第12章 計算機圖形中真實感圖形設計

第12章計算機圖形中真實感圖形設計12.1光與顏色的基本知識12.2光的傳播規(guī)律12.3一個簡單的光照模型12.4明暗處理12.5光線追蹤法12.6陰影處理12.7紋理映射習題12.1光與顏色的基本知識 12.1.1光的明亮程度 實驗表明，人眼對波長為555nm的綠光在亮度上最敏感，而對波長較長的紅光和波長較短的紫光則不敏感。人眼對于波長大于780nm和小于380nm的光就失去了亮度感覺。這些波長的光就是我們通常熟知的紅外光和紫外光。

光的明亮程度是人的眼腦視覺系統(tǒng)通過眼睛對光的一種感受，因此同一束光的明亮程度是可以因人而異的。但光的輻射功率卻不是因人而異的，是可以客觀測量的。因而我們可以通過光的輻射功率來反映光的明亮程度。實驗表明，眼腦視覺系統(tǒng)對一束光的明亮程度的感覺與光的輻射功率的大小成反比：光的輻射功率越大，相應的光越不容易為人的眼睛所感覺得到；光的輻射功率越小，相應的光就越容易為人的眼睛所感覺得到。 對于波長為λ的光，用p(λ)表示其輻射功率。由于人眼對光的亮度的感覺與光的輻射功率成反比，因此我們可用其倒數(shù)來度量光的亮度。我們將p(λ)的倒數(shù)定義為光的視敏度，用k(λ)來表示。于是有

由于視敏度是一個相對的概念，因此可以設定最大的敏感度為1。我們已知人眼對λ=555nm的光具有最大敏感度，因此相對視敏度就是視敏度k(λ)與k(555)之比。記作v(λ): 光也是一種能量，可向四周空間傳播。在原點的光能量傳播到半徑為r的地方后，一般可以認為這部分光能量就均勻地分布在半徑為r的球面上了，而球面上每一點的能量就是原來的能量除以球面的面積4πr2。因此，光的亮度傳播到遠處后，其大小與距離的平方成反比。(12.1.2)(12.1.1) 12.1.2光的顏色及三基色模型 1.彩色視覺及三基色原理 就人眼的視覺感受而言，各種顏色單以其頻率來區(qū)分是不完全的，還應該同時使用色調(diào)(hue)、飽和度(saturation)和亮度(brightness)三個量來區(qū)分。 色調(diào)由彩色光的光譜成分決定，反映彩色光在質(zhì)方面的特征，決定了光的顏色。 飽和度由彩色中混入白光的數(shù)量決定。彩色光中純光譜色的含量越高，其飽和度也越高。例如高飽和度的深紅色光，在攙入白光后被沖淡而變成低飽和度的淡紅色。飽和度反映某純光譜色的純度。 亮度由彩色光的強度決定，是彩色光引起視覺刺激的程度，反映彩色光在量方面的特征。 通常所說的色度是色調(diào)和飽和度的合稱，它說明了彩色光的顏色類型和顏色的深淺程度。 人們對于人眼的彩色視覺機理提出了這樣一種假設： 人眼視網(wǎng)膜上的錐狀細胞有三種類型：紅敏細胞、綠敏細胞和藍敏細胞。顧名思義，它們對不同色光的亮度感覺有強烈的選擇性。三種光敏細胞對光的綜合感應形成了我們主觀上對光的顏色和亮度的感應。三種光敏細胞對光的感覺一致，主觀上光的彩色感覺(色度和亮度)就相同。 2.物理三基色和RGB三色系數(shù) 選擇三基色的原則是：獲得方法簡單，色度穩(wěn)定且準確，能配出盡可能多的顏色。為此，國際照明委員會規(guī)定了R、G、B三種光為基色，并規(guī)定了基色單位當量：R為紅光，波長為700.0nm，基色單位當量為1；G為綠光，波長為546.1nm，基色單位當量為4.5907；B為藍光，波長為435.8nm，基色單位當量為0.0601。當量是指用指定三基色配出標準白光時，RGB三基色的光的比例，這里為1∶4.5907∶0.0601。 