乙杯中有濃度為23%的同種溶液600克，現(xiàn)在從甲、乙取出相同質(zhì)量的溶液，把甲杯取出的倒人乙杯中，把乙杯取出的倒人甲杯中，使甲、乙兩杯溶液的濃度相同，問現(xiàn)在兩杯溶液濃度是多少？A.20%

B.20.6%

C.21.2%

D.21.4%【答案】B【解析】[題鑰]“甲杯中有濃度17%的溶液400克，乙杯中有濃度為23%的同種溶液600克”可以得出這兩杯的溶質(zhì)質(zhì)量。“甲、乙兩杯溶液的濃度相同”暗含將兩杯的溶液混合，溶質(zhì)和總?cè)芤翰蛔?。求出混合后的溶液濃度就是本題的重點(diǎn)。[解析]解法一：應(yīng)用方程法：假設(shè)兩杯溶液濃度為x，根據(jù)“溶質(zhì)和總?cè)芤翰蛔儭绷蟹匠蹋海?00+600）x=400×17%+23%×600；解得x=20.6%；所以，選B。解法二：應(yīng)用十字交叉法：設(shè)混合后總濃度為x：濃度

交叉作差

對(duì)應(yīng)量第一部分（甲）

17%

400總濃度（總體平均值）

第二部分（乙）

23%

600得到等式：解得所以，選B。進(jìn)階訓(xùn)練溶劑變化例6：已知鹽水若干千克，第一次加入一定量的水后，鹽水濃度變?yōu)?%，第二次加入同樣多的水后，鹽水濃度變?yōu)?%，第三次再加入同樣多的水后鹽水濃度是多少？A.3%

B.2.5%

C.2%

D.1．8%【答案】A【解析】[題鑰]“已知鹽水若干千克，第一次加入一定量的水后，鹽水濃度變?yōu)?%，第二次加入同樣多的水后，鹽水濃度變?yōu)?%”，可知本題的溶質(zhì)不變，變的是溶液的質(zhì)量和濃度。[解析]設(shè)特殊值：假設(shè)第一次加水后鹽水的質(zhì)量為100克溶質(zhì)質(zhì)量（食鹽）為：溶質(zhì)質(zhì)量=濃度×溶液質(zhì)量=100×6%=6克第二次加水后溶液質(zhì)量為：溶液質(zhì)量==6/4%=150克先后加水的質(zhì)量為：150-100=50克第三次加水后溶液的濃度為==；所以，選A。溶質(zhì)變化例7：有一瓶水，將它倒出1/3，然后倒入同樣多的酒精，再將此溶液倒出1/4后又倒進(jìn)同樣多的酒精，第三次倒出此溶液的1/5后又倒進(jìn)同樣多的酒精，問此時(shí)的酒精濃度是多少？A.70%

B.65%

C.60%

D.55%【答案】C【解析】[題鑰]“有一瓶水，將它倒出1/3，然后倒入同樣多的酒精，再將此溶液倒出1/4后又倒進(jìn)同樣多的酒精，第三次倒出此溶液的1/5后又倒進(jìn)同樣多的酒精”，可以找出此題暗含的是混合后溶液質(zhì)量不變，關(guān)鍵是求溶質(zhì)質(zhì)量。[解析]設(shè)特殊值：假設(shè)這瓶水的總量為60（3、4、5的最小公倍數(shù)）第一次倒出的水和倒入的酒精質(zhì)量一樣，為：60×1/3=20；第二次倒出水和倒入酒精后，共有酒精為：20×﹙1-1/4﹚+60×1/4=30；第三次倒出水和倒入酒精后，共有酒精為：30×﹙1－1/5﹚+60×1/5=36故最終溶液濃度為：=36/60×100%=60%所以，選C。例8：已知有A、B、C三種溶液，其濃度分別為40%、36%、35%，將三者混合后得到濃度為38．5%的溶液11升。其中B溶液比C種溶液多3升，那么其中A種溶液多少升？A.4升

B.5升

C.6升

D.7升【答案】D【解析】[題鑰]“已知有A、B、C三種溶液，其濃度分別為40%、36%、35%，將三者混合后得到濃度為38．5%的溶液11升”，混合前后A、B、C三者的溶質(zhì)不變[解析]設(shè)A溶液有x升.B溶液有y升，則C溶液有（y-3）升：有X+Y+（Y-3）＝11；A溶液的溶質(zhì)質(zhì)量為：溶質(zhì)質(zhì)量=濃度×溶液質(zhì)量=40%x；B溶液的溶質(zhì)質(zhì)量為：溶質(zhì)質(zhì)量=濃度×溶液質(zhì)量=36%y；C溶液的溶質(zhì)質(zhì)量為：溶質(zhì)質(zhì)量=濃度×溶液質(zhì)量=35%(y-3)；混合后的溶質(zhì)質(zhì)量為：溶質(zhì)質(zhì)量=濃度×溶液質(zhì)量=38.5%×11；溶解前后的溶質(zhì)質(zhì)量不變：40%x+36%y+35%(y-3)＝38.5%×11消去y，得x＝7；所以，選D排列組合問題知識(shí)框架數(shù)學(xué)運(yùn)算問題一共分為十四個(gè)模塊，其中一塊是常規(guī)排列組合問題。常規(guī)排列組合問題是排列組合問題中的一種。排列組合問題根據(jù)是否與順序有關(guān)，只有排列和組合兩種類型；根據(jù)事情的完成步驟，只有分類和分步兩種類型；根據(jù)解題方法，只有基礎(chǔ)公式型、分類討論型、分步計(jì)算型、捆綁插空型、錯(cuò)位排列型、重復(fù)剔除型、多人傳球型、等價(jià)轉(zhuǎn)化型八種類型。無論排列組合的元素怎么變化，同學(xué)只要牢牢把握這幾種主要類型和解題方法，就能輕松搞定排列組合問題。核心點(diǎn)撥1、題型簡(jiǎn)介排列組合問題在近年來各類公務(wù)員考試中出現(xiàn)較多。下面給出了解決排列組合問題的幾個(gè)核心知識(shí)點(diǎn)，從真題來看，基礎(chǔ)公式型、分類討論型、分步計(jì)算型、重復(fù)剔除型、等價(jià)轉(zhuǎn)化型這五種題型考查較多，同學(xué)們可以重點(diǎn)學(xué)習(xí)。2、核心知識(shí)（1）基礎(chǔ)公式法加法原理：一件事情，有n類方法可以完成，并且每類方法又分別存在種不同方法，則完成這件事情共有種方法。乘法原理：一件事情，需要n個(gè)步驟完成，并且每步又分別存在種不同方法，則完成這件事情共有種方法。排列基礎(chǔ)公式：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素組成一列（與順序有關(guān)），有種方法。組合基礎(chǔ)公式：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素組成一組（與順序無關(guān)），有(其中m!=1×2×3×…×m)種方法。（2）分類討論法根據(jù)題意分成若干類分別計(jì)算。（3）分步計(jì)算法根據(jù)題意，分步計(jì)算。（4）捆綁插空法相鄰問題——捆綁法：先將相鄰元素全排列，然后視為一個(gè)整體與剩余元素全排列。不相鄰問題——插空法：先將剩余元素全排列，然后將不相鄰元素有序插入所成間隙中。（5）錯(cuò)位排列法錯(cuò)位排列問題：有n封信和n個(gè)信封，則每封信都不裝在自己的信封里，可能的方法的種數(shù)計(jì)算Dn，則D1＝0，D2＝1，D3＝2，D4＝9，D5＝44，D6=265…（請(qǐng)牢牢記住前六個(gè)數(shù)）。（6）重復(fù)剔除法A．平均分組問題將NM個(gè)人平均分成N組，總共有種分配方法。B．多人排成圈問題N人排成一圈，有種排法。C．物品串成圈問題N個(gè)珍珠串成一條項(xiàng)鏈，有種串法。（7）多人傳球法M個(gè)人傳N次球，記，則與X最接近的整數(shù)為傳給“非自己的某人”的方法數(shù)，與X第二接近的整數(shù)便是傳給自己的方法數(shù)。（8）等量轉(zhuǎn)換法夯實(shí)基礎(chǔ)1.基礎(chǔ)公式法例1：把4個(gè)不同的球放入4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子放一個(gè)球，有多少種放法？A.24

B.4

C.12

D.10【答案】A【解析】[題鑰]“把4個(gè)不同的球放入4個(gè)不同的盒子中”，與順序有關(guān)，因此屬于排列問題。[解析]根據(jù)題意：確定n：4；確定m：4；代入排列基礎(chǔ)公式：；所以，選A。2.分類討論法例2：從1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意選出三個(gè)數(shù)，使它們的和為偶數(shù)，則共有（

）種不同的選法。A.40

B.41

C.44

D.46【答案】C【解析】[題鑰]“從1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意選出三個(gè)數(shù)”，與順序無關(guān)，因此屬于組合問題。“從1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意選出三個(gè)數(shù)，使它們的和為偶數(shù)”，共有兩種類別：第一類，三個(gè)數(shù)都為偶數(shù)；第二類，兩個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)。采用加法原理。[解析]第一類，三個(gè)數(shù)都為偶數(shù)：確定m1：；第二類，兩個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)：確定m2：；

代入加法原理公式：所以，選C。3.分步計(jì)算例3：林輝在自助餐店就餐，他準(zhǔn)備挑選三種肉類中的一種肉類，四種蔬菜中的二種不同蔬菜，以及四種點(diǎn)心中的一種點(diǎn)心。若不考慮食物的挑選次序，則他可以有多少不同選擇方法？(

