第八章時(shí)頻分析

第八章時(shí)頻分析第1頁(yè)，共85頁(yè)。8.1引言

對(duì)一個(gè)給定的信號(hào)，我們可以用眾多的方法來(lái)描述它。在這些眾多的描述方法中，有兩個(gè)最基本的物理量，即時(shí)間和頻率。顯然，時(shí)間和頻率與我們的日常生活關(guān)系最為密切，我們時(shí)時(shí)可以感受到它們的存在。時(shí)間自不必說(shuō)，對(duì)頻率，如夕陽(yáng)西下時(shí)多變的彩霞，音樂(lè)會(huì)上那優(yōu)美動(dòng)聽的旋律以及在一片寂靜中突然冒出的一聲刺耳的尖叫等，這些都包含了豐富的頻率內(nèi)容。正因?yàn)槿绱?，時(shí)間和頻率也成了描述信號(hào)行為的兩個(gè)最重要的物理量。

中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第2頁(yè)，共85頁(yè)。8.1.1傅里葉變換的局限性

由于傅里葉分析使用的是一種全局的變換，它無(wú)法表達(dá)信號(hào)的時(shí)頻局部性質(zhì)。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系頻率表示的數(shù)學(xué)方法是由傅里葉發(fā)明的。他十九世紀(jì)初提出傅里葉變換，一直是信號(hào)分析與處理中應(yīng)用最廣的變換。傅里葉變換將信號(hào)分解成單個(gè)諧波頻率分量，并建立了每個(gè)分量的相對(duì)強(qiáng)度。第3頁(yè)，共85頁(yè)。思考：對(duì)上述信號(hào)做傅里葉變換，其頻譜是什么樣子？設(shè)信號(hào)由三個(gè)不同頻率的正弦所組成例1中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系Lfta.m第4頁(yè)，共85頁(yè)。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第5頁(yè)，共85頁(yè)。線性調(diào)頻信號(hào)x(n)=sin(nωn)例2

傅里葉變換只能表示信號(hào)含有哪些頻率成分，無(wú)法告訴我們這些頻率在什么時(shí)候出現(xiàn)。Chirp.m中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第6頁(yè)，共85頁(yè)。傅里葉變換對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)的局限性

信號(hào)的頻譜不隨時(shí)間變化，這樣的信號(hào)稱為時(shí)不變信號(hào)。也就是說(shuō)，對(duì)該信號(hào)的一次記錄（或一次觀察）得到的信號(hào)所做的傅里葉變換和過(guò)一段時(shí)間后再記錄該信號(hào)所做的傅里葉變換基本上是一樣的。這樣，信號(hào)的傅里葉變換與時(shí)間無(wú)關(guān)。

所以，傅里葉變換只適合于時(shí)不變的信號(hào)。在時(shí)不變的情況下，信號(hào)可展開為無(wú)窮多復(fù)正弦的和，而這無(wú)窮多復(fù)正弦的幅度、頻率和相位都不隨時(shí)間變化，即是取某一特定值的常數(shù)。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第7頁(yè)，共85頁(yè)。

頻譜隨時(shí)間變化的信號(hào)又稱為時(shí)變信號(hào)，又稱這一類信號(hào)為“非平穩(wěn)”信號(hào)，而把頻譜不隨時(shí)間變化的時(shí)不變信號(hào)稱為“平穩(wěn)”信號(hào)。

傅里葉變換反映不出信號(hào)頻率隨時(shí)間變化的行為，因此，它只適合于分析平穩(wěn)信號(hào)，而對(duì)頻率隨時(shí)間變化的非平穩(wěn)信號(hào)，即時(shí)變信號(hào)，它只能給出一個(gè)總的平均效果。

實(shí)際中的時(shí)頻信號(hào)：光譜、音樂(lè)、語(yǔ)音、故障分析、心臟跳動(dòng)中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第8頁(yè)，共85頁(yè)。傅里葉變換在分辨率上的局限性“分辨率（resolution）”是信號(hào)處理中的基本概念，它包括頻率分辨率和時(shí)間分辨率，其含義是指對(duì)信號(hào)能作出辨別的時(shí)域或頻域的最小間隔。頻率分辨率是通過(guò)一個(gè)頻域的窗函數(shù)來(lái)觀察頻譜時(shí)所看到的頻率的寬度，時(shí)間分辨率是通過(guò)一個(gè)時(shí)域的窗函數(shù)來(lái)觀察信號(hào)時(shí)所看到的時(shí)間的寬度。顯然，這樣的窗函數(shù)越窄，相應(yīng)的分辨率就越好。分辨能力的好壞一是取決于信號(hào)的特點(diǎn)，二是取決于信號(hào)的長(zhǎng)度，三是取決于所用的算法。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第9頁(yè)，共85頁(yè)。

