圓周運動臨界問題

豎直平面內(nèi)的圓周運動的臨界問題豎直平面內(nèi)的圓周運動是典型的變速圓周運動。一般情況下，只討論最高點和最低點的情況，常涉及過最高點時的臨界問題。臨界問題的分析方法：首先明確物理過程，正確對研究對象進行受力分析，然后確定向心力，根據(jù)向心力公式列出方程，由方程中的某個力的變化與速度變化的對應關系，從而分析找出臨界值。１．“繩模型”如圖6-11-1所示，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動過最高點情況。v·繩圖6-11-1v·繩圖6-11-1vabv（1）小球能過最高點的臨界條件：繩子和軌道對小球剛好沒有力的作用 mg==（2）小球能過最高點條件：v≥（當v>時，繩對球產(chǎn)生拉力，軌道對球產(chǎn)生壓力）（3）不能過最高點條件：v<（實際上球還沒有到最高點時，就脫離了軌道）２．“桿模型”如圖6-11-2所示，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動過最高點情況（注意：輕桿和細線不同，輕桿對小球既能產(chǎn)生拉力，又能產(chǎn)生推力。）OO桿圖6-11-2ba（1）小球能最高點的臨界條件：v=0，F(xiàn)=mg（F為支持力）（2）當0<v<時，F(xiàn)隨v增大而減小，且mg>F>0（F為支持力）（3）當v=時，F(xiàn)=0（4）當v>時，F(xiàn)隨v增大而增大，且F>0（F為拉力）【案例剖析】例1．長為L的細繩，一端系一質量為m的小球，另一端固定于某點，當繩豎直時小球靜止，再給小球一水平初速度，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，并且剛好能過最高點，則下列說法中正確的是（）A．球過最高點時，速度為零B．球過最高點時，繩的拉力為mgC．開始運動時，繩的拉力為D．球過最高點時，速度大小為O圖6-11-3解析：開始運動時，由小球受的重力mg和繩的拉力F的合力提供向心力，即，，可見C不正確；小球剛好過最高點時，繩拉力為0，，，所以，A、B、C均不正確。故選：DO圖6-11-3例2：如圖6-11-3所示，一輕桿一端固定質量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球做半徑為R的圓周運動，以下說法正確的是（）A．球過最高點時，桿所受的彈力可以等于零B．球過最高點時，最小速度為C．球過最高點時，桿對球的彈力一定與球的重力方向相反D．球過最高點時，桿對球的彈力可以與球的重力反向，此時重力一定大于桿對球的彈力解析：小球用輕桿支持過最高點時，，故B不正確；當時，F(xiàn)=0故A正確。當0<v<時，mg>F>0，F(xiàn)為支持力故D正確。當v>時，F(xiàn)>0，F(xiàn)為拉力，故C不正確。故選：A、D例3．繩系著裝水的水桶，在豎直平面內(nèi)做圓周運動，水的質量m=0.5kg，繩長L=40cm，求：（１）為使桶在最高點時水不流出，桶的最小速率？（２）桶在最高點速率v=3m/s時，水對桶底的壓力？解析：（1）在最高點水不流出的條件是重力不大于水做圓周運動所需的向心力。即：，則最小速率m/s=2m/s（2）水在最高點速率大于v0時，只靠重力提供向心力已不足，此時水桶底對水有一向下的壓力，設為F，由牛頓第二定律有F+mg=，F(xiàn)=mg=6.25N，由牛頓第三定律知，水對桶底的作用力F/eq\s\do2(\d\ba0())＝F=6.25N，方向豎直向上?！局R鏈接】圖6-11-4地球可以看作一個巨大的拱形橋如圖6-11-4所示，地球可以看作一個巨大的拱形橋，橋面的半徑就是地球半徑R（約為6400km）。地面上有一輛汽車，重量是G=mg，地面對它的支持力是圖6-11-4地球可以看作一個巨大的拱形橋面對它的支持力就越小，會不會出現(xiàn)這樣的情況：速度大到一定程度時，地面對車的支持力是零？這時駕駛員與座椅之間的壓力是多少？駕駛員身體各部分之間的壓力是多少？他這時可能有什么感覺？（g取10m/）【目標達成】O圖6-11-51．如圖6-11-5所示，細線的一端有一個小球，現(xiàn)給小球一初速度，使小球繞細線另一端O在豎直平面內(nèi)轉動，不計空氣阻力，用F表示球到達最高點時細線對小球的作用力，則O圖6-11-5A．是拉力B．是推力C．