)A.4

B.24

C.72

D.144【答案】C【解析】[題鑰]“若不考慮食物的挑選次序”，與順序無關(guān)，因此屬于組合問題。林輝挑選食物可分三步，第一步從三種肉類中挑一種肉類，第二步從四種蔬菜中挑二種不同蔬菜，第三步從四種點(diǎn)心中挑一種點(diǎn)心，采用乘法原理。[解析]三種肉類中挑一種肉類：確定m1：；四種蔬菜中挑二種不同蔬菜：確定m2：；四種點(diǎn)心中挑一種點(diǎn)心：確定m3：；代入乘法原理公式：所以，選C。4.捆綁插空法例4：A、B、C、D、E五個(gè)人排成一排，其中A、B兩人不站一起，共有（

）種排法。A.120

B.72

C.48

D.24【答案】B【解析】[題鑰]“A、B、C、D、E五個(gè)人排成一排”，與順序有關(guān)，屬于排列問題?！捌渲蠥、B兩人不站一起”，可采用插空法。分為兩步，第一步：把C、D、E排成一排；第二步：將A、B插入C、D、E中行成的4個(gè)空隙中。采用乘法原理。[解析]第一步：把C、D、E排成一排；確定m1：；第二步：將A、B插入C、D、E中行成的4個(gè)空隙中；確定m2：；代入乘法原理公式：所以，選B。5.錯(cuò)位排列法例5：五個(gè)瓶子都貼了標(biāo)簽，其中恰好貼錯(cuò)了三個(gè)，則錯(cuò)的可能情況共有多少種？A.6

B.10

C.12

D.20【答案】D【解析】[題鑰]“五個(gè)瓶子都貼了標(biāo)簽，其中恰好貼錯(cuò)了三個(gè)”，與順序無關(guān)，屬于組合問題。“其中恰好貼錯(cuò)了三個(gè)”，屬于錯(cuò)位排列。分為兩步，第一步：從五個(gè)瓶子中選出三個(gè)；第二步：對(duì)選出的三個(gè)瓶子進(jìn)行錯(cuò)位排列。采用乘法原理。[解析]第一步：從五個(gè)瓶子中選出三個(gè)；確定m1：。第二步：對(duì)選出的三個(gè)瓶子進(jìn)行錯(cuò)位排列；

確定m2：D3＝2；

代入乘法原理公式：；所以，選D。6.重復(fù)剔除法例6：某小組有四位男性和兩位女性，六人圍成一圈跳集體舞，不同排列方法有多少種？（

）A.720

B.60

C.480

D.120【答案】D【解析】[題鑰]“六人圍成一圈跳集體舞”，與順序有關(guān)，屬于排列問題。然而，如下圖所示，以下6種情況雖然對(duì)應(yīng)了上述解法的不同排列過程，但實(shí)際上卻是相同的方法，所以最后的結(jié)果還要剔除這些重復(fù)的情況。屬于重復(fù)剔除型中的多人排成圈問題。[解析]根據(jù)題意：

將六人排成一排，共有種；確定重復(fù)情況：將6個(gè)人排成圈，N＝6；確定分配方法：720÷6＝120所以，選D。7.多人傳球法例7：四人進(jìn)行籃球傳接球練習(xí)，要求每人接球后再傳給別人。開始由甲發(fā)球，并作為第一次傳球，若第五次傳球后，球又回到甲手中，則共有多少種傳球方式？A.60種

B.65種

C.70種

D.75種【答案】A【解析】[題鑰]“四人進(jìn)行籃球傳接球練習(xí)”，屬于多人傳球型問題。[解析]套用公式法：確定M：4；確定N：5；代入多人傳球公式：；與60.75最接近的整數(shù)61為傳給“非自己的某人”即非甲的方法數(shù)；與60.75第二接近的整數(shù)60便是傳給自己即甲的方法數(shù)。所以，選A。8.等價(jià)轉(zhuǎn)換法例8：一次射擊比賽當(dāng)中，6個(gè)瓷制靶子排成兩列，左邊掛了4個(gè)靶子，右邊掛了2個(gè)靶子。射手在射擊每一列的時(shí)候，必須先擊碎此列尚未擊碎的靶子當(dāng)中的最下面的一個(gè)。請(qǐng)問全部擊碎所有6個(gè)靶子一共有多少種方法？（

）A.10種

B.12種

C.15種

D.21種【答案】C【解析】[題鑰]此時(shí)可進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，等價(jià)于在第1、2、3、4、5、6次射擊中，有4次是往左射擊，有2次是往右射擊，確定好這6次射擊的“左”與“右”之后，具體是打哪個(gè)靶就被唯一確定了。[解析]此題等價(jià)于：“共有6次射擊，其中有4次是往左射擊，有2次是往右射擊，共有幾種射擊方法?！?次射擊中尋找2次往右射擊的方法：所以，選C。進(jìn)階訓(xùn)練1.分類討論法例9：用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，從小到大順序排列：1，2，3，4，5，12，…，54321。其中，第207個(gè)數(shù)是多少？（

）A.313

B.12354

C.325

D.371【答案】B【解析】[題鑰]“用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)”，與順序有關(guān)，因此屬于排列問題?！坝?，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)”，共有五種類別：第一類，組成的自然數(shù)為一位數(shù)；第二類，組成的自然數(shù)為二位數(shù)；第三類，組成的自然數(shù)為三位數(shù)；第四類，組成的自然數(shù)為四位數(shù)；第五類，組成的自然數(shù)為五位數(shù)。采用加法原理。[解析]組成的自然數(shù)為一位數(shù)：確定m1：；組成的自然數(shù)為二位數(shù)：確定m2：；組成的自然數(shù)為三位數(shù)：確定m3：；組成的自然數(shù)為四位數(shù)：確定m4：；組成的自然數(shù)為五位數(shù)：確定m5：；由于m1＋m2＋m3＋m4＝5＋20＋60＋120＝205；m1＋m2＋m3＋m4＋m5＝5＋20＋60＋120＋120＝325。因此，第207個(gè)數(shù)為五位數(shù)的自然數(shù)。第205個(gè)數(shù)為四位數(shù)的最后一位，即最大數(shù)5432；第206個(gè)數(shù)為五位數(shù)的第一位，即最小數(shù)12345：則第207個(gè)數(shù)為五位數(shù)的第二位，即第二小的數(shù)12354。所以，選B。2.重復(fù)剔除法例10：將11個(gè)人分成“3、3、2、2、1”這樣的五組，請(qǐng)問一共有多少種分配的方法？（

）A.4620

B.69300

C.138600

D.277200【答案】B【解析】[題鑰]“將11個(gè)人分成‘3、3、2、2、1’這樣的五組”，與順序無關(guān)，屬于組合問題。將11個(gè)人分成“3、3、2、2、1”這樣的五組，可分為兩步，第一步：從11個(gè)人中選出6人，然后平均分成2組；第二步：從剩余的5個(gè)人中選出4人，然后平均分成2組，剩余一人則唯一確定。采用乘法原理。在平均分組的過程中，應(yīng)剔除重復(fù)的情況。屬于重復(fù)剔除型中的平均分組問題。[解析]根據(jù)題意，第一步，從11個(gè)人中選出6人，然后平均分成2組：確定m1：；第二步，從剩余的5個(gè)人中選出4人，然后平均分成2組，剩余一人則唯一確定：確定m2：；代入乘法原理公式：所以，選B。3.多人傳球法例11：對(duì)右下圖正八邊形的8個(gè)區(qū)域進(jìn)行涂色，顏色從紅、黃、藍(lán)三種當(dāng)中選取，每個(gè)區(qū)域選擇一種顏色，并且要求相鄰區(qū)域選取不同的顏色。請(qǐng)問一共有多少種涂色的方法？（

）A.86

B.174

C.216

D.258【答案】D【解析】[題鑰]“8個(gè)區(qū)域進(jìn)行涂色，顏色從紅、黃、藍(lán)三種當(dāng)中選取，每個(gè)區(qū)域選擇一種顏色，并且要求相鄰區(qū)域選取不同的顏色”，我們從區(qū)域1開始考慮，區(qū)域1一共有3種涂色的方法，先假設(shè)區(qū)域1被涂了紅色，然后進(jìn)行順時(shí)針依次考慮：區(qū)域2選取與區(qū)域1不同的顏色；區(qū)域3選取與區(qū)域2不同的顏色……區(qū)域7選取與區(qū)域6不同的顏色；最后區(qū)域8選取與區(qū)域7不同的顏色，并且與區(qū)域1也要不同。

這個(gè)過程相當(dāng)于“3個(gè)人（紅、黃、藍(lán)）傳球，從‘紅’出發(fā)，依次傳8次球（1→2→3→4→5→6→7→8→1），最后傳回到‘紅’的手里”。屬于多人傳球型問題。[解析]根據(jù)題意：假設(shè)區(qū)域1被涂了紅色；確定M：3；確定N：8；代入多人傳球公式：與85.33最接近的整數(shù)85為傳給“非自己的某人”即非“紅”的方法數(shù)；與85.33第二接近的整數(shù)86便是傳給自己即“紅”的方法數(shù)。由于區(qū)域1可以涂“紅、黃、藍(lán)”3種顏色：因此總情況數(shù)應(yīng)為：86×3＝258（種）。所以，選D。4.等價(jià)轉(zhuǎn)換法例12：假設(shè)x、y、z是三個(gè)非零自然數(shù)，且有x+y+z=36，則共有多少組滿足條件的解？A.700

