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2022-2023學(xué)年福建省廈門市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考真題(含答案)學(xué)校:________班級(jí):________姓名:________考號(hào):________
一、單選題(50題)1.鑒別的方法主要有查證法、比較法、佐證法、邏輯法。其中()是指通過(guò)尋找物證、人證來(lái)驗(yàn)證信息的可靠程度的方法。
A.查證法B.比較法C.佐證法D.邏輯法
2.
3.
4.
5.
6.A.收斂B.發(fā)散C.收斂且和為零D.可能收斂也可能發(fā)散
7.
8.圖示為研磨細(xì)砂石所用球磨機(jī)的簡(jiǎn)化示意圖,圓筒繞0軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),帶動(dòng)筒內(nèi)的許多鋼球一起運(yùn)動(dòng),當(dāng)鋼球轉(zhuǎn)動(dòng)到一定角度α=50。40時(shí),它和筒壁脫離沿拋物線下落,借以打擊礦石,圓筒的內(nèi)徑d=32m。則獲得最大打擊時(shí)圓筒的轉(zhuǎn)速為()。
A.8.99r/minB.10.67r/minC.17.97r/minD.21.35r/min9.微分方程y"-y'=0的通解為()。A.
B.
C.
D.
10.
11.若x0為f(x)的極值點(diǎn),則().A.A.f(x0)必定存在,且f(x0)=0
B.f(x0)必定存在,但f(x0)不-定等于零
C.f(x0)不存在或f(x0)=0
D.f(x0)必定不存在
12.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0。處連續(xù),則下列結(jié)論正確的是().A.A.
B.
C.
D.
13.若在(a,b)內(nèi)f'(x)<0,f''(x)<0,則f(x)在(a,b)內(nèi)()。A.單減,凸B.單增,凹C.單減,凹D.單增,凸
14.
15.
16.設(shè)函數(shù)在x=0處連續(xù),則等于()。A.2B.1/2C.1D.-217.對(duì)于微分方程y"-2y'+y=xex,利用待定系數(shù)法求其特解y*時(shí),下列特解設(shè)法正確的是()。A.y*=(Ax+B)ex
B.y*=x(Ax+B)ex
C.y*=Ax3ex
D.y*=x2(Ax+B)ex
18.設(shè)f(x)為連續(xù)的奇函數(shù),則等于().A.A.2af(x)
B.
C.0
D.f(a)-f(-a)
19.A.A.
B.
C.
D.
20.下列各式中正確的是()。
A.
B.
C.
D.
21.
22.A.A.2B.1C.0D.-1
23.若f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),下列等式中一定成立的是
A.d∫f(x)dx=f(x)dx
B.d∫f(x)dx=f(x)
C.d∫f(x)dx=f(x)+C
D.∫df(x)=f(x)
24.已知
則
=()。
A.
B.
C.
D.
25.
26.
27.當(dāng)x→0時(shí),x是ln(1+x2)的
A.高階無(wú)窮小B.同階但不等價(jià)無(wú)窮小C.等價(jià)無(wú)窮小D.低階無(wú)窮小
28.
29.
30.
31.A.A.較高階的無(wú)窮小量B.等價(jià)無(wú)窮小量C.同階但不等價(jià)無(wú)窮小量D.較低階的無(wú)窮小量32.設(shè)y=f(x)為可導(dǎo)函數(shù),則當(dāng)△x→0時(shí),△y-dy為△x的A.A.高階無(wú)窮小B.等價(jià)無(wú)窮小C.同階但不等價(jià)無(wú)窮小D.低階無(wú)窮小33.已知y=ksin2x的一個(gè)原函數(shù)為y=cos2x,則k等于()。A.2B.1C.-1D.-2
34.
35.
36.A.3B.2C.1D.1/2
37.
38.設(shè)lnx是f(x)的一個(gè)原函數(shù),則f'(x)=A.-1/x
B.1/x
C.-1/x2
D.1/x2
39.
40.設(shè)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義,且,則f'(x0)等于().A.-1B.-1/2C.1/2D.1
41.
42.43.設(shè)y=sinx,則y'|x=0等于().A.1B.0C.-1D.-2
44.
45.
46.()。A.充分必要條件B.充分非必要條件C.必要非充分條件D.既非充分也非必要條件
47.
48.下列等式中正確的是()。A.
B.
C.
D.
49.
50.微分方程y'+y=0的通解為()。A.y=ex
B.y=e-x
C.y=Cex
D.y=Ce-x
二、填空題(20題)51.52.
53.
54.y'=x的通解為_(kāi)_____.55.設(shè)f(x)=x(x-1),則f'(1)=__________。
56.y"+8y=0的特征方程是________。
57.
58.
59.
60.
61.冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為_(kāi)_____.62.63.
64.65.
66.
67.68.微分方程dy+xdx=0的通解y=_____.
69.70.三、計(jì)算題(20題)71.證明:72.求曲線在點(diǎn)(1,3)處的切線方程.73.將f(x)=e-2X展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù).74.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間,并求該曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線l的方程.
75.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
76.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值.
77.
78.79.當(dāng)x一0時(shí)f(x)與sin2x是等價(jià)無(wú)窮小量,則80.81.研究級(jí)數(shù)的收斂性(即何時(shí)絕對(duì)收斂,何時(shí)條件收斂,何時(shí)發(fā)散,其中常數(shù)a>0.
82.已知某商品市場(chǎng)需求規(guī)律為Q=100e-0.25p,當(dāng)p=10時(shí),若價(jià)格上漲1%,需求量增(減)百分之幾?
83.求微分方程的通解.
84.
85.
86.
87.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求該薄板的質(zhì)量m.88.89.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).90.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B,在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi),以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示).設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x,面積為
S(x).
