基本不等式的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計

基本不等式的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計授課教師：張建艷一：教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課基于高三學(xué)生已學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)及基本不等式的推導(dǎo)的基礎(chǔ)上進行第一輪復(fù)習(xí)展開的，要進一步運用基本不等式的變形來研究最值問題。基本不等式在知識體系中起了承上啟下的作用，高考中的難度不大，但是同時在生活及生產(chǎn)實際中最值有著廣泛的運用，所以基本不等式應(yīng)用應(yīng)重點研究最值。從教學(xué)設(shè)計理念上來看，教學(xué)中教師應(yīng)發(fā)揮組織者引導(dǎo)者合作者的作用。不僅要讓學(xué)生接受記憶模仿和練習(xí)，更要注重引導(dǎo)他們的自主探索，動手實踐，合作交流，師生互動，引導(dǎo)學(xué)生主體參與，探究本質(zhì)經(jīng)歷過程。從知識運用價值上來看，基本不等式是從大量數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實問題中抽象出來的一個模型，在公式推導(dǎo)中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合歸納猜想演繹推理分析法證明等，在各種不等式研究問題中有著廣泛的應(yīng)用。從學(xué)生能力的培養(yǎng)來看，基本不等式的應(yīng)用有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探索精神，是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)能力的良好載體。二：學(xué)情分析高中階段學(xué)習(xí)了不等關(guān)系，不等式的性質(zhì)以及幾類不等式的求解，學(xué)生對基本不等式有了初步的了解和應(yīng)用。在高考的層次上，我們需要更多的方法，更嚴謹?shù)膽?yīng)用。所以本節(jié)內(nèi)容變換靈活，應(yīng)用廣泛，條件有限制，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合類比轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。在用基本不等式解決最值時，學(xué)生往往容易忽視基本不等式使用的前提條件和等號成立的條件，因此，在教學(xué)過程中應(yīng)讓學(xué)生重點學(xué)習(xí)與掌握基本不等式成立的三個限制條件“一正二定三相等”在解決最值問題中的作用。三：教學(xué)目標設(shè)計進一步掌握基本不等式的變形，并能運用他們解決一些簡單的最值問題。思考生活中實際問題的解決方案，經(jīng)歷觀察分析歸納總結(jié)抽象概括等思維活動，培養(yǎng)分析問題解決問題的能力，體會數(shù)形結(jié)合類比代換等學(xué)習(xí)思想。學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看世界，用數(shù)學(xué)思維認知世界，養(yǎng)成善于思考的良好習(xí)慣。四：教學(xué)重點及難點教學(xué)重點：應(yīng)用基本不等式求最值教學(xué)難點：基本不等式的變形應(yīng)用，包括解決實際問題，求最值。五：教學(xué)方法設(shè)計提出問題啟發(fā)誘導(dǎo)，以學(xué)生為主體，以基本不等式為主線，從實際問題出發(fā)，放手讓學(xué)生探究思，講練結(jié)合，同時采用變式教學(xué)，鞏固應(yīng)用，加深理解，2.以現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件幾何畫板作為教學(xué)輔助手段直觀演示，不僅啟發(fā)思考，也加深學(xué)生對基本不等式的理解。六：教學(xué)過程設(shè)計結(jié)合上節(jié)課內(nèi)容理解基本不等式并掌握不等式應(yīng)用的條件和等號成立的條件，尤其是對等號成立時充要條件的理解。2.通過具有基本不等式結(jié)構(gòu)特點的例題進行練習(xí)，逐步引導(dǎo)學(xué)生運用基本不等式的變形如拼湊法（湊項，湊系數(shù)，分離等）解決實際問題及求最值。問題1：已知，求函數(shù)的最大值。分析引導(dǎo)：因，所以首先要“調(diào)整”符號，又不是常數(shù)，所以對要進行拆、湊項，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上式等號成立，故當(dāng)時，。設(shè)計意圖：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值，進一步加深對基本不等式成立的三個限制條件“一正二定三相等”的理解，同時為不等式的變形打開思路。問題2當(dāng)時，求的最大值。分析引導(dǎo)：由知，，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個系數(shù)即可。當(dāng)，即x＝2時取等號當(dāng)x＝2時，的最大值為8。設(shè)計意圖：對于無法直接運用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值的問題，體現(xiàn)了湊系數(shù)這一常用思維。變式：設(shè)，求函數(shù)的最大值。問題3.求的值域。解析一：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。當(dāng),即時,（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”號）。解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。當(dāng),即t=時,（當(dāng)t=2即x＝1時取“＝”號）。設(shè)計意圖：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用基本不等式來求最值。本題為拼湊進一步打開思路，考查了學(xué)生類比轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。問題4在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例4：求函數(shù)的值域。解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調(diào)性。因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域為。練習(xí)．求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時，x的值.（1）（2）(3)問題5當(dāng)多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。例5已知，且，求的最小值。錯解：，且故。錯因：解法中兩次連用基本不等式，在等號成立條件是，在等號成立條件是即,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用基本不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解：當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立，又，可得時，。設(shè)計意圖：本題是針對學(xué)生在應(yīng)用中常忽略的相等的條件必須要一致而設(shè)。先由學(xué)生展示自己的解答過程，再提出等號成立條件不一致時能否取到最值這一問題，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，從而去尋找解決問題的辦法。七：課堂小結(jié)：利用基本不等式求最值時，一定要清楚基本不等式總的指導(dǎo)思想：形式上符合（和