B.665

C.630

D.595【答案】D【解析】[題鑰]此時(shí)可進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，由于x、y、z是三個(gè)非零自然數(shù)，因此等價(jià)于36個(gè)“1”排成一排，內(nèi)部形成35個(gè)空隙，在這35個(gè)空隙插入兩個(gè)相同的物體，有幾種插入法。[解析]此題等價(jià)于：“36個(gè)“1”排成一排，內(nèi)部形成35個(gè)空隙，在這35個(gè)空隙插入兩個(gè)相同的物體，有幾種插入法。35個(gè)空隙插入兩個(gè)相同物體的方法：所以，選D。日期星期問題知識(shí)框架數(shù)學(xué)運(yùn)算問題一共分為十四個(gè)模塊，其中一塊是特殊情境問題。日期星期問題是特殊情境問題中的一種。在公務(wù)員考試中，日期問題主要考查的題型為根據(jù)已知條件求日期或星期。這類題型的解題方法一般只有：分段法、余數(shù)法、綜合推斷法；掌握年份、日期、星期的相關(guān)知識(shí)，你就可以輕松搞定日期星期問題。核心點(diǎn)撥1、題型簡(jiǎn)介日期問題主要是根據(jù)已知的條件求星期、日期問題。一般情況下，這類型題目主要采用分段法、余數(shù)法、綜合推斷法解題。2、核心知識(shí)（1）平年和閏年平年2月有28天，全年365天；閏年2月有29天，全年366天。（2）閏年的判定四年一閏，百年不閏，四百年再閏，三千二百年再不閏（1）能被4整除但不能被100整除（如2008年是閏年，2009年就不是）（2）能被400整除而不能被3200整除的是閏年（如1900年是平年，2000年是閏年，3200年是平年）。（3）大月和小月大月：一月、三月、五月、七月、八月、十月、十二月，每月共31天；小月：四月、六月、九月、十一月，每月共30天。（4）星期星期每七天一個(gè)循環(huán)（例如5日是星期二，那么12日也是星期二）。日期星期問題本質(zhì)上就是余數(shù)問題，比如星期幾就是除7后余幾。（如2008年1月1日為星期二，2009年1月1日為星期幾？2008年為閏年，有366天，366除以7余2，故2009年1月1日為星期四。）星期口訣：平年每年的第一天和最后一天為同一個(gè)星期數(shù)，閏年每年的最后一天星期數(shù)為該年第一天星期數(shù)加上1。夯實(shí)基礎(chǔ)1.分段法例1：從1999年8月16日到2000年3月8日共有多少天？A.202

B.205

C.206

D.208【答案】C【解析】[題鑰]將1999年8月16日到2000年3月8日分為三段計(jì)算。[解析]可以把這些天分段如下：第一段：1999年8月16日-31日，共有31-16+1=16天，第二段：1999年9月-2000年2月，共有30+31+30+31+31+29=182天第三段：2000年3月1日-8日，共有8-1+1=8天所以，一共有：16+182+8=206天；所以，選C。2.余數(shù)法例2：已知2008年的元旦是星期二，問2009年元旦是星期幾？A.星期二

B.星期三

C.星期四

D.星期五【答案】C【解析】[題鑰]2008年的元旦是星期二，并且2008年是閏年。[解析]依題意：2008年是閏年，2008年的元旦至2009年的元旦一共有366天；計(jì)算得：366÷7=52……2；故往后推兩天，2009年元旦是星期四；所以，選C。3.綜合推斷法例3：某一年中有53個(gè)星期二，并且當(dāng)年的元旦不是星期二，那么下一年的最后一天是：A.星期一

B.星期二

C.星期三

D.星期四【答案】C【解析】[題鑰]題目中沒有說明這一年是平年還是閏年，所以先要考慮這題到底是平年還是閏年，“當(dāng)年的元旦不是星期二”，即當(dāng)年的第一天不是星期二。[解析]假設(shè)當(dāng)年是平年：“平年每年的第一天和最后一天為同一個(gè)星期數(shù)”，且“平年是52周余1天”；該年“有53個(gè)星期二”，因此該年的第一天（即元旦）和最后一天應(yīng)同為星期二，與“當(dāng)年的元旦不是星期二”不符，故該年一定為閏年。根據(jù)“有53個(gè)星期二，并且當(dāng)年的元旦不是星期二”可推知：當(dāng)年元旦是星期一，當(dāng)年最后一天是星期二。該年為閏年，則下一年為平年：根據(jù)“閏年每年的最后一天星期數(shù)為該年第一天星期數(shù)加上1”，“當(dāng)年最后一天是星期二”可推知：下一年的最后一天是當(dāng)年最后一天的星期數(shù)加1，即星期三。所以，選C。進(jìn)階訓(xùn)練1.分段法例4：有人將1/10表示為10月1日，也有人將1/10表示為1月10日。這樣一年中就有不少混淆不清的日期了。當(dāng)然，8／15只能表示8月15日，那么一年中像這樣不會(huì)搞錯(cuò)的日期最多有多少天呢？A.222

B.234

C.216

D.144【答案】B【解析】[解析]依題意：每個(gè)月從本月13日到本月最后一天是不會(huì)搞錯(cuò)的；按閏年算：共有18×12+7-1=222天；另外：1/1，2/2，3/3，…，12／12，這12天也不會(huì)搞錯(cuò)；所以不會(huì)搞錯(cuò)的日期最多有：222+12=234天。所以，選B。2．余數(shù)法例5：如果前天是星期天，那么213天后是星期幾？A.星期五

B.星期三

C.星期二

D.星期天【答案】A【解析】[解析]由題意可知：今天是星期二；計(jì)算得：213÷7=30……3；所以213天后為星期五；所以，選D。3.綜合推斷法例5：用六位數(shù)字表示日期，如980716表示的是1998年7月16日。如果用這種方法表示2009年的日期，則全年中六個(gè)數(shù)字都不相同的日期有多少天？A.12

B.29

C.0

D.1【答案】C【解析】[題鑰]用六位數(shù)字表示“2009年的日期”，即六位數(shù)中的前兩位為“09”。[解析]根據(jù)題意：2009年表示為“09”。表示月份時(shí)：1～9月的第一位都為“0”，10月也包含“0”，與年份的數(shù)字“09”中的“0”重復(fù)；而11月的“11”數(shù)字相同，所以月份只能是12月；因此六位的前面四位為“0912”，最后兩位應(yīng)為3～8：每月最多只有31天，表示日的兩位數(shù)字最大只能為31，而3～8所組成的數(shù)字最小為34，因此，2009年中六個(gè)數(shù)字都不同的日期一個(gè)也沒有。所以，選C。容斥原理知識(shí)框架數(shù)學(xué)運(yùn)算問題一共分為十四個(gè)模塊，其中一塊是容斥原理問題。在公務(wù)員考試中，根據(jù)集合的個(gè)數(shù)，容斥原理問題一般只有兩集合容斥關(guān)系和三集合容斥關(guān)系兩種類型，兩集合容斥關(guān)系一般只要采用公式法就可輕松解決，三集合容斥關(guān)系又可分為標(biāo)準(zhǔn)型、圖示標(biāo)數(shù)型、整體重復(fù)型三類，對(duì)應(yīng)解題方法分別是公式法、文氏圖法、方程法。無論集合中的元素怎么變化，同學(xué)只要牢牢把握這兩類型，就能輕松搞定容斥原理問題。核心點(diǎn)撥1、題型簡(jiǎn)介容斥原理是在不考慮重疊的情況下，先將所有對(duì)象的數(shù)目相加，然后再減去重復(fù)的部分，從而使得計(jì)算的結(jié)果既無遺漏又無重復(fù)。掌握容斥原理問題，可以幫助同學(xué)們解決多集合元素個(gè)數(shù)的問題。2、核心知識(shí)（1）兩個(gè)集合容斥關(guān)系（2）三個(gè)集合容斥關(guān)系A(chǔ)、標(biāo)準(zhǔn)型公式

B、圖示標(biāo)數(shù)型（文氏圖法）畫圖法核心步驟：1畫圈圖；2數(shù)字(先填最外一層，再填最內(nèi)一層，然后填中間層)；③做計(jì)算。C、整體重復(fù)型A、B、C分別代表三個(gè)集合（比如“分別滿足三個(gè)條件的元素?cái)?shù)量”）；W代表元素總量（比如“至少滿足三個(gè)條件之一的元素的總量”）；x代表元素?cái)?shù)量1（比如“滿足一個(gè)條件的元素?cái)?shù)量”）；y代表元素?cái)?shù)量2（比如“滿足兩個(gè)條件的元素?cái)?shù)量”）；z代表元素?cái)?shù)量3（比如“滿足三個(gè)條件的元素?cái)?shù)量”）。3、核心知識(shí)使用詳解（1）容斥原理問題要清楚容斥原理公式中各項(xiàng)的實(shí)際含義，與題中的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)。（2）容斥原理問題的關(guān)鍵在于把文字轉(zhuǎn)化為文氏圖，在圖中應(yīng)準(zhǔn)備反應(yīng)題中集合之間的關(guān)系。（3）容斥問題的難度在于題中集合可能較多，某些集合之間的關(guān)系可能不確定，這需要仔細(xì)的分析，抓住不確定的。夯實(shí)基礎(chǔ)1.兩個(gè)集合容斥關(guān)系例1：小明和小強(qiáng)參加同一次考試，如果小明答對(duì)的題目占題目總數(shù)的，小強(qiáng)答對(duì)了27道題，他們兩人都答對(duì)的題目占題目總數(shù)的，那么兩人都沒有答對(duì)的題目共有（

）。A.3道

B.4道

C.5道

D.6道【答案】D【解析】[題鑰]由于不知道這次考試題目的總數(shù)，所以可先設(shè)題目總數(shù)即元素總量為?！靶∶鞔饘?duì)的題目占題目總數(shù)的”，相當(dāng)于集合A為。“小強(qiáng)答對(duì)了27道題”，相當(dāng)于集合B為27?！八麄儍扇硕即饘?duì)的題目占題目總數(shù)的”，相當(dāng)于集合?！皟扇硕紱]有答對(duì)的題目”，相當(dāng)于求集合。[解析]根據(jù)題意，

