金融工程 鄭振龍課件 第07章

第七章

布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)

公式的擴(kuò)展

主要內(nèi)容布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型的缺陷交易成本波動(dòng)率微笑和波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)隨機(jī)波動(dòng)率不確定的參數(shù)跳躍擴(kuò)散過(guò)程第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公

式的擴(kuò)展

B-S模型的缺陷

交易成本的假設(shè)

波動(dòng)率為常數(shù)的假設(shè)

不確定的參數(shù)

資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)變動(dòng)

第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公

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交易成本的影響規(guī)模效應(yīng)和交易成本差異化。即使是同一個(gè)投資者，在調(diào)整過(guò)程中，持有同一個(gè)合約的多頭頭寸和空頭頭寸，價(jià)值也不同。第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公

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H-W-W交易成本模型基本假設(shè)：投資者投資于歐式期權(quán)的組合而不僅僅是單個(gè)期權(quán)；整個(gè)投資組合的調(diào)整存在交易成本；投資者的組合調(diào)整策略事先確定；股票價(jià)格的隨機(jī)過(guò)程以離散的形式給出；保值組合的預(yù)期收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)銀行存款利率

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式的擴(kuò)展

H-W-W模型推導(dǎo)構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合之后,整個(gè)組合價(jià)值的變化相應(yīng)減少：要求交易成本項(xiàng),關(guān)鍵要獲得n值，顯然：（7-1）第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公

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H-W-W模型推導(dǎo)（續(xù)）由Ito引理：根據(jù)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)假設(shè)，有:將公式7-1、7-2代入7-3，得H-W-W模型：（7-3）（7-2）（7-4）第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公

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對(duì)H-W-W方程的理解項(xiàng)在實(shí)際中具有深刻的金融含義的存在使得H-W-W方程大部分時(shí)候是一個(gè)非線性方程期權(quán)多頭和空頭價(jià)值的不一致性對(duì)于單個(gè)期權(quán)多頭，H-W-W方程實(shí)際上是一個(gè)以為波動(dòng)率的BS公式第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公

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交易成本的其他模型期權(quán)組合中的值不是同一個(gè)符號(hào)的情形交易成本不是前述的簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)，而是資產(chǎn)價(jià)格和調(diào)整數(shù)量的函數(shù)的情況

W-W模型第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公

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波動(dòng)率微笑和波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)人們通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格和BS公式推算出來(lái)的隱含波動(dòng)率具有以下兩個(gè)方向的變動(dòng)規(guī)律：“波動(dòng)率微笑”（VolatilitySmiles）：隱含波動(dòng)率會(huì)隨著期權(quán)執(zhí)行價(jià)格不同而不同；波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)（VolatilityTermStructure）：隱含波動(dòng)率會(huì)隨期權(quán)到期時(shí)間不同而變化。第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公

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波動(dòng)率微笑對(duì)于貨幣期權(quán)而言，隱含波動(dòng)率常常呈現(xiàn)近似U形。平價(jià)期權(quán)的波動(dòng)率最低，而實(shí)值和虛值期權(quán)的波動(dòng)率會(huì)隨著實(shí)值或虛值程度的增大而增大，兩邊比較對(duì)稱。股票期權(quán)的波動(dòng)率微笑則呈現(xiàn)另一種不同的形狀，即向右下方偏斜。當(dāng)執(zhí)行價(jià)格上升的時(shí)候，波動(dòng)率下降，而一個(gè)較低的執(zhí)行價(jià)格所隱含的波動(dòng)率則大大高于執(zhí)行價(jià)格較高的期權(quán)。第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公

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貨幣期權(quán)的波動(dòng)率微笑與分布第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公

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股票期權(quán)的波動(dòng)率微笑與分布第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公

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波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)從長(zhǎng)期來(lái)看，波動(dòng)率大多表現(xiàn)出均值回歸，即到期日接近時(shí)，隱含波動(dòng)率的變化較劇烈，隨著到期時(shí)間的延長(zhǎng)，隱含波動(dòng)率將逐漸向歷史波動(dòng)率的平均值靠近。波動(dòng)率微笑的形狀也受到期權(quán)到期時(shí)間的影響。大多時(shí)候，期權(quán)到期日越近，波動(dòng)率“微笑”就越顯著，到期日越長(zhǎng)，不同價(jià)格的隱含波動(dòng)率差異越小，接近于常數(shù)。第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公

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波動(dòng)率矩陣執(zhí)行價(jià)格剩余有效期0.900.951.001.051.10一個(gè)月14.213.012.013.114.5三個(gè)月14.013.012.013.114.2六個(gè)月14.113.312.513.414.3一年14.714.013.514.014.8兩年15.014.414.014.515.1五年14.814.614.414.715.0第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公

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意義和應(yīng)用波動(dòng)率微笑和波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)的存在，證明了BS公式關(guān)于波動(dòng)率為常數(shù)的基本假設(shè)是不成立的，至少期權(quán)市場(chǎng)不是這樣預(yù)期的。因此放松波動(dòng)率為常數(shù)的假設(shè)，成為期權(quán)理論發(fā)展的一個(gè)重要方向。目前主要有兩種不同的策略：從期權(quán)市場(chǎng)出發(fā)的改良策略創(chuàng)新策略

