超級畫板《動態(tài)幾何教程》4解析幾何

第四篇解析幾何幾何和代數(shù)攜起手來，兩者都變得更加豐富多彩，解析幾何就此誕生。《超級畫板》動態(tài)作圖功能的原理，正是來自解析幾何。在《超級畫板》的免費版本中，文本作圖對解析幾何的支持相當全面。有關坐標點，圓錐曲線，參數(shù)方程表達的曲線以及極坐標下的點與曲線的作圖，可謂應有盡有。這些功能的使用方法都是直來直去，無需技巧。因此，本篇的例子更著重于數(shù)學上的理解和設計，而不是軟件的操作。一直線的斜率和方程用數(shù)據(jù)（坐標）來表示事物（點）的位置，這比較容易想到。人們在觀測星象和航海活動中，早就用了這種方法。真正不平凡的思想，是用方程來表示曲線。有了用方程表示曲線的想法，解析幾何也就應運而生了。解析幾何入門的最重要的一步，就是記著和理解這件事：所有坐標滿足某個方程的點的集合，就是該方程的曲線。也就是說：一方面，曲線上的點的坐標都滿足曲線的方程；另一方面，坐標滿足方程的點都在曲線上。最簡單的二元方程是二元一次方程，二元一次方程的曲線是直線。在學習解析幾何之前先學過一次函數(shù)，一次函數(shù)可以看成是二元一次函數(shù)的特款。知道一次函數(shù)的圖像是直線，就不難理解二元一次方程的曲線是直線了。打開本書配套資源中的文件4-1直線和方程,如圖4-1。圖4-1在圖4-1中畫出了方程為y=kx+b的直線。拖動y軸上的點B可以改變截距b，拖動變量尺上的滑鈕可以改變斜率k。點A是直線上的任意點，點C是平面上的任意點。圖上顯示了點A和點C的坐標的測量數(shù)據(jù)，并顯示出分別將兩點坐標代入表達式y(tǒng)-(kx+b)的計算結果。直線上的點A的坐標總能使表達式為0，即滿足直線的方程。當點C在直線之外時，其坐標代入后的計算結果不為0；當點C接近直線時，計算結果接近于0。細心觀察還可以發(fā)現(xiàn)，點C在直線的一側時，該表達式計算結果為負，在直線另一側時為正。從左方工作區(qū)，按對象編號可以了解到制作過程大體如下（其中的對象編號和測量數(shù)據(jù)名保持和文件一致。由于文件制作過程可能有修改，可能和你作的不同）：執(zhí)行文本作圖命令Variable(k,);作出參數(shù)k的變量尺；執(zhí)行文本作圖命令Point(0,b,,b,,);作出點B,編號為6；執(zhí)行文本作圖命令LineOfPointSlope(6,k,);過B作斜率為k的直線；作自由點C,編號為8;執(zhí)行文本作圖命令MeasureXCoor(8);測量出點C的x坐標m001；執(zhí)行文本作圖命令MeasureYCoor(8);測量出點C的y坐標m003；執(zhí)行菜單命令“測量|測量表達式”，測量出m003-(k*m001+b),命名為“YC-(kXC+b)”；同7測量出b和k的值；在直線上取點A，同5、6測出點A的x、y坐標m008和m009；同7測量出m009-(k*m008+b),命名為“YA-(kXA+b)”；剩下的工作是添加標題和說明以及設置顏色等，從略。直線的斜率是一個重要的參數(shù)。下面這個有趣的例子，可加深對斜率的印象。圖4-2是文件4-2圖形的重組打開時的界面。圖4-2按照圖上的說明啟動左邊5個紅色按鈕所控制的動畫，圖形會重新組合，如圖4-3。圖4-3這時，奇怪的現(xiàn)象出現(xiàn)了。本來應當鋪滿的直角三角形內部卻有一個洞！要弄清真相，可以單擊“顯示真相”按鈕，并且讓坐標網格顯示出來，如圖4-4。圖4-4原來，兩個綠色直角三角形的斜邊不在直線BO上！這樣組合的圖形比直角三角形ABO多出了一小條。啟動右邊5個按鈕所控制的動畫讓圖形還原，如圖4-5。圖4-5這樣組合得到的圖形比直角三角形ABO少了一小條。一多一少，一個洞就出來了。