數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)總復(fù)習(xí)

西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一、緒論什么是數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)模型就是對(duì)于一個(gè)特定的對(duì)象為了一個(gè)特定目標(biāo)，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以是數(shù)學(xué)公式，算法、表格、圖示等。數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻劃并"解決"實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。數(shù)學(xué)建模需要一下幾方面的能力：數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力、計(jì)算機(jī)的運(yùn)用能力、論文的寫(xiě)作能力。

數(shù)學(xué)建模的特點(diǎn)

模型的逼真性和可行性：希望模型盡可能逼近研究對(duì)象，越逼真的模型越復(fù)雜，數(shù)學(xué)上有時(shí)難以處理，實(shí)用上不一定可行，通常要在逼真性與可行性之間做出折衷與抉擇；

模型的漸進(jìn)性：復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題的建模通常不可能一次完成，包括由簡(jiǎn)到繁，也包括由繁到簡(jiǎn)，以獲得滿意的數(shù)學(xué)模型；

模型的可轉(zhuǎn)移性：模型是現(xiàn)實(shí)對(duì)象的抽象化、理想化的產(chǎn)物，不為對(duì)象所屬領(lǐng)域所獨(dú)有，具有應(yīng)用的極端廣泛性；

模型的非預(yù)測(cè)性：建模本身是事先沒(méi)有答案的，在建模過(guò)程中有時(shí)會(huì)伴隨新的數(shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生；

除此之外，建模還具有條理性、局限性等。數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)

數(shù)學(xué)模型的分類1．依據(jù)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的了解程度可以分為：白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。2．依據(jù)模型中的變量特征可以分為：連續(xù)型模型、離散型模型或者確定性模型、隨機(jī)性模型等。3．依據(jù)建模中所用的數(shù)學(xué)方法可以分為：初等數(shù)學(xué)模型、微分方程模型、優(yōu)化模型、統(tǒng)計(jì)分析模型、控制論模型等。還有其他的不同分類方法。數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)

數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的步驟：1．模型的準(zhǔn)備：了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模的目的，搜集建模所需的各種信息（如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等），弄清研究對(duì)象的特征、機(jī)理等，由此初步確定用哪一類模型；2．問(wèn)題的假設(shè)：由于實(shí)際問(wèn)題比較復(fù)雜，直接建模比較困難，所以合理的假設(shè)可以簡(jiǎn)化建模的難度，但也不能過(guò)于簡(jiǎn)化，否則所得到的模型與實(shí)際問(wèn)題會(huì)有比較大的差異。合理的假設(shè)要符合客觀事實(shí)，又要有一定的依據(jù)。由于考慮問(wèn)題的視點(diǎn)不同，所作的簡(jiǎn)化假設(shè)不同，因而對(duì)同一問(wèn)題會(huì)得到不同的數(shù)學(xué)模型。作假設(shè)的依據(jù)，首先是出于對(duì)問(wèn)題內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識(shí)，其次是來(lái)自對(duì)數(shù)據(jù)、現(xiàn)象的分析，或者是二者的結(jié)合。數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)

3．模型的建立：主要說(shuō)明建模的思路與依據(jù)。充分表述自己的思路與所用到的依據(jù)，表述要簡(jiǎn)潔、清晰，論據(jù)要充分，推理及運(yùn)算要正確。4．模型的求解：對(duì)于已經(jīng)建立的模型給出一個(gè)正確的解答，應(yīng)用所學(xué)過(guò)的知識(shí)，也可以借助于計(jì)算機(jī)，并應(yīng)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)軟件等。5．模型分析：對(duì)模型求解進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，主要是進(jìn)行誤差分析、穩(wěn)定性分析及靈敏性分析等。6．模型的檢驗(yàn)與推廣：把數(shù)學(xué)上的分析結(jié)果“翻譯”回到實(shí)際問(wèn)題，并用實(shí)際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)與之比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。這是建模成敗的關(guān)鍵。模型檢驗(yàn)的結(jié)果如果不符合或者部分不符合實(shí)際，應(yīng)該對(duì)模型簡(jiǎn)化假設(shè)部分再做進(jìn)一步的修改、補(bǔ)充，重新建立模型。針對(duì)已經(jīng)建立的模型指出其優(yōu)點(diǎn)與不足，同時(shí)將模型改進(jìn)、推廣以適應(yīng)更大的應(yīng)用范圍。數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)