確定元素總量W：；

確定集合A：；

確定集合B：27；

確定集合：；

代入兩集合公式：＝＝因?yàn)楹途鶠轭}數(shù)，須均為正整數(shù)，所以必須為12的倍數(shù)，而且由選項(xiàng)知：3≤≤6當(dāng)W＝12時(shí)，＝－16，不合題意；當(dāng)W＝24時(shí)，＝－5，不合題意；當(dāng)W＝36時(shí)，＝6，符合題意。所以，兩人都沒答對(duì)的題目為6道。因此，選B。2.三個(gè)集合容斥關(guān)系例2：某專業(yè)有學(xué)生50人，現(xiàn)開設(shè)甲、乙、丙三門選修課。有40人選修甲課程，36選修乙課程，30人選修丙課程，兼選甲、乙兩門課的有28人，兼選甲、丙兩門課的有26人，兼選乙、丙門課程的有24人，甲、乙、丙三門課程均選的有20人，問三課均未選的有多少人？(

)A.1人

B.2人

C.3人

D.4人【答案】B【解析】[題鑰]“某專業(yè)有學(xué)生50人”，相當(dāng)于元素總量W為50。“有40人選修甲課程”，相當(dāng)于集合A為40。“36選修乙課程”，相當(dāng)于集合B為36?！?0人選修丙課程”，相當(dāng)于集合C為30?！凹孢x甲、乙兩門課的有28人”，相當(dāng)于集合=28。“兼選甲、丙兩門課的有26人”，相當(dāng)于集合=26?！凹孢x乙、丙門課程的有24人”，相當(dāng)于集合=24。“甲、乙、丙三門課程均選的有20人”，相當(dāng)于集合=20?！皢柸n均未選的有多少人?”相當(dāng)于求集合。[解析]根據(jù)題意，確定元素總量W：50確定集合A：40確定集合B：36確定集合C：30確定集合：28確定集合：26確定集合：24確定集合：20代入三集合標(biāo)準(zhǔn)型公式：＝50-（40+36+30-28-24-26+20）＝2因此，選B。例3：某高校對(duì)一些學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參加注冊(cè)會(huì)計(jì)師考試的有63人，準(zhǔn)備參加英語(yǔ)六級(jí)考試的有89人，準(zhǔn)備參加計(jì)算機(jī)考試的有47人，三種考試都準(zhǔn)備參加的有24人，準(zhǔn)備選擇兩種考試參加的有46人，不參加其中任何一種考試的有15人。問接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人？(

)A.120

B.144

C.177

D.192【答案】A【解析】[題鑰]觀察題目，屬于三個(gè)集合容斥關(guān)系中的標(biāo)數(shù)型問題，可采用文氏圖法求解。[解析]本題屬于標(biāo)數(shù)型問題，可采用文氏圖法求解，如下圖所示。圖中，黑色部分是準(zhǔn)備參加兩種考試的學(xué)生，灰色部分是準(zhǔn)備參加三種考試的學(xué)生。計(jì)算總?cè)藬?shù)時(shí)，黑色部分重復(fù)計(jì)算了一次，灰色部分重復(fù)計(jì)算了兩次，所以接受調(diào)查的學(xué)生共有：63＋89＋47－24×2－46＋15＝120人。因此，選A。例4：某班有35個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少參加英語(yǔ)小組、語(yǔ)文小組、數(shù)學(xué)小組中的一個(gè)課外活動(dòng)小組?，F(xiàn)已知參加英語(yǔ)小組的有17人，參加語(yǔ)文小組的有30人，參加數(shù)學(xué)小組的有13人。如果有5個(gè)學(xué)生三個(gè)小組全參加了，問有多少個(gè)學(xué)生只參加了一個(gè)小組？(

)A.15人

B.16人

C.17人

D.18人【答案】A【解析】[題鑰]“某班有35個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少參加英語(yǔ)小組、語(yǔ)文小組、數(shù)學(xué)小組中的一個(gè)課外活動(dòng)小組”，相當(dāng)于元素總量W為35?！皡⒓佑⒄Z(yǔ)小組的有17人”，相當(dāng)于集合A為17?！皡⒓诱Z(yǔ)文小組的有30人”，相當(dāng)于集合B為30?！皡⒓訑?shù)學(xué)小組的有13人”，相當(dāng)于集合C為13。“如果有5個(gè)學(xué)生三個(gè)小組全參加了”，相當(dāng)于元素?cái)?shù)量3為5?！皢栍卸嗌賯€(gè)學(xué)生只參加了一個(gè)小組？”，此類題目屬于整體重復(fù)型問題，可采用方程法求解。[解析]根據(jù)題意，設(shè)：參加一個(gè)小組的人數(shù)為x，即元素?cái)?shù)量1為x；參加兩個(gè)小姐的人數(shù)為y，即元素?cái)?shù)量2為y；確定元素總量W：38確定集合A：17確定集合B：30確定集合C：13確定元素?cái)?shù)量3：5代入公式，列方程：因此，選A。進(jìn)階訓(xùn)練1.兩個(gè)集合容斥關(guān)系例5：某校學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有120名男生，80名女生，參加英語(yǔ)競(jìng)賽的有120名女生，80名男生。已知該?？偣灿?60名學(xué)生參加競(jìng)賽，其中75名男生兩科競(jìng)賽都參加了，那么參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽而沒有參加英語(yǔ)競(jìng)賽的女生人數(shù)是多少人?(

)A.15

B.20

C.25

D.30【答案】A【解析】[題鑰]假設(shè)260名學(xué)生當(dāng)中有m名男生、n名女生，同時(shí)參加了教學(xué)和英語(yǔ)競(jìng)賽的女生人數(shù)為x。對(duì)于男生：“m名男生”，相當(dāng)于元素總量為m。“參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有120名男生”，相當(dāng)于集合為120?！皡⒓佑⒄Z(yǔ)競(jìng)賽的”，“80名男生”，相當(dāng)于集合為80?！捌渲?5名男生兩科競(jìng)賽都參加了”，相當(dāng)于集合為75。對(duì)于女生：“n名女生”，相當(dāng)于元素總量為n。“參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的”、“80名女生”，相當(dāng)于集合為80?！皡⒓佑⒄Z(yǔ)競(jìng)賽的有120名女生”，相當(dāng)于集合為120。同時(shí)參加了教學(xué)和英語(yǔ)競(jìng)賽的女生人數(shù)，相當(dāng)于集合為x?！耙阎撔？偣灿?60名學(xué)生參加競(jìng)賽”，可知260名學(xué)生都參加了競(jìng)賽，沒有“數(shù)學(xué)競(jìng)賽和英語(yǔ)競(jìng)賽都沒參加”的情況。相當(dāng)于集合、集合為0。[解析]根據(jù)題意，設(shè)：260名學(xué)生當(dāng)中有m名男生、n名女生；同時(shí)參加了教學(xué)和英語(yǔ)競(jìng)賽的女生人數(shù)為x。對(duì)于男生：確定元素總量：m確定集合：120確定集合：80

確定集合：75確定集合：0對(duì)于女生：

確定元素總量：n

確定集合：80

確定集合：120

確定集合：x確定集合：0

男女生總數(shù)，即m＋n＝260。

代入兩集合公式，列方程：

則有即同時(shí)參加了教學(xué)和英語(yǔ)競(jìng)賽的女生人數(shù)為65。由于參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的女生有80名，則參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽而沒有參加英語(yǔ)競(jìng)賽的女生人數(shù)：80－65＝15名。因此，選A。2.三個(gè)集合容斥關(guān)系例6：如右圖所示，每個(gè)圓紙片的面積都是36，圓紙片A與B、B與C、C與A的重疊部分面積分別為7、6、9，三個(gè)圓紙片覆蓋的總面積為88，則圖中陰影部分的面積為?(

)A.66

B.68

C.70

D.72【答案】C【解析】[題鑰]“三個(gè)圓紙片覆蓋的總面積為88”，相當(dāng)于元素總量W為88，集合為0?！懊總€(gè)圓紙片的面積都是36”，相當(dāng)于集合A、集合B、集合C都為36?！皥A紙片A與B、B與C、C與A的重疊部分面積分別為7、6、9”，相當(dāng)于集合為7，集合為6，集合為9。要求“陰影部分的面積”，可先求出集合。[解析]根據(jù)題意，確定元素總量W：88確定集合A：36確定集合B：36確定集合C：36確定集合：7確定集合：6確定集合：9確定集合：0代入公式：=（88-0）-（36+36+36-7-6-9）=2“由中間向外圍”進(jìn)行數(shù)據(jù)標(biāo)記，進(jìn)行簡(jiǎn)單加減運(yùn)算，如下圖過程所示：據(jù)圖可知，陰影部分的面積為：22＋25＋23＝70。因此，選C。例7：某調(diào)查公司就甲、乙、丙三部電影的收看情況向125人進(jìn)行調(diào)查，有89人看過甲片，有47人看過乙片，有63人看過丙片，其中有24人三部電影全看過，20人一部也沒有看過，則只看過其中兩部電影的人數(shù)是(

)。A.69

B.65

C.57

D.46【答案】D【解析】[題鑰]“某調(diào)查公司就甲、乙、丙三部電影的收看情況向125人進(jìn)行調(diào)查”、“20人一部也沒有看過”，相當(dāng)于元素總量W為125－20＝105。“有80人看過甲片”，相當(dāng)于集合A為89。“有47人看過乙片”，相當(dāng)于集合B為47?！坝?3人看過丙片”，相當(dāng)于集合C為63。“其中有24人三部電影全看過”，相當(dāng)于元素?cái)?shù)量3為24。求解“只看過其中兩部電影的人數(shù)”，此類題目屬于整體重復(fù)型問題，可采用方程法求解。[解析]根據(jù)題意，設(shè)：只看過其中一部電影的人數(shù)為x，即元素?cái)?shù)量1為x；看過其中兩部電影的人數(shù)為y，即元素?cái)?shù)量2為y；確定元素總量W：125－20＝105確定集合A：89

確定集合B：47

確定集合C：63

確定元素?cái)?shù)量3：24

代入公式，列方程：因此，選D。例8：建華中學(xué)共有1600名學(xué)生，其中喜歡乒乓球的有1180人，喜歡羽毛球的有1360人，喜歡籃球的有1250人，喜歡羽毛球的有1040人，問以上四項(xiàng)球類運(yùn)動(dòng)都喜歡的至少有幾人？A.20

