數(shù)學(xué)-初二11.3角平分線性質(zhì)

2023/1/911.3角平分線的性質(zhì)2023/1/91、在準(zhǔn)備好的角上標(biāo)好字母；A,O,B,。把角AOB對(duì)折，使得這個(gè)角的兩邊重合。2、在折痕（即平分線）上任意找一點(diǎn)P。作PD垂直與OA，垂足為D。3、過點(diǎn)P作OB邊的垂線PE，垂足為E。做一做問：點(diǎn)D與點(diǎn)E重合嗎？由此你可得到什么結(jié)論？2023/1/9按照做一做的順序畫∠AOB的折痕OC,過點(diǎn)P的垂線段PD、PE，并度量所畫PD、PE是否等長？議一議：由此你可得到什么猜想？畫一畫2023/1/9同學(xué)甲、乙誰的畫法是正確的?2023/1/9角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．議一議：由做一做和畫一畫你可得到什么猜想？2023/1/9驗(yàn)證結(jié)論已知:如圖,OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn)PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E.求證:PD=PE.而△OPD≌△OPE的條件由已知易知它滿足公理(AAS).故結(jié)論可證.老師期望:你能寫出規(guī)范的證明過程.分析:要證明PD=PE,只要證明它們所在的△OPD≌△OPE，角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.OCB1A2PDE2023/1/9能否用符號(hào)語言來翻譯“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”這句話．請(qǐng)?zhí)钕卤恚篜D=PEOC平分∠AOB，PD⊥OA,PE⊥OB,D、E為垂足．于是我們得角的平分線的性質(zhì)：在角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．2023/1/9到角的兩邊距離相等的點(diǎn)是否在角的平分線上呢？議一議2023/1/9根據(jù)下表中的圖形和已知事項(xiàng)，猜想由已知事項(xiàng)可推出的事項(xiàng)，并用符號(hào)語言填寫下表：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上2023/1/9這樣，我們又可以得到一個(gè)結(jié)論：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。請(qǐng)同學(xué)們自己寫出證明過程2023/1/9同學(xué)們思考一下，這節(jié)課所學(xué)的這兩個(gè)性質(zhì)有什么聯(lián)系嗎？2023/1/9例

已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.

求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.ABCPMNABCPMN例

已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P.

求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明：過點(diǎn)P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足分別為D、E、FFDEDE∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上

∴PD=PE（在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到邊AB、BC、CA的距離相等想一想，點(diǎn)P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？2023/1/9暢談收獲小結(jié):2023/1/9，1、在Rt△ABC中，BD是角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE與DC相等嗎？為什么？ABCDE

2、如圖,OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D、E,PD=4cm,則PE=__________cm.ADOBEPC知識(shí)應(yīng)用2023/1/9B思考：如圖所示OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),問PE=PD?為什么?OAEDCPPD,PE沒有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角平分線上任一點(diǎn)這個(gè)角兩邊的距離,所以不一定相等直2023/1/9思考：要在Ｓ區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處５００米，應(yīng)建在何處？（比例尺1：20000）ＳＯ公路鐵路2023/1/9練習(xí)1：如圖，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分線ＢＤ與∠Ｃ的外角的平分線ＣＥ相交于點(diǎn)Ｐ．求證：點(diǎn)Ｐ到三邊ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直線的距離相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ2023/1/9練習(xí)2：

如圖,求作一點(diǎn)P,使PC=PD,并且點(diǎn)P到∠AOB的兩邊的距離相等.C●D●ABO2023/1/9知識(shí)拓展如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E。（1）已知CD=4cm，求AC的長；（2）求證：AB=AC+CDBACDE2023/1/9再見2023/1/9【問題1】本章學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？它們之間的聯(lián)系是什么？2023/1/92023/1/9例1下列長度的三條線段能組成三角形的是（）A．1cm，2cm，3.5cmB．4cm，5cm，9cmC．5cm，8cm，15cmD．6cm，8cm，9cm【問題2】三角形的三邊的關(guān)系是什么？D2023/1/9例2一個(gè)三角形的兩條邊的長分別為3和5．⑴求第三邊x的長的取值范圍；⑵若這個(gè)三角形是等腰三角形，求這個(gè)三角形的周長.解：當(dāng)腰長為3時(shí)，這個(gè)三角形的周長為11；

當(dāng)腰長為5時(shí)，這個(gè)三角形的周長為13.2023/1/9【問題3】怎樣運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)解決問題？例3⑴在△ABC中，∠A=3∠B=120°，求∠C的度數(shù)．2023/1/9⑵如圖，已知AC∥ED，∠C=26°，∠BED=63°，求∠B的度數(shù)．ABCDE解：∵AC∥ED，∴

∠CAE=∠BED=63°.∵∠CAE=∠B+∠C，∴∠C=∠CAE-∠B=63°-26°=37°.2023/1/9【問題4】應(yīng)用多邊形的內(nèi)角和、外角和解決哪些問題？例4⑴若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與它的外角和之和是1800°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)．解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，由題意得解得所以這個(gè)多邊形是十邊形.10.n=2023/1/9⑵如圖，小陳從O點(diǎn)出發(fā)，前進(jìn)了5米后向右轉(zhuǎn)20°的角，再前進(jìn)5米后又向右轉(zhuǎn)20°，…，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)O時(shí)一共走了多少米？O解：由題意可知這個(gè)正多邊形

的每個(gè)外角都是20°.360°÷20°=18.5×18=90（米）.2023/1/9【問題5】三角形的三條重要線段有哪些？例5如圖，AD是△ABC的高，∠C=65°，∠ABD=∠BAD，求∠BAC的度數(shù)．ABDC解：∵AD是△ABC的高,∴∠ADC=90°,∴∠DAC=25°.∵∠ADC=∠B+∠BAD=90°,∴∠BAD=45°,∠ABD=∠BAD,∴∠BAD=∠CAD+∠BAD=45°+25°=70°.2023/1/9例6如圖a，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O.

圖aABCO①若∠ABC=40°，∠ACB=50°，則∠BOC的度數(shù)為

；②若∠A=76°，則∠BOC

的度數(shù)為

；135°128°2023/1/9③你能找出∠A與∠BOC之間的數(shù)量關(guān)系嗎？說明理由.

圖aABCO解：A.BOCD+°=D2190A.AACBABCBOCD+°=D-°-°=D+D-°=D2190)180(21180)2121(1802023/1/9(2)如圖b，點(diǎn)O是△ABC的兩外角平分線BO、CO的交點(diǎn)，那么∠BOC與∠A有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

圖bABCO解：A.BOCD-°=D2190[]A.AACBA