我們希望既能得到好的時(shí)間分辨率又能得到好的頻率分辨率，然而，由不定原理可知，時(shí)間分辨率和頻率分辨率不可能同時(shí)達(dá)到最好（即分辨間隔最?。?。不定原理是信號(hào)處理中的基本原理，不可能違背，但是我們?cè)趯?shí)際工作中可以根據(jù)信號(hào)的特點(diǎn)及信號(hào)處理任務(wù)的需要選取不同的時(shí)間分辨率和頻率分辨率。

中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第10頁(yè)，共85頁(yè)。時(shí)頻分析法線性方法非線性方法短時(shí)傅里葉變換小波分析Gabor變換維格納分布Cohen類分布√√√為了克服傅里葉變換不足，尋找新的方法，能將時(shí)域和頻域結(jié)合起來(lái)描述觀察信號(hào)的時(shí)頻聯(lián)合特征，構(gòu)成信號(hào)的時(shí)頻譜。這就是所謂的時(shí)頻分析法。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第11頁(yè)，共85頁(yè)。在信號(hào)處理中，信號(hào)的

“時(shí)間中心”“時(shí)間寬度（time-duration）”“頻率中心”“頻帶寬度（frequence-bandwidth）是非常重要的概念。它們分別說(shuō)明了信號(hào)在時(shí)域和頻域的中心位置以及在兩個(gè)域內(nèi)的擴(kuò)展情況。是討論各種信號(hào)處理算法的基礎(chǔ)。7.1.2信號(hào)的時(shí)寬與帶寬

中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第12頁(yè)，共85頁(yè)。概念：信號(hào)能量：時(shí)間中心：頻率中心：時(shí)域能量密度：頻域能量密度：時(shí)間均值頻率均值中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第13頁(yè)，共85頁(yè)。時(shí)寬和帶寬：

時(shí)間寬度：頻率寬度：時(shí)寬－帶寬積：中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第14頁(yè)，共85頁(yè)。

令：實(shí)高斯信號(hào)，可求出，歸一化高斯信號(hào)?？汕蟪觯豪咚剐盘?hào)的傅里葉變換仍然是高斯的。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第15頁(yè)，共85頁(yè)。由此可以看出，該例和上例不同的是頻率中心變成了，但由于該例是純正弦調(diào)制，故信號(hào)的帶寬、時(shí)寬及時(shí)寬－帶寬積沒(méi)有改變。例記上例中的高斯信號(hào)為，令則x(t)為一高斯幅度調(diào)制信號(hào)，調(diào)制頻率為。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系

第16頁(yè)，共85頁(yè)。該例和上例不同的是頻率中心變成了，但由于該例是純正弦調(diào)制，故信號(hào)的帶寬、時(shí)寬及時(shí)寬－帶寬積沒(méi)有改變。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第17頁(yè)，共85頁(yè)。信號(hào)的“品質(zhì)因數(shù)”：

品質(zhì)因數(shù)＝信號(hào)的帶寬/信號(hào)的頻率中心中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第18頁(yè)，共85頁(yè)。給定信號(hào)x(t)，若，則

當(dāng)且僅當(dāng)x(t)為高斯信號(hào)，即等號(hào)成立。定理測(cè)不準(zhǔn)定理中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第19頁(yè)，共85頁(yè)。

不定原理是信號(hào)處理中的基本定理，又稱Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)原理，或Heisenberg-Gabor不定原理。該定理指出:對(duì)給定的信號(hào)，其時(shí)寬與帶寬的乘積為一常數(shù)。當(dāng)信號(hào)的時(shí)寬減小時(shí)，其帶寬將相應(yīng)增大，當(dāng)時(shí)寬減到無(wú)窮小時(shí)，帶寬將變成無(wú)窮大，反之亦然。這就是說(shuō)，信號(hào)的時(shí)寬與帶寬不可能同時(shí)趨于無(wú)限小，這一基本關(guān)系是時(shí)間分辨率和頻率分辨率的制約關(guān)系。在這一基本關(guān)系的制約下，人們?cè)诮吡μ剿骷饶艿玫胶玫臅r(shí)間分辨率（或窄的時(shí)寬）又能得到好的頻率分辨率（或窄的帶寬）的信號(hào)分析方法。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第20頁(yè)，共85頁(yè)。7.2短時(shí)傅立葉變換