這樣，對于任意給定顏色(光)F，可以將它表示為 F=［R,G,B］(12.1.3) 此方程稱為顏色(光)F的配色方程，RGB稱為三色系數(shù)。三色系數(shù)的比例決定所配彩色光的顏色，它們的數(shù)值決定所配彩色光的亮度。RGB也稱為顏色F的三基色分量或三基色坐標。 3.XYZ三色系數(shù) 物理三基色具有清楚的物理意義，但在使用上卻存在一些計算上的不便之處，例如： (1)不能直接反映某一彩色光的光亮度，而要通過公式計算出來。 (2)配置最常用的白顏色時系數(shù)復雜難記。 (3)在配制高飽和的藍色光或綠色光時，會出現(xiàn)負數(shù)。 為了克服這些缺點，國際照明委員會另外規(guī)定了計算三基色，其基色單位為X、Y、Z。它們雖然不代表真實的顏色，但在計算上可以克服上述物理三基色的缺點。計算三基色與物理三基色之間可以通過一個矩陣A聯(lián)系起來：(12.1.4)

其中:(12.1.6) 如此定義的XYZ三基色系數(shù)避免了RGB三基色系數(shù)的上述不便之處，具體結(jié)論如下: (1)某一分量的大小直接反映了相應彩色光的光亮度。 (2)配置最常用的白顏色時，三個坐標分量系數(shù)相等即可；分量的大小反映了白顏色的強(亮)度，取最大值時為最亮的白顏色，取最小值時為最暗的白顏色。最小值為0時就是黑顏色。 (3)在配制需要的顏色時，各個坐標分量總是非負的。 在計算機的圖形處理中就采用XYZ三基色系數(shù)，并且在實際應用中實數(shù)坐標系統(tǒng)取各分量的最大值為1，最小值為0。這也就是計算機圖形表示中常用的RGB顏色模型，如圖12.1所示。圖12.1RGB顏色模型示意圖 4.三基色混合起來的方法 利用計算機程序選擇顏色時只要指定三基色各個分量的大小就可以了。用如下各種方法都可從物理上實現(xiàn)對三基色進行混合，生成所需要的顏色的功能： (1)把三種光同時投射到一個全反射的表面上合成。 (2)時間混合法：把三種光輪流投射到一個全反射的表面上，只要每種顏色的光在相應的表面上停留的時間小于人眼的視覺暫留時間，人眼的彩色感覺就跟同時投射的情況相同。 (3)空間混合法：同時把三種光投射到同一表面的三個相鄰點上，只要這三個點相距足夠近，超出了人眼的視覺分辨率，人眼就可以得到三種光混合的彩色感覺。 (4)生理混合法：兩只眼睛同時分別看用兩種顏色表示的相同圖像，可以產(chǎn)生混色效果。 12.1.3常見的其它顏色模型 從RGB顏色模型立方體中任意選取，即可獲得規(guī)則間隔網(wǎng)格點，并由此可以得到一組匹配較好的顏色。隨機選取的色彩可能會導致刺眼和不柔和的顏色組合。選擇顏色組合的另一種考慮是考慮顏色搭配的某種協(xié)調(diào)性，如希望不同顏色給出不同深度上的感覺，因為我們的眼睛是按頻率變化而注意到顏色的。 就顏色對人眼的刺激而言，藍色特別有助于放松眼晴，在紅色圖案附近顯示藍色圖案會引起眼睛的疲勞。因為在把注意力從一個區(qū)域轉(zhuǎn)向另一區(qū)域時要不斷地重新聚焦。分開這些顏色或使用較少的顏色，可以減少眼睛的疲勞。 這種理論，一次顯示中或者只包含藍色和綠色，或者只包含紅色和黃色就比較好。一般來說，使用較少的顏色比使用較多的顏色能產(chǎn)生更令人滿意的顯示，而色澤和明暗比純色彩更柔和，當然也更容易從物理上實現(xiàn)。 對于背景，最好使用灰色或前景色的補色。為了方便實現(xiàn)用戶對顏色的選擇，還有除了RGB顏色模型外其它的顏色模型使用于不同的場合。下面簡單介紹各種不同的顏色模型。