磁感應(yīng)強(qiáng)度與畢奧-薩瓦定律

§4-1磁感應(yīng)強(qiáng)度與畢奧-薩瓦定律§4-2磁通及其連續(xù)性原理

§4-3真空中的安培環(huán)路定理

§4-4非真空媒質(zhì)中的安培環(huán)路定理

§4-5兩媒質(zhì)交界面上磁場(chǎng)的邊界條件

§4-6磁場(chǎng)中的兩個(gè)基本定理的微分形式§4-7無(wú)電流區(qū)域中磁場(chǎng)的標(biāo)量磁位與拉普拉斯方程§4-8磁場(chǎng)的矢量磁位及泊松方程§4-9磁場(chǎng)的鏡象法

§4-10自感及其計(jì)算

§4-11互感及其計(jì)算§4-12載電流回路系統(tǒng)的磁場(chǎng)能量及其分布

§4-13磁場(chǎng)力的計(jì)算第四章恒定磁場(chǎng)1一、磁感應(yīng)強(qiáng)度1.磁場(chǎng)——存在于載流回路或永久磁鐵周?chē)臻g的能對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷施力的客觀存在。

2.磁感應(yīng)強(qiáng)度

——運(yùn)動(dòng)的單位正點(diǎn)電荷在場(chǎng)中某點(diǎn)以單位速度向與磁場(chǎng)垂直方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受的最大磁場(chǎng)力?！?-1磁感應(yīng)強(qiáng)度與畢奧—薩瓦定律2磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量

的定義式與前一式等效

導(dǎo)線(xiàn)中的電流為運(yùn)動(dòng)電荷所形成磁場(chǎng)中載流微小線(xiàn)元

的受力國(guó)際單位制中，磁感應(yīng)強(qiáng)度

的單位特（T），1T＝1Wb/m2仿恒定磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度

線(xiàn)，使磁場(chǎng)形象化，

磁感應(yīng)線(xiàn)磁感應(yīng)強(qiáng)度與畢奧—薩瓦定律3微小載流線(xiàn)元在無(wú)限大空間某點(diǎn)所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

為線(xiàn)元

至被研究點(diǎn)之距離

為線(xiàn)元指向被研究點(diǎn)方向上的單位矢量μ0表示媒質(zhì)為真空時(shí)的磁導(dǎo)率其值為4π×10–7H/m。二、畢奧－薩瓦定律(實(shí)驗(yàn)定律)磁感應(yīng)強(qiáng)度與畢奧—薩瓦定律4閉合載流回路在空間某點(diǎn)所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度

μ為空間媒質(zhì)的磁導(dǎo)率，在通常情況下，也引用媒質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率μr(=μ／μ0)。除鐵磁物質(zhì)（鐵、鈷、鎳等）以外的其它物質(zhì)的磁導(dǎo)率均相差無(wú)幾。磁感應(yīng)強(qiáng)度與畢奧—薩瓦定律5例4-1:

真空中長(zhǎng)度為2L的細(xì)直導(dǎo)線(xiàn)通有電流I，試確定直線(xiàn)外任一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度

。解:在細(xì)直導(dǎo)線(xiàn)上截取電流元，它在點(diǎn)P（r，α，z）的磁感應(yīng)強(qiáng)度dB的大小dB的方向由確定磁感應(yīng)強(qiáng)度與畢奧—薩瓦定律6

R=rcscθl=z－rctgθdl=rcsc2θdθ

說(shuō)明：θ1和θ2分別是細(xì)直導(dǎo)線(xiàn)兩端電流元方向與其到場(chǎng)點(diǎn)的矢徑方向之間的夾角；r為場(chǎng)點(diǎn)到直導(dǎo)線(xiàn)的垂直距離。磁感應(yīng)強(qiáng)度與畢奧—薩瓦定律71、對(duì)應(yīng)于不同的坐標(biāo)α，只要場(chǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)r、z相同，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小相同而方向不同。2、當(dāng)導(dǎo)線(xiàn)為無(wú)限長(zhǎng)時(shí)，θ1→0，θ2→π，則討論：對(duì)于距無(wú)限長(zhǎng)直細(xì)導(dǎo)線(xiàn)的垂直距離相同的各場(chǎng)點(diǎn)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小相同。磁感應(yīng)強(qiáng)度與畢奧—薩瓦定律8IαbaP解：練習(xí)：分別求出圖示各種形狀的線(xiàn)電流在真空中所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。IPR磁感應(yīng)強(qiáng)度與畢奧—薩瓦定律9例4-2:

兩平行的，軸線(xiàn)間距離為d的半無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)1、2，以直導(dǎo)線(xiàn)3連接，導(dǎo)線(xiàn)為銅線(xiàn)，其半徑均為a。通以電流I，試確定連接1，2的導(dǎo)線(xiàn)段3所受的磁場(chǎng)力。解：坐標(biāo)系如圖所示。連接1、2的導(dǎo)線(xiàn)段為x=a至x=d-a在區(qū)間（a，d－a）內(nèi)任一點(diǎn)x處截取長(zhǎng)度元dx，則導(dǎo)線(xiàn)1，2在x處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B1和B2的方向相同由于空氣以及非鐵磁物質(zhì)的磁導(dǎo)率與真空中的磁導(dǎo)率μ0極其接近磁感應(yīng)強(qiáng)度與畢奧—薩瓦定律10它垂直于導(dǎo)線(xiàn)所在平面并指向讀者，亦與電流元Idx的方向相垂直。長(zhǎng)度元dx處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小磁感應(yīng)強(qiáng)度與畢奧—薩瓦定律11§4-2磁通及其連續(xù)性原理

當(dāng)S為空間閉合曲面時(shí)，則穿過(guò)此閉合曲面磁通

一、磁通磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量

的通量——作出場(chǎng)的矢量線(xiàn)，穿過(guò)某微小面元

的磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量

線(xiàn)數(shù)（磁感應(yīng)線(xiàn)數(shù)），簡(jiǎn)稱(chēng)為磁通量或磁通。12二、磁通連續(xù)性原理穿過(guò)空間任意閉合曲面S的磁通恒等于零磁感應(yīng)強(qiáng)度線(xiàn)是綿延連續(xù)無(wú)源無(wú)匯的磁通連續(xù)性原理。它說(shuō)明磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量線(xiàn)是連續(xù)而不中斷的閉合矢量線(xiàn)，因而磁場(chǎng)空間沒(méi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量線(xiàn)的源和匯，磁場(chǎng)是一個(gè)無(wú)源場(chǎng)。磁通及其連續(xù)性原理13與其距離為r的各點(diǎn)上