西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)二、MatlabMatlab繪圖二維plot函數(shù)格式

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例3圖

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3.圖形標(biāo)注說(shuō)明

為了對(duì)圖形進(jìn)行清晰的說(shuō)明，可以使用MATLAB標(biāo)注函數(shù)將標(biāo)題、坐標(biāo)軸標(biāo)記、網(wǎng)格線及文字注釋加注到圖形上。相關(guān)函數(shù)如下表所示。其中，axis的用法還有：

axis([xminxmaxyminymax])——用行向量中給出的值設(shè)定坐標(biāo)軸的最大和最小值。如axis([-2205])

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axis(equal)——將兩坐標(biāo)軸設(shè)為相等

axison(off)——顯示和關(guān)閉坐標(biāo)軸的標(biāo)記、標(biāo)志

axisauto——將坐標(biāo)軸設(shè)置返回自動(dòng)缺省值常用二維特殊圖形函數(shù)

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多圖形繪圖

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三維繪圖plot3函數(shù)plot3函數(shù)說(shuō)明plot3是函數(shù)plot的三維擴(kuò)展。使用格式與plot相似，二維圖形的所有基本特性對(duì)三維圖形全都適用，只是增加了一個(gè)維數(shù)而已。

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定義三維坐標(biāo)軸大小axis([xminxmaxyminymaxzminzmax])gridon(off)繪制三維網(wǎng)格

text(x,y,z,‘string’)三維圖形標(biāo)注子圖和多窗口也可以用到三維圖形中例1：用plot3(x,y,z)格式，繪制參數(shù)方程x=sin(t)，y=cos(t)，z=t。2.plot3函數(shù)舉例

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常用網(wǎng)圖函數(shù)函數(shù)meshgrid將給定的區(qū)域按一定的方式劃分成平面網(wǎng)格，該平面網(wǎng)格可以用來(lái)繪制三維曲面給定x軸的范圍，給定y軸的范圍，生成xoy平面內(nèi)的該區(qū)域劃分平面網(wǎng)格，給出網(wǎng)格點(diǎn)坐標(biāo)矩陣（同維），便于繼續(xù)計(jì)算xoy平面內(nèi)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的z坐標(biāo)。

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其他三維圖形函數(shù)MATLAB還提供了不少特殊的三維圖形函數(shù)，如下表所示。

西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)三、數(shù)學(xué)規(guī)劃模型線性規(guī)劃線性規(guī)劃的一般形式如下：(1.3)

數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)可以用向量矩陣形式表示上述優(yōu)化問(wèn)題。于是上述優(yōu)化問(wèn)題可表示成如下形式：數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)1.2.2線性規(guī)劃的MATLAB求解

在MATLAB優(yōu)化工具箱中，求解線性規(guī)劃的命令為linprog。對(duì)于形如(1.4)形式的線性規(guī)劃，linprog的調(diào)用格式為：[x,fval]=linprog(c,A,B,Aeq,Beq,lb,ub)其中輸出變量x為最優(yōu)解，fval為最優(yōu)值。

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數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)1.2.3線性規(guī)劃建模舉例

例6.某車(chē)間有甲、乙兩臺(tái)機(jī)床，可用于加工三種工件。假定這兩臺(tái)車(chē)床的可用臺(tái)時(shí)數(shù)分別為800和900，三種工件的數(shù)量分別為400、600和500，且已知用三種不同車(chē)床加工單位數(shù)量不同工件所需的臺(tái)時(shí)數(shù)和加工費(fèi)用如下表。問(wèn)怎樣分配車(chē)床的加工任務(wù)，才能既滿足加工工件的要求，又使加工費(fèi)用最低？

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數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)MATLAB求解程序如下：

c=[1391011128];A=[0.41.11000;0000.51.21.3];b=[800;900];Aeq=[eye(3)eye(3)];beq=[400600500]’;vb=zeros(6,1);[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vb)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)在最優(yōu)化模型中，若目標(biāo)函數(shù)或約束條件中至少有一個(gè)為非線性的，則稱這類模型為非線性規(guī)劃問(wèn)題。非線性規(guī)劃的一般形式如下：非線性規(guī)劃