需要說明的是：不存在能描述所有可能顏色的顏色模型，因此各種不同顏色模型只是描述了常見部分顏色，且相互間并不完全一致。 1.CMY顏色模型 類似于RGB顏色模型，有圖12.2所示的CMY顏色模型。圖12.2CMY顏色模型示意圖 這個顏色模型的三基色為青色(C)、品紅(M)和黃色(Y)，主要用于描述向硬拷貝設備上輸出顏色。作為一個顏色描述的數(shù)學模型，這個模型與RGB顏色模型沒有太大的不同。但它們基于不同的物理模型，實現(xiàn)機理也不同。與通過屏幕組合光而生成顏色的視頻監(jiān)視器不同，繪圖儀，印刷機之類的硬拷貝設備通過往繪圖紙上涂抹顏料的方式生成彩色圖片。而人則通過反射光看見顏色，這是一種減色處理。我們知道青色光可由綠色光和藍色光相加而得。因此當白色光從青色墨水中反射出來時，紅色被墨水吸收或減掉了，反射光中就沒有紅色成分了。 同樣，品紅墨水會減掉反射光的綠色成分，而黃色會減掉藍色成分。在圖12.2表示的CMY模型的單位立方體中，點(1，1，1)因為減掉了所有的反射光成分而表示黑色，原點表示白色。在立方體對角線上，每種基色量均相等而生成灰色。青色和品紅墨水的混合生成藍色，因為反射光的紅色和藍色成分都被吸收了。其它顏色也由類似的減色處理產(chǎn)生。 使用CMY模型的打印處理過程是通過四個墨點的集合來產(chǎn)生顏色點:三種基色(青、品紅和黃)各使用一點，黑色也使用一點。因為青色、品紅色和黃色墨水的混合通常生成深灰色而不是黑色，所以黑色單獨包括在其中。因此CMY模型也常常被稱為CMYK(blacK)模型。有些繪圖儀通過重疊噴上三種基色的墨水并讓它們在干之前混合起來而生成各種顏色。 由于RGB三基色與CMY三基色分別互為補色，因此從RGB到CMY的轉(zhuǎn)換公式非常簡單，即(12.1.7) 同樣，也可以從CMY轉(zhuǎn)換到RGB: 2.YIQ顏色模型 RGB顏色模型要求一種顏色由獨立的紅色、藍色和綠色信號組成，而電視監(jiān)視器則使用組合信號。NTSC制式組合視頻信號采用YIQ顏色模型。YIQ顏色模型中的參數(shù)Y表示亮度，I表示色彩，Q表示純度。參數(shù)Y選擇的紅色、藍色和綠色的組合給出了標準的亮度曲線。(12.1.8) 由于參數(shù)Y包含了亮度信息，因此不需要顏色的黑白電視監(jiān)視器只接受Y信號就可以了。參數(shù)I包含有橙—青色彩信息，提供新鮮色調(diào)的明暗度。參數(shù)Q給出綠—品紅色彩信息。從RGB值轉(zhuǎn)換到Y(jié)IQ值的變換為(12.1.9)(12.1.10) 其中: 3.HSV顏色模型 在日常生活中，我們對物體色彩進行觀察時看到了物體的顏色、明暗度、純度（混濁程度），這就是色彩的三個基本屬性。前面提到的選定一組基色的顏色模型表示方法適合計算機等對顏色的自動處理，但并不符合我們對顏色的直觀理解。(12.1.11) 符合人眼這一視覺特點的是另一種直觀的HSV顏色模型描述方法：先選擇一種純顏色，然后加入一定量的白色和黑色來獲得不同的明暗、色澤和色調(diào)，由此獲得所需要的顏色。 如圖12.3所示，這個HSV顏色模型中，參數(shù)H表示顏色的色相，S表示顏色的飽和度，V表示顏色的明暗度值。當我們說出物體色調(diào)時，其實指的是它的顏色。圖12.3HSV顏色模型示意圖 如果我們沿對角線從白色頂點向黑色頂點觀察，可以看到如圖12.3所示的三維六棱錐的六邊形外形。位于HSV六棱錐頂部六邊形的邊界表示不同的色相，頂部側(cè)面圖顯示在圖12.4中。色相的值用與水平軸之間的角度值來表示，范圍從0°～360°。