的方向相同。窄長(zhǎng)條上穿進(jìn)的磁通例4-3

無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)通以電流

I，圖示直角三角形ΔA’B’C’與之共平面，求通過(guò)ΔA’B’C’的磁通。設(shè)a=12cm，b=7cm，d=5cm，I=10A，求出數(shù)值結(jié)果。解：長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)外任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度磁通及其連續(xù)性原理14穿過(guò)ΔA’B’C’磁通為磁通及其連續(xù)性原理15§4-3真空中的安培環(huán)路定理

設(shè)真空媒質(zhì)中，有一無(wú)限長(zhǎng)載電流I的直導(dǎo)線(xiàn)，在與導(dǎo)線(xiàn)垂直的平面上，作任意積分路徑l，根據(jù)畢奧－薩定律，l上任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度一、推導(dǎo)

真空中的安培環(huán)路定理16

當(dāng)積分路徑不與電流交鏈時(shí)，上式右端項(xiàng)將為零。當(dāng)積分路徑k次交鏈電流I時(shí)，上式右端項(xiàng)的電流應(yīng)記為kI

。一般情況下真空中的安培環(huán)路定理

真空中的安培環(huán)路定理17二、物理意義

當(dāng)所交鏈的電流流向與閉合有向曲線(xiàn)l的繞行方向符合右螺旋法則時(shí)，該電流取為正，反之取為負(fù)。若電流不與閉合有向曲線(xiàn)l交鏈時(shí)，該電流應(yīng)記為零。當(dāng)積分路徑k次交鏈某一電流I時(shí)，則應(yīng)記為kI。電流的方向

真空媒質(zhì)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度

沿任意閉合有向曲線(xiàn)l的環(huán)路積分，等于與該閉合有向曲線(xiàn)l所交鏈的電流的代數(shù)和與真空媒質(zhì)磁導(dǎo)率的乘積。

真空中的安培環(huán)路定理18磁場(chǎng)的環(huán)路積分不恒為零，說(shuō)明磁場(chǎng)圖形與靜電場(chǎng)不同。它的分布具有旋渦形，是非位場(chǎng)。

三、磁場(chǎng)的無(wú)旋性

真空中的安培環(huán)路定理19例4-4：空氣中無(wú)限長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體載有電流I，其半徑為a。試確定導(dǎo)體內(nèi)、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。設(shè)空氣和導(dǎo)體的磁導(dǎo)率均為μ0。解：磁場(chǎng)以長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體的軸線(xiàn)作對(duì)稱(chēng)分布，取半徑為r的圓周為閉合曲線(xiàn)l半徑為r（r＜a）的圓所交鏈的僅是電流I的一部分：20§4-4非真空媒質(zhì)中的安培環(huán)路定理磁場(chǎng)的分布具有旋渦性這一重要特性，不會(huì)因?yàn)榭臻g媒質(zhì)的更換而有質(zhì)的改變。但是對(duì)真空中的安培環(huán)路定理作數(shù)量方面的修改則是必要的。一、磁媒質(zhì)順磁性媒質(zhì)反磁性媒質(zhì)順磁性媒質(zhì)——在外磁場(chǎng)中，其分子磁矩有秩序地排列而使整個(gè)磁場(chǎng)加強(qiáng)的媒質(zhì)。反磁性媒質(zhì)——在外磁場(chǎng)作用下產(chǎn)生的附加磁矩，和外磁場(chǎng)方向相反，從而削弱了外磁場(chǎng)，呈現(xiàn)出反磁性。21引入矢量

表示媒質(zhì)分子圓電流的磁效應(yīng)

稱(chēng)為分子圓電流的磁偶極矩，簡(jiǎn)稱(chēng)分子磁矩，單位為安培平方米（A·m2）若從導(dǎo)磁的觀點(diǎn)看問(wèn)題，除鐵磁物質(zhì)外，無(wú)論是順磁媒質(zhì)，或反磁媒質(zhì)，其磁導(dǎo)率均接近于真空媒質(zhì)磁導(dǎo)率，即均接近于1。如順磁媒質(zhì)鋁，其相對(duì)磁導(dǎo)率μr=1.0000214；而反磁媒質(zhì)銅，其相對(duì)磁導(dǎo)率μr=0.999991非真空媒質(zhì)中的安培環(huán)路定理22磁化強(qiáng)度與媒質(zhì)表面的磁化電流

1、磁化強(qiáng)度定義：研究宏觀媒質(zhì)的微小體積元中，單位體積內(nèi)分子磁矩的平均磁效應(yīng)，以

表示單位體積內(nèi)分子磁矩之和

二、磁化強(qiáng)度矢量——媒質(zhì)的磁化強(qiáng)度，它描述媒質(zhì)被磁化時(shí)，媒質(zhì)中各點(diǎn)所呈現(xiàn)的磁化強(qiáng)弱狀態(tài)。2、磁化強(qiáng)度與磁化電流的關(guān)系：若在被磁化的媒質(zhì)中，截取一微小圓柱體，設(shè)單位體積內(nèi)所含分子數(shù)為N，則包圍軸線(xiàn)的磁化電流為

23

故場(chǎng)中某點(diǎn)的磁化強(qiáng)度

可理解為該點(diǎn)所在處

方向上，單位長(zhǎng)度所交鏈的磁化電流在極限情況下在考慮了媒質(zhì)邊緣處所出現(xiàn)的表面磁化電流（亦可稱(chēng)為束縛電流）之后，可視磁場(chǎng)處于真空媒質(zhì)之中。媒質(zhì)的磁化電流若

的取向與

方向一致時(shí)非真空媒質(zhì)中的安培環(huán)路定理24在非真空媒質(zhì)中，考慮磁化電流后，可得磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量的環(huán)路定理三、安培環(huán)路定理

安培環(huán)路定理：磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量

，沿任意閉合有向曲線(xiàn)的積分，等于與該曲線(xiàn)所交鏈的宏觀電流（自由電流）的代數(shù)和。安培環(huán)路定理為磁場(chǎng)的又一個(gè)基本定理，它說(shuō)明磁場(chǎng)是有旋場(chǎng)。磁場(chǎng)強(qiáng)度非真空媒質(zhì)中的安培環(huán)路定理25

