八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十二章《全等三角形》課件

12.1全等三角形第十二章全等三角形12.1全等三角形第十二章全等三角形1情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握全等三角形的概念及其基本性質(zhì).（重點(diǎn)）2.能找準(zhǔn)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，理解全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.（難點(diǎn)）3.能進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理和計(jì)算，并解決一些實(shí)際問題.（難點(diǎn)）情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握全等三角形的概念及其基本性質(zhì).2導(dǎo)入新課觀察與思考下列各組圖形的形狀與大小有什么特點(diǎn)？（1）（2）（3）（4）（5）導(dǎo)入新課觀察與思考下列各組圖形的形狀與大小有什么特點(diǎn)？（1）3講授新課全等圖形的定義及性質(zhì)一問題1：觀察思考：每組中的兩個(gè)圖形有什么特點(diǎn)？①②③問題2：觀察思考：每組中的兩個(gè)圖形有什么特點(diǎn)？

④⑤

講授新課全等圖形的定義及性質(zhì)一問題1：觀察思考：每組中的兩個(gè)4歸納總結(jié)全等圖形定義：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等圖形.全等形性質(zhì)：如果兩個(gè)圖形全等，它們的形狀和大小一定都相等.歸納總結(jié)全等圖形定義：全等形性質(zhì)：5下面哪些圖形是全等圖形？（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）大小、形狀完全相同找一找下面哪些圖形是全等圖形？（1）（2）（3）（4）（5）（6）6EDFEDF全等三角形的定義及性質(zhì)二ABC像上圖一樣，把△ABC疊到△DEF上，能夠完全重合的兩個(gè)三角形,叫作全等三角形.把兩個(gè)全等的三角形重疊到一起時(shí)，重合的頂點(diǎn)叫作對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫作對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫作對(duì)應(yīng)角.你能指出上面兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角嗎？EDFEDF全等三角形的定義及性質(zhì)二ABC像上圖7AACBDEABDCABCDBCNMFE思考：把一個(gè)三角形平移、旋轉(zhuǎn)、翻折，變換前后的兩個(gè)三角形全等嗎？AACBDEABDCABCDBCNMFE思考：把一個(gè)三角形平8全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等全等三角形的性質(zhì)一個(gè)圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后,___變化了,但＿＿＿和＿＿＿都沒有改變,即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形＿_(dá)＿.形狀大小全等位置歸納總結(jié)全等變化全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等全等三角形的性質(zhì)一個(gè)圖形經(jīng)9△ABC≌△FDEA

BCEDF注意：記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上.全等的表示方法“全等”用符號(hào)“≌”表示，讀作“全等于”.△ABC≌△FDEABCEDF注意：記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通10例1：如圖，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出這兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊；若△ADO≌△AEO，指出這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角.典例精析解：△BOD與△COE的對(duì)應(yīng)邊為：BO與CO，OD與OE，BD與CE；△ADO與△AEO的對(duì)應(yīng)角為：∠DAO與∠EAO，∠ADO與∠AEO，∠AOD與∠AOE.例1：如圖，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出這兩個(gè)全等11ADFCEB12ABDC1423EABCF1234找一找下列全等圖形的對(duì)應(yīng)元素？ABCDFADFCEB12ABDC1423EABCF1234找一找下列12請(qǐng)你利用自制的一對(duì)全等三角形拼出有公共頂點(diǎn)或公共邊或公共角的圖形.試用全等符號(hào)表示它們，分析每個(gè)圖形，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.ABCDABCDABCD1.有公共邊尋找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角有什么規(guī)律?探究歸納請(qǐng)你利用自制的一對(duì)全等三角形拼出有公共頂點(diǎn)或公共邊或131.有公共邊，則公共邊為對(duì)應(yīng)邊；2.有公共角（對(duì)頂角），則公共角(對(duì)頂角)為對(duì)應(yīng)角；3.最大邊與最大邊（最小邊與最小邊）為對(duì)應(yīng)邊；最大角與最大角（最小角與最小角）為對(duì)應(yīng)角；4.對(duì)應(yīng)角的對(duì)邊為對(duì)應(yīng)邊；對(duì)應(yīng)邊的對(duì)角為對(duì)應(yīng)角.ABCDOABCDOABCDEABDCE2.有公共點(diǎn)總結(jié)歸納1.有公共邊，則公共邊為對(duì)應(yīng)邊；2.有公共角（對(duì)頂角），14A

BCEDF∵△ABC≌△DEF(已知），∴AB=DE,AC=DF,BC=EF(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等），∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.全等的性質(zhì)ABCEDF∵△ABC≌△DEF(已知），∴AB=DE,15∵△ABC≌△FDE∴AB=FD，AC=FE，BC=DE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∠A=∠F，∠B=∠D，∠C=∠E（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）A

BCEDF全等三角形的性質(zhì)的幾何語言∵△ABC≌△FDE∴AB=FD，AC=FE，BC16試一試：

如圖，△ABC與△ADC全等，請(qǐng)用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出

這兩個(gè)三角形全等，并寫出相等的邊和角.解：△ABC≌△ADC;相等的邊為：AB=AD，AC=AC，BC=DC；相等的角為：∠BAC=∠DAC，∠B=∠D，∠ACB=∠ACD.試一試：

如圖，△ABC與△ADC全等，請(qǐng)用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出

17例2

如圖，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度數(shù)和CF的長(zhǎng)．解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，∴CF＝BC－BF＝7－4＝3.例2如圖，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°18例3

如圖，△EFG≌△NMH，EF=2.1cm，EH=1.1cm，NH=3.3cm.（1）試寫出兩三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角；解：（1）對(duì)應(yīng)邊有EF和NM，F(xiàn)G和MH，EG和NH；對(duì)應(yīng)角有∠E和∠N，∠F和∠M，∠EGF和∠NHM.例3如圖，△EFG≌△NMH，EF=2.1cm，EH=119（2）求線段NM及HG的長(zhǎng)度；