圖12.4HSV顏色模型剖面圖(a)頂部顏色六邊形;(b)固定色相的顏色三角形表示 六邊形的頂點以60°為間隔。黃色位于60°處，綠色在120°處，青色在180°處，與0°處的紅色相對。相補的顏色互成180°夾角。 HSV顏色模型的飽和度S沿水平軸測量，取值從0～1變化。在此模型中，飽和度S表示所選色彩的純度與該色彩的最大純度(S=1)的比率。飽和度也可認為是一種顏色和其它顏色混合的程度，單一的顏色是完全飽和的。當S=0.25時，所選顏色的純度為四分之一；當S=0時只有灰度。 明暗度值沿通過六棱錐中心的垂直軸進行測量，從六棱錐頂點最暗的顏色強度0變化到六棱錐頂部最強的顏色強度1。當V=1且S=1時，我們有純色彩。白色是V=1且S=0的點。 HSV顏色模型是一個較直觀的模型，對應于畫家配色的方法。畫家用改變色濃和色深的方法來從某種純色獲得不同色調(diào)的顏色的方法是：在一種純色中加入白色以改變色濃，加入黑色以改變色深，同時加入不同比例的白色和黑色，即可得到不同色調(diào)的顏色。 HSV模型的三維表示可以從圖12.1的RGB立方體演變而來:從RGB立方體的白色頂點出發(fā)，沿著主對角線向原點方向投影，可以得到一個正六邊形，如圖12.5所示?？梢钥闯鏊褪侨鐖D12.4(a)所示HSV模型六棱錐頂面的六邊形。RGB立方體中所有的頂點在原點，側(cè)面平行于坐標平面的子立方體往上述方向投影，必定為HSV模型六棱錐中某個與V軸垂直的六邊形截面。因此，可以認為RGB空間的主對角線，對應于HSV空間的V軸，這是兩個顏色模型之間的一個對應關系。圖12.5RGB顏色模型單位立方體表面與HSV顏色模型頂部圖對比 4.HLS顏色模型 另一個基于直觀顏色參數(shù)的模型是HLS顏色模型。HLS顏色模型的三個參數(shù)分別為色相H、亮度L和色飽和度S。該顏色模型可用圖12.6中所示的雙圓錐體表示。圖12.6HLS顏色模型示意圖 HLS顏色模型的色相參數(shù)H、飽和度參數(shù)S的含義與HSV顏色模型中的色相參數(shù)H、飽和度參數(shù)S的含義相同。色相參數(shù)H也指明所選色彩的位置與水平軸之間的夾角。所有顏色按角度的分布與HSV顏色模型中繞錐體的順序一致，互補色在雙圓錐上也互成180°。但有所不同的是，在此模型中，H=0°對應藍色。相應地，60°對應品紅，120°對應紅色，而180°對應青色。 HLS顏色模型的垂直軸為亮度L。在L=0處為黑色，L=1處為白色?；叶葎t沿著L軸分布，且純色彩位于L=0.5的截平面上，與HSV顏色模型的明度V不同。

HLS顏色模型的飽和度參數(shù)S也用來說明顏色的相對純度，變化范圍從0～1。 當S減少時，色彩的純度也減少。當S=0時，僅有灰度。有所不同的是，對于純色彩，S=1，且L=0.5。 與HSV模型一樣，HLS顏色模型允許用戶按照選擇色彩更暗些或更亮些的方式選擇顏色。一種色彩通過色相角H進行選擇，而所需的明暗、色澤及色調(diào)則通過調(diào)節(jié)L和S來獲得。增加L使顏色更亮些，減少L則使其更暗些。當S減少時，色彩逐漸消失，直到顏色趨向灰色。12.2光的傳播規(guī)律 12.2.1光的來源 1.光源 光源，狹義地指是可以自身發(fā)光的物體。有了光源，才能照亮一片區(qū)域，照亮一片空間，相應空間的物體也就被照亮了，才能顯現(xiàn)出其色彩。