——媒質(zhì)的磁化率，是一個(gè)無(wú)量綱的純量。對(duì)于各向同性媒質(zhì)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)有非真空媒質(zhì)中的安培環(huán)路定理對(duì)比26介質(zhì)極化（電極化強(qiáng)度P）媒質(zhì)磁化（磁化強(qiáng)度M）極化時(shí)介質(zhì)內(nèi)部正負(fù)位移電荷互相抵消，只在介質(zhì)電場(chǎng)方向的邊緣處出現(xiàn)束縛電荷媒質(zhì)磁化內(nèi)部相鄰分子圓電流彼此互相抵消，只在媒質(zhì)的邊緣表面形成磁化電流考慮了束縛電荷效應(yīng)，可視電場(chǎng)處于真空介質(zhì)中考慮了媒質(zhì)表面磁化電流效應(yīng)，可視磁場(chǎng)處于真空媒質(zhì)中引入電極化強(qiáng)度引入磁化強(qiáng)度靜電場(chǎng)與恒定磁場(chǎng)的類(lèi)比非真空媒質(zhì)中的安培環(huán)路定理27例4-5：空氣中有一長(zhǎng)直鋼芯鋁線(xiàn)，鋼芯半徑為R1，鋁線(xiàn)的內(nèi)外半徑分別為R1、R2。鋼的電導(dǎo)率為γ1，相對(duì)磁導(dǎo)率為μr，鋁的電導(dǎo)率為γ2。設(shè)此導(dǎo)線(xiàn)中電流強(qiáng)度為I，求導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度及磁化強(qiáng)度。解：設(shè)電流依次為I1和I2，則應(yīng)有I1＋I(xiàn)2＝I。在鋼芯和鋁線(xiàn)的分界面上，電場(chǎng)強(qiáng)度的軸向分量連續(xù)非真空媒質(zhì)中的安培環(huán)路定理28非真空媒質(zhì)中的安培環(huán)路定理29將安培環(huán)路定理應(yīng)用于不同媒質(zhì)交界面處§4-5兩媒質(zhì)交界面上磁場(chǎng)的邊界條件將磁通連續(xù)性原理運(yùn)用于不同媒質(zhì)交界處2、若不同媒質(zhì)交界面處存有宏觀面電流，以a表示垂直流過(guò)單位長(zhǎng)度上的面電流值。當(dāng)面電流的方向與積分路徑成右手螺旋法則時(shí)，運(yùn)用安培環(huán)路定理于上述積分路徑兩不同導(dǎo)磁媒質(zhì)交界面處的面電流示意1、當(dāng)積分路徑不交鏈電流時(shí)30在不同媒質(zhì)交界面處，磁場(chǎng)的邊界條件為安培環(huán)路定理磁場(chǎng)的折射定理

無(wú)面電流媒質(zhì)交界面處，磁場(chǎng)的折射定理

鐵磁媒質(zhì)的磁導(dǎo)率遠(yuǎn)大于順磁、反磁媒質(zhì)，在兩者交界面處，不管磁場(chǎng)從何方射向交界面，非鐵磁物質(zhì)中磁場(chǎng)總是趨向垂直于鐵質(zhì)交界面磁媒質(zhì)的表面。兩媒質(zhì)交界面上磁場(chǎng)的邊界條件31例4-6

：磁場(chǎng)由磁導(dǎo)率μ1＝1500μ0的鋼進(jìn)入空氣中，已知鋼中B1＝15T，

=87°。求分界面空氣一側(cè)的B2和

。解

鋼內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度B1的兩分量為兩媒質(zhì)交界面上磁場(chǎng)的邊界條件32

微分形式的磁通連續(xù)性原理：磁場(chǎng)中，空間任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量

的散度恒為零。它說(shuō)明了磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量

線(xiàn)處連續(xù)而不斷?！?-6磁場(chǎng)中的兩個(gè)基本定理的微分形式一、微分形式的磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理在直角坐標(biāo)系中，散度公式為33二、微分形式的安培環(huán)路定理1.推導(dǎo)yozxozxoy微分形式的安培環(huán)路定理磁場(chǎng)中的兩個(gè)基本定理的微分形式34

設(shè)A點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量為

，三個(gè)分量為Hx，Hy，Hz，沿?zé)o限小閉合矩形的環(huán)路積分當(dāng)此無(wú)限小閉合矩形所交鏈的電流為dIx時(shí)，可得磁場(chǎng)強(qiáng)度

的旋度在x方向上的分量為設(shè)空間有

場(chǎng)，為適應(yīng)直角坐標(biāo)系的需要，場(chǎng)中以任意點(diǎn)A（x，y，z）為中心，如圖作一無(wú)限小閉合矩形。磁場(chǎng)中的兩個(gè)基本定理的微分形式35同理可得旋度在y及z方向上的分量微分形式的安培環(huán)路定理?？臻g任一點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度的旋度等于該點(diǎn)的電流密度矢量。在電流密度不為零的區(qū)域磁場(chǎng)強(qiáng)度H的旋度不為零，說(shuō)明磁場(chǎng)是旋渦場(chǎng)，或有旋場(chǎng)。磁場(chǎng)中的兩個(gè)積分形式定理及兩個(gè)微分形式定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式，統(tǒng)稱(chēng)為磁場(chǎng)的基本方程式。磁場(chǎng)中的兩個(gè)基本定理的微分形式36證明：半徑為a，載有電流I長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度r=a處分界面例4-4：空氣中無(wú)限長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體載有電流I，其半徑為a。試確定導(dǎo)體內(nèi)、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。設(shè)空氣和導(dǎo)體的磁導(dǎo)率均為μ0。例4-7：證明由

的環(huán)路定理所求得例4-4的結(jié)果，滿(mǎn)足磁場(chǎng)的兩個(gè)微分形式定理及邊界條件。磁場(chǎng)中的兩個(gè)基本定理的微分形式37r=a處分界面磁場(chǎng)中的兩個(gè)基本定理的微分形式38§4-7無(wú)電流區(qū)域中磁場(chǎng)的標(biāo)量磁位與拉普拉斯方程一、磁場(chǎng)的標(biāo)量磁位磁場(chǎng)中電流密度

處引入標(biāo)量磁位

磁位函數(shù)