借助坐標網格看出，直角三角形ABO的斜邊BO的斜率為8/13；但較大的綠色三角形的斜邊的斜率為5/8；較小的綠色三角形的斜邊的斜率為3/5。兩條斜邊的斜率不同，怎么能在一條直線上呢？這個文件中的動畫并不難做，所用的方法和前面用剪拼說明勾股定理的方法相同。這里就不列出了。[習題4-1]模仿文件4-1直線和方程的第2頁，作一個圓心為網格點并且經過網格點的圓；寫出圓的標準方程；作一個自由點并在圓周上取一點，測量兩點的坐標并代入圓的方程進行檢驗。如圖4-6。圖4-6二橢圓和雙曲線的生成在多數(shù)的中學教科書中，橢圓的基本定義，是到兩定點的距離之和為定值的點的軌跡。把這個定義中的和改為差，就成了雙曲線的定義。使用超級畫板的智能畫筆功能，很容易做出演示按定義生成橢圓過程的動畫。在文件“4-3橢圓和雙曲線的生成.zjz”中可以看出作圖的過程。如圖4-7，以A為心過B作圓，在圓內取一點C,在圓上取一點D；連接線段AD、CD,作CD的中點E；過E作CD的垂線交AD于F。因為F在CD的中垂線上，故CF=DF,因而AF+CF=AF+DF=AD=AB；這表明F到A、C兩點距離之和等于圓的半徑。容易證明，當D在圓上運動時，點F的軌跡是以A、C為焦點，以圓半徑為長軸的橢圓。圖4-7選擇點D并單擊右鍵，在右鍵菜單中單擊“動畫”，作出點D的動畫按鈕。再選擇點F并單擊右鍵，在右鍵菜單中單擊“跟蹤”對點F進行跟蹤。這時若啟動動畫，點F的蹤跡畫出一個橢圓。把點C拖到圓外，再啟動動畫，則點F的蹤跡畫出雙曲線的兩支，如圖4-8.圖4-8拖動點B改變圓的大小，拖動點C改變兩焦點的距離，就可以改變橢圓或雙曲線的形狀。但是每次都要重新啟動動畫讓點F的蹤跡來華曲線。要想及時地觀察到曲線隨著點B、C變化的情形，可以作出點F的軌跡。注意到點D的編號為10，點F的編號為14，調用“動畫、跟蹤和軌跡”類的文本作圖命令Locus(10,,14);運行后生成點F的軌跡，如圖4-9。圖4-9拖動點C，F(xiàn)的軌跡隨著變化。點C由圓外運動到圓內，點F的軌跡就由雙曲線變?yōu)闄E圓。但是，當點F接近圓周時，軌跡曲線畫得不準確，如圖4-10。圖4-10這是因為軌跡設置中的頻率太低了。鼠標指著軌跡曲線單擊右鍵，在右鍵菜單中單擊“屬性”打開軌跡的屬性對話框，把軌跡的基本頻率從50改為1000，單擊“確定”關閉對話框。再看軌跡曲線，是不是好看了？橢圓的畫法很多，在互聯(lián)網上用百度搜索“橢圓畫法”就能搜索很多相關資料。熟練掌握橢圓的多種，對于幫助學生理解橢圓的定義以及解答一些問題都是很有幫助的。很多老師上引入橢圓新課,都是用一根細繩,然后叫一個同學上去幫忙按住繩子兩端,使細繩處于繃緊伏態(tài)，老師移動粉筆，畫出橢圓圖形。這種引入方法運用十分廣泛,也相當經典,但這種方法也還存在一些問題:當學生按住繩子兩端時,老師移動粉筆并不是很方便,加上橢圓是曲線圖形,很容易發(fā)生走形。特別地,對“動點到兩定點的距離之和要大于兩定點的距離”這一教學難點難以講解透徹。但當運用《超級畫板》時,既可以繼承優(yōu)點,又能解決所存在問題。如圖4-11,我們用用AB線段代替細繩,用AB上一動點C代替老師的手,用D、E兩點代替原來要學生幫忙按住的那兩點,用F、G兩點來代替老師手里的粉筆。這樣,在實現(xiàn)教學手段現(xiàn)代化的同時,經典的教學模式得到了繼承。如圖4-12,任意拖動點E,使得DE長度大于AB長度,此時兩圓不相交,FG兩點不存在,“粉筆”都不在了,又怎么還能畫出橢圓呢?這就詼諧地講解了在構造橢圓的時候,為什么要求“動點到兩定點的距離之和要大于兩定點的距離”,對此學生的記憶肯定也是相當深刻的。圖4-11圖4-12利用超級畫板引入橢圓定義與傳統(tǒng)作法引入橢圓定義,本質上是一致的,但由于傳統(tǒng)的教學手段落后,只能采取“粉筆加黑板”的靜態(tài)形式。老師上課時，當說到“在平面上任取一點”時，在黑板上畫出的點卻永遠是固定的。