（3）觀察圖形中對(duì)應(yīng)線段的數(shù)量或位置關(guān)系，試提出一個(gè)正確的結(jié)論并證明.解：∵△EFG≌△NMH，∴NM=EF=2.1cm，

EG=NH=3.3cm.∴HG=EG–EH=3.3-1.1=2.2（cm）.解：結(jié)論：EF∥NM證明：∵△EFG≌△NMH，∴∠E=∠N.∴EF∥NM.想一想：你還能得出其他結(jié)論嗎？（2）求線段NM及HG的長(zhǎng)度；解：∵△EFG≌△NMH，20當(dāng)堂練習(xí)1.能夠

的兩個(gè)圖形叫做全等形.兩個(gè)三角形重合時(shí)，互相

的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).記兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示

頂點(diǎn)的字母寫在

的位置上.重合重合重合相對(duì)應(yīng)2.如圖，△ABC≌△ADE,若∠D=∠B，∠C=∠AED，則∠DAE=

；∠DAB=

.∠BAC∠EACABCDE當(dāng)堂練習(xí)1.能夠的兩個(gè)圖形叫做全等213.如圖，△ABC≌△BAD，如果AB=5cm,BD=4cm，AD=6cm，那么BC的長(zhǎng)是（）A.6cmB.5cmC.4cmD.無法確定4.在上題中，∠CAB的對(duì)應(yīng)角是（）A.∠DAB

B.∠DBAC.∠DBCD.∠CADAOCDBAB3.如圖，△ABC≌△BAD，如果AB=5cm,BD=AO225.如圖,△ABC≌△AED,AB是△ABC的最大邊，AE是△AED的最大邊,∠BAC

與∠EAD是對(duì)應(yīng)角,且∠BAC=25°，∠B=35°,AB=3cm,BC=1cm,求出∠E,∠ADE的度數(shù)和線段DE,AE的長(zhǎng)度.BCEDA解:∵△ABC≌△AED,(已知)∴∠E=∠B=35°,(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)∠ADE=∠ACB=180°－25°－35°

=120°,

(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)DE=BC=1cm,AE=AB=3cm.(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)5.如圖,△ABC≌△AED,AB是△ABC的最大邊，AE是23擺一擺：利用平移，翻折，旋轉(zhuǎn)等變換所得到的三角形與原三角形組成各種各樣新的圖形，你還能拼出什么不同的造型嗎？比一比看誰更有創(chuàng)意！擺一擺：利用平移，翻折，旋轉(zhuǎn)等變換所得到的三角形與原三角形組24拼接的圖形展示拼接的圖形展示25課堂小結(jié)全等三角形定義能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形基本性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)元素確定方法對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角長(zhǎng)對(duì)長(zhǎng)，短對(duì)短，中對(duì)中公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊大角對(duì)大角，小角對(duì)小角公共角一定是對(duì)應(yīng)角對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角課堂小結(jié)全等定義能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形基本性2612.2三角形全等的判定第十二章全等三角形

第1課時(shí)“邊邊邊”12.2三角形全等的判定第十二章全等三角形第1課時(shí)“27情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.探索三角形全等條件.（重點(diǎn)）

2.“邊邊邊”判定方法和應(yīng)用.（難點(diǎn)）

3.會(huì)用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角，了解圖形的作法．情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索三角形全等條件.（重點(diǎn)）28導(dǎo)入新課

為了慶祝國(guó)慶節(jié)，老師要求同學(xué)們回家制作三角形彩旗（如圖），那么，老師應(yīng)提供多少個(gè)數(shù)據(jù)了，能保證同學(xué)們制作出來的三角形彩旗全等呢？一定要知道所有的邊長(zhǎng)和所有的角度嗎？情境引入導(dǎo)入新課為了慶祝國(guó)慶節(jié)，老師要求同學(xué)們回家制作三角形29八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十二章《全等三角形》課件30ABCDEF1.

什么叫全等三角形？能夠重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.3.已知△ABC

≌△DEF，找出其中相等的邊與角.①AB=DE③CA=FD②BC=EF④∠A=∠D⑤

∠B=∠E⑥∠C=∠F2.

全等三角形有什么性質(zhì)？全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.知識(shí)回顧ABCDEF1.什么叫全等三角形？能夠重合的兩個(gè)三角形叫31如果只滿足這些條件中的一部分,那么能保證△ABC≌△DEF嗎?想一想：即：三條邊分別相等，三個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形全等．如果只滿足這些條件中的一部分,那么能保證△ABC≌△DEF嗎32探究活動(dòng)1：一個(gè)條件可以嗎？（1）有一條邊相等的兩個(gè)三角形不一定全等（2）有一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形不一定全等結(jié)論：有一個(gè)條件相等不能保證兩個(gè)三角形全等.三角形全等的判定（“邊邊邊”定理）一探究活動(dòng)1：一個(gè)條件可以嗎？（1）有一條邊相等的兩個(gè)三角形不336cm300有兩個(gè)條件對(duì)應(yīng)相等不能保證三角形全等.60o300不一定全等探究活動(dòng)2：兩個(gè)條件可以嗎？3cm4cm不一定全等30060o3cm4cm不一定全等30o

6cm結(jié)論：（1）有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形（2）有兩條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形（3）有一個(gè)角和一條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形6cm300有兩個(gè)條件對(duì)應(yīng)相等不能保證三角形全等.60o3034結(jié)論:三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的三角形不一定全等.（1）有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形60o30030060o90o90o探究活動(dòng)3：三個(gè)條件可以嗎？結(jié)論:三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的三角形不一定全等.（1）有三個(gè)角對(duì)應(yīng)353cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm（2）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形會(huì)全等嗎？3cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm（2）36