是一個(gè)沒(méi)有物理意義的計(jì)算量，單位為（A）39可得任意方向l上的磁場(chǎng)強(qiáng)度UmAP定義為A、P兩點(diǎn)間的磁壓選定P為參考點(diǎn)時(shí)，則得A點(diǎn)的磁位函數(shù)為

無(wú)電流區(qū)域中磁場(chǎng)的標(biāo)量磁位與拉普拉斯方程40若積分路徑穿越的方向改變時(shí)有

磁位函數(shù)為一多值函數(shù)。當(dāng)兩點(diǎn)間積分路徑穿越載流回路時(shí)，則磁位函數(shù)有一附加常數(shù)I。二、標(biāo)量磁位的多值性與磁障礙面無(wú)電流區(qū)域中磁場(chǎng)的標(biāo)量磁位與拉普拉斯方程41積分路徑

k次穿越載流當(dāng)積分路徑穿越某載流回路k次時(shí)兩點(diǎn)間的磁壓要隨積分路徑而變。

為了使磁位函數(shù)具有單值性，我們通常約定，在求載流回路空間的磁位時(shí)，不得穿越載流回路所界定的面積，此面積稱(chēng)之為磁障礙面。這樣，磁位函數(shù)即為單值函數(shù)，磁壓亦為單值函數(shù)。

從原則上講，磁障礙面可任意選取，然而為方便起見(jiàn)，對(duì)于平面載流回路，一般選擇平面載流回路所界定的平面。磁場(chǎng)中的兩個(gè)基本定理的微分形式無(wú)電流區(qū)域中磁場(chǎng)的標(biāo)量磁位與拉普拉斯方程42磁位函數(shù)的拉普拉斯方程在空間媒質(zhì)的磁導(dǎo)率μ為常數(shù)情況下三、磁場(chǎng)的拉普拉斯方程在磁場(chǎng)的無(wú)電流區(qū)域，即

處無(wú)電流區(qū)域中磁場(chǎng)的標(biāo)量磁位與拉普拉斯方程43滿(mǎn)足拉普拉斯方程，且滿(mǎn)足一定邊界條件的標(biāo)量磁位函數(shù)是唯一的。以磁位函數(shù)所表示的媒質(zhì)交界面處邊界條件為磁場(chǎng)的唯一性定理為：無(wú)電流區(qū)域中磁場(chǎng)的標(biāo)量磁位與拉普拉斯方程44例4-8有一載電流I的無(wú)限長(zhǎng)直圓導(dǎo)線(xiàn)，試求圖示導(dǎo)線(xiàn)外A、P兩點(diǎn)之間的磁壓UmAP。A、P兩點(diǎn)間的磁壓在直線(xiàn)OP上取點(diǎn)C，令OC=OA=r。磁場(chǎng)強(qiáng)度沿著點(diǎn)A到P的曲線(xiàn)l的曲線(xiàn)積分，只要曲線(xiàn)l不繞電流，則積分值與路徑無(wú)關(guān)。解：載有電流I的無(wú)限長(zhǎng)直圓導(dǎo)線(xiàn)外的磁場(chǎng)強(qiáng)度無(wú)電流區(qū)域中磁場(chǎng)的標(biāo)量磁位與拉普拉斯方程45解：取ox軸，通過(guò)＝0的射線(xiàn)作一磁障礙面，可以設(shè)想空間將被分割，被分割的空間內(nèi)，導(dǎo)線(xiàn)以外區(qū)域標(biāo)量磁位具有單值性。磁障礙面構(gòu)成這一問(wèn)題的邊界，即平面上下兩側(cè)分別是等磁位面。例4-9

通過(guò)求解標(biāo)量磁位的拉普拉斯方程，確定載電流I的無(wú)限長(zhǎng)直圓導(dǎo)線(xiàn)外的磁場(chǎng)。設(shè)定磁場(chǎng)標(biāo)量磁位的參考點(diǎn)無(wú)電流區(qū)域中磁場(chǎng)的標(biāo)量磁位與拉普拉斯方程46（r＞a）

設(shè)A、B分別取為磁障礙上、下側(cè)極為鄰近的兩點(diǎn)，l為自A到B圍繞電流I（I的方向如圖示）的曲線(xiàn)，則無(wú)電流區(qū)域中磁場(chǎng)的標(biāo)量磁位與拉普拉斯方程47§4-8磁場(chǎng)的矢量磁位及泊松方程一、矢量磁位及其所滿(mǎn)足的泊松方程1.引入矢量磁位由于旋度場(chǎng)的散度恒為零引入

后，沒(méi)有破壞磁通連續(xù)性原理48當(dāng)媒質(zhì)均勻或分區(qū)均勻時(shí)由矢量恒等式有2.方程推導(dǎo)無(wú)電流密度區(qū)域矢量磁位

不具有直接的物理意義，但卻是一個(gè)用途廣泛的重要計(jì)算量，單位為韋伯每米（Wb/m）。有電流密度區(qū)域磁場(chǎng)的矢量磁位及泊松方程49在恒定磁場(chǎng)中，當(dāng)磁導(dǎo)率為μ的各向同性、線(xiàn)性導(dǎo)磁物質(zhì)充滿(mǎn)空間時(shí)，泊松方程為磁場(chǎng)中各點(diǎn)的矢量磁位二、分布型問(wèn)題泊松方程的解在靜電場(chǎng)中，當(dāng)電容率為ε的各向同性、線(xiàn)性介質(zhì)充滿(mǎn)空間時(shí)，泊松方程為其解類(lèi)比磁場(chǎng)的矢量磁位及泊松方程50

當(dāng)電流的分布已知時(shí)，求解磁場(chǎng)的矢量磁位，因而稱(chēng)為分布型問(wèn)題。如果電流在導(dǎo)線(xiàn)截面尺度微小的線(xiàn)型回路中流動(dòng)時(shí)，由于磁場(chǎng)的矢量磁位及泊松方程51在直角坐標(biāo)系中，矢量磁位

泊松方程可分解為三個(gè)標(biāo)量方程因而矢量磁位

三個(gè)分量分別磁場(chǎng)的矢量磁位及泊松方程52穿過(guò)有向回路界定的曲面的磁通三、運(yùn)用矢量磁位求磁通

l為界定有向曲面

的有向閉合曲線(xiàn)l的繞行方向與曲面的正側(cè)法線(xiàn)間具有右螺法則關(guān)系。當(dāng)求解曲面S所穿過(guò)的磁通時(shí)，僅需求解矢量磁位