B.30

C.40

D.50【答案】B【解析】[題鑰]觀察題目，發(fā)現(xiàn)采用公式法，文氏圖法都是比較麻煩的。那么逆向考慮，看下各項(xiàng)活動(dòng)都不喜歡的人有多少人，當(dāng)這各項(xiàng)活動(dòng)都不喜歡的人互不重疊的時(shí)候，可滿足四項(xiàng)活動(dòng)都喜歡的人最少。[解析]根據(jù)題意，可知：不喜歡乒乓球的有：1600-1180=420人；不喜歡羽毛球的有：1600-1360=240人；不喜歡籃球的有：1600-1250=350人；不喜歡足球的有：1600-1040=560人；若這些人互不重疊則可滿足四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都喜歡的人最少，為：1600-（420+240+350+560）=30人。相遇問題知識(shí)框架數(shù)學(xué)運(yùn)算問題一共分為十四個(gè)模塊，其中一塊是行程問題。相遇問題是行程問題中的一種。在公務(wù)員考試中，相遇問題雖然是考核心公式的應(yīng)用，但基本不是直接代入核心公式就可以解題，但總的來說其只有以下兩種情況，每種情況有2種變化。同學(xué)只要牢牢把握這兩種情況，就能輕松搞定初等行程問題。核心點(diǎn)撥1、題型簡(jiǎn)介相遇問題是行程問題的典型應(yīng)用題，研究“相向運(yùn)動(dòng)”的問題，反映的是兩個(gè)量或者多個(gè)物體所走的路程、速度和時(shí)間的關(guān)系。其核心就是速度和。通常是已知速度、路程等變量，求相遇時(shí)間或者已知時(shí)間，速度，求路程等這類題型。2、核心知識(shí)速度和×相遇時(shí)間=相遇路程；相遇路程÷相遇時(shí)間=速度和；相遇路程÷速度和=相遇時(shí)間。（1）直線相遇問題當(dāng)相遇問題發(fā)生在直線路程上時(shí)，甲的路程+乙的路程=總路程；（2）環(huán)線相遇問題當(dāng)相遇問題發(fā)生在環(huán)形路程上時(shí)，甲的路程+乙的路程=環(huán)形周長(zhǎng)。3.核心知識(shí)使用詳解解答相遇問題時(shí)，一般需要借助于列方程法進(jìn)行求解。對(duì)于復(fù)雜的相遇問題，正確畫出行程圖、找準(zhǔn)突破口往往是解題的關(guān)鍵。一般而言，單個(gè)量的往返問題，一般以時(shí)間關(guān)系為突破口；兩個(gè)量的往返問題，一般以路程為突破口。夯實(shí)基礎(chǔ)1.直線相遇問題例1：兩列對(duì)開的列車相遇，第一列車的速度為12米/秒，第二列車的速度為14米/秒，第二列車上的一旅客發(fā)現(xiàn)第一列車從旁邊開過的時(shí)間為5秒，則第一列車的車長(zhǎng)為多少米？A.60

B.75

C.80

D.130【答案】D【解析】[題鑰]“第二列車上的一旅客發(fā)現(xiàn)第一列車從旁邊開過的時(shí)間為5秒，”可得到：旅客與第一列車的相對(duì)速度=第一列車和第二列車的相對(duì)速度=兩車速度和。[解析]第二列車通過第一列車的路程：假設(shè)第一列車靜止，為一段靜止的路程，由題可知：第二列車通過第一列車的路程=第一列車的長(zhǎng)；第二列車通過第一列車的時(shí)間：由題可知，第二列車通過第一列車的時(shí)間為5秒；兩車速度和：兩車相向而行，相對(duì)速度=兩車速度和=12+14=28米／秒；第一列車的車長(zhǎng)：第一列車的長(zhǎng)=第二列車通過第一列車的路程=速度和×相遇時(shí)間=(12+14)×5=130米。因此，選D。例2：甲從A地，乙從B地同時(shí)以均勻的速度相向而行，第一次相遇離A地6千米，繼續(xù)前進(jìn)，到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后立即返回，在離B地3千米處第二次相遇，則A、B兩地相距多少千米？A.10

B.12

C.18

D.15【答案】D【解析】[題鑰]“甲從A地，乙從B地同時(shí)以均勻的速度相向而行，”由速度×?xí)r間=路程可知，當(dāng)時(shí)間相同時(shí)，甲乙的速度比（是一定值）等于甲乙所走的路程比。[解析]根據(jù)題意，設(shè)A、B兩地相距為x千米，第一次相遇甲所走的路程：6千米；第一次相遇乙所走的路程：（x-6）千米；第二次相遇甲所走的路程：（2x-3）千米；第二次相遇乙所走的路程：（x+3）千米；兩地相距的距離：兩次相遇過程中甲乙同時(shí)以勻速行走，故

即解得x=15。因此，選D。2.環(huán)線相遇問題例3：如圖，外圓圓周長(zhǎng)80厘米，陰影部分是個(gè)“逗號(hào)”，兩只螞蟻分別從A、B點(diǎn)同時(shí)爬行。甲螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿“逗號(hào)”四周逆時(shí)針爬行，每秒爬3厘米；乙螞蟻從B出發(fā)，沿外圓圓周順時(shí)針爬行，每秒爬行5厘米。兩只螞蟻第一次相遇時(shí)，乙螞蟻共爬行了多少厘米？A.25

B.50

C.75

D.100【答案】C【解析】[題鑰]“甲螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿逗號(hào)四周逆時(shí)針爬行,”“乙螞蟻從B出發(fā)，沿外圓圓周順時(shí)針爬行，”甲螞蟻先要走過A、B點(diǎn)之間“逗號(hào)”曲線才有可能與乙螞蟻相遇。A、B點(diǎn)之間“逗號(hào)”曲線距離=兩個(gè)半圓的半周長(zhǎng)，設(shè)大圓半徑為R，小圓半徑為r。兩個(gè)半圓的半周長(zhǎng)=大圓的半周長(zhǎng)+小圓的半周長(zhǎng)=πR+πr=π（R+r）=π×AB=外圓半周長(zhǎng)[解析]甲螞蟻?zhàn)哌^的A、B點(diǎn)之間“逗號(hào)”曲線距離：據(jù)圖形可知，外圓的直徑等于兩個(gè)內(nèi)圓直徑之和，所以，A、B點(diǎn)之間“逗號(hào)”曲線的距離等于外國(guó)半圓的距離，為80÷2=40厘米；兩只螞蟻?zhàn)哌^的相遇路程：兩只螞蟻相向而行，分析可得，相遇時(shí)路程應(yīng)該在圓的右側(cè)外圓上面，所以相遇時(shí)，兩只螞蟻?zhàn)哌^的總路程為40+80=120厘米；兩只螞蟻?zhàn)哌^的速度和：速度和=甲螞蟻速度+乙螞蟻速度=3+5=8厘米/秒；兩只螞蟻?zhàn)哌^的相遇時(shí)間：相遇時(shí)間=相遇路程÷速度和=120÷8=15秒；相遇時(shí)，甲螞蟻?zhàn)哌^的路程：路程=速度×?xí)r間=3×15=45厘米；相遇時(shí)，乙螞蟻?zhàn)哌^的路程：路程=速度×?xí)r間=5×15=75厘米；因此，選C。進(jìn)階訓(xùn)練1.直線相遇問題例4：甲、乙、丙三輛車的時(shí)速分別為60公里、50公里和40公里，甲從A地、乙和丙從B地同時(shí)出發(fā)相向而行，途中甲遇到乙后15分鐘又遇到丙，問A、B兩地相距多少公里？A.150公里

B.250公里

C.275公里

D.325公里【答案】C【解析】[題鑰]根據(jù)“途中甲遇到乙后15分鐘又遇到丙”可知，甲乙走完全程所用的時(shí)間比甲丙要少15分鐘，即1/4小時(shí)。[解析]根據(jù)題意，設(shè)A．B兩地的距離為S。甲乙相遇時(shí)速度和：60+50=110公里/時(shí)；甲丙相遇時(shí)速度和：60+40=100公里/時(shí)；甲乙相遇時(shí)間：相遇時(shí)間=相遇路程÷速度和=；甲丙相遇時(shí)間：相遇時(shí)間=相遇路程÷速度和=；AB兩地的距離：由于甲丙相遇比甲乙相遇多用15分鐘，則有-=，解得S=275。因此，選C。例5：A、B兩站之間有一條鐵路，甲、乙兩列火車分別停在A站和B站，甲火車4分鐘走的路程等于乙火車5分鐘走的路程。乙火車上午8時(shí)整從B站開往A站，開出一段時(shí)間后，甲火車從A站出發(fā)開往B站，上午9時(shí)整兩列火車相遇。相遇地點(diǎn)離A、B兩站的距離比是15:16。那么，甲火車在(