DennisGabor于1946年引入短時(shí)傅里葉變換，其基本思想是：用一個(gè)窗口函數(shù)，將信號(hào)劃分成許多小的時(shí)間間隔，作每一時(shí)間間隔的傅里葉變換，以確定該時(shí)間間隔存在的頻率（ShortTimeFourierTransform，STFT）中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第21頁(yè)，共85頁(yè)。t0TimeFrequency其STFT定義為:窗函數(shù)應(yīng)取對(duì)稱函數(shù)。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系7.2.1 短時(shí)傅立葉變換定義

第22頁(yè)，共85頁(yè)。τx(τ)0FTFTFTΩ0中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第23頁(yè)，共85頁(yè)。

令，可以求出其

該例說(shuō)明，STFT的時(shí)間分辨率由窗函數(shù)的寬度而決定。例1

若，則

STFT的頻率分辨率由頻譜的寬度來(lái)決定。例2中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第24頁(yè)，共85頁(yè)。7.2.2 短時(shí)傅立葉反變換

取反變換STFT的一維反變換表示

第25頁(yè)，共85頁(yè)。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系7.2.3離散信號(hào)的短時(shí)傅立葉變換

第26頁(yè)，共85頁(yè)。譜圖是恒正的，且是實(shí)的。譜圖是信號(hào)能量的分布。

概念：“譜圖（spectrogram）”[B,F,T]=specgram(x,Nfft,Fs,window,overlap)中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第27頁(yè)，共85頁(yè)。例1信號(hào)由三個(gè)不同頻率的正弦所組成中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系stft.m第28頁(yè)，共85頁(yè)。例2線性調(diào)頻信號(hào)中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系stft_chirp.m第29頁(yè)，共85頁(yè)。STFT的局限:STFT雖然在一定程度上克服了標(biāo)準(zhǔn)FT不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在自身不可克服的缺陷。即當(dāng)窗函數(shù)確定后，矩形窗口的形狀就確定了，只能改變窗口在相平面的位置，而不能改變窗口的形狀?？梢哉f(shuō)STFT是具有單一分辨率的分析。若要改變分辨率，則必須重新選擇窗函數(shù)。

STFT用來(lái)分析相對(duì)平穩(wěn)的信號(hào)尚可，但對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)，在信號(hào)波形變化劇烈時(shí)，主頻是高頻，要求有較高的時(shí)間分辨率；而波形變化較平緩時(shí)，主頻是低頻，則要求有較高的頻率分辨率，而STFT不能兼顧兩者。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第30頁(yè)，共85頁(yè)。

為了克服傅里葉沒(méi)有任何時(shí)域局部化，以及STFT固定分辨率的缺陷，希望窗口函數(shù)的形狀可以改變，即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第31頁(yè)，共85頁(yè)。小波分析:給定一個(gè)基本小波函數(shù)，則一維信號(hào)的連續(xù)小波變換為：間的相似程度?？梢钥闯捎?jì)算和TimeScales低頻高頻中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第32頁(yè)，共85頁(yè)。例1信號(hào)由三個(gè)不同頻率的正弦所組成中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系lcwt.m第33頁(yè)，共85頁(yè)。例2線性調(diào)頻信號(hào)中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第34頁(yè)，共85頁(yè)。時(shí)頻分析法線性方法非線性方法短時(shí)傅里葉變換小波分析Gabor變換維格納分布Cohen類分布√√√為了克服傅里葉變換不足，尋找新的方法，能將時(shí)域和頻域結(jié)合起來(lái)描述觀察信號(hào)的時(shí)頻聯(lián)合特征，構(gòu)成信號(hào)的時(shí)頻譜。這就是所謂的時(shí)頻分析法。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第35頁(yè)，共85頁(yè)。7.3Wigner分布