此曲面S的有向周界l的閉合曲線(xiàn)積分。磁場(chǎng)的矢量磁位及泊松方程53

具有唯一性定理，即：滿(mǎn)足泊松方程且滿(mǎn)足一定邊界條件的磁場(chǎng)矢量位函數(shù)是唯一的。H1t-H2t=a四、邊值型問(wèn)題中矢量磁位

場(chǎng)的邊界條件它說(shuō)明在不同媒質(zhì)交界面處，矢量磁位具有連續(xù)性，B才有限此邊界條件與B1n=B2n等效。無(wú)面電流線(xiàn)密度，α＝0磁場(chǎng)的矢量磁位及泊松方程磁場(chǎng)的矢量磁位及泊松方程54交界面處，矢量磁位所滿(mǎn)足的邊界條件

當(dāng)磁場(chǎng)為平行平面場(chǎng)時(shí)，磁場(chǎng)只有x、y方向分量，此時(shí)電流必沿z軸方向流動(dòng)，可知矢量磁位亦僅有z軸方向分量，且矢量磁位沿z軸方向的變化率為零。x為t方向，y為n方向的邊界條件為磁場(chǎng)的矢量磁位及泊松方程55例4-10：求長(zhǎng)度為2L，通以電流I的直導(dǎo)線(xiàn)外任一點(diǎn)P的矢量磁位。

l為積分變量，令t=l－z，則dl＝dt解：電流I沿z軸方向，任一點(diǎn)P（r，α，z）的矢量磁位

將只有Az分量磁場(chǎng)的矢量磁位及泊松方程例4-156

例4-11：求無(wú)限長(zhǎng)的平行雙輸電線(xiàn)的磁場(chǎng)。解：雙輸電線(xiàn)磁場(chǎng)的矢量磁位方向顯然平行于z軸。由于輸電線(xiàn)為無(wú)限長(zhǎng)，在平行于xoy平面上磁場(chǎng)分布相同，研究點(diǎn)P（x，y，o）的情況。點(diǎn)P的矢量磁位由導(dǎo)線(xiàn)1和2的矢量磁位

、

疊加而得。單獨(dú)考慮導(dǎo)線(xiàn)1的矢量位時(shí)，若選定坐標(biāo)原點(diǎn)o為參考點(diǎn)磁場(chǎng)的矢量磁位及泊松方程57求半徑為a，載電流I的長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)、外磁場(chǎng)的矢量磁位

選圓柱坐標(biāo)系。A只有z分量，且Az只與r有關(guān)。5859606162當(dāng)r1=r2時(shí)，A=0，yoz平面為矢量磁位的零位面磁場(chǎng)的矢量磁位及泊松方程63在xoy平面上磁感應(yīng)強(qiáng)度B線(xiàn)的微分方程為Bxdy-Bydx=0，故磁感應(yīng)線(xiàn)的方程Az＝K1（常數(shù)）

r2/r1=K1

。對(duì)照靜電場(chǎng)，雙電軸電場(chǎng)中的等位線(xiàn)就是載有相反電流的兩直導(dǎo)線(xiàn)所產(chǎn)生的磁場(chǎng)中的等A線(xiàn)，就是B線(xiàn)。磁場(chǎng)的矢量磁位及泊松方程引申討論：64導(dǎo)線(xiàn)外的矢量磁位例4-12：利用矢量磁位重新計(jì)算例4-3中通過(guò)ΔA’B’C’的磁通。解：ΔA’B’C’周界的繞行方向應(yīng)如圖中箭頭所示通過(guò)ΔA’B’C’的磁通磁場(chǎng)的矢量磁位及泊松方程65C’B’點(diǎn)B’相應(yīng)于z=a點(diǎn)A’相應(yīng)z=0綜上，得到進(jìn)入紙面內(nèi)的磁通B’A’磁場(chǎng)的矢量磁位及泊松方程66磁導(dǎo)率為μ1及μ2的導(dǎo)磁媒質(zhì)，其交接處為無(wú)限大平面，一線(xiàn)形載電流I的導(dǎo)體與平面平行?！?-9磁場(chǎng)的鏡象法一、無(wú)限大媒質(zhì)平面的鏡象用集中的鏡象電流代替媒質(zhì)交界面上分散的磁化電流交界面上滿(mǎn)足媒質(zhì)1中媒質(zhì)2中6768兩不同媒質(zhì)交界面上由鄰近的分子電流引起的磁化面電流

電流I′就是虛擬（集中量）電流，等效于邊界上實(shí)際出現(xiàn)的分散量（分子束縛電流）。電流I″為原電流I與磁化電流的合成對(duì)比691.

上半空間為磁導(dǎo)率為μ1的媒質(zhì)下半空間充滿(mǎn)鐵磁媒質(zhì)μ2

→∞

μ2》μ1，故鄰近鐵磁物質(zhì)平面二、無(wú)限大鐵磁平面的鏡象上半域中的磁場(chǎng)可按圖求解用鏡象法處理后的磁場(chǎng)70由安培環(huán)路定理

整個(gè)鐵磁體將為一個(gè)等磁位體，μ1媒質(zhì)中所有穿過(guò)界面的磁力線(xiàn)與鐵磁媒質(zhì)平面垂直下半域中，由于I″=0，故H2=0。但B2=0由于鐵的磁導(dǎo)率為無(wú)窮大，則有B2=μ2H2為一不定式。為了確定鐵中之磁感應(yīng)強(qiáng)度B2，只需重新引用式71鐵磁物質(zhì)內(nèi)磁場(chǎng)求解示意圖非鐵磁物質(zhì)內(nèi)，磁場(chǎng)求解示意圖2.若導(dǎo)線(xiàn)埋設(shè)在鐵磁媒質(zhì)中，可設(shè)μ1→∞7273右邊各項(xiàng)依次為電流I′、-I′、-I的磁場(chǎng)對(duì)電流I的作用力例4-13:

將兩根平行長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)平行放置在一塊十分厚的大鐵板外，兩線(xiàn)相距1m，它們與鐵板平面相距均為0.5m，載有彼此反向的電流，電流強(qiáng)度為10A，計(jì)算每根導(dǎo)線(xiàn)單位長(zhǎng)度的受力。解:設(shè)1、2為兩根長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)，考慮導(dǎo)線(xiàn)l的受力時(shí)必須分析鐵塊對(duì)磁場(chǎng)的影響。導(dǎo)線(xiàn)1、2的鏡象分別為導(dǎo)線(xiàn)單位長(zhǎng)度受力7475§4-10自感及其計(jì)算