先任意畫出一個(gè)△ABC，再畫出一個(gè)△A′B′C′

,使A′B′=AB,B′C′=BC,A′C′

=AC.把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，他們?nèi)葐?？ABCA′B′C′想一想：作圖的結(jié)果反映了什么規(guī)律？你能用文字語言和符號(hào)語言概括嗎？作法：（1）畫B′C′=BC；（2）分別以B',C'為圓心，線段AB,AC長(zhǎng)為半徑畫圓，兩弧相交于點(diǎn)A'；（3）連接線段A'B',A'C'.動(dòng)手試一試先任意畫出一個(gè)△ABC，再畫出一個(gè)△A′B37八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十二章《全等三角形》課件38文字語言：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

（簡(jiǎn)寫為“邊邊邊”或“SSS”）知識(shí)要點(diǎn)

“邊邊邊”判定方法ABCDEF在△ABC和△DEF中，∴△ABC

≌△DEF（SSS）.

AB=DE，

BC=EF，

CA=FD，幾何語言：文字語言：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.知識(shí)要點(diǎn)“邊邊邊”39例1

如圖，有一個(gè)三角形鋼架，AB=AC

，AD是連接點(diǎn)A

與BC中點(diǎn)D

的支架．求證：（1）△ABD≌△ACD

．CBDA典例精析解題思路：先找隱含條件公共邊AD再找現(xiàn)有條件AB=AC最后找準(zhǔn)備條件BD=CDD是BC的中點(diǎn)例1如圖，有一個(gè)三角形鋼架，AB=AC，AD是連接40證明：∵

D

是BC中點(diǎn)，

∴BD=DC．在△ABD

與△ACD

中，∴△ABD≌△ACD

（SSS）．CBDAAB=AC(已知）BD=CD

（已證）AD=AD

（公共邊）準(zhǔn)備條件指明范圍擺齊根據(jù)寫出結(jié)論(2)∠BAD=∠CAD.由（1）得△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD.

（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）證明：∵D是BC中點(diǎn)，∴△ABD≌△ACD41①準(zhǔn)備條件：證全等時(shí)要用的條件要先證好；②指明范圍：寫出在哪兩個(gè)三角形中；③擺齊根據(jù)：擺出三個(gè)條件用大括號(hào)括起來；④寫出結(jié)論：寫出全等結(jié)論.證明的書寫步驟：①準(zhǔn)備條件：證全等時(shí)要用的條件要先證好；②指明范圍：寫出在哪42如圖,C是BF的中點(diǎn)，AB=DC,AC=DF.求證:△ABC≌△DCF.在△ABC和△DCF中，AB=DC，∴△ABC≌△DCF(已知)(已證)AC=DF，BC=CF，證明：∵C是BF中點(diǎn)，∴BC=CF.(已知)(SSS).針對(duì)訓(xùn)練如圖,C是BF的中點(diǎn)，AB=DC,AC=DF.在△ABC43已知:如圖,點(diǎn)B、E、C、F在同一直線上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求證:（1）△ABC≌△DEF；

（2）∠A=∠D.證明:∴△ABC≌△DEF(SSS).在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，BC=EF，(已知)(已知)(已證)∵BE=CF，∴BC=EF.∴BE+EC=CF+CE，（1）（2）∵△ABC≌△DEF（已證），∴∠A=∠D（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）.E變式題已知:如圖,點(diǎn)B、E、C、F在同一直線上,AB=D44

A

C

B

D解：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD.在△ABD與△ACD中，AB=AC（已知），BD=CD（已證），AD=AD（公共邊），∴△ABD≌△ACD（SSS），例2如圖,△ABC是一個(gè)鋼架，AB=AC,AD是連接A與BC中點(diǎn)D的支架，試說明：∠B=∠C.∴∠B=∠C.典例精析ACBD解：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD.在△AB45

已知：∠AOB．求作：

∠A′O′B′=∠AOB．例3

用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角．ODBCAO′C′A′B′D′用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角二已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．例346作圖總結(jié)作法：

（1）以點(diǎn)O

為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA，

OB于點(diǎn)C、D；（2）畫一條射線O′A′，以點(diǎn)O′為圓心，OC

長(zhǎng)為半徑畫弧，交O′A′于點(diǎn)C′；（3）以點(diǎn)C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧交于點(diǎn)D′；（4）過點(diǎn)D′畫射線O′B′，則∠A′O′B′=∠AOB．已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角依據(jù)是什么？作圖總結(jié)作法：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠A471.如圖，D、F是線段BC上的兩點(diǎn)，AB=CE，AF=DE，

要使△ABF≌△ECD

，還需要條件

___

(填一個(gè)條件即可）.

BF=CDAE==××BDFC當(dāng)堂練習(xí)2.如圖，AB＝CD，AD＝BC,則下列結(jié)論：①△ABC≌△CDB；②△ABC≌△CDA；③△ABD

≌△CDB；④BA∥DC.正確的個(gè)數(shù)是()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)OABCDC==××1.如圖，D、F是線段BC上的兩點(diǎn)，AB=CE，AF=DE，483.已知：如圖

，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求證：△ABC≌△AED.證明：∵BD=CE,∴BD－CD=CE－CD.∴BC=ED.××==在△ABC和△ADE中，AC=AD（已知），AB=AE（已知），BC=ED（已證），∴△ABC≌△AED（SSS）.3.已知：如圖，AB=AE，AC=AD，BD=CE，證明：494.已知：如圖

，AC=FE，AD=FB,BC=DE.求證：(1)△ABC≌△FDE;(2)∠C=∠E.證明：(1)∵AD=FB，∴AB=FD（等式性質(zhì)）.在△ABC和△FDE

中，AC=FE（已知），BC=DE（已知），AB=FD（已證），∴△ABC≌△FDE（SSS）；ACEDBF==??。。（2）∵△ABC≌△FDE（已證）.∴∠C=∠E（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.