光源發(fā)出的光可以有色彩，有強弱，這些是其光學特性。發(fā)光的物體本身有一定的幾何形狀，占據(jù)一定的幾何區(qū)域或空間區(qū)域。例如通常的長條或環(huán)形日光燈管，被稱為分布式光源。但也有可能發(fā)光的物體占據(jù)的幾何區(qū)域或空間區(qū)域不存在或可以忽略不計，如太陽，我們就可以稱其為點光源。基于點光源的光的處理是比較簡單的?；诜植际焦庠吹墓獾奶幚硐鄬Ρ容^復雜，通?？梢暈橛蔁o數(shù)個點光源組成而通過對點光源累加積分來實現(xiàn)。 光是一種電磁能量，從光源發(fā)出后就以自然界的極限速度在光介質(zhì)中傳播。當光線照射到一個物體表面時，光能量轉(zhuǎn)化為三種形式：被相應物體表面吸收而變成熱能，被相應物體表面透射而進入另一介質(zhì)中傳播，被相應物體表面反射而回到原來的介質(zhì)中繼續(xù)傳播。 光的這三部分能量的比例與光的波長，相應物體表面的光學性質(zhì)和光線射向相應物體表面的角度有關。我們對光的熱能不感興趣，光的熱能就是光傳播過程中的能量損耗部分。 2.反射光 有些物體表面本身不發(fā)光，但如前所述，有光線照射到該物體表面時，會被反射而重新進入光介質(zhì)中傳播并照亮一定的空間區(qū)域，進而照亮物體。這時的光就是反射光，照射到該物體表面的光相應地稱為入射光。例如月亮本身不發(fā)光，但反射太陽光。因此月光就是典型的反射光。 如果物體的表面是理想的鏡面，則光的反射滿足嚴格的幾何法則：入射角等于反射角，而且入射光線與反射光線共面，如圖12.7所示。圖12.7光的鏡面反射與透射的幾何規(guī)則 3.透射光 有些物體表面本身不發(fā)光，但如前所述，有光線照射到該物體表面時，光線會穿透該物體繼續(xù)前進，這時的光就是透射光。只有透明或半透明的物體才需要考慮透射光。有透射光產(chǎn)生時，光總是要在兩種不同的媒介之中傳播，因此傳播速度不同，傳播方向也不同。這也就是說，入射光和透射光的方向不同，如圖12.7所示。 反射光和透射光是可以同時存在的。日常見到的情況如太陽鏡就是有適量的太陽光透過鏡片進入眼內(nèi)，同時又反射掉大部分的光。 4.漫反射和漫透射 物體表面的光滑性將影響光的反射和透射。如果物體的表面是理想的鏡面，光在鏡面上的反射滿足嚴格的幾何法則。物體的表面大多數(shù)情況下不是理想的鏡面，而只是粗糙的表面?？梢园汛植诘谋砻婵闯墒怯蔁o數(shù)(肉眼能夠分辨或無法分辨的)微鏡面組成的。這些微鏡面的法線方向是隨機分布的，表現(xiàn)在物體表面上某一點的即是在非常非常小的范圍內(nèi)的光的反射方向也是隨機分布的，因此產(chǎn)生了漫反射光。 如果這些微鏡面的法線方向在物體表面外側(cè)以均勻的概率隨機分布（這種表面稱為完全漫反射表面），那么在看得見表面的任何地方觀察它時會有相同的亮度。在理想的鏡面表面上，所有的微鏡面的法線與表面的法線平行，因此只有在反射光線方向才能看到表面上是亮的，在其它方向觀察物體表面時，看不到相應的光，因而感覺物體表面是暗的。 由于同樣的原因，也可能產(chǎn)生漫透射光。同一物體表面對不同光線的上述光學性質(zhì)往往是不一樣的：當白色光照射到對紅色光有較大反射率的表面時，表面就呈紅色。當白色光照射到對紅色光有較大透射率的表面時，相當于對光進行過濾，透射產(chǎn)生出紅色的光。 5.環(huán)境光 在一定的空間區(qū)域中，并沒有明顯的光源，但是周圍的物體仍是清晰可見的。這可能是遠離指定的空間區(qū)域的光源的光經(jīng)過無數(shù)多能感覺到或未能感覺到的各種各樣的物體表面，如房間里的墻壁、天花板、地板以及各式各樣的家具的表面，戶外環(huán)境中的山、水以及植物的枝葉的表面等反反復復地反射后形成的。