自適應(yīng)Chirplet時(shí)頻分析

自適應(yīng)Chirplet時(shí)頻分析單純的時(shí)域或頻域分析不能夠充分描述非平穩(wěn)信號(hào)，而時(shí)頻分析提供了信號(hào)的頻譜內(nèi)容隨時(shí)間變化的信息，是非平穩(wěn)信號(hào)分析的有力工具。關(guān)鍵詞:傅立葉變換；時(shí)頻分析；匹配追蹤；小波基；自適應(yīng)分解0引言通常的信號(hào)分析與處理是在幅值、時(shí)間、頻率等域進(jìn)行的。傅立葉變換建立了信號(hào)從時(shí)域到頻域的映射，經(jīng)過一百多年的發(fā)展，以傅立葉變換為基礎(chǔ)的信號(hào)處理方法如幅值譜、功率譜、倒頻譜分析等已經(jīng)成為信號(hào)分析與處理的重要工具。但上述研究都是在傳統(tǒng)的時(shí)域分析和頻域分析的領(lǐng)域內(nèi)進(jìn)行的，而頻域分析中所用的頻譜分析、功率譜分析等都是假設(shè)信號(hào)為平穩(wěn)信號(hào)。雖然傅立葉變換建立了從時(shí)域到頻域的映射，但它并沒有將時(shí)域和頻域合成一個(gè)域，這樣，時(shí)域圖上無法確定任意時(shí)間點(diǎn)頻率分量的局部信息，同樣，頻域圖上也無法確定任意頻率處其譜分量的時(shí)間局部化信息。傅里葉(Fourier)分析對(duì)處理傳統(tǒng)的包含線性、高斯性和平穩(wěn)性假設(shè)條件的信號(hào)是非常有效的。然而，隨著研究的深入，具有非平穩(wěn)、非線性、非高斯等特殊特征的信號(hào)逐漸成為現(xiàn)代信號(hào)處理技術(shù)要面臨的主要對(duì)象，為了解決非平穩(wěn)信號(hào)的分析問題，時(shí)頻聯(lián)合分析(簡稱時(shí)頻分析)方法應(yīng)運(yùn)而生，時(shí)頻分析(TimeFrequencyAnalysisTFA)是處理非平穩(wěn)信號(hào)的重要工具，它在時(shí)頻域一維平面上揭示時(shí)變信號(hào)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，其著眼于真實(shí)信號(hào)組成成分的時(shí)變特征，將一個(gè)一維時(shí)間信號(hào)以二維的時(shí)間－頻率密度函數(shù)的形式表示出來，旨在揭示信號(hào)中包含了多少頻率分量，以及每個(gè)分量隨時(shí)間變化的特性。1946年D.Gabor提出的著名Gabor變換為時(shí)頻分析奠定了理論基礎(chǔ)⑴。1947年P(guān).K.Potter等提出的短時(shí)Fourier變換［2］(STFT)則是一種更為實(shí)用的時(shí)頻分析方法，并將其絕對(duì)值的平方定義為譜圖，使其成為非平穩(wěn)信號(hào)分析的強(qiáng)有力工具。1948年，法國學(xué)者J.Vi1le將物理學(xué)家EPWigner在1932年提出的Wigner分布［3］引入到信號(hào)處理領(lǐng)域，由于其優(yōu)良的邊緣特性及局部能量匯聚特性，成為時(shí)頻分析中最重要的工具之一。1匹配追蹤和自適應(yīng)分解匹配追蹤和自適應(yīng)分解是基于完全不同的思路提出的時(shí)頻分析方法。匹配追蹤是由Mallot和Zhang提出的［7］，目的是對(duì)信號(hào)進(jìn)行最優(yōu)化的小波分解。傳統(tǒng)的二進(jìn)小波分解將時(shí)頻平面機(jī)械地劃分成一組規(guī)則的時(shí)頻區(qū)域，將信號(hào)在各個(gè)不同區(qū)域進(jìn)行投影，所得到的分布并不是最優(yōu)的，一旦母小波選定則小波分析在每個(gè)頻率段的分辨率即成為固定值。匹配追蹤則采用優(yōu)化搜索算法，每次在一個(gè)“字典”中搜索與信號(hào)局部特征最佳匹配的小波，得到其尺度變換和平移參數(shù)，并將其從信號(hào)中去除。雖然匹配追蹤算法不是正交的，但是每一次搜索都是保持能量收斂的，經(jīng)過多次搜索能量收斂之后，就得到一個(gè)小波函數(shù)的集合，該集合就是信號(hào)的一個(gè)時(shí)頻分解。匹配追蹤類似于統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)中的投影追蹤算法［8］，被分析函數(shù)向詞典中的每一個(gè)函數(shù)進(jìn)行投影，選擇投影分量最大，匹配最優(yōu)的函數(shù)參數(shù)作為分解參數(shù)，然后將搜索到的函數(shù)從被分析函數(shù)中去除。從時(shí)頻分析核函數(shù)的角度來看，匹配追蹤所用的詞典是由小波基函數(shù)通過不同的時(shí)移和尺度變換得到的，而小波基函數(shù)可以看作單載頻正弦(或余弦)波的一部分。復(fù)正弦波和小波的二維螺旋和時(shí)頻分布分別如圖1a-圖1d所示，可以直觀地看出：小波基的時(shí)頻匯聚性能和波相比有了極大的提高;無限長的正弦波占據(jù)了整個(gè)時(shí)間軸，其頻率分辨率為無窮大，但是沒有任何的時(shí)間分辨率;通過不同時(shí)間延遲、頻率中心和尺度變換小波基對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解，就可以得到信號(hào)不同頻率成分隨著時(shí)間的變化規(guī)律。

