調(diào)和點(diǎn)列性質(zhì)

ADADaCCBD*DCAFABAFBFCF而DE S人ADADaCCBD*DCAFABAFBFCF而DE S人而 二“BDCFE SABFCAD=——AFBF*FC*sin/BFCBFFC故①成立。得證!調(diào)和點(diǎn)列研究圖形在射影變換下不變性的一個(gè)幾何學(xué)分支。射影幾何學(xué)產(chǎn)生的最初動(dòng)力，來(lái)自為了幫助繪畫而對(duì)透視進(jìn)行的研究。在17世紀(jì)，G.德扎格和B.帕斯卡建立了射影幾何學(xué)中著名的定理。后來(lái)在19世紀(jì)，又經(jīng)過(guò)J.V.彭賽列、J.施泰納、K.G.C.von施陶特、A.F.麥比烏斯、人凱萊等幾何學(xué)家的工作，使射影幾何學(xué)得到蓬勃的發(fā)展，達(dá)到鼎盛的時(shí)期。定義：直線上依次四點(diǎn)A、B、C、D滿足AB=AD，則稱A、B、C、DBCDC四點(diǎn)構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列。其中A、C和B、D稱為調(diào)和共軛。性質(zhì)1：如圖，A為圓O外一點(diǎn)，AB、AC為圓O的切線，ADEF截圓O與D、F，交BC與點(diǎn)E則A、D、E、F四點(diǎn)調(diào)和。ADAF證明：A、D、E、F四點(diǎn)調(diào)和oDFBD*CD*sin/BDC_BDCDF推廣：如圖，橢圓外一點(diǎn)A關(guān)于橢圓的兩條切線的切點(diǎn)所在的直線為BC（此直線也叫極線），過(guò)A的任意一條直線ADEF截橢圓

F于D、F,交BC與E則A、D、E、F成調(diào)和點(diǎn)列。證明：暫略。性質(zhì)2:A性質(zhì)2:A、B、C、D調(diào)和o—+ABADAC證明:而1 1而 ——+—而1 1而 ——+—ABADACa+b+ca+b a(a+b)(a+b)(a+b+c)即證。推論：已知A、B、C、D四點(diǎn)調(diào)和，O為A、C中點(diǎn)，則OA2=OB-OD.B、反過(guò)來(lái)也成立，若A、B、C、D四點(diǎn)共線，O為A、C中點(diǎn)，且OA2=OBOD，則AB、C、D四點(diǎn)調(diào)和。性質(zhì)3:若A、B、C、D成調(diào)和點(diǎn)列，且平面上有點(diǎn)M滿足AM±MC則必有MC平分/BMD，MA外角平分/BMD.這是調(diào)和點(diǎn)列應(yīng)用中相當(dāng)重要的一個(gè)性質(zhì)。

證明：反證法。反設(shè)MC不平分/BMD，作MC,平分角/BMD交BD與C,，MA,外角平分角/BMD交DB延長(zhǎng)線與A,，則MC'±MA,由內(nèi)角平分線定理,有外角平分線定理,BC'_BMcd-MDBA'_BMA'D—MD)由內(nèi)角平分線定理,有外角平分線定理,所以先BC

CD所以先BC

CD由A、B由A、B、C、D成調(diào)和點(diǎn)列知CD二%、/十上玄H BC' BC BC' BC注意到>——o>——CD CD BD BDBA' BA BA' BA <——o<——A'D AD BD BD成立成立所以BDBABC 所以BDBABC = <BDBDBCBD與