這樣的光的產(chǎn)生可以是非常復雜的，但結(jié)果并不復雜，只是在一定的空間區(qū)域中表現(xiàn)為亮度均勻的某種光。這樣的光就是環(huán)境光。 廣義地講，能發(fā)光的點就是一個點光源，無論發(fā)出的光是這一點本身產(chǎn)生的，還是在別處產(chǎn)生后傳播到該點，再經(jīng)由該點傳播出去的。 12.2.2光傳播的計算模型 光照模型適用于每一種原色光以及白光。也就是說，在光的傳播過程中，實際上可以把一束光看作由三原色的R、G和B三束光在同時傳播。光照模型適合于對三束光分別進行傳播計算，再疊加得到最后的光。 光有強弱之分，并且在均勻的光傳播介質(zhì)中向四周空間均勻傳播。因此傳播得越遠，光的強度就越小。于是，距離光源比較近的物體看起來會相對亮一點，離光源越遠的物體就顯得越暗，這使得在現(xiàn)實中的物體看起來具有層次感。更精確地說，光源發(fā)出的光傳播到遠處后，其強度與距離d的平方成反比。 但是實際計算的結(jié)果表明：當d很小時，因子l/d2會產(chǎn)生過大的光強變化，而d過大時變化又太小。這一計算公式導致光的強度改變得太快，給人的感覺是不同的物體的明暗差別太大，不是總能產(chǎn)生真實感的圖形。為避免這一缺點，通常使用d的線性或是二次函數(shù)的倒數(shù)，即 來實現(xiàn)光強度的衰減。在實際設計時可以通過對系數(shù)a、b和c值的大小的調(diào)整來得到場景中不同的光照效果。其中，a的值可以防止當d很小時f(d)值太大，c的值可以防止當d很大時f(d)值太小，以求達到比較理想的效果。 (12.2.1) 因此，如果點光源的強度為I，則離點光源距離為d的點的光強度為If(d)。 若取常數(shù)c=b=0，a＞0，則 而a＞0用以防止當d很小時分母趨于0，其大小可以根據(jù)實際情況進行調(diào)整，直到獲得比較滿意的圖形的明暗效果為止。這一公式適合于各種點光源發(fā)出的光的傳播。根據(jù)經(jīng)驗，如果使光強按距離(而不是距離的平方)的線性關系來衰減，得出的結(jié)果比較符合實際。(12.2.2) 有時為了控制光強的衰減變化的范圍，也可明確設定f(d)的取值范圍，如考慮到光傳播后強度不會增加，可明確限定其最大值不超過1，因此取 12.2.3各類光傳播的計算 1.環(huán)境光的計算 環(huán)境光在空間中是均勻分布的，處于穩(wěn)定狀態(tài)。假定任何物體表面都會受到強度為Ia的環(huán)境光的照射。而我們看到的環(huán)境光是通過環(huán)境的反射而覺察到的，因此看到的環(huán)境光就不是全部的環(huán)境光，而是 kaIa(12.2.4)(12.2.3) 2.反射光的計算 物體表面的光學性質(zhì)包括物體表面的光滑性，即對光的反射率和透射率。通常把表面的光滑性分為完全漫反射表面和鏡面兩種形式。 光在鏡面上的反射滿足嚴格的幾何法則：入射角等于反射角，而且入射光線與反射光線共面，如圖12.8所示。由此得到的光只能在特定的方向被觀察到，這與實際情況不符。實際上，在靠近反射光方向上仍然可以觀察到反射光，形成了反射光方向周圍的一個高光區(qū)，如圖12.9所示。 比較光滑的表面，高光區(qū)比較狹窄；比較粗糙的表面，高光區(qū)比較分散。反射光不僅存在于特定的反射方向，也存在于鄰近的方向。因此觀察方向與反射光方向的夾角是一個重要的參數(shù)。隨著夾角的增加，指定觀察方向的光的強度將迅速減弱，直到夾角為π/2時光的強度為0。于是有光的一個簡單的鏡面反射模型: ks