1.自感過(guò)程（自感現(xiàn)象）——變化的磁通在回路中感生電動(dòng)勢(shì)的過(guò)程。

2.自感電動(dòng)勢(shì)：自感過(guò)程所感生的電動(dòng)勢(shì)，稱(chēng)為自感電動(dòng)勢(shì)。線(xiàn)圈的自感電動(dòng)勢(shì)的大小，不僅與回路的電流有關(guān)，而且與線(xiàn)圈的幾何尺寸，以及周?chē)劫|(zhì)的磁導(dǎo)率有關(guān)。

3.線(xiàn)圈回路的自感系數(shù)——線(xiàn)性媒質(zhì)中，線(xiàn)圈的幾何尺寸及周?chē)劫|(zhì)磁導(dǎo)率在自感過(guò)程中所表現(xiàn)的效應(yīng)，以系數(shù)L表示。一、自感及自感系數(shù)4.自感系數(shù)：回路電流所交鏈的磁（通）鏈Ψ與產(chǎn)生此磁（通）鏈的回路電流I之比。76二、內(nèi)自感與外自感按定義計(jì)算自感時(shí)，其中的磁鏈必須是與整個(gè)電流I所交鏈的全磁通。自感電動(dòng)勢(shì)線(xiàn)性媒質(zhì)中根據(jù)定義可計(jì)算線(xiàn)圈回路的自感：給定回路電流I，求此電流所產(chǎn)生并與回路交鏈的磁鏈Ψ，然后按定義式即得線(xiàn)圈回路的自感量。77

磁通分兩部分：

外磁通（或外磁鏈）——與整個(gè)電流交鏈的磁通，包圍整個(gè)導(dǎo)線(xiàn)截面的電流，是交鏈整個(gè)導(dǎo)線(xiàn)截面電流的磁通。

內(nèi)磁通（或內(nèi)磁鏈）——僅與電流的部分量交鏈的磁通。如圖所示，當(dāng)有電流I流過(guò)時(shí)，其產(chǎn)生的磁通，雖大部分與整個(gè)電流交鏈，然而縈繞于導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)部的磁通，僅與部分電流相交鏈。圓柱形截流導(dǎo)體78三、平行雙輸電線(xiàn)外自感的計(jì)算

Ψe表示外磁鏈，Le表示外自感半徑為R0，相距為D的平行雙輸電線(xiàn)，所流過(guò)的電流為I，任一點(diǎn)A的磁感應(yīng)強(qiáng)度為79四、線(xiàn)圈回路外自感的計(jì)算如設(shè)回路導(dǎo)線(xiàn)的半徑為R，流過(guò)電流為I，則此電流所產(chǎn)生的磁通與回路電流交鏈者，必須通過(guò)以回路內(nèi)沿周界l2所界定的面積，磁鏈為設(shè)線(xiàn)圈長(zhǎng)度尺寸，遠(yuǎn)大于導(dǎo)線(xiàn)直徑，故可認(rèn)定回路電流集中于回路之軸心線(xiàn)l1上80密繞線(xiàn)圈當(dāng)線(xiàn)圈匝數(shù)為ω且繞制密集時(shí)，可近似認(rèn)為各線(xiàn)圈的幾何位置相同磁鏈Ψe＝ωΦe，交鏈的電流為ωI，故外磁鏈為此線(xiàn)圈回路的外自感為81

其中：I為流過(guò)回路的電流

Ψi是與整個(gè)回路電流交鏈的磁通回路的內(nèi)磁通，僅與回路部分電流相鏈，故必須將此部分內(nèi)磁通折合為與回路電流I全交鏈的磁通，亦即折合為內(nèi)磁鏈。五、長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)自感的計(jì)算線(xiàn)圈回路的內(nèi)自感82

設(shè)長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)截面半徑為R，當(dāng)通以電流I時(shí)，電流均勻分布于導(dǎo)線(xiàn)的截面，由安培環(huán)路定理，可求得離軸線(xiàn)r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度此時(shí)通過(guò)圖示單位長(zhǎng)度小環(huán)側(cè)面積的磁通為

這一磁通僅交鏈部分電流I’，而非整個(gè)電流I，因此必須乘以折合比I’/I。(即r2/R2)。83進(jìn)行折合后的磁鏈為導(dǎo)線(xiàn)單位長(zhǎng)度內(nèi)自感導(dǎo)線(xiàn)單位長(zhǎng)度內(nèi)磁鏈長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)的內(nèi)自感與導(dǎo)線(xiàn)的截面積無(wú)關(guān)84其中l(wèi)1為線(xiàn)圈回路軸心線(xiàn)的長(zhǎng)度，l2為線(xiàn)圈回路內(nèi)周界的長(zhǎng)度。平行雙輸電線(xiàn)單位長(zhǎng)度的外自感，若再計(jì)入其內(nèi)自感則得平行雙輸電線(xiàn)單位長(zhǎng)度的自感線(xiàn)圈回路自感則等于外自感與內(nèi)自感之和

85解：鋼與鋁的磁導(dǎo)率不同，而且電導(dǎo)率不同。后者使得導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)部的磁通所交鏈的電流不能按計(jì)算。令單位長(zhǎng)度上鋼芯部分的內(nèi)自感為L(zhǎng)i1，當(dāng)直接推求出Li1，Li2，則L=Li1+Li2。通過(guò)單位長(zhǎng)度上面積1×dr的磁通為鋼芯部分（0≤r≤R1），半徑為r處例4-14

計(jì)算例4-5鋼芯鋁線(xiàn)單位長(zhǎng)度的內(nèi)自感Li。86折合后的磁鏈為鋼芯部分內(nèi)磁鏈、內(nèi)自感為87

半徑為r處單位長(zhǎng)度上面積1×dr部分的磁通折合為磁鏈鋁線(xiàn)部分（R1≤r≤R2）電流折合系數(shù)