所謂“任意一點”在許多時候只不過是出現(xiàn)在老師自己的頭腦中而已,而超級畫板就可以讓“任意一點”隨意運動，使它更容易為學生所理解。所以，可以把超級畫板看成是一塊“動態(tài)的黑板”,超級畫板的這種特性有助于幫助學生在圖形的變化中把握不變的幾何規(guī)律，深入幾何的精髓。這是其它教學手段所不可能做到的，真正體現(xiàn)了超級畫板的優(yōu)勢。對于一個幾何圖形來說，我們可以把它的各元素之間的位置關系看做是處在變化的相互依存的狀態(tài)之中，這種狀態(tài)我們稱之為幾何動態(tài)。靜是相對的，動是絕對的；變即寓于不變之中。用動態(tài)觀點去看待幾何圖形,才能真正揭示事物的性質、規(guī)律、事物之間的內在聯(lián)系。如果將點C在線段AB的延長線上拖動，則會生成雙曲線（圖4-13）。參見文件“4-4橢圓的引入.zjz”。圖4-13（2002年高考題）已知橢圓的焦點是、，P是橢圓上的一個動點，如果延長到Q，使得，則動點Q的軌跡是………………（）圓（B）橢圓（C）雙曲線的一支（D）拋物線用智能畫筆任意作出A、B、C三點；調用文本命令“EllipseOfFocusPoint(5,6,7,);”，生成一個橢圓，點A、B為焦點，C為決定橢圓大小與形狀的點；在橢圓上任取點D（異于點C），連接AD，BD；以D為圓心，BD為半徑作圓；延長AD使之與圓交于點E；調用文本命令“Locus(9,13);”，作出軌跡。其中9是主動點D的編號，13是從動點E的編號。圖4-14證明：（2a為橢圓長軸長，為定值），所以點E的軌跡是以點A為圓心，2a為半徑的圓。（2005年高考題）已知橢圓的左、右焦點分別是、，點Q是橢圓外的一個動點，滿足，點P是線段與該橢圓的交點，點T在線段上，并且滿足，。求點T的軌跡方程。調用文本命令“ConicOfEquation(x^2/a^2+y^2/b^2=1,);”，生成一個橢圓；調用文本命令“ConicLeftFocus(5,);ConicRightFocus(5,);”，生成橢圓的兩個焦點；由于當前的取值a與b比較接近，且，所以橢圓接近于圓，且焦點在y軸上；調用文本命令“Variable(a,);Variable(b,);”，生成兩把變量尺，調節(jié)a，b的當前值，使得；調用文本命令“CircleOfRadius(6,2*a,);”，作出以點A為圓心，2a為半徑的圓；連接AC交橢圓于點D，作交BC于E；調用文本命令“Locus(11,15);”，作出軌跡。其中11是主動點C的編號，15是從動點E的編號。圖4-15證明：（2a為橢圓長軸長，為定值），即，△BDC為等腰三角形；DE既是三角形底邊的高又是底邊的中線，所以點E為BC中點；（定值），所以點E的軌跡是以點O為圓心，a為半徑的圓。以上兩道高考題參看“4-5橢圓高考題.zjz”。[習題4-2]用文本作圖命令作坐標點A=(a*sin(t),b*cos(t)),設置拖動參數(shù)為t；再用文本作圖命令作點A的軌跡(橢圓)和a、b的變量尺。用類似的方法作雙曲線（參看文件“4-3橢圓和雙曲線的生成.zjz”的第二頁）。三拋物線的生成按定義，拋物線是到一定點和一定直線距離相等的點的軌跡。定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線。本書配套資源中的文件的“4-6拋物線的生成.zjz”中的動畫，展示了按此定義生成拋物線的過程，如圖4-16。操作步驟很簡單。使用畫筆，作線段AB，在直線AB外取一點C,在直線AB上取一點D；過D作AB的垂線DE，連線段CD,作CD的中點F；過F作CD的垂線和直線DE交于G。右鍵單擊線段AB，在右鍵菜單中單擊“屬性”打開其屬性對話框，將類型設置為直線；類似地，把FG也設置為直線，把DE設置為射線。右鍵單擊點D,在右鍵菜單中單擊“動畫”，作出點D的動畫按鈕；再右鍵單擊點G,在右鍵菜單中單擊“跟蹤”，對點G跟蹤。