《橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(1)》示范公開(kāi)課教案【高中數(shù)學(xué)北師大】

《橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1．掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．2．能根據(jù)幾何條件求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究它的性質(zhì)并畫(huà)出圖形．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．難點(diǎn)：利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究它的性質(zhì)并畫(huà)出圖形．教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程新課導(dǎo)入我們利用橢圓的定義及圖象認(rèn)識(shí)了橢圓并且得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，接下來(lái)，與利用直線的方程、圓的方程研究它們的幾何性質(zhì)一樣，我們也可以利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，包括橢圓的范圍、形狀、大小、對(duì)稱性和特殊點(diǎn)等．二、新知探究問(wèn)題1由橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程x2a21．范圍由方程①可得橢圓C上的任意一點(diǎn)P(x,y)總滿足x這說(shuō)明橢圓C位于四條直線：x=-a，x=a，y=-b，y=b2．對(duì)稱性根據(jù)橢圓方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)：若(x0,y0)是橢圓方程的一組解，即x02a2+y02b2=1，則(x0，-y0)，(-x0，y0)，3．頂點(diǎn)在橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程①中，當(dāng)x=0時(shí)，y=±b．這說(shuō)明B1(0，-b)，B2(0，b)是橢圓C與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)．同理，當(dāng)y=0時(shí)，因?yàn)閤軸、y軸是橢圓的對(duì)稱軸，所以橢圓與它的對(duì)稱軸有四個(gè)交點(diǎn)．這四個(gè)交點(diǎn)叫作橢圓的頂點(diǎn)．橢圓x2a2+y2b2=1線段A1A2，B且|A1Aa和b分別叫作橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)．問(wèn)題2：觀察圖象，我們發(fā)現(xiàn)，不同橢圓的扁平程度不同，這是橢圓的重要形狀特征，你能用適當(dāng)?shù)牧縼?lái)刻畫(huà)橢圓的扁平程度嗎？這個(gè)量對(duì)橢圓的形狀有何影響？答案：我們規(guī)定橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比叫作橢圓的離心率，用e表示，即ca如圖所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O=ca=e,顯然0<e<l．問(wèn)題3當(dāng)橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，通過(guò)其標(biāo)準(zhǔn)方程y2a2焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程xy范圍-a-a頂點(diǎn)A1(-a,0)，A2(a,0)A1(0,-a)，A2(0,a)軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b焦點(diǎn)F1(-c,0)F1(0,-c)焦距2c對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸、y軸．對(duì)稱中心：坐標(biāo)原點(diǎn)離心率0答案：通過(guò)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)其標(biāo)準(zhǔn)方程y2a2注意：(1)橢圓的焦點(diǎn)一定在它的長(zhǎng)軸上．(2)橢圓上到中心的距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，到中心的距離最大的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．(3)橢圓上到焦點(diǎn)的距離最大和最小的點(diǎn)分別是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，最大值為a+c，最小值為a-(4)O為長(zhǎng)軸中點(diǎn)、短軸中點(diǎn)、F1(5)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，∠F三、應(yīng)用舉例例1求橢圓9x2解將已知方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x則a=5，b=3，c=a因此，橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)分別是2a=10，2b=6，離心率是e=c兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(-4，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)分別是A1(-5，0)，A2將方程變形為y=±3525-x2，由y=3525-x2x012345y3.02.92.72.41.80先用描點(diǎn)法畫(huà)出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用對(duì)稱性畫(huà)出整個(gè)橢圓(如圖)．例2求橢圓m2解由已知得x2因?yàn)?<m2<4所以橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，并且半長(zhǎng)軸長(zhǎng)a=1半短軸長(zhǎng)b=12m，半焦距所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=2m，短軸長(zhǎng)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-32m頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1m，0)，(-1離心率e=c總結(jié)：用方程研究橢圓幾何性質(zhì)的步驟：(1)將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式．(2)確定焦點(diǎn)位置(焦點(diǎn)位置不確定的要分類討論)．(3)求出a，b，c．(4)寫(xiě)出橢圓的幾何性質(zhì)．例3神舟五號(hào)飛船成功完成了第一次載人航天飛行,實(shí)現(xiàn)了中國(guó)人民的航天夢(mèng)想．某段時(shí)間飛船在太空中運(yùn)行的軌道是一個(gè)橢圓,地心為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),如下圖所示．假設(shè)航天員到地球表面的最近距離為d1,最遠(yuǎn)距離為d2,地球的半徑為R,我們想象存在一個(gè)鏡像地球,其中心在神舟飛船運(yùn)行軌道的另外一個(gè)焦點(diǎn)上,上面發(fā)射某種神秘信號(hào),需要飛行中的航天員中轉(zhuǎn)后地球上的人才能接收到,則傳送神秘信號(hào)的最短距離為解設(shè)航天員到地球表面最近距離時(shí)在點(diǎn)P,最遠(yuǎn)距離時(shí)在點(diǎn)P1,設(shè)橢圓的方程為x2a2+y兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2,飛行中的航天員為點(diǎn)由已知可得d則2a=故傳送神秘信號(hào)的最短距離為|PF四、課堂練習(xí)1．請(qǐng)說(shuō)明橢圓x2a2+y2b22．根據(jù)下列條件，求橢圓的離心率：(1)長(zhǎng)軸與短軸之比為3∶2；(2)以短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形．3．求下列橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦距、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并以矩形為參照畫(huà)出橢圓的圖形：(1)x2+4y參考答案：1．a(chǎn)為長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，b為短半軸長(zhǎng)，c為半焦距長(zhǎng)，e為離心率，它們?cè)趫D中的標(biāo)記如圖所示．2．（1）由題意不妨設(shè)a=3，b=2，則c=a（2）由題意得b=3c，a2=b23．（1）由題意得標(biāo)準(zhǔn)方程x24+y2=1，可得長(zhǎng)軸2a=4，短軸2b=2，焦距（2）由題意得標(biāo)準(zhǔn)方程x24+y29=1，可得長(zhǎng)軸2a=6，短軸2b=五、課堂小結(jié)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程xy范圍-a-a頂點(diǎn)A1(-a,0)，A2(a,