4.已知：如圖，AC=FE，AD=FB,BC=DE.證明：505.如圖,AD＝BC,AC＝BD.求證:∠C＝∠D.(提示:連結(jié)AB)證明：連結(jié)AB兩點(diǎn),∴△ABD≌△BAC(SSS)AD=BC，BD=AC，AB=BA，在△ABD和△BAC中，∴∠D=∠C.5.如圖,AD＝BC,AC＝BD.求證:∠C＝∠D.(提示51思維拓展

6.如圖，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，圖中有幾組全等的三角形？它們?nèi)鹊臈l件是什么？HDCBA△ABD≌△ACD(SSS)AB=AC，BD=CD，AD=AD，△ABH≌△ACH(SSS)AB=AC，BH=CH，AH=AH，△BDH≌△CDH(SSS)BH=CH，BD=CD，DH=DH，思維拓展6.如圖，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，圖52課堂小結(jié)

邊邊邊內(nèi)容有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“SSS”)應(yīng)用思路分析書寫步驟結(jié)合圖形找隱含條件和現(xiàn)有條件，證準(zhǔn)備條件注意四步驟1.說明兩三角形全等所需的條件應(yīng)按對(duì)應(yīng)邊的順序書寫.2.結(jié)論中所出現(xiàn)的邊必須在所證明的兩個(gè)三角形中.課堂小結(jié)邊邊邊內(nèi)容有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成5312.2三角形全等的判定第十二章全等三角形第2課時(shí)“邊角邊”12.2三角形全等的判定第十二章全等三角形第2課時(shí)“54情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)

1．探索并正確理解三角形全等的判定方法“SAS”.（重點(diǎn)）

2．會(huì)用“SAS”判定方法證明兩個(gè)三角形全等及進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用．（重點(diǎn)）3.了解“SSA”不能作為兩個(gè)三角形全等的條件．（難點(diǎn)）

情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1．探索并正確理解三角形全等的判定方法“S55

1.回顧三角形全等的判定方法1

三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫為

“邊邊邊”或“SSS”）.在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD2.符號(hào)語言表達(dá)：ABCDEF知識(shí)回顧1.回顧三角形全等的判定方法1在△ABC和△DEF中∴56當(dāng)兩個(gè)三角形滿足六個(gè)條件中的3個(gè)時(shí)，有四種情況:三角×三邊√兩邊一角？?jī)山且贿?/p>

除了SSS外,還有其他情況嗎？思考當(dāng)兩個(gè)三角形滿足六個(gè)條件中的3個(gè)時(shí)，有四種情況:三角×三邊√57講授新課三角形全等的判定（“邊角邊”定理）一問題：已知一個(gè)三角形的兩條邊和一個(gè)角，那么這兩條邊與這一個(gè)角的位置上有幾種可能性呢？ABCABC“兩邊及夾角”“兩邊和其中一邊的對(duì)角”它們能判定兩個(gè)三角形全等嗎？講授新課三角形全等的判定（“邊角邊”定理）一問題：已知一個(gè)三58尺規(guī)作圖畫出一個(gè)△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A

（即使兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等）.把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐幔緼BC探究活動(dòng)1：SAS能否判定的兩個(gè)三角形全等動(dòng)手試一試尺規(guī)作圖畫出一個(gè)△A′B′C′，使A′B59ABCA′

DEB′

C′

作法：（1）畫∠DA'E=∠A；（2）在射線A'D上截取A'B'=AB,在射線A'E上截取A'C'=AC；（3）連接B'C'.？思考：

①

△A′B′C′與

△ABC

全等嗎？如何驗(yàn)證？②這兩個(gè)三角形全等是滿足哪三個(gè)條件？ABCA′DEB′C′作法：？思考：②60八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十二章《全等三角形》課件61在△ABC

和△DEF中，∴

△ABC

≌△DEF（SAS）．

文字語言：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等

（簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）．知識(shí)要點(diǎn)

“邊角邊”判定方法幾何語言：AB=DE，∠A=∠D，AC=AF

，ABCDEF必須是兩邊“夾角”在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SA62例1：如果AB=CB

，∠ABD=∠CBD，那么

△ABD

和△CBD

全等嗎？分析:△ABD

≌△CBD.邊:角:邊:AB=CB(已知)，∠ABD=∠CBD(已知)，？ABCD(SAS)BD=BD(公共邊).典例精析證明：在△ABD

和△CBD中，AB=CB(已知)，∠ABD=∠CBD(已知)，∴△ABD≌△CBD(SAS).BD=BD(公共邊)，例1：如果AB=CB，∠ABD=∠CBD，那么分63變式1:已知：如圖,AB=CB,∠1=∠2.求證:(1)AD=CD；

(2)DB平分∠ADC.ADBC1243在△ABD與△CBD中，證明:∴△ABD≌△CBD（SAS），AB=CB(已知），∠1=∠2（已知），BD=BD（公共邊），∴AD=CD，∠3=∠4，∴DB平分∠ADC.變式1:ADBC1243在△ABD與△CBD中，證明:∴△A64ABCD變式2:已知:AD=CD，DB平分∠ADC，求證:∠A=∠C.12在△ABD與△CBD中，證明:∴△ABD≌△CBD（SAS），AD=CD(已知），∠1=∠2（已證），BD=BD（公共邊），∴∠A=∠C.∵DB平分∠ADC，∴∠1=∠2.ABCD變式2:12在△ABD與△CBD中，證明:∴△ABD65例2：如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A和B的點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使CD＝CA，連接BC并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE＝CB．連接DE，那么量出DE的長(zhǎng)就是A、B的距離，為什么?C·AEDB證明：在△ABC和△DEC

中，∴△ABC

≌△DEC（SAS），∴AB=DE，（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.AC=DC（已知），∠ACB

=∠DCE

（對(duì)頂角相等），CB=EC（已知）

，

證明線段相等或者角相等時(shí)，常常通過證明它們是全等三角形的對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角來解決.歸納例2：如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A、B的距離，可先在平地上66已知:如圖,AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，求證:∠A=∠D.證明:∵∠1＝∠2(已知)，∴∠1+∠DBC＝∠2+∠DBC(等式的性質(zhì))，

即∠ABC＝∠DBE.