)從A站出發(fā)開往B站。

A.8時(shí)12分

B.8時(shí)15分

C.8時(shí)24分

D.8時(shí)30分【答案】B【解析】[題鑰]“甲火車4分鐘走的路程等于乙火車5分鐘走的路程。”路程相同時(shí)，兩車的時(shí)間比為4:5，兩車的速度比為5:4；“乙火車上午8時(shí)整從B站開往A站，開出一段時(shí)間后，甲火車從A站出發(fā)開往B站，上午9時(shí)整兩列火車相遇?！毕嘤鰰r(shí)，乙用時(shí)1小時(shí)；“相遇地點(diǎn)離A、B兩站的距離比是15:16”，即相遇時(shí)，甲走過的路程:乙走過的路程=15:16。[解析]甲的速度：根據(jù)題意，設(shè)甲的速為5v；乙的速度：根據(jù)題意，設(shè)乙的速為4v；相遇時(shí)，甲的時(shí)間：根據(jù)題意，設(shè)相遇時(shí)甲走了t小時(shí)；相遇時(shí)，乙的時(shí)間：根據(jù)題意，可知相遇時(shí)，乙走了1小時(shí)；相遇時(shí)，甲走過的路程：路程=速度×?xí)r間=5vt；相遇時(shí)，乙走過的路程：路程=速度×?xí)r間=4v；相遇時(shí)，甲的時(shí)間：由相遇時(shí)，甲走過的路程:乙走過的路程=15:16可知，5v:4v=15:16，解得，甲走的時(shí)間為t=3/4小時(shí)=45分鐘；甲出發(fā)的時(shí)間：由于相遇時(shí)間為9點(diǎn)，所以甲火車在8點(diǎn)15分從A站出發(fā)。因此，選B。例6：從甲、乙兩車站同時(shí)相對(duì)開出第一輛公共汽車，此后兩站每隔8分鐘再開出一輛，以此類推。已知每輛車的車速相同且都是勻速的，每輛車到達(dá)對(duì)方站都需要45分鐘?，F(xiàn)有一乘客坐甲站開出的第一輛車去乙站，問他在路上會(huì)遇到幾輛從乙站開出的公共汽車。

A.4輛

B.5輛

C.6輛

D.7輛【答案】C【解析】[題鑰]“問他在路上會(huì)遇到幾輛從乙站開出的公共汽車?！奔丛摮丝偷竭_(dá)乙站時(shí)，有幾輛車從乙站開出。[解析]兩站第一輛車的相遇時(shí)間：根據(jù)題意可知，由于該乘客坐甲站開出的第一輛車去乙站，故出發(fā)后直到甲乙兩車站的公交車相遇時(shí)，才會(huì)看到第一輛從乙站開出的汽車，此時(shí)時(shí)間為45÷2=22.5分鐘；之后甲看到乙站發(fā)出來的車的時(shí)間間隔：此后每隔8÷2=4分鐘（因?yàn)閮绍囅嘞蚨校俣葹閮绍嚨乃俣群?，又因?yàn)樗俣认嗤?，故時(shí)間減半），他都會(huì)看到一輛乙站開出的公共汽車；在剩余的22.5分鐘內(nèi)，會(huì)遇到的車輛有：22.5÷4的整數(shù)部分是5，即5輛；因?yàn)橄惹暗牡?2.5分時(shí)已遇到一輛，所以此人在路上一共會(huì)遇到車輛數(shù)為：1+5=6輛。因此，選C。3.環(huán)線相遇問題例7：甲和乙兩人分別從一圓形場(chǎng)地的直徑兩端點(diǎn)同時(shí)開始以勻速按相反的方向繞此圓形運(yùn)動(dòng)，當(dāng)乙走了100米以后，它們第一次相遇，在甲走完一周前60米處又第二次相遇。求此圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng)？A.420米

B.460米

C.480米

D.500米【答案】C【解析】[題鑰]這題是環(huán)形相遇問題，與直線相遇問題不同的是，環(huán)形多次相遇問題每次相遇時(shí)所走的路程之和是一圈。如果最初的兩個(gè)人是從同一點(diǎn)出發(fā)，那么第n次相遇時(shí)，每個(gè)人走的路程等于他第一次相遇時(shí)所走路程的n倍。[解析]當(dāng)甲、乙第一次相遇時(shí)，甲乙走完的路程為：圈當(dāng)甲、乙第二次相遇時(shí)，甲乙共走完路程為：圈。從開始到第一、二次相遇所需的時(shí)間比為：1:3,因而第二次相遇時(shí)乙行走的總路程為第一次相遇時(shí)行走路程的3倍，即。所以半圈為：300-60=240米。故此圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為：盈虧問題知識(shí)框架數(shù)學(xué)運(yùn)算問題一共分為十四個(gè)模塊，其中一塊是盈虧問題。核心點(diǎn)撥1、題型簡(jiǎn)介盈虧問題早在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的第六章——盈不足章節(jié)中就曾記載：盈就是有余，虧就是不足的意思。把一定數(shù)量的物體分給若干個(gè)對(duì)象，按某種標(biāo)準(zhǔn)分，結(jié)果剛好分完，或多余（盈），或不足（虧），再按另一種標(biāo)準(zhǔn)分，又出現(xiàn)分完、多余或不足的結(jié)果，根據(jù)每次的結(jié)果來求物體以及分配對(duì)象的數(shù)量的問題，就稱為盈虧問題。2、核心知識(shí)一般情況下，盈虧問題強(qiáng)烈推薦各位考生使用方程法。夯實(shí)基礎(chǔ)例1：某班去劃船，如果每只船坐4人，就會(huì)少3只船；如果每只船坐6人，還有2人留在岸邊，問有多少個(gè)同學(xué)？A.30

B.31

C.32

D.33【答案】C【解析】[題鑰]設(shè)船只數(shù)為x，人數(shù)為y。依題意：“每只船坐4人，就會(huì)少3只船”，可得方程4×（x+3）=y；“每只船坐6人，還有2人留在岸邊”，可得方程6×x=y-2。[解析]根據(jù)題意，：

設(shè)船只數(shù)為x，某班共有同學(xué)的人數(shù)為y。列方程：解得，x＝5，y＝32。即某班共有32個(gè)同學(xué)。所以，選C。例2：有個(gè)班的同學(xué)去劃船，他們算了一下。如果增加一條船，正好每條船可以坐8人；如果減少一條船，正好每條船可以坐12人，問這個(gè)班共有幾名同學(xué)？A.38

B.96

C.48

D.92【答案】C【解析】[題鑰]設(shè)船只數(shù)為x，人數(shù)為y。依題意：“如果增加一條船，正好每條船可以坐8人”，可得方程；“如果減少一條船，正好每條船可以坐12人”，可得方程。[解析]根據(jù)題意：設(shè)船只數(shù)為x，這個(gè)班的同學(xué)數(shù)為y。列方程：解得，x＝5，y＝48。即這個(gè)班共有48名同學(xué)。所以，選C。例3：一單位組織員工乘坐旅游車去泰山，要求每輛車上的員工人數(shù)相等。起初，每輛車上乘坐22人，結(jié)果有1人無法上車；如果開走一輛空車，那么所有的游客正好能平均乘到其余各輛旅游車上，已知每輛車上最多能乘坐32人。請(qǐng)問該單位共有多少員工去了泰山？A.269人

B.352人

C.478人

D.529人【答案】D【解析】[題鑰]“每輛車上乘坐22人，結(jié)果有1人無法上車”，“如果開走一輛空車，那么所有的游客正好能平均乘到其余各輛旅游車上，已知每輛車上最多能乘坐32人”，根據(jù)這兩個(gè)條件列出方程，但是需要注意的是開走一輛車后，每輛車上坐的員工數(shù)并不能確定。[解析]根據(jù)題意：設(shè)車輛數(shù)為x，該單位去泰山的員工數(shù)為y；開走一輛空車后，每輛車上坐的員工數(shù)為m；列方程：解得，x＝。由于單位去泰山的員工數(shù)x為整數(shù)：因此應(yīng)為整數(shù)，而只有當(dāng)m＝23或45時(shí)，才為整數(shù)（＝23或1）。已知“每輛車上最多能乘坐32人”，所以m不能為45，只能為23。則，x＝。員工數(shù)：y＝x×22＋1＝24×22＋1＝529。所以，選D。例4：某單位以箱為單位向困難職工分發(fā)救濟(jì)品，如果有12人每人各分7箱，其余的每人分5箱，那么余下148箱；如果有30人每人各分8箱，其余的每人分7箱，那么余下20箱。由此推知該單位共有困難職工(

)。A.61人

B.54人

C.56人

D.48人【答案】A【解析】[題鑰]設(shè)困難職工人數(shù)為x；救濟(jì)品箱數(shù)為y。依題意：“如果有12人每人各分7箱，其余的每人分5箱，那么余下148箱”，可得方程：?！叭绻?0人每人各分8箱，其余的每人分7箱，那么余下20箱”，可得方程：。[解析]根據(jù)題意：

設(shè)該單位共有困難職工人數(shù)為x；救濟(jì)品箱數(shù)為y；列方程：解得，x＝61；所以，選A。例5：食堂管理員帶著一筆錢去買肉，若買10千克牛肉還差6元；若買12千克豬肉則還剩4元，已知每千克牛肉比豬肉貴3元，問食堂管理員帶了多少錢？A.114

B.122

C.124

D.148【答案】C【解析】[題鑰]“若買10千克牛肉還差6元”,“若買12千克豬肉則還剩4元”，“已知每千克牛肉比豬肉貴3元”，并沒有直接告訴我們牛肉或是豬肉的價(jià)格，可以根據(jù)條件設(shè)出題干中的未知數(shù)。[解析]根據(jù)題意：

設(shè)牛肉價(jià)格為x，則豬肉價(jià)格為（x-3）;食堂管理員共帶了y元錢；列方程：解得，；所以食堂管理員共帶了124元。所以，選C。植樹問題知識(shí)框架數(shù)學(xué)運(yùn)算問題一共分為十四個(gè)模塊，其中一塊是特殊情境問題。植樹問題是特殊情境問題中的一種。在公務(wù)員考試中，植樹問題根據(jù)端點(diǎn)是否植樹，只有分為三種類型，但是有5種變化，變化主要集中在兩端均植樹問題中。無論生活場(chǎng)景如何改變，同學(xué)只要牢牢把握這三種類型，就能輕松搞定植樹問題及其變形。核心點(diǎn)撥1、題型簡(jiǎn)介在一條公路上等距離植樹，如給出植樹的方式（端點(diǎn)是否植樹）、相鄰兩棵樹之間的距離、路的總長(zhǎng)度，就可以求出共需要植多少棵樹，這就是植樹問題。其實(shí)植樹問題在生活中有許多變形，比如鋸木頭問題、走樓梯問題等。2、核心知識(shí)植樹問題研究的是總長(zhǎng)、間距和棵數(shù)之間的相互關(guān)系。根據(jù)端點(diǎn)是否植樹，可以分成三個(gè)類型。（1）兩端均不植樹（2）只有一端植樹（3）兩端均植樹以上數(shù)量關(guān)系適用的是單邊植樹問題，雙邊植樹問題需在以上基礎(chǔ)上乘以2。夯實(shí)基礎(chǔ)1.兩端均不植樹例1：小區(qū)里的兩棟樓之間間隔為30米，現(xiàn)在為了綠化小區(qū)，要在兩棟樓之間種一排冬青樹，冬青樹的間隔為2米，問共要種多少棵？A.14