(1)寫出S(x)的表達(dá)式;
(2)求S(x)的最大值.
四、解答題(10題)91.92.設(shè)ex-ey=siny,求y’
93.
94.95.將f(x)=sin3x展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù),并指出其收斂區(qū)間。
96.
97.設(shè)函數(shù)y=sin(2x-1),求y'。
98.
99.
100.
五、高等數(shù)學(xué)(0題)101.
六、解答題(0題)102.
參考答案
1.C解析:佐證法是指通過(guò)尋找物證、人證來(lái)驗(yàn)證信息的可靠程度的方法。
2.A
3.A
4.B
5.D
6.D
7.C解析:
8.C
9.B本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二階常系數(shù)齊次微分方程的求解。微分方程為y"-y'=0特征方程為r2-r=0特征根為r1=1,r2=0方程的通解為y=C1ex+c2可知應(yīng)選B。
10.A解析:
11.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為函數(shù)極值點(diǎn)的性質(zhì).
若x0為函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn),則可能出現(xiàn)兩種情形:
(1)f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo),如y=|x|,在點(diǎn)x0=0處f(x)不可導(dǎo),但是點(diǎn)x0=0為f(x)=|x|的極值點(diǎn).
(2)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo),則由極值的必要條件可知,必定有f(x0)=0.
從題目的選項(xiàng)可知應(yīng)選C.
本題常見(jiàn)的錯(cuò)誤是選A.其原因是考生將極值的必要條件:“若f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo),且x0為f(x)的極值點(diǎn),則必有f(x0)=0”認(rèn)為是極值的充分必要條件.
12.D本題考查的知識(shí)點(diǎn)為連續(xù)性的定義,連續(xù)性與極限、可導(dǎo)性的關(guān)系.由函數(shù)連續(xù)性的定義:若在x0處f(x)連續(xù),則可知選項(xiàng)D正確,C不正確.由于連續(xù)性并不能保證f(x)的可導(dǎo)性,可知A不正確.
13.A∵f'(x)<0,f(x)單減;f''(x)<0,f(x)凸∴f(x)在(a,b)內(nèi)單減且凸。
14.B
15.B
16.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為函數(shù)連續(xù)性的概念。由于f(x)在點(diǎn)x=0連續(xù),因此,故a=1,應(yīng)選C。
17.D特征方程為r2-2r+1=0,特征根為r=1(二重根),f(x)=xex,α=1為特征根,因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex,因此選D。
18.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的對(duì)稱性.
由定積分的對(duì)稱性質(zhì)可知:若f(x)為[-a,a]上的連續(xù)的奇函數(shù),則
可知應(yīng)選C.
19.B本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分運(yùn)算.
因此選B.
20.B
21.B
22.C
23.A解析:若設(shè)F'(x)=f(x),由不定積分定義知,∫f(x)dx=F(x)+C。從而
有:d∫f(x)dx=d∫F(x)+C]=F'(x)dx=f(x)dx,故A正確。D中應(yīng)為∫df(x)=f(x)+C。
24.A
25.D
26.A
27.D解析:
28.C
29.C
30.B
31.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為無(wú)窮小量階的比較.
32.A由微分的定義可知△y=dy+o(△x),因此當(dāng)△x→0時(shí)△y-dy=o(△x)為△x的高階無(wú)窮小,因此選A。
33.D本題考查的知識(shí)點(diǎn)為可變限積分求導(dǎo)。由原函數(shù)的定義可知(cos2x)'=ksin2x,而(cos2x)'=(-sin2x)·2,可知k=-2。
34.D
35.B
36.B,可知應(yīng)選B。
37.B
38.C
39.D
40.B由導(dǎo)數(shù)的定義可知
可知,故應(yīng)選B。
41.C解析:
42.D
43.A由于
可知應(yīng)選A.
44.B
45.D解析:un、vn可能為任意數(shù)值,因此正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法不能成立,可知應(yīng)選D。
46.C
47.A解析:
48.B
49.B
50.D可以將方程認(rèn)作可分離變量方程;也可以將方程認(rèn)作一階線性微分方程;還可以仿二階線性常系數(shù)齊次微分方程,并作為特例求解。解法1將方程認(rèn)作可分離變量方程。分離變量
兩端分別積分
或y=Ce-x解法2將方程認(rèn)作一階線性微分方程.由通解公式可得解法3認(rèn)作二階常系數(shù)線性齊次微分方程特例求解:特征方程為r+1=0,特征根為r=-1,方程通解為y=Ce-x。
51.
52.
53.5/2
54.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為:求解可分離變量的微分方程.
由于y'=x,可知
55.
56.r2+8r=0本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二階常系數(shù)線性微分方程特征方程的概念。y"+8y"=0的特征方程為r2+8r=0。
57.
58.y=xe+Cy=xe+C解析:59.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為換元積分法.
60.1/(1-x)261.(-2,2);本題考查的知識(shí)點(diǎn)為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.
由于所給級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)情形,
可知收斂半徑,收斂區(qū)間為(-2,2).
62.-1本題考查了利用導(dǎo)數(shù)定義求極限的知識(shí)點(diǎn)。63.
64.65.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.所給級(jí)數(shù)為缺項(xiàng)情形,由于
66.
解析:67.5.
本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).
解法1
解法2
68.
69.>1
70.
71.
72.曲線方程為,點(diǎn)(1,3)在曲線上.
因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0.
如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在,則表明曲線y=f(x)在點(diǎn)
(x0,fx0))處存在切線,且切線的斜率為f′(x0).切線方程為
73.
74.
75.解:原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0,
76.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>
注意
77.
78.
79
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