在△ABC和△DBE中,

AB＝DB(已知)，∠ABC＝∠DBE(已證)，

CB＝EB(已知)，∴△ABC≌△DBE(SAS).∴∠A=∠D(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).1A2CBDE針對(duì)訓(xùn)練已知:如圖,AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，求證:∠A67想一想：

如圖，把一長(zhǎng)一短的兩根木棍的一端固定在一起，擺出△ABC.固定住長(zhǎng)木棍，轉(zhuǎn)動(dòng)短木棍，得到△ABD.這個(gè)實(shí)驗(yàn)說明了什么？B

A

CD△ABC和△ABD滿足AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC與△ABD不全等.探究活動(dòng)2：SSA能否判定兩個(gè)三角形全等想一想：BACD△ABC和△ABD滿足AB=AB,A68畫一畫：畫△ABC和△DEF，使∠B=∠E=30°，AB=DE=5cm，AC=DF=3cm．觀察所得的兩個(gè)三角形是否全等？

ABMCDABCABD有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等.結(jié)論畫一畫：

ABMCDABCABD有兩邊和其中一邊的69八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十二章《全等三角形》課件70例3

下列條件中，不能證明△ABC≌△DEF的是()典例精析A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF解析：要判斷能不能使△ABC≌△DEF，應(yīng)看所給出的條件是不是兩邊和這兩邊的夾角，只有選項(xiàng)C的條件不符合，故選C.C方法總結(jié)：判斷三角形全等時(shí)，注意兩邊與其中一邊的對(duì)角相等的兩個(gè)三角形不一定全等．解題時(shí)要根據(jù)已知條件的位置來考慮，只具備SSA時(shí)是不能判定三角形全等的．例3下列條件中，不能證明△ABC≌△DEF的是()典71當(dāng)堂練習(xí)1.在下列圖中找出全等三角形進(jìn)行連線.Ⅰ?30o8cm9cmⅥ?30o8cm8cmⅣⅣ8cm5cmⅡ30o?8cm5cmⅤ30o8cm?5cmⅧ8cm5cm?30o8cm9cmⅦⅢ?30o8cm8cmⅢ當(dāng)堂練習(xí)1.在下列圖中找出全等三角形進(jìn)行連線.Ⅰ?30o8722.如圖，AB=DB，BC=BE，欲證△ABE≌△DBC，則需要增加的條件是

()A.∠A＝∠DB.∠E＝∠CC.∠A=∠CD.∠ABD＝∠EBC

D2.如圖，AB=DB，BC=BE，欲證△ABE≌△DBC，則733.如圖，點(diǎn)E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF.

求證：△AFD≌△CEB.

FABDCE證明：∵AD//BC，∴∠A=∠C，∵AE=CF，在△AFD和△CEB中，AD=CB∠A=∠CAF=CE

∴△AFD≌△CEB（SAS）.∴AE+EF=CF+EF，

即

AF=CE.(已知），(已證），(已證），3.如圖，點(diǎn)E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=744.已知：如圖，AB=AC,AD是△ABC的角平分線，

求證：BD=CD.證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD

∴△ABD≌△ACD（SAS）.(已知），(已證），(已證），∴BD=CD.4.已知：如圖，AB=AC,AD是△ABC的角平分線，證明：75已知：如圖，AB=AC,BD=CD，求證：∠BAD=∠CAD.變式1證明：∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）.AB=ACBD=CDAD=AD

(已知），(公共邊），(已知），已知：如圖，AB=AC,BD=CD，變式1證明：∴∠BA76已知：如圖，AB=AC,BD=CD，E為AD上一點(diǎn)，求證：

BE=CE.變式2證明：∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=ACBD=CDAD=AD

(已知），(公共邊），(已知），∴BE=CE.在△ABE和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CADAE=AE

(已知），(公共邊），(已證），∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴△ABE≌△ACE（SAS）.已知：如圖，AB=AC,BD=CD，E為AD上一點(diǎn)，變式2775.如圖，已知CA=CB,AD=BD,M，N分別是CA，CB的中點(diǎn)，求證：DM=DN.在△ABD與△CBD中證明:CA=CB(已知）AD=BD（已知）CD=CD（公共邊）∴△ACD≌△BCD（SSS）能力提升連接CD，如圖所示；∴∠A=∠B又∵M(jìn)，N分別是CA，CB的中點(diǎn)，∴AM=BN5.如圖，已知CA=CB,AD=BD,M，N分別是CA，C78在△AMD與△BND中AM=BN(已證）∠A=∠B（已證）AD=BD（已知）∴△AMD≌△BND（SAS）∴DM=DN.在△AMD與△BND中AM=BN(已證）∴△79課堂小結(jié)

邊角邊內(nèi)容有兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“SAS”)應(yīng)用為證明線段和角相等提供了新的證法注意1.已知兩邊，必須找“夾角”2.已知一角和這角的一夾邊，必須找這角的另一夾邊

課堂小結(jié)邊角邊內(nèi)容有兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)8012.2三角形全等的判定第十二章全等三角形第3課時(shí)