電流折合系數(shù)即這部分磁通所交鏈的電流I’1與電流I之比為88

則整個(gè)鋼芯鋁線(xiàn)單位長(zhǎng)度的內(nèi)自感為

Li=Li1+Li2如果

，μ1＝μ2＝μ0，則由上式可驗(yàn)證因此這部分的內(nèi)磁鏈、內(nèi)自感為89例4-15

求密繞w匝線(xiàn)圈的螺線(xiàn)環(huán)的自感。圓環(huán)的平均半徑為d，截面為半徑等于a的圓形。

這一磁通與w匝線(xiàn)圈交鏈，其磁鏈Ψ＝wΦ，所以外自感為解：當(dāng)通入電流I時(shí)截面上的磁通為90兩線(xiàn)圈間的磁耦合：當(dāng)有兩個(gè)線(xiàn)圈回路同時(shí)存在時(shí)，若一線(xiàn)圈回路中有電流，此回路電流產(chǎn)生的磁通不僅與本線(xiàn)圈回路相交鏈，而且與另一線(xiàn)圈回路相交鏈。互感應(yīng)現(xiàn)象：當(dāng)某回路電流變化時(shí)，根據(jù)電磁感應(yīng)定律，變化磁通不僅在本線(xiàn)圈回路感生電動(dòng)勢(shì)，而且由于兩線(xiàn)圈間的磁耦合，亦將在另一線(xiàn)圈回路中感生電動(dòng)勢(shì)。后一過(guò)程稱(chēng)為兩線(xiàn)圈間的互感應(yīng)過(guò)程，所感生的電動(dòng)勢(shì)，稱(chēng)為互感電動(dòng)勢(shì)?！?-11互感及其計(jì)算互感磁通示意圖

一、互感及互感系數(shù)91互感系數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)互感)：定義為與任一線(xiàn)圈所交鏈的互感磁鏈與產(chǎn)生此互感磁鏈的回路電流之比。

設(shè)線(xiàn)圈回路1的電流I1，其所產(chǎn)生并與線(xiàn)圈回路2所交鏈的互感磁鏈為Ψ21，在線(xiàn)性媒質(zhì)中，磁通與產(chǎn)生此磁通的電流成正比，故設(shè)Ψ21與I1的比例系數(shù)為線(xiàn)圈1對(duì)于線(xiàn)圈2的互感系數(shù)M21

同理Ψ12表示線(xiàn)圈2對(duì)于線(xiàn)圈1的互感磁鏈，M12表示線(xiàn)圈2對(duì)于線(xiàn)圈1的互感系數(shù)，I2表示線(xiàn)圈2的電流，兩線(xiàn)圈本身幾何尺寸及其相互間的幾何位置，以及周?chē)劫|(zhì)的磁導(dǎo)率，而與其所交鏈的互感磁鏈以及產(chǎn)生互感磁鏈的電流大小無(wú)關(guān)。互感及其計(jì)算92

兩線(xiàn)圈回路幾何軸線(xiàn)的長(zhǎng)度分別為l1及l(fā)2，線(xiàn)圈回路1的電流I1為時(shí)，線(xiàn)圈回路2所交鏈的互感磁鏈為二、兩線(xiàn)圈間互感系數(shù)的計(jì)算方法：設(shè)線(xiàn)圈回路1的電流I1

設(shè)線(xiàn)圈回路2的電流I2兩線(xiàn)圈的互感示意圖互感及其計(jì)算93線(xiàn)圈回路2所流過(guò)的電流I2

兩線(xiàn)圈間互感系數(shù)彼此相等，僅取決于線(xiàn)圈本身尺寸及兩線(xiàn)圈回路的相對(duì)幾何位置以及媒質(zhì)的磁導(dǎo)率。諾以曼公式互感及其計(jì)算94

當(dāng)兩線(xiàn)圈回路分別為w1及w2匝，并繞制密集時(shí)，可以認(rèn)為線(xiàn)圈每匝均處于同一幾何位置，因而有兩線(xiàn)圈間的互感系數(shù)近似為互感及其計(jì)算95一對(duì)輸電線(xiàn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)

根據(jù)磁通連續(xù)性原理，流經(jīng)導(dǎo)線(xiàn)B的電流，其所產(chǎn)生并通過(guò)面積1×CD的磁通，與該電流所產(chǎn)生并通過(guò)面積1×C′D′的磁通相等。同理流經(jīng)導(dǎo)線(xiàn)A的電流，其所產(chǎn)生并通過(guò)面積1×CD的磁通，與該電流所產(chǎn)生并通過(guò)面積1×C″D″的磁通相等。方法1、兩對(duì)平行輸電回路A、B及C、D，求其間的互感。給定回路的電流為I，作A、B軸心聯(lián)線(xiàn)，將其延長(zhǎng)交以B為圓心，聯(lián)線(xiàn)BC、BD為半徑的圓于C′、D′點(diǎn)。三、兩對(duì)平行雙輸電線(xiàn)的互感計(jì)算互感及其計(jì)算96

導(dǎo)線(xiàn)A、B所載的電流大小相等，方向相反，其值為I，在平面上任一點(diǎn)所產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量分別為

及，通過(guò)平面1×C″D″之磁通分別為互感及其計(jì)算根據(jù)疊加原理可得通過(guò)平面1×CD的總磁通97兩對(duì)平行輸電線(xiàn)間之互感系數(shù)方法2、

A、B載流流回路在導(dǎo)線(xiàn)C及導(dǎo)線(xiàn)D上任一點(diǎn)所產(chǎn)生的矢量磁位為互感及其計(jì)算98例4-16:計(jì)算無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)同與其平行但不共平面的單匝矩形導(dǎo)線(xiàn)框BCDE之間的互感。

將矢量磁位參考點(diǎn)選在線(xiàn)段CD上較為方便，即令OD=x0，則CD段上BC、DE段上A與dl垂直，故。因此磁通解:設(shè)無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)電流為I，根據(jù)無(wú)限長(zhǎng)直載流導(dǎo)線(xiàn)的矢量磁位公式互感及其計(jì)算99無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)與EB線(xiàn)的距離為r=d，與CD線(xiàn)的距離為

根據(jù)互感的定義得互感及其計(jì)算100例4-17兩單匝長(zhǎng)方形導(dǎo)線(xiàn)框的平面互相正對(duì)著，如圖所示，平面間距離為x＝5cm，長(zhǎng)邊a＝20cm，短邊b=10cm，求其間的互感。解：運(yùn)用諾以曼公式

l1分為直線(xiàn)段1，2，3，4；

l2分為直線(xiàn)段1′，2′，3′，4′

M11′和M33′分別為直線(xiàn)段1與1′及直線(xiàn)段3與3′的積分值，M22′和M44′分別為直線(xiàn)段2與2′及直線(xiàn)段4與4′的積分值，M13′和M31′分別為直線(xiàn)段1與3′及直線(xiàn)段3與1′的積分值，M24′和M42′分別為直線(xiàn)段2與4′及直線(xiàn)段4與2′的積分值。