0 0.20.40.60.81.(時(shí)間/s0.2,抹o-TA0.2-0.2.

d0.5

時(shí)間/sc.小波0.2,抹o-TA0.2-0.2.

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時(shí)間/sc.小波L0-0'27s?peJ)aM0.20.40.60.81.0

時(shí)間/sd.小波的時(shí)頻分布圖1匹配追蹤算法對(duì)信號(hào)的分解可以看作是在時(shí)頻平面上用不同的小波基函數(shù)對(duì)信號(hào)局部特征進(jìn)行近似。匹配追蹤算法每次搜索基函數(shù)均要對(duì)詞典中每一個(gè)基函數(shù)都進(jìn)行一遍匹配計(jì)算，顯然其運(yùn)算量是相當(dāng)大的，很難應(yīng)用到實(shí)時(shí)信號(hào)處理中。幾乎同一時(shí)期，Qian也從另外的角度提出了自適應(yīng)分解理論[9-10]，提出了搜索基函數(shù)的代價(jià)函數(shù)，并采用自適應(yīng)搜索高斯基函數(shù)參數(shù)的方法實(shí)現(xiàn)信號(hào)的自適應(yīng)分解，可以說至此才有了真正意義上的信號(hào)自適應(yīng)分解算法。雖然自適應(yīng)分解算法采用的基函數(shù)和匹配追蹤算法采用的基函數(shù)是相同的，但是其不僅避開了構(gòu)造基函數(shù)詞典所需的運(yùn)算量，并目從真正意義上自適應(yīng)計(jì)算基函數(shù)的參數(shù)，從運(yùn)算速度和自適應(yīng)程度上都有了前所未有的提高。匹配追蹤算法和上述的自適應(yīng)分解算法的共同缺點(diǎn)是:它們處理調(diào)頻類信號(hào)缺乏足夠的能力。匹配追蹤和自適應(yīng)分解算法中基函數(shù)對(duì)被分析信號(hào)的擬合均是對(duì)信號(hào)的零階近似采用時(shí)頻譜在時(shí)頻平面上平行于時(shí)間軸的一系列基函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解。由于基函數(shù)中缺乏調(diào)頻信息，處理調(diào)頻類信號(hào)時(shí)產(chǎn)生太多的截?cái)嗪驼`差，給調(diào)頻類信號(hào)的參數(shù)化分解帶來了巨大困難。為了處理現(xiàn)實(shí)世界中大量具有調(diào)頻特性的信號(hào)，在后續(xù)的研究中將基元函數(shù)擴(kuò)展為高斯包絡(luò)線性調(diào)頻信號(hào)(Chirplet)[11],其為高斯包絡(luò)波(選擇高斯包絡(luò)信號(hào)作為參數(shù)化處理的基函數(shù)是因?yàn)楦咚购瘮?shù)在時(shí)頻平面上具有最佳時(shí)頻匯聚特性,其時(shí)寬-帶寬積達(dá)到Heisenberg測不準(zhǔn)原理的下限)信號(hào)加頻率調(diào)制后的產(chǎn)物。高斯包絡(luò)波(Gabor小波)的表達(dá)式為(1)a(1)ke~(ak/2)(t~tk)2ej^k(t_'k)兀式中：j1；jt是chirplet的時(shí)間中心；f為頻率中心，a以(t,w)為時(shí)頻中k k kkk心，在時(shí)間軸上的展開寬度。通過加入頻率調(diào)制并保持單位能量得到Chirplet其表達(dá)式為(2)g(t)j：豐exp卜寧(t_tk)2+[jwk+占(t_卩(t_tk)