啟動動畫，可以看出點G的蹤跡畫出一條拋物線，如圖4-16。圖4-16圖中除了由離散的蹤跡點構成的拋物線外，還有一條連續(xù)曲線形式的同樣的拋物線。這是點G的軌跡。注意到主動點D的編號是9，軌跡點G的編號是14，調用文本作圖命令Locus(9,,14)；運行后生成點G的軌跡，一條以點C為焦點，以AB為準線的拋物線。可以證明，F(xiàn)G是這條拋物線在點G的切線。過點C作AB的垂線，以此垂線為旋轉軸在空間旋轉拋物線，得到一個旋轉拋物面。探照燈的反射鏡，就是旋轉拋物面的的一部分。若光源的位置在拋物線的焦點C處，則從C射出的一條光線CG在點G經反射后將沿著射線GE的方向射出。這是因為CG和GE與切線FG所成的銳角相等，而光的反射定律是“入射角等于出射角”。由此可知，從點C處發(fā)出的光經拋物面鏡面反射后成為平行光束，可以照得很遠。上述文件的第二頁顯示出拋物線的這種光學性質。如圖4-17，啟動動畫，用線段CG和射線GE模擬點C處發(fā)出并經拋物面鏡面反射的一條光線的光路，讓G的位置在拋物線上變化并跟蹤線段CG和射線GE，便可看到平行光束的形成。圖4-17[習題4-3]制作圖4-17中呈現(xiàn)拋物線光學性質的動畫。進一步考慮，如何用動畫和跟蹤呈現(xiàn)橢圓和雙曲線的類似的光學性質（要改變畫面背景顏色，可使用菜單命令“查看|背景顏色”）。四圓錐曲線隨離心率而變化圓錐曲線還有一個統(tǒng)一的定義，就是到一個定點的距離和到一條定直線的距離的比值為定值的點的軌跡。定點叫做該軌跡曲線的焦點，定直線叫做該軌跡曲線的準線，定值叫做該軌跡曲線的離心率。離心率通常用e表示，e<1時為橢圓，e=1時為拋物線，e>1時為雙曲線。打開本書配套資源中的文件“4-7圓錐曲線的離心率.zjz”,如圖4-18，可以觀察到隨著離心率的變化三種圓錐曲線相互轉化的情形。圖4-18當前畫面上的離心率值為1，對應的曲線是拋物線。單擊淡綠色按鈕的副鈕，離心率e由1連續(xù)地變?yōu)?；對應地，曲線由拋物線變?yōu)闄E圓，最后稱為圓。單擊此按鈕的主鈕，曲線又變回雙曲線。單擊淡青色按鈕，離心率e由1連續(xù)地變?yōu)?；對應地，曲線由拋物線變?yōu)殡p曲線。單擊此按鈕的副鈕，曲線又變回拋物線。這條隨離心率變化的曲線是如何畫出來的呢？一個簡單的方法是使用極坐標下圓錐曲線的統(tǒng)一方程：操作方法是，調用文本作圖曲線類函數(shù)命令：Function(rho=a/(1+b*cos(thet)),0,2*pi,500,);執(zhí)行后即可作出離心率為b的曲線。上述函數(shù)命令中第一個參數(shù)是極坐標下圓錐曲線的統(tǒng)一方程，其中rho和thet分別代表希臘字母ρ和θ；第2和第3兩個參數(shù)分別是變量θ的最小和最大值（此處為0到2*pi，即0到2π）；第4個參數(shù)500表示畫曲線時要計算出500個點的坐標作為作圖的基點。注意方程中用b表示離心率而不用e，這是因為在超級畫板中把e保留用于自然對數(shù)的底，即e=2.71828…。不過，雖然內部用b表示離心率，這并不妨礙我們在顯示出來的文本中仍然用e表示離心率。為了手動調整曲線方程中的參數(shù)a和b，調用文本作圖命令Variable(a,)和Variable(b,)作出參數(shù)a和b的變量尺。在變量尺的屬性對話框里為變量尺添加文本說明“調整比例系數(shù)”和“調整離心率”。用變量尺很難把離心率準確無誤地調為1。要想看見曲線變成拋物線，可以用動畫按鈕來控制離心率。不選擇任何對象單擊右鍵，在右鍵菜單中單擊動畫，在彈出的對話框里鍵入b,單擊確定打開動畫設置對話框，將最小最大值分別設置為0和1，類型設置為“一次運動”，文本改為“e：0->1”。類似地，再作變量b的另一個動畫按鈕，最小最大值分別設置為1和3，文本改為“e：1->3”。