cosnαI1(12.2.5) 其中:I1為入射光光強；ks為表面的反射系數(shù)(0≤ks≤1)，它不僅與構(gòu)成物體表面的材料的光學性質(zhì)有關，而且與入射角(入射光和反射表面法線的夾角)有關。 設R和V分別表示反射光和觀察方向的單位方向向量，α是反射光線和觀察方向的夾角，則式（12.2.5）也可表示為ks(R·V)nI1(12.2.6)圖12.8反射光的計算圖12.9鏡面反射高光區(qū) 這個模型中的鏡面反射方向的單位向量R是根據(jù)入射光線向量I、法線向量N決定的。下面根據(jù)光學上的反射定律，即入射光線、法線及反射光線在同一平面內(nèi)而且入射角等于反射角，給出當已知入射光線向量L、法線向量N時，計算反射光線方向向量R的方法。 假設L、N、R都是單位向量，如圖12.10所示，向量OB為向量L在向量N上的投影向量，則有(12.2.7)(12.2.8) 因此可得反射光線方向向量:(12.2.9)圖12.10鏡面反射光線方向向量的計算

3.漫反射光的計算 不同于反射光的是，漫反射光均勻地向四周發(fā)散。對于不是鏡面的物體表面，朗伯(Lambert)余弦定律總結(jié)了一入射光照射到一個完全漫反射的物體表面上的光的反射規(guī)律。如果光線的入射強度為I1，則漫反射光的光強I為 I=I1kdcosnβ=I1kd(L·N)nf(d) 0≤β≤L,N＞f(d)≤(12.2.10) 其中:kd為表面的漫反射系數(shù)(0≤kd≤1)；L和N分別為入射光和反射表面法線的單位方向矢量；β是入射光線和反射表面法線方向的夾角；冪次n用來控制反射光在空間的分布，n越大，漫反射光就越集中在鏡面反射光線周圍。通常n在1～2000之間取值。圖12.11透射光光線方向向量的計算 4.透射光的計算 當光線傳播到不同的介質(zhì)的界面上時，不僅會發(fā)生反射，往往還會在介質(zhì)透明或半透明時發(fā)生透射。我們知道，反射光與入射光在同一種介質(zhì)中傳播，透射光與入射光在不同的介質(zhì)中傳播。在進入新的介質(zhì)中時，光的方向會發(fā)生變化，這一現(xiàn)象稱為光的折射。 我們首先了解一下有關折射的光學定律。如圖12.11所示。假設入射光I投射到一個既光滑又透明的表面上，這時會產(chǎn)生反射光R和透射光T。關于入射光與反射光的光強關系和方向關系在上一節(jié)已經(jīng)介紹，這里不再重復?，F(xiàn)在來看一下入射光與透射光的強度和方向的關系。透射光的強度It與入射光的強度的關系為

It=ktI(12.2.11) 其中，kt是個與表面兩側(cè)材料的光學性質(zhì)有關的實驗常數(shù)，稱為透射率，0＜kt＜1。對于高度透明的物體，可以將kt設置為接近1的值；而對于幾乎不透明的物體，僅由背景物透射出極少的光，則可以設置kt的值接近0。也可以將kt設置為一個關于物體表面的函數(shù)，使得物體的不同部分可以根據(jù)kt的值來決定透射不同的背景光強度。 對于給定的兩種材料，光線在透明的界面上投射時，入射光與透射光相對于法線的角度(分別用θ1和θ2表示)滿足關系：η1sinθ1=η2sinθ2(12.2.12) 其中,η1和η2是各自由表面兩側(cè)的不同材料決定的實驗常數(shù)。應注意到通常情況下，透光材料是放置在空氣中的，因此空氣在大多數(shù)情況下是其中一種材料。