(2)式中:0調(diào)頻斜率。通過調(diào)頻項(xiàng)的加入，在保持了高斯包絡(luò)基良好的時(shí)頻匯聚性能的k同時(shí)，極大地提高了信號(hào)變換的靈活性。復(fù)調(diào)頻和Chirp1et信號(hào)的二維螺旋及其時(shí)頻分布分別如圖2a,b,c,d所示。a.調(diào)頻信號(hào)-3a.調(diào)頻信號(hào)00.20.40.60.81.0

時(shí)間/sb.調(diào)頻信號(hào)的時(shí)頻分布(TS?PE」)裕聚32100(TS?PE」)裕聚3210d.高斯chirplet的時(shí)頻分布圖2匹配追蹤算法和自適應(yīng)分解算法在本質(zhì)上是一致的，其日的均是要尋找最佳匹配信號(hào)特征的函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解，在算法的實(shí)現(xiàn)步驟上也很類似。自適應(yīng)分解的思路是逐個(gè)搜索信號(hào)包含的最優(yōu)基元函數(shù)，通過按照一定規(guī)律循環(huán)搜索基函數(shù)參數(shù)，并且每循環(huán)一次都要計(jì)算新的參數(shù)形成和剩余信號(hào)的匹配程度。1992-1994年，Qian和Chen提出了信號(hào)的自適應(yīng)Gauss基表示，研究了高斯基集上的信號(hào)分解，與此同時(shí)，Mallat提出的匹配追蹤自適應(yīng)分解也是考慮了時(shí)移、頻移和尺度變化的參數(shù)，取得了優(yōu)于常規(guī)時(shí)頻分析的效果。根據(jù)信號(hào)的不同特點(diǎn)，按照與信號(hào)最為匹配的原則來自適應(yīng)分解信號(hào)方法的關(guān)鍵，是如何自適應(yīng)設(shè)計(jì)最佳的基函數(shù)，這等價(jià)于如何準(zhǔn)確估計(jì)基函數(shù)中相應(yīng)的參數(shù)，因而，采用這類方法進(jìn)行信號(hào)分解，其分解效果的優(yōu)劣，將更多地取決于基函數(shù)參數(shù)估計(jì)算法的有效性及準(zhǔn)確性。2自適應(yīng)Chirplet的信號(hào)分解Chirplet基函數(shù)集合構(gòu)成了L2(R)空間的完備集合，根據(jù)信號(hào)分解原理，可以將該空間中的任何信號(hào)自適應(yīng)分解到相應(yīng)的該類基函數(shù)上，雖然Chirplet基函數(shù)不能構(gòu)成正交基，但仍然可以使用最大投影匹配原理逐步遞推分解,將信號(hào)展開為一系列Chirplet加權(quán)和的形式,即：x(t) ag(t)+x(t) (3)iY; qi=0其中，X(t)為分解q次后的殘余信號(hào)，i為自適應(yīng)分解的序號(hào)，第i步分解所得的qChirplet基函數(shù)g(t)，Y=(t,①，c,P)，殘余信號(hào)x(t):Yi i CiCiii i+1x(t)二x(t)—ag(t)i+1 i ii當(dāng)分解次數(shù)i=0時(shí)，x(t)=x(t)，第i步分解所得的匹配系數(shù)a是信號(hào)x'(t)與基函i數(shù)g(t)之間的內(nèi)積，即:(5)i(5)axx(t),g(t)〉