剩下的，不過是添加標題文本，設置顏色了。但是，能不能像前面根據(jù)定義生成橢圓、雙曲線和拋物線那樣，從圓錐曲線的統(tǒng)一定義出發(fā)，利用幾何關系生成隨著離心率的變化的圓錐曲線呢？上述文件的第二頁（圖4-19），說明了根據(jù)統(tǒng)一定義生成圓錐曲線的方法。下面列出主要的操作步驟，其余部分的工作留作習題。把y軸作為準線；調用文本作圖函數(shù)命令Point(a,0,a,,,F)作焦點F；調用文本作圖函數(shù)命令Point(t*a,0,t,,,A)作輔助點A；圖4-19執(zhí)行菜單命令“對象|設置變量的范圍”，打開變量設置對話框，將變量a的范圍設置為-3到3，并把a的當前值改到-3和3之間（圖4-20），單擊“修改”；同法，把t的范圍設置為0到1，當前值改到0和1之間。這是為了避免圖形被無意間拖亂。圖4-20以A為圓心過F作圓；在圓A上取點B，連線段AB、BO；過C作X軸的平行線CK；過F作AB的平行線和直線CK交于P；由作法可得△PFC相似于△ABO，故。計算得當時，圖象為雙曲線；當時，圖象為拋物線；當時，圖象為橢圓；接下來的工作，就是作點A和參數(shù)t的動畫，生成控制t的變量尺，并跟蹤點D以及作點P的軌跡等。[習題4-4]參照上述文件的第二頁和上面的說明，完成根據(jù)統(tǒng)一定義用幾何關系生成圓錐曲線的動畫。[習題4-5]參考上述文件的第3頁（圖4-21），用文本命令根據(jù)統(tǒng)一定義直接作出圓錐曲線；對曲線跟蹤，并測量曲線的一般方程和標準方程（請查找有關的文本命令）。圖4-21五圓錐曲線的一般方程圓錐曲線的一般方程是二元二次方程。使用超級畫板的文本作圖命令，可以根據(jù)所給的二元二次方程直接作出對應的曲線。如果方程的系數(shù)是代表變量的字母，則曲線會隨著系數(shù)的變化而變化。打開本書配套資源中的文件“4-8圓錐曲線的一般方程.zjz”，如圖4-22，就是一條對應于所給方程的圓錐曲線。圖4-22拖動圖中下方的A、B、C、D、E、F各點，可以改變這6個系數(shù)的值。這些值動態(tài)地顯示在左方。曲線的形狀隨著這些系數(shù)的改變而變化。觀察測量所得的B2-4AC的值，可以看出此值的正或負分別對應于雙曲線或橢圓。單擊標有“B2=4AC”的按鈕，B2-4AC的值會變?yōu)?，曲線也就變成了拋物線。單擊標有“B=0”的按鈕，系數(shù)B變?yōu)?，曲線的對稱軸會變得平行或垂直于x軸。作出這樣的動態(tài)圖形，主要操作是調用文本作圖中“圓錐曲線”類命令函數(shù)：ConicOfEquation(A*x^2+B*x*y+C*y^2+D*x+E*y+F,);再作出6個坐標點分別用來控制6個系數(shù)，所用文本作圖命令以點A和點D為例：Point(A,-3,A,,,A);Point(D,-2,D,,,D);此外，測量圓錐曲線的標準方程的文本命令函數(shù)為：MeasureNormalOfConic(7);剩下的工作是使用菜單命令“測量|測量表達式”對6個系數(shù)和B2-4AC進行測量，以及用右鍵菜單命令制作動畫按鈕控制某些系數(shù)取指定的值。從這些按鈕的屬性對話框里，可以查出其屬性的設置方法。給了不共線的3個點，可以確定一個圓。類似地，給了5個點，如果其中任意3點都不共線，就可以確定一條圓錐曲線。超級畫板有一條文本作圖命令可以讓我們體驗這個有趣的事實。上述文件的第二頁呈現(xiàn)了這一圖像，如圖4-23。圖4-23從圖上看到，在圓錐曲線上還可以再取點（點F）,可以過曲線上或曲線外一點作切線等等。[習題4-6]參看上述文件的第2頁，作5個自由點，再作過這5個點的圓錐曲線；用畫筆功能在曲線上取一個點，過此點作圓錐曲線的切線并對切線跟蹤，再作出此點的動畫按鈕；在曲線外另取一點，過該點作曲線的兩條切線；測量曲線的標準方程和一般方程。