Wigner于1932年首先提出了Wigner分布的概念，并把它用于量子力學(xué)領(lǐng)域。在之后的一段時(shí)間內(nèi)并沒(méi)有引起人們的重視。直到1948年，首先由Ville把它應(yīng)用于信號(hào)分析。因此，Wigner分布又稱Wigner－Ville分布，簡(jiǎn)稱為WVD。1973年，DE．Bruijn對(duì)WVD分布作了評(píng)述，并給出了把WVD用于信號(hào)變換的新的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。1966年，Cohen給出了各種時(shí)－頻分布的統(tǒng)一表示形式。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第36頁(yè)，共85頁(yè)。

1980年Classen在Philips．J．Res．上連續(xù)發(fā)表了三篇關(guān)于WVD的文章，對(duì)WVD的定義、性質(zhì)等作了全面的討論。由于這些工作，使得80年代后對(duì)WVD的研究驟然引起了人們的興趣，發(fā)表的論文很多，也取得了一些可喜的成果。在已提出的各種時(shí)－頻分布中，WVD具有最簡(jiǎn)單的形式，并具有很好的性質(zhì)。

中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第37頁(yè)，共85頁(yè)。線性調(diào)頻信號(hào)的FT和STFT例中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第38頁(yè)，共85頁(yè)。例線性調(diào)頻信號(hào)的WVD中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第39頁(yè)，共85頁(yè)。有關(guān)參考文獻(xiàn)：[1]TCM.Classen,WFG.Mecklenbrauker.TheWingerdistribution--partI.PhilipsRes.J.1980,35:217--250[2]TCM.Classen,WFG.Mecklenbrauker.TheWignerdistribution--partII.PhilipsRes.J.1980,35:276--300[3]TCM.Classen,WFG.Mecklenbrauker.TheWignerdistribution--partIII.PhilipsRes.J.1980,35:372—389[4]L.Cohen.Time-FrequencyDistributions:Areview.Proc.IEEE,77(7):941--981,Julyl989.中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第40頁(yè)，共85頁(yè)。[5]L.Cohen:Time－FrequencyAnalysis:TheoryandApplications.Prentice-Hall,1995.(西安交通大學(xué)白居憲譯）[6]F.Auger,P.Flandrin,etal.Time—FrequencyToolbox:ForUsewithMATLAB.中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第41頁(yè)，共85頁(yè)。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系7.3.1WVD的定義

與FT、小波分析不同，WVD分布沒(méi)有使用基函數(shù)與信號(hào)的內(nèi)積，因此也就沒(méi)有時(shí)－頻域的分辨率限制，WVD使用信號(hào)的正負(fù)移位之積構(gòu)成一種“雙線性形式”的變換，實(shí)際是一種非線性變換。第42頁(yè)，共85頁(yè)。WVD的定義

定義1：的自Wigner分布：

中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系上式為的傅立葉變換式

則：瞬時(shí)自相關(guān)若令：第43頁(yè)，共85頁(yè)。的聯(lián)合Wigner分布：

定義2：上式為的傅立葉變換式

若令：則：瞬時(shí)互相關(guān)中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第44頁(yè)，共85頁(yè)。WVD的頻域定義令：則：令：則：第45頁(yè)，共85頁(yè)。自WVD:中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系互WVD:第46頁(yè)，共85頁(yè)。7.3.2WVD的性質(zhì)

始終是的實(shí)函數(shù)；（1）.

（2）.

是的偶函數(shù)；若是實(shí)信號(hào)，（3）.

互WVD可能是復(fù)函數(shù)1、奇、偶、虛、實(shí)性

(證明p183～184)第47頁(yè)，共85頁(yè)。（１）時(shí)間邊緣（timemarginal）性質(zhì)

2、邊緣積分性質(zhì)

兩邊對(duì)積分：

信號(hào)的WVD沿頻率軸的積分等于該信號(hào)在時(shí)刻的瞬時(shí)能量。

第48頁(yè)，共85頁(yè)。（2）頻率邊緣(frequencymarginal)性質(zhì)

瞬“頻”能量

兩邊同時(shí)對(duì)t積分

t第49頁(yè)，共85頁(yè)。時(shí)間帶內(nèi)的積分=信號(hào)在該帶內(nèi)的能量

頻率帶內(nèi)的積分=信號(hào)在該帶內(nèi)的能量

整個(gè)時(shí)頻平面上的積分=信號(hào)的能量

（3）能量分布性質(zhì)中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第50頁(yè)，共85頁(yè)。