iii=J+8x(t)g*(t)dt—8i Vi該算法的主要任務(wù)是求解最佳的Chirplet參數(shù)，自適應(yīng)地構(gòu)造基函數(shù)g(t)，使信號(hào)i殘余：Ilx(t)||2=J+8殘余：Ilx(t)||2=J+8x(t)x*(t)dt

i+1 —8i+1 i+1達(dá)到最小，雖然Chirplet構(gòu)成的基函數(shù)不一定正交，但最大投影分解原理保證每分解的余量與該步投影的基函數(shù)是正交的/因而min||x(t)||gVi(t) i+因基函數(shù)具有單位能量，即2二mini+1 1gin|k(t)|F—ag(t)『” iVii(t)E=|gYi(t)lf(6)(7)(8)iH.步故式故式()等價(jià)于：maxag汕」|2=maxgi(t)Jmaxag汕」|2=maxgi(t)J+?x(t)g*(t)dtI—V(9)二max<x(t),g(t)>tci,Oci5ci5卩i基于Chirplet的自適應(yīng)信號(hào)分解過程可總結(jié)如下:初始化，確定精度要求￡或最大分解次數(shù)N。對(duì)信號(hào)殘量，確定最匹配的Chirplet基函數(shù)，滿足：iL-max<x(t),g(t)>(10)(3)計(jì)算匹配系數(shù)a:iai=<響)，豊(t)>(11)(4)計(jì)算殘余信號(hào)x(t)二x(t)—ag(t)i+1 i i(5)判斷是否滿足迭代中止條件(14)若條件滿足，則中止，否則，轉(zhuǎn)至步驟(2)，繼續(xù)下一次分解。從上述分解過程可見，自適應(yīng)匹配投影分解的目的，在于將待分析的信號(hào)展開成一系列基函數(shù)的線性組合，其中這些基函數(shù)是根據(jù)投影能量為最大的準(zhǔn)則，從一個(gè)包含這些基函數(shù)的冗余的基函數(shù)集中挑選出來的。Chirplet自適應(yīng)分解中尋找最佳基函數(shù)的問題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)全局優(yōu)化問題。式可見它是一個(gè)四參數(shù)的多維非線性優(yōu)化問題，通常沒有解析形式的解，也不能通過一次全平面的搜索找到最佳投影基，而只能按照一定的搜索策略，進(jìn)行一系列的一維或多維搜索來逼近這個(gè)最佳基。3自適應(yīng)chirplet分解的時(shí)頻分析性能測試信號(hào)由三個(gè)線性調(diào)頻高斯信號(hào)組成，采樣點(diǎn)數(shù)為128,信號(hào)各參數(shù)真值見表1。表l三個(gè)線性調(diào)頻信號(hào)的參數(shù)真值系數(shù)a時(shí)間中心tc頻率中心①c調(diào)頻率卩尺度因子c1540.150.049101700.15-0.049101.2600.4014對(duì)測試信號(hào)進(jìn)行自適應(yīng)Chirplet分解，經(jīng)過三次分解后，得到的匹配參數(shù)以及殘余能量分別見表2、表3。表2測試信號(hào)自適應(yīng)分解后的參數(shù)值系數(shù)a時(shí)間中心tc頻率中心①c調(diào)頻率卩尺度因子c1.002954.05300.15040.049110.00201.200260.00000.4002014.00600.998870.02000.1499-0.049110.0020表3測試信號(hào)自適應(yīng)分解過程能量值(單位:卩m2)原信號(hào)能量第一次分解后殘余能量第二次分解后殘余能量第三次分解后殘余能量三次分解后殘余能量與原信號(hào)能量比3.88882.28550.89721.3e-53.5e-6對(duì)比表1、2可見，與參數(shù)真值對(duì)比，本文方法分解后的三個(gè)信號(hào)分量參數(shù)估計(jì)值的精度都很高，經(jīng)過三次自適應(yīng)分解后，殘余信號(hào)的能量已經(jīng)非常小，殘余信號(hào)能量與原信號(hào)能量比已經(jīng)小至3.5e-6。為了與常用時(shí)頻分布相對(duì)比，下面圖3分別給出了上述測試信號(hào)的時(shí)域圖，短時(shí)傅立葉變換圖，wigner分布圖以及自適應(yīng)時(shí)頻分布圖。(a)測試信號(hào)044-37-10ao.aa#黛芒—s20I.(a)測試信號(hào)044-37-10ao.aa#黛芒—s20I.\80201—00S