數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)1.3.1無(wú)約束化問(wèn)題的MATLAB求解

求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題常用的MATLAB函數(shù)是fminunc，調(diào)用格式如下:

[x,fval,exitflag]=fminunc(FUN,x0)其中FUN為目標(biāo)函數(shù)，x0為初始值，x為最優(yōu)解，fval為最優(yōu)值，exitflag為算法終止標(biāo)志：若exitflag=1，則輸出的最優(yōu)結(jié)果可靠；若exitflag=0，則輸出的最優(yōu)結(jié)果不可靠。

數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)x=linspace(0,20);y=sin(x)./x;plot(x,y);xlabel('x');ylabel('y');title('sinc(x)');gridonsinc曲線如右圖所示：

數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)下面建立sinc函數(shù)文件：

functiony=sinc(x)y=sin(x)./x;初值x0分別取2和8，求最小值的命令為

[x1f1e1]=fminunc(@sinc,2);[x2f2e2]=fminunc(@sinc,8);輸出最優(yōu)解x1=4.4934,x2=10.9041,最優(yōu)值為f1=-0.2172,f2=-0.0913。由此可以看出：fminunc只能尋找到初值x0附近的局部最優(yōu)解。

數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)含約束化問(wèn)題的MATLAB求解

將非線性規(guī)劃(1.5)的約束按線性和非線分開(kāi)表示，則它可表示如下的標(biāo)準(zhǔn)型：

數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)用MATLAB求解上述問(wèn)題，基本步驟分三步：

1．首先建立M文件fun.m,用來(lái)定義目標(biāo)函數(shù)F(X):functionf=fun(X);f=F(X);2.若約束條件中有非線性約束:C(X)≤0或Ceq(X)=0,則建立M文件nonlcon.m定義函數(shù)C(X)與Ceq(X):function[C,Ceq]=nonlcon(X)C=…;Ceq=…;

數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)3．建立主程序.求解非線性規(guī)劃的函數(shù)是fmincon,命令的基本格式如下：

(1)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)(2)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)(3)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,lb,lu)(4)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,lb,lu,’nonlcon’)(5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,lb,lu,’nonlcon’,options)

(6)[x,fval]=fmincon(…)(7)[x,fval,exitflag]=fmincon(…)(8)[x,fval,exitflag,output]=fmincon(…)輸出極值點(diǎn)M文件迭代的初值變量上下限參數(shù)說(shuō)明

數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)因此，可用fmincon函數(shù)求解(1.6)，講義常用調(diào)用格式為：

[x,fval,exitflag]=fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,’nonlcon’)

數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)先將目標(biāo)函數(shù)表示為M文件：functionf=fun2(x)f=-x(1)*x(2)*x(3);

x0=[10;10;10];A=[-1-2-2;122];b=[0;72];[x,f]=fmincon(‘fun2’,x0,A,b)結(jié)果為x=[24.000012.000012.0000]，f=-3.4560e+003。數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)多目標(biāo)優(yōu)化模型及求解（了解）

多目標(biāo)優(yōu)化是在給定的約束范圍內(nèi)求多個(gè)目標(biāo)的最值，一般形式如下：數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)(1)

求解程序?yàn)椋篶=[-3-100]';A=[2-100];b=12;Aeq=[3310;4-401];beq=[30;16];lb=zeros(4,1);x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb)課后題：數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)解：對(duì)目標(biāo)函數(shù)建立M文件：functionf=ex2(x)f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);對(duì)非線性約束建立M文件：function[cceq]=ex2con(x)c=[1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10];ceq=[];主程序?yàn)?/p>