在整個(gè)時(shí)頻平面上的積分等于信號(hào)的能量，因此，是信號(hào)能量的分布。這是WVD和Cohen類時(shí)頻分布的一個(gè)重要性質(zhì)。該性質(zhì)是時(shí)頻分布廣泛應(yīng)用的一個(gè)重要原因。但是，在時(shí)－頻平面的某一點(diǎn)處，有可能是負(fù)值，這是由不定原理所決定的。但是，只要保證積分的最小面積中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第51頁(yè)，共85頁(yè)。

令這一特定的時(shí)刻，有

3.WVD的反變換x(t)可其WVD來(lái)重建

中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第52頁(yè)，共85頁(yè)。（１）、移位

（２）、調(diào)制

4、WVD的運(yùn)算性質(zhì)

只影響WVD的時(shí)間只影響WVD的頻率中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第53頁(yè)，共85頁(yè)。（３）、移位加調(diào)制

（４）、時(shí)間尺度

中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第54頁(yè)，共85頁(yè)。（５）、信號(hào)的相乘

信號(hào)乘積的WVD=信號(hào)各自WVD在頻率軸上卷積中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第55頁(yè)，共85頁(yè)。

時(shí)域相乘，等效于對(duì)信號(hào)在時(shí)域加窗。從頻譜分析的角度，自然對(duì)應(yīng)的是頻譜在頻域的卷積，影響了頻域的分辨率。對(duì)WVD，這一點(diǎn)是一致的，也是對(duì)應(yīng)頻率軸上的卷積。但是，在WVD中，沒(méi)有對(duì)時(shí)間軸產(chǎn)生影響，也即沒(méi)有影響WVD在時(shí)間軸上的分辨率。這是WVD和Cohen類分布的一個(gè)很好的性質(zhì)。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第56頁(yè)，共85頁(yè)。（６）、信號(hào)的濾波

信號(hào)時(shí)域卷積，WVD在時(shí)間軸上卷積時(shí)域卷積相當(dāng)于對(duì)信號(hào)的濾波，在頻譜分析中，相當(dāng)于兩個(gè)頻譜相乘；在WVD中，它對(duì)應(yīng)的是兩個(gè)WVD在時(shí)間軸上的卷積，而在頻率軸上沒(méi)有運(yùn)算。實(shí)際上，兩個(gè)2－D函數(shù)在一個(gè)方向上卷積是在另一個(gè)方向上對(duì)應(yīng)的是相乘關(guān)系。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第57頁(yè)，共85頁(yè)。（７）、信號(hào)的相加

自項(xiàng)自項(xiàng)互項(xiàng)兩個(gè)信號(hào)和的WVD并不等于各自WVD的和，還要加上二者的互WVD，稱之為“交叉項(xiàng)”。這是WVD的一個(gè)較為嚴(yán)重的缺點(diǎn)。因?yàn)榇蟮慕徊骓?xiàng)可以“污染”自項(xiàng)，從而影響了分辨率。交叉項(xiàng)中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第58頁(yè)，共85頁(yè)。若：個(gè)分量個(gè)自項(xiàng)個(gè)互項(xiàng)時(shí)頻分析研究的一個(gè)重要方面是如何抑制或去除交叉項(xiàng)，由此，人們又提出了許多其它形式的分布，通稱Cohen類分布。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第59頁(yè)，共85頁(yè)。5WVD的時(shí)限與帶限性質(zhì)

若信號(hào)在時(shí)域是有限支撐的，則其WVD在時(shí)間方向上也是有限支撐的。若信號(hào)的頻譜在頻域是有限支撐的，則其WVD在頻率方向上也是有限支撐的。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第60頁(yè)，共85頁(yè)。WVD的缺點(diǎn)：有交叉項(xiàng)存在；2.有可能取負(fù)值；取窗口保證或Heisenberg積分面積中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第61頁(yè)，共85頁(yè)。例1

注意：截面是sinc函數(shù)時(shí)域支撐范圍exa030301.m7.3.3常用信號(hào)的WVD中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第62頁(yè)，共85頁(yè)。例2

中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系（復(fù)正弦信號(hào)）與時(shí)間無(wú)關(guān)的函數(shù)，信號(hào)在任意時(shí)刻都只有的頻率分量exa030302.m第63頁(yè)，共85頁(yè)。例3中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系exa030304.m第64頁(yè)，共85頁(yè)。例4交叉項(xiàng)中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系exa030303.m第65頁(yè)，共85頁(yè)。