[習題4-7]有中心的圓錐曲線，其平行于切線的弦的中點和切點的連線必經過中心。根據(jù)這個性質，用智能畫筆作圖找出上述文件中所作圓錐曲線的中心。六極坐標和參數(shù)方程曲線前面我們曾經利用極坐標下的方程作出隨離心率變化的圓錐曲線的動態(tài)圖像。在極坐標下，有些曲線的方程非常簡單。本書配套資源中的文件“4-9極坐標曲線.zjz”中提供了另外幾個例子。如圖4-24，是古代就知名的阿基米德螺線。這種曲線在極坐標下的方程非常簡單，就是ρ=aθ。用直角坐標，它的方程就不好寫。圖4-24使用文本作圖中“曲線”類函數(shù)命令Function(rho=a*thet,u,v,500,);可以作出阿基米德螺線。再用文本作圖命令做出參數(shù)a,u,v的變量尺，調整這些參數(shù)，可以觀察曲線的變化。A的大小控制了相鄰兩圈螺線的距離，u和v則用來控制變量θ的范圍。圖中的曲線，對應于u=0的情形；如果u<0，可以看見曲線的另一支，它和圖中的部分關于y軸對稱。上述文件的第二頁，畫的是另一種螺線，叫作對數(shù)螺線（圖4-25）。做出對數(shù)螺線的文本作圖函數(shù)命令為Function(rho=b*a^thet,u,v,500,);用文本作圖函數(shù)命令做出控制變量范圍的參數(shù)u和v的變量尺；再用文本作圖命令做出坐標點a=(a,-5)和b=(b,-5),并注意填上拖動參數(shù)a和b，則選擇了點a或b時可以用左右箭頭鍵微調參數(shù)a或b的值。當a=1時，曲線成為圓。如果微調不能使a準確地變?yōu)?，可以作變量a的動畫，強迫a變?yōu)?進行觀察。圖4-25上述文件的第3頁，如圖4-26，是漂亮的花朵般的曲線。作出這樣的曲線的文本作圖函數(shù)命令為Function(rho=a*sin(floor(n)*thet)+b*cos(floor(m)*thet+c)+d,0,2*pi,300,);其中的函數(shù)floor(n)和floor(m)分別記n和m的整數(shù)部分。圖4-26這里的6個參數(shù)分別用2個變量尺和4個坐標點來控制。拖動m和n，可以改變花瓣的多少，拖動點A、B、c、d，可以改變花朵的大小或使花朵轉動?；ǘ涞念伾侨绾翁畛涞哪?？右鍵單擊曲線，在右鍵菜單中單擊“屬性”打開曲線的屬性對話框，可查出曲線的填充選擇了“路徑漸變畫刷”。在“漸變”設置欄里，改變“中心顏色”、“邊界顏色”以及“插值顏色和位置”，你可以設計出其他風格的色調。更多的曲線，可以用參數(shù)方程表示。本書配套資源中的文件“4-10參數(shù)方程曲線.zjz”，展示了幾個參數(shù)方程的例子。第一頁最簡單，是用參數(shù)方程表示線段和線段的等分點，如圖4-27。圖4-27圖中A和B是用智能畫筆直接作的自由點，編號5和6。為了寫出線段AB的參數(shù)方程，要測量兩點A和B的坐標(如果是坐標點，就不用測量了)。調用文本作圖命令中“測量”類的函數(shù)命令MeasureXCoor(5);MeasureXCoor(5);MeasureYCoor(6);MeasureYCoor(6);測出兩點的x坐標m000、m001和y坐標m002、m003。再調“曲線”類的作參數(shù)方程曲線的函數(shù)命令Function(m000+t*(m001-m000),m002+t*(m003-m002),t,0,1,n,);其中第1、2個變元分別是曲線上的點的x坐標和y坐標的參數(shù)表示，第3個變元指明參數(shù)為t，第4、5兩個變元0、1分別是參數(shù)的最小和最大值，最后的變元n表示曲線上描點的個數(shù)。運行后作出線段AB。但上面看不到分點。右鍵單擊參數(shù)曲線(線段AB)，打開其屬性對話框，在其左下方勾選“畫點”，如圖4-28；單擊“確定