Aeq=[11];beq=0;x0=[1-1]';[xfvalexitflag]=fmincon(@ex2,x0,[],[],Aeq,beq,[],[],@ex2con)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)2、營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪。1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg的蛋白質(zhì)，0.14kg的脂肪，花費(fèi)28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg的蛋白質(zhì)，0.07kg的脂肪，花費(fèi)21元。為了滿足營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出的日常飲食要求，同時(shí)使花費(fèi)最低，需要同時(shí)食用食物A和食物B多少kg？數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)求解程序?yàn)閏=[2821];A=-[0.1050.105;0.070.14;0.140.07];b=-[0.075;0.06;0.06];x=linprog(c,A,b,[],[],[0;0],[]);最優(yōu)結(jié)果為：x=[0.14290.5714]’.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)3.某公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品。今已知上述三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品原材料消耗定額分別為4kg、4kg和5kg；三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品所需工時(shí)分別為6臺(tái)時(shí)、3臺(tái)時(shí)和6臺(tái)時(shí)。由于生產(chǎn)該三種產(chǎn)品的原材料和工時(shí)的供應(yīng)有一定限制，原材料每天只能供應(yīng)180kg，工時(shí)每天只有150臺(tái)時(shí)。另外，三種產(chǎn)品的利潤(rùn)分別為400元每件、250元每件和300元每件。試建立能獲得最大利潤(rùn)的優(yōu)化模型，并進(jìn)行求解。數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)求解程序?yàn)閏=-[400250300];A=[445;636];b=[180;150];[xf]=linprog(c,A,b,[],[],[000],[]);-f

西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)MATLAB優(yōu)化工具箱提供了求解0-1線性規(guī)劃的函數(shù)命令bintprog?？紤]如下形式的0-1線性規(guī)劃：0-1線性規(guī)劃的MATLAB求解

(3)bintprog調(diào)用格式為：

[x,z]=bintprog(c,A,b,Aeq,beq)四、整數(shù)規(guī)劃模型

西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)例4.求解解：c=-[9564]';

A=[6352;0011;-1010;0-101];

b=[9100]';

[xz]=bintprog(c,A,b)

西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2.2.3整數(shù)線性規(guī)劃的MATLAB求解

下面給出使用分支界定法求解整數(shù)線性規(guī)劃的MATLAB函數(shù)程序。function[x,fval,status]=intprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

globalIee=0.00001;I=[1:length(c)]ifnargin<7,ub=[];ifnargin<6,lb=[];ifnargin<5,beq=[];ifnargin<4,Aeq=[];end,end,end,end

西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)options=optimset('display','off');[x0,fval0,exitflag]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,[],options);ifexitflag<0disp('無(wú)整數(shù)解');x=x0;fval=fval0;status=exitflag;return;elsebound=inf;[x,fval,status]=branchbound(c,A,b,x0,fval0,bound,Aeq,beq,lb,ub);end

西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)%以下為子函數(shù)function[x_new,fval_new,status,bound_new]=branchbound(c,A,b,x,fval,bound,Aeq,beq,lb,ub)globalIeoptions=optimset('display','off');[x0,fval0,status0]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,[],options);ifstatus0<=0|fval0>=boundx_new=x;fval_new=fval;bound_new=bound;status=status0;return;end

西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)int_index=find(abs(x0(I)-round(x0(I)))>e);ifisempty(int_index)x_new(I)=round(x0(I));fval_new=fval0;bound_new=fval0;status=1;return;endn=I(int_index(1));addA=zeros(1,length(c));addA(n)=1;A=[A;addA];b=[b;floor(x(n))];[x1,fval1,status1,bound1]=branchbound(c,A,b,x0,fval0,bound,Aeq,beq,lb,ub);

西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)A(end,:)=[];b(end,:)=[];status=status1;ifstatus1>0&&bound1<boundx_new=x1;fval_new=fval1;bound=fval1;bound_new=bound1;elsex_new=x0;fval_new=fval0;bound_new=bound;EndA=[A;-addA];b=[b;-ceil(x(n))];[x2,fval2,status2,bound2]=branchbound(c,A,b,x0,fval0,bound,Aeq,beq,lb,ub);

西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)A(end,:)=[];b(end,:)=[];ifstatus2>0&&bound2<boundstatus=status2;x_new=x2;fval_new=fval2;bound_new=bound2;end

西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)例5.求解解：clearc=[13];A=[0-1;-22-34];b=-[3.13;285];lb=[0;0];[x,fval,status]=intprog(c,A,b,[],[],lb);[x,fval,status]=intprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)解：c=[3-25];A=[12-1;14-1;110;041];b=[2436]';

[xz]=bintprog(c,A,b)課后題：

西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)解：clearc=-[11-4];A=[112;11-1;-111];b=[924]';lb=[000];[x,fval,status]=intprog(c,A,b,[],[],lb);fval=-fval;

西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2.有一份中文說(shuō)明書(shū)，需翻譯成英、日、德、俄、法五種語(yǔ)言?，F(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人，他們用各種語(yǔ)言翻譯所用時(shí)間如下表，問(wèn)如何指派時(shí)間最少?