等于零D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于零解析：到最高點臨界速度為，當時，F(xiàn)＝0；當時，F(xiàn)為拉力。故選：A、CaO·baO·b圖6-11-6A．a(chǎn)處為拉力，b處為拉力B．a(chǎn)處為拉力，b處為推力C．a(chǎn)處為推力，b處為拉力D．a(chǎn)處為推力，b處為推力解析：小球到最低點時，向心力向上，此時細桿的作用力與小球的重力的合力提供向心力，細桿作用力向上，一定為拉力；當?shù)阶罡唿c時，向心力向下，當時，，此時為推力，當，，此時為拉力。故選：A、B3．長為L的輕桿，一端固定一個小球，另一端與光滑的水平軸相連?，F(xiàn)給小球一個初速度，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，已知小球在最高點時的速度為v，則下列敘述正確的是（）A．v的最小值為B．v由零逐漸增大，向心力也逐漸增大C．v由零逐漸增大，桿對小球的彈力也逐漸增大D．v由逐漸減小，桿對小球的彈力逐漸增大解析：這是“桿模型”，小球到最高點速度，A錯；由得，v增大，增大，B對；當0<v<時，彈力F隨v減小而增大（F為支持力），當v>時，F(xiàn)隨v增大而增大（F為拉力）,C錯，D對。故選：B、D4．質量為m的小球在豎直平面內(nèi)的圓形軌道的內(nèi)側運動，經(jīng)過最高點而不脫離軌道的臨界速度為v，當小球以2v的速度經(jīng)過最高點時，對軌道的壓力是（）A．0B．mgC．3mgD．5mg解析：到最高點臨界速度為v，則：；當速度為2v時，則：（F為壓力）；由上兩式解得：F=3mg。故選：C5．長為L的細繩一端拴一質量為m的小球，小球繞細繩另一固定端在豎直平面內(nèi)做圓周運動并恰能通過最高點，不計空氣阻力，設小球通過最低點和最高點時的速度分別為和，細線所受拉力分別為、，則（）A．=B．=0C．=5mgD．=0解析：小球恰能通過最高點，細線拉力=0，有，得=；由機械能守恒得：，解得：=；通過最低點時，有，解得。故選：A、D6．質量可忽略，長為L的輕棒，末端固定一質量為m的小球，要使其繞另一端點在豎直平面內(nèi)做圓周運動，那么小球在最低點時的速度必須滿足的條件為（）A．≥B．≥C．≥2D．≥解析：小球到最高點速度≥0，由機械能守恒得：，解得：≥2。故選：Ch圖6-11-7B7．如圖6-11-7所示，一個高為h的斜面，與半徑為h圖6-11-7B解析：小球到達頂端B速度為v，則：解得：v≥，由機械能守恒得：解得：8．如圖6-11-8所示，桿長為L，桿的一端固定一質量為m的小球，桿的質量忽略不計，整個系統(tǒng)繞桿的另一端O在豎直平面內(nèi)作圓周運動，求：（1）小球在最高點A時速度為多大時，才能使桿對小球m的作用力為零？（2）小球在最高點A時，桿對小球的作用力F為拉力和推力時的臨界速度是多少？A圖6-11-8O（3）如m=0.5kg,L=0.5m,=0.4m/s,則在最高點A和最低點B時,桿對小球A圖6-11-8O解析：(1)若桿和小球之間相互作用力為零，那么小球作圓周運動的向心力由重力mg提供，解得：(2)若小球m在最高點A時受拉力F，則解得若小球m在最高點A時受推力F，則解得：可見是桿對小球m的作用力F在推力和拉力之間突變的臨界速度.(3)桿長L=0.5m時，臨界速度m/s=2.2m/s，=0.4m/s<,桿對小球有推力。由解得：＝（）N=4.84N，由A到B只有重力做功，機械能守恒，設B點所處水平面為參考面，則有解得：m/s=4.5m/s，在最低點B，小球m受拉力，由解得N=25.3N【拓展提高】BhACBhACDE圖6-11-9平面，今使小球自A點正上方某處由靜止釋放，且從A點進入圓形軌道運動，通過適當調整釋放點的高度，總能保證小球最終通過最高點D，則小球在通過D點后（）A．會落到水平面AE上B．一定會再次落到圓軌道上C．可能會落到水平面AE上D．可能會再次落到圓軌道上CBRA圖6-11-10解析：小球剛好能過最高點時速度v=，離開D后作平拋運動，下落高度為R時間為t=，水平位移x=vt=>RCBRA圖6-11-1010．如圖6-9-10所示，半徑為R，內(nèi)徑很小的光滑半圓管豎直放置，AB段平直，質量為m的小球以水平初速度射入圓管。（1）若要小球能從C端出來，初速度多大？（2）在小球從C端出來瞬間，對管壁壓力有哪幾種典型情況，初速度各應