間

B.A20 40 60 80 100120時(shí)間S0.20.120 40 60 80 100120時(shí)間S(b)短時(shí)傅立葉變換(c)Wigner分布(d)自適應(yīng)Chirplet分解圖3測試信號(hào)的時(shí)頻分析對(duì)比從圖3可以看出自適應(yīng)Chirplet分析方法的優(yōu)越之處，它既消除了干擾項(xiàng)，又保留了wigner分布良好的時(shí)頻聚集性，從而具有最好的時(shí)頻分辨率?？乖胄阅苎芯咳匀皇褂蒙厦娴慕M合仿真信號(hào)，加入信噪比為ldB的白噪聲，自適應(yīng)分解后各參數(shù)值如表4、5。表4染噪的測試信號(hào)自適應(yīng)分解后的參數(shù)值系數(shù)a時(shí)間中心tc頻率中心?c調(diào)頻率0尺度因子c1.080672.25200.1284-0.04368.0521.266255.42300.39800.000913.3651.125453.72300.14420.04486.8199表5染噪的測試信號(hào)自適應(yīng)分解過程能量值(單位:卩m2)原信號(hào)能量第一次分解后殘余能量第二次分解后殘余能量第三次分解后殘余能量三次分解后殘余能量與原信號(hào)能量比8.96107.23285.68824.52280.5047從表4、5可見，由于加入了較高能量的噪聲，信號(hào)的信噪比較低，致使自適應(yīng)分解過程受噪聲的影響估計(jì)精度有所下降，表5中三次分解后殘余能量與原來染噪信號(hào)能量比為0.5047，雖然該數(shù)值較大，但并不是說分解效果不好，該數(shù)值較大的主要原因是因?yàn)樾盘?hào)中噪聲比較大，在分解過程中，逐次將信號(hào)分量一一從信號(hào)中分解出來，噪聲就留在了最后的殘余信號(hào)中，這也正是自適應(yīng)Chirplet算法的優(yōu)點(diǎn)之一?？傮w分解結(jié)果的時(shí)頻分析見圖6

43210o.aaaMils槪棗&—L/i4U2080001—43210o.aaaMils槪棗&—L/i4U2080001—20^1圖4染噪聲后的測試信號(hào)的時(shí)頻分析對(duì)比從圖4可見在較低的信噪比時(shí)，信號(hào)的Wigner時(shí)頻分布圖已經(jīng)完全模糊，而自適應(yīng)Chirplet分析方法仍能取得良好的時(shí)頻分析效果。上述試驗(yàn)的信號(hào)類型與基函數(shù)類型相同，自適應(yīng)分解結(jié)果較好的證明了該方法對(duì)該類信號(hào)的有效性，當(dāng)信號(hào)與基函數(shù)類型不匹配時(shí)，該方法分解的結(jié)果又如何呢?下面分別對(duì)一正弦信號(hào)和一沖擊信號(hào)應(yīng)用了本文方法，原信號(hào)及分解后的時(shí)頻圖見圖5、圖6。圖5中的單一正弦信號(hào)經(jīng)過本文方法的自適應(yīng)分解后，由于分解后得到的是具有高斯調(diào)幅的基函數(shù)因而分解后信號(hào)的包絡(luò)形狀會(huì)有所變化，在時(shí)頻中心點(diǎn)處強(qiáng)度較大，這是由于基函數(shù)的特點(diǎn)而形成的，但時(shí)頻分布在結(jié)構(gòu)上仍能充分反映原信號(hào)的時(shí)間一頻率特性。圖6也很好的反映了原脈沖信號(hào)的時(shí)