“角邊角”、“角角邊”12.2三角形全等的判定第十二章全等三角形第3課時(shí)“81情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1．探索并正確理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”．2．會(huì)用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”證明兩個(gè)三角形全等．情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1．探索并正確理解三角形全等的判定方法“AS82導(dǎo)入新課如圖,小明不慎將一塊三角形玻璃打碎為三塊,他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去,就能配一塊與原來一樣的三角形模具嗎?如果可以,帶哪塊去合適?你能說明其中理由嗎?情境引入321導(dǎo)入新課如圖,小明不慎將一塊三角形玻璃打碎為三塊,他83講授新課三角形全等的判定（“角邊角”定理）一問題：如果已知一個(gè)三角形的兩角及一邊，那么有幾種可能的情況呢？ABCABC圖一圖二“兩角及夾邊”“兩角和其中一角的對(duì)邊”它們能判定兩個(gè)三角形全等嗎？講授新課三角形全等的判定（“角邊角”定理）一問題：如果已知一84作圖探究先任意畫出一個(gè)△ABC，再畫一個(gè)△A′B′C′，

使A′B′=AB，∠A

′=∠A，∠B′=∠B

(即使兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等).把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐?？ACB作圖探究先任意畫出一個(gè)△ABC，再畫一個(gè)△A′B85ACBA′B′C′ED作法：（1）畫A'B'=AB;（2）在A'B'的同旁畫∠DA'B'=∠A，∠EB'A'=∠B，A'D，B'E相交于點(diǎn)C'.想一想：從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ACBA′B′C′ED作法：想一想：從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？86知識(shí)要點(diǎn)

“角邊角”判定方法文字語言：有兩角和它們夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）.幾何語言：∠A=∠A′（已知），AB=A′B′（已知），∠B=∠B′（已知），在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.ABCA′B′C′知識(shí)要點(diǎn)“角邊角”判定方法文字語言：有兩角和它們夾邊對(duì)應(yīng)相87例1

已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求證：△ABC≌△DCB．∠ABC＝∠DCB(已知），

BC＝CB（公共邊），∠ACB＝∠DBC（已知），證明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（ASA）.典例精析BCAD

判定方法：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形全等．例1已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，∠A88例2

如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB=AC,∠B=∠C,求證：AD=AE.ABCDE分析：證明△ACD≌△ABE,就可以得出AD=AE.證明：在△ACD和△ABE中，∠A=∠A（公共角），AC=AB（已知），∠C=∠B

（已知），∴△ACD≌△ABE（ASA)，∴AD=AE.例2如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB=AC,∠B=89問題：若三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是60°和45°，且45°所對(duì)的邊為3cm，你能畫出這個(gè)三角形嗎?60°45°用“角角邊”判定三角形全等二合作探究問題：若三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是60°和45°，且45°所對(duì)的9060°45°思考：

這里的條件與1中的條件有什么相同點(diǎn)與不同點(diǎn)？你能將它轉(zhuǎn)化為1中的條件嗎？75°60°45°思考：這里的條件與1中的條件有什么相同點(diǎn)91兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”.歸納總結(jié)∠A=∠A′（已知），∠B=∠B′

（已知），AC=A′C′（已知），在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.ABCA′B′C′兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.歸納總結(jié)∠A=92例3：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC=EF.求證：△ABC≌△DEF．∠B＝∠E，

BC＝EF，

∠C＝∠F.證明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°.∴△ABC≌△DEF（ASA）.∴∠C＝180°－∠A－∠B.同理

∠F＝180°－∠D－∠E.又∠A＝∠D，∠B＝∠E,∴∠C＝∠F.在△ABC和△DEF中，例3：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC93例4

如圖，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E.求證：(1)△BDA≌△AEC；證明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∠ABD＝∠CAE.在△BDA和△AEC中，∠ADB=∠CEA=90°，

∠ABD＝∠CAE,AB＝AC，∴△BDA≌△AEC(AAS).例4如圖，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝A94(2)DE＝BD＋CE.∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.證明：∵△BDA≌△AEC,方法總結(jié)：利用全等三角形可以解決線段之間的關(guān)系，比如線段的相等關(guān)系、和差關(guān)系等，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行線段之間的轉(zhuǎn)化．(2)DE＝BD＋CE.∴BD＝AE，AD＝CE，證明：∵△951.△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使△ABC≌△DEF，則下列補(bǔ)充的條件中錯(cuò)誤的是（）A．AC＝DFB．BC＝EFC．∠A＝∠DD．∠C＝∠F2.在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69°，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么這兩個(gè)三角形（）A．一定不全等B．一定全等C．不一定全等D．以上都不對(duì)當(dāng)堂練習(xí)AB1.△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使△96

3.如圖，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判別下面的兩個(gè)三角形是否全等，并說明理由.不全等，因?yàn)锽C雖然是公共邊，但不是對(duì)應(yīng)邊.ABCD3.如圖，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判97ABCDEF4.如圖∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么應(yīng)補(bǔ)充一個(gè)條件

，才能使△ABC≌△DEF

（寫出一個(gè)即可）.∠B=∠E或∠A=∠D或

AC=DF（ASA）（AAS）（SAS）AB=DE可以嗎？×AB∥DEABCDEF4.如圖∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么應(yīng)補(bǔ)985.已知：如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2,求證：AB=AD.ACDB12證明：∵

AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B=∠D=90°.