B.15

C.16

D.28【答案】A【解析】[題鑰]“要在兩棟樓之間種一排冬青樹”，可知是不封閉植樹問題中的兩端均不植樹問題。[解析]確定總長(zhǎng)：30確定間距：2帶入兩端均不植樹問題的公式：棵數(shù)＝總長(zhǎng)÷間距－1＝30÷2－1＝14因此，選A。2.只有一端植樹例2：在一個(gè)周長(zhǎng)為50m的圓周圍種樹，如果每隔5m種一棵．共要種多少棵？A.9

B.10

C.11

D.12【答案】B【解析】[題鑰]“在一周長(zhǎng)為50m的圓周圍種樹”，可知是只有一端植樹問題。[解析]確定總長(zhǎng)：50

確定間距：5帶入只有一端植樹問題的公式：棵數(shù)＝總長(zhǎng)÷間距＝50÷5＝10因此，選B。3.兩端均植樹例3：一個(gè)人上樓，邊走邊數(shù)臺(tái)階，從一樓走到四樓共走了54級(jí)臺(tái)階。如果每層樓之間的臺(tái)階數(shù)相同，他一直要走到八樓，問他從一樓到八樓一共要走多少級(jí)臺(tái)階？A.126

B.120

C.114

D.108【答案】A【解析】[題鑰]“從一樓走到四樓共走了54級(jí)臺(tái)階?！边@是植樹問題的變形，為兩端均植樹問題。[解析]確定總長(zhǎng)：54級(jí)臺(tái)階確定棵數(shù)：4帶入兩端均植樹問題的公式：由棵數(shù)＝總長(zhǎng)÷間距＋1可知，間距＝總長(zhǎng)÷（棵數(shù)－1）＝54÷3=18“從一樓到八樓”，可知是兩端均植樹問題。確定棵數(shù)：8確定間距：18帶入兩端均植樹問題的公式：由棵數(shù)＝總長(zhǎng)÷間距＋1可知，總長(zhǎng)＝（棵數(shù)－1）×間距

＝（8－1）×18

＝126因此，選A。進(jìn)階訓(xùn)練1.兩端均不植樹例4：兩棵柳樹相隔165米，中間原本沒有任何樹，現(xiàn)在這兩棵樹中間等距種植32棵桃樹，第1棵桃樹到第20棵桃樹間的距離是：A.90米

B.95米

C.100米

D.前面答案都不對(duì)【答案】B【解析】[題鑰]“在這兩棵樹中間等距種植”，可知是不封閉植樹問題中的兩端均不植樹問題。[解析]確定總長(zhǎng)：165確定棵數(shù)：32帶入兩端均不植樹問題的公式：間距＝總長(zhǎng)÷（棵數(shù)＋1）

＝165÷（32＋1）＝5“第1棵桃樹到第20棵桃樹間的距離”，可知是兩端均植樹問題。確定棵數(shù)：20確定間距：5帶入兩端均植樹問題的公式：由棵數(shù)＝總長(zhǎng)÷間距＋1可知，總長(zhǎng)＝（棵數(shù)－1）×間距＝（20－1）×5＝95因此，選B。2.只有一端植樹例6：一個(gè)四邊形廣場(chǎng)，它的四邊長(zhǎng)分別是60米、72米．96米、84米，現(xiàn)在四邊上植樹，四角需種樹，而且每?jī)煽脴涞拈g隔相等，那么，至少要種多少棵樹？A.22

B.25

C.26

D.30【答案】C【解析】[題鑰]“四角需種樹，而且每?jī)煽脴涞拈g隔相等”，可知，種樹間隔應(yīng)為四邊長(zhǎng)的公約數(shù)。[解析]由于“要使所植樹的數(shù)量最少”，即求解四條邊邊長(zhǎng)的最大公約數(shù)。60、72、96和84的最大公約數(shù)為12，也就意味著相鄰兩棵樹的間距是12米?！八倪呅螐V場(chǎng)”，可知是只有一端植樹問題。確定總長(zhǎng)：60＋72＋96＋84＝312確定間距：12帶入只有一端植樹問題的公式：棵數(shù)＝總長(zhǎng)÷間距＝312÷12＝26因此，選C。3.兩端均植樹例5：為了把2008年北京奧運(yùn)辦成綠色奧運(yùn)，全國(guó)各地都在加強(qiáng)環(huán)保，植樹造林。某單位計(jì)劃在通往兩個(gè)比賽場(chǎng)館的兩條路的（不相交）兩旁栽上樹，現(xiàn)運(yùn)回一批樹苗，已知一條路的長(zhǎng)度是另一條路長(zhǎng)度的兩倍還多6000米，若每隔4米栽一棵，則少2754棵；若每隔5米栽一棵，則多396棵，則共有樹苗：A.8500棵

B.12500棵

C.12596棵

D.13000棵【答案】D【解析】[題鑰]“兩條路的（不相交）兩旁栽上樹”，可知是不封閉植樹問題中的兩端均植樹問題，且是雙邊植樹問題，需要在計(jì)算的基礎(chǔ)上乘以2?！耙阎粭l路的長(zhǎng)度是另一條路長(zhǎng)度的兩倍還多6000米”是無關(guān)條件，如果利用此條件，會(huì)使計(jì)算變復(fù)雜。由于是在兩條路上植樹，因此列方程時(shí)應(yīng)減去2。[解析]確定總長(zhǎng)：165確定棵數(shù)：32帶入兩端均植樹及雙邊植樹問題的公式：棵數(shù)＝（總長(zhǎng)÷間距＋1）×2則：設(shè)共有樹苗x棵，則有：解得x＝13000。因此，選D。例7：車站鐘樓上的大鐘會(huì)整點(diǎn)報(bào)時(shí)，不分上下午，幾點(diǎn)敲幾下。若此鐘6點(diǎn)敲6下要30秒鐘，請(qǐng)問如果現(xiàn)在8點(diǎn)，小明僅憑聲音，從第一下鐘聲開始幾秒后才能斷定現(xiàn)在是幾點(diǎn)？A.40

B.42

C.45

D.48【答案】D【解析】[題鑰]“從第一下鐘聲開始”到最后一下鐘聲結(jié)束，還需要經(jīng)過一定時(shí)間間隔來判斷是否鐘聲是最后一下，才可以確定是幾點(diǎn)。[解析]“6點(diǎn)敲6下要30秒鐘”，屬于兩端均植樹問題。確定棵數(shù)：6確定總長(zhǎng)：30帶入兩端均植樹問題的公式：間距＝總長(zhǎng)÷（棵數(shù)－1）＝30÷（6－1）＝6即兩鐘聲的間隔時(shí)間為6秒。根據(jù)“幾點(diǎn)敲幾下”，8點(diǎn)敲8下，確定棵數(shù)：8確定間距：6帶入兩端均植樹問題的公式：總長(zhǎng)＝（棵數(shù)－1）×間距＝（8－1）×6＝42即42秒后敲完8下鐘，但是小明要能確定是8點(diǎn)．必須再經(jīng)過6秒鐘（此時(shí)鐘不再敲響），故需要42＋6＝48秒。因此，選D。鐘表問題知識(shí)框架數(shù)學(xué)運(yùn)算問題一共分為十四個(gè)模塊，其中一塊是特殊情境問題。鐘表問題是特殊情境問題中的一種。鐘表問題，是研究鐘面上時(shí)針和分針關(guān)系的問題。公務(wù)員考試中主要考查只有兩種類型：時(shí)針與分針的角度關(guān)系和時(shí)鐘的校準(zhǔn)問題。從路程（格）和角度兩個(gè)方向進(jìn)行解答鐘表問題的方法掌握了，你就可以輕松搞定日期星期問題。核心點(diǎn)撥1、題型簡(jiǎn)介鐘表問題，是研究鐘面上時(shí)針和分針關(guān)系的問題。一般說來，鐘表問題可以從路程（格）和角度兩個(gè)方向進(jìn)行解答。2、核心知識(shí)（1）時(shí)針與分針的角度關(guān)系A(chǔ)．按“格”來分，則鐘面上的路程（角度）和速度（角速度）有如下關(guān)系：a。鐘面一圈按“小時(shí)”分：可分為12大格；時(shí)針每小時(shí)走1大格，分針每小時(shí)走12大格；它們每小時(shí)相差12－1＝11大格，每分鐘分針比時(shí)針多走11/60大格。b．鐘面一圈按“分鐘”分：可分為60小格；時(shí)針每小時(shí)走5小格，分針每小時(shí)走60小格；它們每小時(shí)相差60－5＝55小格，每分鐘分針比時(shí)針多走11/12小格。c分針的速度是時(shí)針的12倍。B．按“角度”來分，則鐘面上的路程和速度有如下關(guān)系：a．鐘面一圈為360°，時(shí)針每小時(shí)走30°，分鐘每小時(shí)走360°；它們每小時(shí)相差360°-30°=330°；b.時(shí)針每分鐘走0.5°，分針每分鐘走6°；它們每分鐘相差6°－0.5°=5.5°；c.分針的速度是時(shí)針的12倍。（2）時(shí)鐘校準(zhǔn)問題時(shí)鐘校準(zhǔn)問題的關(guān)鍵之找出不正常表的時(shí)間與正常時(shí)間之間的關(guān)系。3、核心知識(shí)使用詳解(1)可以轉(zhuǎn)化成時(shí)針和分針的相遇追及問題。時(shí)針?biāo)俣葹?.5度/分，分針?biāo)俣葹?度/分，該方法適用于定量計(jì)算。(2)借助畫圖，縮小范圍，然后進(jìn)行排除，該方法適用于定性分析。(3)直接應(yīng)用工具——手表，通過旋轉(zhuǎn)手表解題。(4)對(duì)于壞表問題，要注意時(shí)間指的是標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間。夯實(shí)基礎(chǔ)1.時(shí)針與分針的角度關(guān)系例1：在時(shí)鐘的表面上，12時(shí)30分的時(shí)針與分針的夾角是多少度？A.165度