例5

WVD的中心在（0，0）處，控制WVD在時(shí)間和頻率方向上的擴(kuò)展。二維的高斯函數(shù)

高斯函數(shù)中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系exa030305.m第66頁(yè)，共85頁(yè)。

例6

Chirp信號(hào)中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系線性調(diào)頻信號(hào)沿的一條直線exa0303060.m第67頁(yè)，共85頁(yè)。例7高斯包絡(luò)線性調(diào)頻信號(hào)高斯信號(hào)線性調(diào)頻信號(hào)exa030306.m第68頁(yè)，共85頁(yè)。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第69頁(yè)，共85頁(yè)。多普勒信號(hào)：指的是一個(gè)物體相對(duì)一個(gè)位置不變的“觀察者（如雷達(dá)）”運(yùn)動(dòng)時(shí)，“觀察者”所聽到或所記錄到的該物體運(yùn)動(dòng)的信號(hào)。頻率變化的突變點(diǎn)例8中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系exa030307.m第70頁(yè)，共85頁(yè)。

WVD有許多優(yōu)點(diǎn)，但由于WVD是雙線性形式的變換，因此兩個(gè)信號(hào)和的分布將存在交叉項(xiàng)。交叉項(xiàng)的存在將嚴(yán)重影響對(duì)自項(xiàng)的識(shí)別，從而也就嚴(yán)重影響了對(duì)信號(hào)時(shí)－頻行為的識(shí)別。為削弱Wigner分布中的交叉項(xiàng)，并改進(jìn)自項(xiàng)的分辨率。人們已提到了十多種具有雙線性形式的時(shí)－頻分布，它們被統(tǒng)稱為“Cohen類”。

7.3.4Wigner分布中的交叉項(xiàng)

為了搞清削弱交叉項(xiàng)的途徑，我們有必要仔細(xì)了解Wigner分布中交叉項(xiàng)的行為?，F(xiàn)舉幾個(gè)例子說(shuō)明該問(wèn)題。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第71頁(yè)，共85頁(yè)?！霸有盘?hào)”是指：這一類信號(hào)，其中為時(shí)域有限長(zhǎng)的窗函數(shù)，在構(gòu)成“原子”時(shí)，常用的是高斯窗。由于高斯窗的頻譜也是高斯窗，因此，“原子”在時(shí)域和頻域都是相對(duì)集中的信號(hào)。通過(guò)改變

和，可以改變“原子”的時(shí)頻中心。在時(shí)頻分析中常用“原子信號(hào)”作為實(shí)驗(yàn)信號(hào)。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第72頁(yè)，共85頁(yè)。例8“時(shí)頻原子”高斯窗

時(shí)頻中心在處

注：普通高斯函數(shù)，時(shí)頻中心在處中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第73頁(yè)，共85頁(yè)。例9兩個(gè)“時(shí)頻原子”的和：兩個(gè)自項(xiàng)的中心：交叉項(xiàng)的中心：中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第74頁(yè)，共85頁(yè)。兩個(gè)自項(xiàng)的中心：交叉項(xiàng)的中心：例10兩個(gè)“時(shí)頻原子”的和：中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第75頁(yè)，共85頁(yè)。例11兩個(gè)“時(shí)頻原子”的和：兩個(gè)自項(xiàng)的中心：交叉項(xiàng)的中心：中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第76頁(yè)，共85頁(yè)。分析以上結(jié)果，可以看出，對(duì)兩個(gè)分量的信號(hào)：1.WVD自項(xiàng)的中心在原分量的時(shí)頻中心處，即

2.互項(xiàng)（即交叉項(xiàng)）的中心在兩個(gè)自項(xiàng)的幾何中心，即3.互項(xiàng)的幅度一般要大于自項(xiàng)的幅度；4.上述結(jié)論可推廣到多分量信號(hào)。中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第77頁(yè)，共85頁(yè)。例12四個(gè)“時(shí)頻原子”的和：四個(gè)自項(xiàng)的位置應(yīng)有6個(gè)互項(xiàng)，位置是：重合在交叉中心處中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第78頁(yè)，共85頁(yè)。四個(gè)“時(shí)頻原子”的和：WVD中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第79頁(yè)，共85頁(yè)。7.4Wigner分布的實(shí)現(xiàn)

歸一化，令Ts=1令中國(guó)石油大學(xué)（北京）電子信息工程系第80頁(yè)，共85頁(yè)。的周期為

由抽樣定理