在△ABC和△ADC中，∠1=∠2（已知），∠B=∠D（已證），AC=AC（公共邊），∴△ABC≌△ADC（AAS)，∴AB=AD.5.已知：如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2,求證99學(xué)以致用：如圖,小明不慎將一塊三角形模具打碎為三塊,他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去,就能配一塊與原來一樣的三角形模具嗎?如果可以,帶哪塊去合適?你能說明其中理由嗎?321答：帶1去，因?yàn)橛袃山乔見A邊相等的兩個(gè)三角形全等.學(xué)以致用：如圖,小明不慎將一塊三角形模具打碎為三塊,他是否可100能力提升：已知：如圖，△ABC

≌△A′B′C′，AD、A′D′

分別是△ABC

和△A′B′C′的高.試說明AD＝A′D′

，并用一句話說出你的發(fā)現(xiàn).ABCDA′B′C′D′能力提升：已知：如圖，△ABC≌△A′B′C′，AD、A101解：因?yàn)椤鰽BC

≌△A′B′C′，所以AB=A'B'（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等），∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）.因?yàn)锳D⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'.在△ABD和△A'B'D'中，∠ADB=∠A'D'B'（已證），∠ABD=∠A'B'D'（已證），AB=AB（已證），所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.ABCDA′B′C′D′全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高也相等.解：因?yàn)椤鰽BC≌△A′B′C′，ABCDA′B′C102課堂小結(jié)

邊角邊角角邊內(nèi)容有兩角及夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“ASA”)應(yīng)用為證明線段和角相等提供了新的證法注意注意“角角邊”、“角邊角”中兩角與邊的區(qū)別課堂小結(jié)邊角邊內(nèi)容有兩角及夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)10312.2三角全等形的判定第十二章全等三角形

第4課時(shí)

“斜邊、直角邊”12.2三角全等形的判定第十二章全等三角形第4課時(shí)104情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．（難點(diǎn)）2．會(huì)用直角三角形全等的判定方法“HL”判定兩個(gè)直角三角形全等．（重點(diǎn)）情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL105SSSSASASAAAS舊知回顧:我們學(xué)過的判定三角形全等的方法導(dǎo)入新課SSSSASASAAAS舊知回顧:我們學(xué)過的判定三角形全等的106如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，直角邊是_____、_____，斜邊是______.CBAACBCAB思考：前面學(xué)過的四種判定三角形全等的方法,對(duì)直角三角形是否適用？如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，直角邊是_____、_107ABCA′B′C′1.兩個(gè)直角三角形中，斜邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？為什么？2.兩個(gè)直角三角形中，有一條直角邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？為什么？3.兩個(gè)直角三角形中，兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？為什么？口答：ABCA′B′C′1.兩個(gè)直角三角形中，斜邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相108動(dòng)腦想一想如圖，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF嗎？我們知道，證明三角形全等不存在SSA定理.ABCDEF動(dòng)腦想一想如圖，已知AC=DF，BC=EF，ABCDEF109問題：如果這兩個(gè)三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，現(xiàn)在能判定△ABC≌△DEF嗎？ABCDEF直角三角形全等的判定（“斜邊、直角邊”定理）一講授新課問題：ABCDEF直角三角形全等的判定（“斜邊、直角邊”定理110任意畫出一個(gè)Rt△ABC,使∠C=90°.再畫一個(gè)Rt△A′B′C′，使∠C′=90°,B′C′=BC,A′B′=AB,把畫好的Rt△A′B′C′剪下來，放到Rt△ABC上，它們能重合嗎？ABC作圖探究任意畫出一個(gè)Rt△ABC,使∠C=90°.再畫一個(gè)Rt111畫圖思路（1）先畫∠MC′

N=90°ABCM

C′N畫圖思路（1）先畫∠MC′N=90°ABCMC′N112畫圖思路（2）在射線C′M上截取B′C′=BCMC′ABCNB′MC′畫圖思路（2）在射線C′M上截取B′C′=BCMC′ABCN113畫圖思路（3）以點(diǎn)B′為圓心，AB為半徑畫弧，交射線C′N于A′MC′ABCNB′A′畫圖思路（3）以點(diǎn)B′為圓心，AB為半徑畫弧，交射線C′N于114畫圖思路（4）連接A′B′MC′ABCNB′A′思考：通過上面的探究，你能得出什么結(jié)論？畫圖思路（4）連接A′B′MC′ABCNB′A′思考：通過上115知識(shí)要點(diǎn)“斜邊、直角邊”判定方法文字語言：

斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.幾何語言：

ABCA′B′C′在Rt△ABC和Rt△A′B′C′

中，∴Rt△ABC

≌Rt△A′B′C′(HL).“SSA”可以判定兩個(gè)直角三角形全等，但是“邊邊”指的是斜邊和一直角邊，而“角”指的是直角.AB=A′B′,BC=B′C′,知識(shí)要點(diǎn)“斜邊、直角邊”判定方法文字語言：幾何語言：ABCA116判斷滿足下列條件的兩個(gè)直角三角形是否全等，不全等的畫“×”，全等的注明理由：（1）一個(gè)銳角和這個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等；（）（2）一個(gè)銳角和這個(gè)角的鄰邊對(duì)應(yīng)相等；（）（3）一個(gè)銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等；（）（4）兩直角邊對(duì)應(yīng)相等；（）（5）一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等．（）HL×SASAASAAS判一判判斷滿足下列條件的兩個(gè)直角三角形是否全等，不全等的畫“×”，117典例精析

例1

如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD，求證：BC﹦AD.證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，

∴∠C與∠D都是直角.