互感及其計(jì)算101

由于線(xiàn)段1與線(xiàn)段2′、4′垂直同樣，直線(xiàn)段2與1′

、3′的積分值亦為零，3與2′、4′，4與1′、3′的積分值同樣為零?；ジ屑捌溆?jì)算102互感及其計(jì)算103細(xì)小圓形鐲環(huán)上，密繞線(xiàn)圈所產(chǎn)生的磁場(chǎng)磁能密度

磁場(chǎng)能量系以能量密度的形式，儲(chǔ)存于磁場(chǎng)所遍及的整個(gè)場(chǎng)域。計(jì)算磁場(chǎng)能量的普遍公式§4-12載電流回路系統(tǒng)的磁場(chǎng)能量及其分布磁場(chǎng)能量一、鐲環(huán)線(xiàn)圈的磁場(chǎng)能量與磁場(chǎng)能量密度104

為研究方便，提出三項(xiàng)約定：1.基于場(chǎng)的物質(zhì)性，一定的物質(zhì)狀態(tài)，對(duì)應(yīng)唯一的能量狀態(tài)，因而磁場(chǎng)能量確定于場(chǎng)的最終分布狀態(tài)，而與建立此最終分布狀態(tài)的方式與過(guò)程無(wú)關(guān)。

2.磁場(chǎng)所處空間，媒質(zhì)為線(xiàn)性，因而每一載回路的電流，與其所產(chǎn)生的磁通，具有線(xiàn)性關(guān)系，磁場(chǎng)各量適用疊加原理。

3.不考慮磁場(chǎng)建立過(guò)程所產(chǎn)生諸如輻射、熱耗等一切不可逆的能量損耗。因而在電流流動(dòng)過(guò)程中，電源所作之功，均轉(zhuǎn)換為磁場(chǎng)能量。

二、載流導(dǎo)體回路系統(tǒng)的磁場(chǎng)能量載電流回路系統(tǒng)的磁場(chǎng)能量及其分布105n個(gè)載流導(dǎo)體回路示意圖

n個(gè)載流導(dǎo)體回路所載電流分別為I1、I2…Ik、…In每個(gè)導(dǎo)體回路所交鏈的磁鏈：Ψ1、Ψ2、…Ψk、…Ψn每個(gè)導(dǎo)體回路的自感：

L1、L2…Lk、…Ln每?jī)蓪?dǎo)體回路的互感則

Mij（i,j=1,2…n,i≠j）

同一瞬間，第1、第2……諸導(dǎo)體回路中的電流分別為xI1、xI2、…xIk、…xIn，其中x為小于1的百分?jǐn)?shù)若磁場(chǎng)建立某瞬間第k個(gè)導(dǎo)體回路的電流為xIk，載電流回路系統(tǒng)的磁場(chǎng)能量及其分布106

對(duì)于第k個(gè)回路，在磁場(chǎng)建立任一瞬間，倘若電流為xIk，其相應(yīng)的磁鏈為xΨk，在dt時(shí)間內(nèi)，回路磁鏈有一增量d(xΨk)時(shí)，此回路必感生電動(dòng)勢(shì)

。為平衡此回路感生電動(dòng)勢(shì)，電源必須作功，此功為載電流回路系統(tǒng)的磁場(chǎng)能量及其分布107在磁場(chǎng)建立全過(guò)程中，第k個(gè)導(dǎo)體回路電源電動(dòng)勢(shì)所作的功

對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)，在磁場(chǎng)建立全過(guò)程中聯(lián)結(jié)于所有回路電源作功之總和，亦即整個(gè)磁場(chǎng)的能量為

在線(xiàn)性媒質(zhì)中n個(gè)載電流回路的磁場(chǎng)能量為每一回路的電流與其交鏈的磁鏈乘積總和之半載電流回路系統(tǒng)的磁場(chǎng)能量及其分布108n=2，磁場(chǎng)能量

當(dāng)兩回路的電流同時(shí)自線(xiàn)圈對(duì)應(yīng)端流入（出）時(shí)，磁場(chǎng)的互有能量取正，否則取負(fù)。載電流回路系統(tǒng)的磁場(chǎng)能量及其分布109例4-18由磁場(chǎng)能量計(jì)算同軸電纜單位長(zhǎng)度的電感。設(shè)同軸電纜內(nèi)導(dǎo)體的半徑為R1，外導(dǎo)體的厚度很薄可忽略不計(jì)，其半徑為R2。解:磁場(chǎng)能量為若能求得磁場(chǎng)能量，則可求得電感L磁場(chǎng)能量又可由下式求得載電流回路系統(tǒng)的磁場(chǎng)能量及其分布110(0≤r＜R1)(R1≤r＜R2)載電流回路系統(tǒng)的磁場(chǎng)能量及其分布111載流導(dǎo)體在磁場(chǎng)中要受到磁場(chǎng)力的作用。兩平行載流直導(dǎo)線(xiàn)間的作用力可看作一載流導(dǎo)體在另一載流導(dǎo)體產(chǎn)生的磁場(chǎng)中所受到的磁場(chǎng)力?！?-13磁場(chǎng)力的計(jì)算

上述矢量積分式，只有在少數(shù)情況下才能求得其結(jié)果。只在少數(shù)情況下才能算出。一、磁場(chǎng)力的計(jì)算公式112兩載流共軸圓環(huán)線(xiàn)圈間相互作相互作用力示意

圖

為產(chǎn)生磁場(chǎng)力的唯一有效的磁感應(yīng)強(qiáng)度分量，其值在每一載流線(xiàn)元dl上均相同。例1：磁場(chǎng)力的計(jì)算113

在某些情況下，之值不同，但有同一方向，而積分值可求出，則仍可求得載流導(dǎo)體所受之磁場(chǎng)力。兩平行匯流線(xiàn)間相互用力示意圖例2例3與鄰近的長(zhǎng)直載流導(dǎo)線(xiàn)平行的矩形載流線(xiàn)圈的受力情況磁場(chǎng)力的計(jì)算114一、電流恒定時(shí)，虛位移法求磁場(chǎng)力設(shè)空間有且僅有n個(gè)載流回路，其所載之電流分別為I1、I2…Ik…In。若在磁場(chǎng)廣義力f