西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)該指派問(wèn)題的優(yōu)化模型為

西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)程序：Data=[382103;87297;64275;84235;9106910];c=Data(:);Aeq=zeros(10,25);fori=1:5Aeq(i,i:5:25)=1;Aeq(i+5,[1:5]+(i-1)*5)=1;endbeq=ones(10,1);[xfvalexitflag]=bintprog(c,[],[],Aeq,beq);reshape(x,5,5)西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)微分方程的MATLAB求解微分方程的解析解

在MATLAB中，求解微分方程(組)的函數(shù)是desolve，調(diào)用格式如下：

r=dsolve('eq1,eq2,...','cond1,cond2,...','v')或

r=dsolve('eq1','eq2',...,'cond1','cond2',...,'v')微分方程模型西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

解：命令為r=dsolve('Dy=a*x','x')

結(jié)果為r=1/2*a*x^2+C1。解：命令為r=dsolve('Dx=x+sin(t)','x(0)=1','t')

結(jié)果為r=-1/2*cos(t)-1/2*sin(t)+3/2*exp(t)。

其中eq1,eq2,…用來(lái)表示常微分方程(組)，cond1,cond2,…表示初始或邊界條件，v表示自變量，缺省時(shí)默認(rèn)為t。西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

解：命令為r=dsolve('D2y-Dy^2/y=0','y(0)=1','Dy(0)=2','x')結(jié)果為r=exp(2*x)。解：命令為[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=exp(2*t)','t')西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2.2微分方程的數(shù)值解

解含初始條件的常微分方程的MATLAB格式

[t,Y]=solver(‘odefun’,tspan,y0)其中，odefun表示以函數(shù)文件存儲(chǔ)的微分方程(不含初始條件)，tspan為二維向量，用來(lái)表示區(qū)間的起點(diǎn)和終點(diǎn)，y0表示自變量取tspan區(qū)間起點(diǎn)時(shí)的初始條件。solver指ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t和ode23tb七種求解方法中的一種。西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

例8.求下列微分方程解：先建立函數(shù)文件來(lái)表示微分方程：

functiondy=rigid(t,y)

dy=zeros(3,1);%dy應(yīng)為列向量

dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)再在腳本函數(shù)或命令窗口中輸入：[t,Y]=ode45(@rigid,[012],[011]);plot(t,Y(:,1),'ro-',t,Y(:,2),'g*:',t,Y(:,3),'bx--')xlabel('t','FontSize',15)legend('y_1','y_2','y_3',3)運(yùn)行后得右圖.西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

例9.求下列微分方程在t∈[0,3000]上的數(shù)值解，并繪出曲線。

解：先將上述高階微分方程轉(zhuǎn)化為下列微分方程組：西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)建立函數(shù)文件來(lái)表示微分方程：functiondy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);%dy應(yīng)為列向量dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);在腳本函數(shù)或命令窗口中輸入：[t,Y]=ode15s(@vdp1000,[03000],[01]);%ode45運(yùn)行時(shí)間較長(zhǎng)plot(t,Y(:,1),'r.-')xlabel('t','FontSize',15)運(yùn)行結(jié)果如右圖。西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)微分方程建模案例——人口預(yù)測(cè)模型3.1問(wèn)題提出

在當(dāng)前世界，人口問(wèn)題已成為人們所面對(duì)的最為嚴(yán)峻的問(wèn)題之一。較大的人口基數(shù)給自然生態(tài)、人類健康和人口素質(zhì)帶來(lái)的嚴(yán)重的影響。控制和預(yù)測(cè)人口數(shù)量是當(dāng)前人口問(wèn)題的核心問(wèn)題。表1給出了陜西省1955年至2010年每間隔5年的人口數(shù)據(jù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)模型，并預(yù)測(cè)2015年和2020年陜西省的總?cè)丝?。西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)3.2幾何模型西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)上述線性方程組的最小二乘解為：從而