AB=BA,

AC=BD

.在Rt△ABC

和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC﹦AD.ABDC應(yīng)用“HL”的前提條件是在直角三角形中.這是應(yīng)用“HL”判定方法的書寫格式.利用全等證明兩條線段相等，這是常見的思路.典例精析例1如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦118

變式1：如圖，∠ACB=∠ADB=90，要證明△ABC≌△BAD，還需一個(gè)什么條件？把這些條件都寫出來，并在相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)填寫出判定它們?nèi)鹊睦碛?（1）

（）（2）

（）（3）

（）（4）

（）ABDCAD=BC∠DAB=∠CBABD=AC∠DBA=∠CABHLHLAASAAS變式1：如圖119如圖，AC、BD相交于點(diǎn)P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C、D,AD=BC.求證：AC=BD.變式2HLAC=BDRt△ABD≌Rt△BAC如圖，AC、BD相交于點(diǎn)P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分變120如圖：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判斷AD和BC的位置關(guān)系.變式3HL∠ADB=∠CBDRt△ABD≌Rt△CDBAD∥BC如圖：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判斷AD和BC的位121例2

如圖，已知AD，AF分別是兩個(gè)鈍角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求證：BC＝BE.證明：∵AD，AF分別是兩個(gè)鈍角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.例2如圖，已知AD，AF分別是兩個(gè)鈍角△ABC和△ABE122方法總結(jié)：證明線段相等可通過證明三角形全等解決，作為“HL”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件．方法總結(jié)：證明線段相等可通過證明三角形全等解決，作為“HL”123例3：如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度DF相等，兩個(gè)滑梯的傾斜角∠B和∠F的大小有什么關(guān)系？解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF.∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠B=∠DEF(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等).∵∠DEF+∠F=90°,∴∠B+∠F=90°.例3：如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑124DA當(dāng)堂練習(xí)1.判斷兩個(gè)直角三角形全等的方法不正確的有（）A.兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等B.斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等

C.斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等D.兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等2.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，AD、CE交于點(diǎn)H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，則CH的長(zhǎng)為（）A．1B．2C．3D．4DA當(dāng)堂練習(xí)1.判斷兩個(gè)直角三角形全等的方法不正確的有（1254.如圖，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE.求證：△EBC≌△DCB.ABCED證明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠BEC=∠BDC=90°.在Rt△EBC

和Rt△DCB

中，

CE=BD,

BC=CB

.∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL).3.如圖，△ABC中，AB=AC，AD是高，則△ADB與△ADC

（填“全等”或“不全等”），根據(jù)

（用簡(jiǎn)寫法）.全等HL4.如圖，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=126AFCEDB5.如圖，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求證：BF=DE.證明:∵BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90°.∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，

AB=CD,

AF=CE.∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE.AFCEDB5.如圖，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,127如圖，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求證：BD平分EF.AFCEDBG變式訓(xùn)練1

AB=CD,

AF=CE.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).BF=DERt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG∠BGF=∠DGEFG=EGBD平分EF如圖，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求證128如圖，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF嗎?變式訓(xùn)練2C

AB=CD,

AF=CE.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).BF=DERt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG∠BGF=∠DGEFG=EGBD平分EF如圖，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想1296.如圖，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC上和過A點(diǎn)且垂直于AC的射線AQ上運(yùn)動(dòng)，問P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC上什么位置時(shí)△ABC才能和△APQ全等？【分析】本題要分情況討論：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此時(shí)AP＝BC＝5cm，可據(jù)此求出P點(diǎn)的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此時(shí)AP＝AC，P、C重合．解：(1)當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AP＝BC時(shí)，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；能力拓展6.如圖，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm130(2)當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與C點(diǎn)重合時(shí)，AP＝AC.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝AC，∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴當(dāng)AP＝5cm或10cm時(shí)，△ABC才能和△APQ全等．【方法總結(jié)】判定三角形全等的關(guān)鍵是找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，由于本題沒有說明全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，因此要分類討論，以免漏解．(2)當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與C點(diǎn)重合時(shí)，AP＝AC.【方法總結(jié)】判定131課堂小結(jié)“斜邊、直角邊”內(nèi)容斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.前提條件在直角三角形中使用方法只須找除直角外的兩個(gè)條件即可（兩個(gè)條件中至少有一個(gè)條件是一對(duì)對(duì)應(yīng)邊相等）課堂小結(jié)“斜邊、直角邊”內(nèi)容斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直13212.3角的平分線的性質(zhì)第十二章全等三角形第1課時(shí)角平分線的性質(zhì)12.3角的平分線的性質(zhì)第十二章全等三角形第1課時(shí)角133學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過操作、驗(yàn)證等方式，探究并掌握角平分線的性質(zhì)定理.（難點(diǎn)）2.能運(yùn)用角的平分線性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的幾何問題.

（重點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過操作、驗(yàn)證等方式，探究并掌握角平分線的性質(zhì)定134挑戰(zhàn)第一關(guān)情境引入問題1：在紙上畫一個(gè)角，你能得到這個(gè)角的平分

線嗎？

導(dǎo)入新課用量角器度量，也可用折紙的方法．問題2：如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對(duì)折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎？挑戰(zhàn)第一關(guān)情境引入問題1：在紙上畫一個(gè)角，你能得到這個(gè)角135提煉圖形提煉圖形136

問題3：如圖，是一個(gè)角平分儀，其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?ABC(E)D其依據(jù)是SSS，兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.問題3：如圖，是一個(gè)角平分儀，其中AB=AD,BC=ABC137挑戰(zhàn)第二關(guān)探索新知問題：如果沒有此儀器，我們用數(shù)學(xué)作圖工具，能實(shí)現(xiàn)該儀器的功能嗎？ABO尺規(guī)作角平分線一做一做：請(qǐng)大家找到用尺規(guī)作角的平分線的方法，并說明作圖方法與儀器的關(guān)系.提示：(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的儀器放在角的兩邊，儀器的頂點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合，且儀器的兩邊相等，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個(gè)過程呢?(3)在平分角的儀器中，BC=DC，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個(gè)過程呢？(4)你能說明為什么OC是∠AOB的平分線嗎？挑戰(zhàn)第二關(guān)探索新知問題：如果沒有此儀器，我們用數(shù)學(xué)作圖工138ABMNCO已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分線.仔細(xì)觀察步驟

作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,大家一定要掌握噢!作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N.（2）分別以點(diǎn)MN為圓心，大于

MN的