B.155度

C.150度

D.145度【答案】A【解析】[題鑰]“12時(shí)30分的時(shí)針與分針的夾角”，12時(shí)整，時(shí)針與分針重合；12時(shí)30分，分針走了半圈，時(shí)針走了0.5大格。[解析]12時(shí)整：時(shí)針與分針重合；12時(shí)30分時(shí)：分針走了半圈，即走了180度；時(shí)針?biāo)俣葹?.5度/分：時(shí)針走了30分鐘，則走了0.5×30＝15度；所以這時(shí)時(shí)針與分針的夾角：180－15＝165度；所以，選A。例2：鐘表的時(shí)針與分針在4點(diǎn)多少分第一次重合？A.

B.

C.

D.【答案】A【解析】[題鑰]“鐘表的時(shí)針與分針在4點(diǎn)多少分第一次重合”，在4點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針走過100度，分針走過0度，兩針的夾角為100度，隨著的時(shí)間的增加，兩針逐漸靠近,該題是典型的“追及問題”。[解析]解法一：從“格”的角度分析：4點(diǎn)時(shí)，分針落后時(shí)針20小格；而分針每分鐘比時(shí)針多走11/12小格；根據(jù)追及問題核心公式：在4點(diǎn)后時(shí)針和分針重合需要分。所以，選A。解法二：從“角度”來分析：在4點(diǎn)整時(shí)，分針與時(shí)針的夾角為4×30度＝120度；時(shí)針?biāo)俣葹?.5度/分，分針?biāo)俣葹?度/分；假設(shè)x分鐘后兩針重合，則此時(shí)：0.5×x＋120＝6×x；解得：x＝；即4點(diǎn)分后兩針第一次重合；所以，選A。2.時(shí)鐘的校準(zhǔn)問題例3：有一只怪鐘，每晝夜設(shè)計(jì)成10小時(shí)，每小時(shí)100分鐘。當(dāng)這只怪鐘顯示5點(diǎn)時(shí)，實(shí)際上是中午12點(diǎn)，當(dāng)這只怪鐘顯示8點(diǎn)50分時(shí)，實(shí)際上是什么時(shí)間？A.17點(diǎn)50分

B.18點(diǎn)10分

C.20點(diǎn)04分

D.20點(diǎn)24分【答案】D【解析】[題鑰]“每晝夜設(shè)計(jì)成10小時(shí)，每小時(shí)100分鐘”，可知怪鐘每晝夜總共有100×10＝1000分鐘。[解析]確定怪鐘每晝夜時(shí)間：100×10＝1000分鐘；確定標(biāo)準(zhǔn)鐘每晝夜時(shí)間：60×24＝1440分鐘；怪鐘顯示8點(diǎn)50分時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間：100×8＋50＝850分鐘；標(biāo)準(zhǔn)鐘經(jīng)過的時(shí)間：；所以，選D。進(jìn)階訓(xùn)練1.時(shí)針與分針的角度關(guān)系例4：把一個(gè)時(shí)鐘改裝成一個(gè)玩具鐘，使得時(shí)針每轉(zhuǎn)一圈，分針轉(zhuǎn)16圈，秒針轉(zhuǎn)36圈，開始時(shí)三針重合。問：在時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，三針重合了幾次？（不計(jì)起始和終止的位置）A.2

B.4

C.6

D.9【答案】B【解析】[題鑰]“不計(jì)起始和終止的位置”，即剛開始時(shí)三針重合和一周結(jié)束時(shí)三針重合不計(jì)入次數(shù)。[解析]“時(shí)針每轉(zhuǎn)一圈，分針轉(zhuǎn)16圈”：則：時(shí)針走一圈的過程中，分針比時(shí)針多走15圈；因此，時(shí)針和分針重合的位置距離起始點(diǎn)為：；“時(shí)針每轉(zhuǎn)一圈”、“秒針轉(zhuǎn)36圈”：則：時(shí)針走一圈的過程中，秒針比時(shí)針多走35圈，因此，時(shí)針和秒針重合的位置距離起始點(diǎn)為：；三針重合的位置為距離起始點(diǎn)：，去掉終點(diǎn)，共重合了4次；所以，選B。2.時(shí)鐘的校準(zhǔn)問題例5：在12月28日零點(diǎn)時(shí)，某鐘表慢3分，到標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間1月4日上午7時(shí)，此鐘表快4分半，那么這只表所指時(shí)間是正確的時(shí)刻在：A.12月30日22時(shí)

B.12月31日零點(diǎn)

C.1月1日上午2時(shí)

D.1月2日上午10時(shí)【答案】A【解析】[題鑰]“在12月28日零點(diǎn)時(shí)”、“到標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間1月4日上午7時(shí)”，經(jīng)過的時(shí)間為24×7＋7＝175小時(shí)。[解析]“在12月28日零點(diǎn)時(shí)”、“到標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間1月4日上午7時(shí)”確定標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間：24×7＋7＝175小時(shí)；確定此鐘多走的時(shí)間：3＋4.5＝7.5分鐘；設(shè)：在12月28日零時(shí)后，再經(jīng)過x小時(shí)后此鐘顯示正確時(shí)刻，此時(shí)此鐘多走了3分鐘；因此有：解得x＝70；即經(jīng)過70小時(shí)后此鐘顯示正確時(shí)刻：70/24＝2……22；則從12月28日零點(diǎn)時(shí)開始計(jì)算，經(jīng)過2天22小時(shí)，是12月30日22時(shí)；所以，選A。例6：星期天早晨，小黃發(fā)現(xiàn)鬧鐘因電池能量耗盡停走了，便換上了新電池，估計(jì)了一下時(shí)間，將鬧鐘的指針撥到8：00。然后，小黃離家前往天文館。小黃到達(dá)天文館時(shí)，看到天文館的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)針顯示的時(shí)間是9：15。一個(gè)半小時(shí)后，小黃從天文館以同樣的速度返回家中，看到鬧鐘顯示的時(shí)間是11：20。請(qǐng)問，這時(shí)小黃應(yīng)該把鬧鐘調(diào)到什么時(shí)間才是準(zhǔn)確的？A.11:45

B.11:40

C.11:30

D.11:00【答案】B【解析】[題鑰]小黃出發(fā)時(shí)指針為8：00，回來時(shí)為11：20，整個(gè)行程花了3小時(shí)20分鐘，即200分鐘。[解析]小黃出發(fā)時(shí)指針為8：00，回來時(shí)為11：20，可知：整個(gè)行程花了3小時(shí)20分鐘，即200分鐘；小黃在天文館花了一個(gè)半小時(shí)，即90分鐘：因此路上所花時(shí)間為200－90＝110分鐘；因此，小黃從家到天文館所用時(shí)間：110/2＝55分鐘；確定小黃離開天文館的時(shí)間：9：15＋90分鐘，即10：45；則小黃到家的時(shí)間：10：45＋55分鐘，即11：40；所以小黃應(yīng)該把鬧鐘調(diào)到11：40才是準(zhǔn)確的；所以，選B。抽屜原理問題知識(shí)框架數(shù)學(xué)運(yùn)算問題一共分為十四個(gè)模塊，其中一塊是抽屜原理問題。公務(wù)員考試中，抽屜原理問題通常與其他問題相結(jié)合來進(jìn)行考查，一般只有抽屜原理1、抽屜原理2和逆用抽屜原理三種類型。解抽屜原理問題的常用的方法是遵循最差原則，即考慮最差情況，其本質(zhì)都是抽屜原理問題的基本原理。無論“抽屜”大小、種類怎么變化，同學(xué)只要牢牢把握這三種類型和解題原則，就能輕松搞定抽屜原理問題。核心點(diǎn)撥1、題型簡(jiǎn)介抽屜原理的一般含義：假如有n＋l或多于n＋l個(gè)元素放到n個(gè)集合中去，其中必定至少有一個(gè)集合里至少有兩個(gè)元素。在公務(wù)員考試數(shù)學(xué)運(yùn)算中，考查抽屜原理問題時(shí)，題干通常有“至少……，才能保證……”。掌握抽屜原理問題，可以幫助同學(xué)們解決“至少……”的問題。2、核心知識(shí)（1）抽屜原理1：將多于n件的物品任意放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品件數(shù)不少于2。（也可以理解為至少有2件物品在同一個(gè)抽屜），一般遵循最差原則，即考慮極端情況，最差的情況。從各類公務(wù)員考試真題來看，“考慮最差情況”這一方法的使用廣泛而且有效。（2）抽屜原理2：將多于m×n件的物品任意放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品的件數(shù)不少于m＋1。（也可理解為至少有m＋1件物品在同一個(gè)抽屜）（3）逆用抽屜原理即是對(duì)抽屜原理2的逆向思維，從“抽屜物品數(shù)量件數(shù)不少于m＋1”推出m，然后根據(jù)公式，得出抽屜數(shù)量n。夯實(shí)基礎(chǔ)1.抽屜原理1例1：有紅、黃、藍(lán)、白珠子各10粒，裝