西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)下面給出了求解r的MATLAB程序：pop=[1711.81954.22144.324272692.12831.43001.733163514 364437203735];u=mean(log(pop(2:end)/pop(1))./(1:length(pop)-1));r=exp(u)-1;繪制實(shí)際人口與預(yù)測(cè)人口對(duì)比圖、相對(duì)誤差圖的程序?yàn)椋篺igure(1)plot([0:11]*5+1955,pop,'ro-')popp=zeros(size(pop));popp(1)=pop(1);fori=2:length(pop)popp(i)=popp(i-1)*(1+r);end西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)holdonplot([0:11]*5+1955,popp,'gs:')xlabel('年份'),ylabel('人口(單位：萬(wàn))')legend('實(shí)際人口','預(yù)測(cè)人口',2)axis([1955201015005500])gridonfigure(2)plot([0:11]*5+1955,100*abs(popp-pop)./pop,'ro-')xlabel('年份')ylabel('相對(duì)誤差(%)')axis([19552010040])gridon西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖圖7幾何模型的實(shí)際與預(yù)測(cè)人口圖8幾何模型的相對(duì)誤差西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

從圖7和圖8可以看出，在前期，相對(duì)誤差較??；在后期相對(duì)誤差非常大，2010年的預(yù)測(cè)人口的相對(duì)誤差高達(dá)35.73%。因此，此模型不適合來(lái)預(yù)測(cè)2015年和2020年的人口。3.3指數(shù)模型西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)即因?yàn)樗钥山⒑跏紬l件的微分方程西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)求解上述微分方程得：

上述模型即為指數(shù)增長(zhǎng)模型，也稱為馬爾薩斯人口模型，它最早由英國(guó)人口學(xué)家馬爾薩斯在1798年提出。為了根據(jù)擬合方法求解參數(shù)r，對(duì)上述公式兩邊取對(duì)數(shù)：西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)MATLAB求解程序?yàn)椋? t=[0:11]';y=log(pop');pop0=pop(1);r=t\(y-log(pop0));下面分析指數(shù)增長(zhǎng)模型的性能，程序如下：tt=1955:5:2010;plot(tt,pop,'o-',tt,pop0*exp(r*t),'gs-','MarkerSize',10)xlabel('年份')

ylabel('人口(單位：萬(wàn))')legend('實(shí)際人口','預(yù)測(cè)人口',2)axis([1955201015004500])gridon西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)figure(2)plot(tt,100*abs(pop'-pop0*exp(r*t))./pop','ro-','MarkerSize',10)xlabel('年份')

ylabel('相對(duì)誤差(%)')axis([19552010020])gridon

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖9和圖10所示。從圖9可以看出：在多數(shù)時(shí)刻，預(yù)測(cè)模型都有稍大的誤差；從圖10可以看出：指數(shù)模型的相對(duì)誤差相對(duì)穩(wěn)定，最大值為16.35%，比幾何模型的相對(duì)誤差低很多。西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)圖9指數(shù)模型的實(shí)際與預(yù)測(cè)人口圖10指數(shù)模型的相對(duì)誤差西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)3.4阻滯增長(zhǎng)模型西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)于是建立下列微分方程：西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)則西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)附：x=0:0.01:1;dx=0.1*(1-x).*x;plot(x,dx,'-')axis([01.100.04])holdonplot(0.5*ones(1,26),0:0.001:0.025,'r:')text(0.5-0.03,-0.002,'x_m/2')text(1-0.03,-0.002,'x_m')text(1.1,-0.002,'x')text(0-0.01,0-0.001,'O')text(0-0.1,0.04,'dx/dt')%=======t=0:0.05:30;r=0.2237;x0=1711;xm=4310;x=xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*t));plot(t,x)axis([03204400])boxoffholdonplot(t,xm*ones(length(t)),'r:')西安建筑科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)functionx=fun(beta,t)x0=1711.8;x=beta(1)./(1+(beta(1)/x0-1)*exp(-beta(2)*t))