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隨機(jī)波動(dòng)率模型一般模型股票風(fēng)險(xiǎn)中性的隨機(jī)波動(dòng)率模型

（Hull等）第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公

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隨機(jī)波動(dòng)率對(duì)定價(jià)的影響當(dāng)波動(dòng)率是隨機(jī)的，且與股票價(jià)格不相關(guān)時(shí)，歐式期權(quán)的價(jià)格是BS價(jià)格在期權(quán)有效期內(nèi)平均方差率分布上的積分值：在股票價(jià)格和波動(dòng)率相關(guān)的情況下，這個(gè)隨機(jī)波動(dòng)率模型沒(méi)有解析解，只能使用數(shù)值方法得到期權(quán)價(jià)格波動(dòng)率隨機(jī)性質(zhì)的影響，也會(huì)因到期時(shí)間的不同而不同

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GARCH模型GARCH模型可以分為多種，其中最常見(jiàn)的是GARCH(1,1)模型：采用的形式，用最大似然估計(jì)法估計(jì)三個(gè)參數(shù)、和，可以進(jìn)一步得到和的值，并可計(jì)算出特定時(shí)刻波動(dòng)率的大小（7-5）第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公

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不同時(shí)期的權(quán)重分布對(duì)公式7-5的右邊右邊重復(fù)的迭代過(guò)程，可以得到：通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，我們可以將式（7-6）寫(xiě)作由于，可得未來(lái)波動(dòng)率的預(yù)期值為：（7-6）第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公

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不確定的參數(shù)問(wèn)題：現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中存在著這樣的問(wèn)題：當(dāng)參數(shù)價(jià)值是不確定的時(shí)候，如何為期權(quán)定價(jià)？解決方法：假設(shè)我們知道的這些參數(shù)位于某個(gè)特定的區(qū)間之內(nèi)，之后考慮最悲觀的情況下我們的期權(quán)至少值多少。用這樣的假設(shè)和思路，我們不會(huì)計(jì)算出期權(quán)的某一特定價(jià)值，而會(huì)發(fā)現(xiàn)期權(quán)的價(jià)值也將位于某個(gè)區(qū)間之內(nèi)。第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公

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不確定的波動(dòng)率仍然構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合，組合價(jià)值：假設(shè)與考慮最糟糕的情況，可以確定期權(quán)的最低值，用公式表示：第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公

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期權(quán)價(jià)值的下限期權(quán)價(jià)值下限滿足其中，

且

。

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期權(quán)價(jià)值的上限期權(quán)價(jià)值上限滿足：其中，。第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公

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不確定的利率考察組合，假設(shè)：，則：此時(shí)，我們選擇的利率將依賴于的符號(hào)，相應(yīng)的方程為：其中：，第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公

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不確定的紅利收益率在連續(xù)支付紅利的情況下，其推導(dǎo)過(guò)程很類似，在的假定下，只要解出：其中：

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跳躍擴(kuò)散過(guò)程所謂的跳躍擴(kuò)散過(guò)程是普通的（路徑連續(xù)的）擴(kuò)散過(guò)程和一個(gè)在隨機(jī)時(shí)刻發(fā)生跳躍的（跳躍幅度也是隨機(jī)的）跳躍過(guò)程的結(jié)合，顯然這種變化過(guò)程更能反映現(xiàn)實(shí)價(jià)格路徑，對(duì)應(yīng)的模型則可以認(rèn)為是考慮資產(chǎn)價(jià)格有不連續(xù)的跳躍時(shí)對(duì)BS公式的推廣。第七章布萊克-舒爾斯期權(quán)定價(jià)公

式的擴(kuò)展

資產(chǎn)價(jià)格所遵循的跳躍擴(kuò)散過(guò)程使用連續(xù)布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)反映連續(xù)擴(kuò)散過(guò)程，同時(shí)引入泊松過(guò)程來(lái)描述資產(chǎn)價(jià)格的跳躍為泊松過(guò)程，定義為：根據(jù)Ito引理，可得：

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跳躍擴(kuò)散過(guò)程的保值組合和期權(quán)定價(jià)仍然考察組合，運(yùn)用Ito引理，包含了跳躍的組合價(jià)值變化為

如果時(shí)刻沒(méi)有跳躍發(fā)生，則，那么我們就會(huì)選擇來(lái)降低風(fēng)險(xiǎn)。如果有跳躍，則，我們?nèi)匀豢梢赃x擇

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包含了跳躍的期權(quán)定價(jià)公式Merton于1976年提出了一個(gè)重要的思想：如果資產(chǎn)價(jià)格變化過(guò)程中的跳躍成分與整個(gè)市場(chǎng)無(wú)關(guān)的話，就屬于可分散風(fēng)險(xiǎn)，可分散風(fēng)險(xiǎn)不應(yīng)該獲得期