為使用方便起見,定義 (12.2.13) 為相對透射系數(shù)，它是由表面兩側(cè)的材料共同決定的實驗常數(shù)。當已知單位法向量N和單位入射光線矢量L時，透射光的方向矢量T可以用下述公式求出：(12.2.14) 透射向量的計算比較復雜，并且還要用于計算折射與透明表面后的物體的交點才能實際進行光強計算。實際中常見的是在空氣中放置一個透明的物體，如圖12.12所示，光線穿過透明的物體后，其位置發(fā)生了平移，但方向不變。當透明的物體如玻璃比較薄時，就可以忽略光線穿過透明物體后位置的平移。 若進一步假定各物體間的折射率不變，則折射角總是與入射角相同。在這些假設下可簡化光強度的計算，且對于物體厚度較薄的多邊形表面，可以生成合理的透明效果。圖12.12透射光穿透透明介質(zhì)示意圖12.3一個簡單的光照模型 有了上述準備，我們現(xiàn)在來考察物體表面的光的亮度，或者說強度。顯然，指定環(huán)境中的任何物體表面都會受到環(huán)境光的照射。如果有發(fā)光的光源，物體表面也會受到光源的照射，并把光反射到觀察者的眼中，因此被觀察到。假設環(huán)境光的強度為Ia，點光源的強度為I1，所有物體都不透明，則有光照模型：

I=Iaka+I1[kd(L·N)n+ks(V·R)m]f(d)(12.3.1) 在計算機圖形學中，這個模型稱為明暗函數(shù)，用于決定物體上的一點或屏幕上一像素點處的光強或明暗色調(diào)。如果要生成彩色圖像，只要對三原色的每一分量使用上述明暗函數(shù)進行計算即可。通常，反射光具有與入射光相同的顏色組成，因此計算三原色時可以用相同的ks值。這個模型中的鏡面反射方向的單位向量R是根據(jù)入射光線向量I、法線向量N決定的，可由公式(12.2.9)求得。 如果有l(wèi)個光點，可以將它們累加求和，因此多點光源的明暗函數(shù)為(12.3.2) 如果第j個光源不是一點，則這個多點光源的明暗函數(shù)求和式中的這一項應替換為下面的積分表達式： (12.3.3)其中:Sj表示第j個光源占據(jù)的線、面或體空間；相應的dS(x,y,z)表示線、面或體的微分。12.4明暗處理 根據(jù)上述光照模型，計算物體表面上各點處的光強的關鍵是求出物體表面在這些點處的法線方向N。如果物體表面上各點的法線很容易求出，就可以很快得到真實感圖像了。如由平面多邊形圍成的多面體的表面，每個平面多邊形上的點共有一個法向量。這時如果光源到達物體距離的大小相對物體的大小尺寸而言較遠，則可認為光源到達物體表面的距離為常數(shù)。再加上一個平面多邊形上的點共有一個法向量，就可知道物體表面光強為常數(shù)，因此這一模型給出物體表面的恒定光強，如圖12.13所示。圖12.13恒定光強明暗處理 12.4.1Gouraud的光強度插值法 Gouraud明暗處理的光強度插值通過在表面光強度值進行線性插值來繪制多邊形表面。每個多邊形的強度值沿著公共邊與相鄰多邊形的值相接，因此消除了在平面繪制中存在的光強度不連續(xù)的現(xiàn)象。 假設物體表面的曲面部分已經(jīng)用平面多面體做了很好的逼近，平面多面體上各個頂點的位置以及每個小平面的法向量都已確定，如圖12.14所示。圖12.14頂點Pk處的平均法向量Nk的確定 使用Gouraud明暗處理來 繪制多邊形表面時需要進行下列計算： (1)確定每個多邊形頂點處的平均單位法向量。 (2)對于每個頂點根據(jù)點光照模型來計算其光強度。 (3)在多邊形表面上對頂點強度進行線性插值。 對k=0，1，…,n，先計算頂點Pk處的平均法向量Nk：(12.4.1) 其中，Nkj,j=1,2,…,m是所有以Pk為公共頂點的m個小平面的單位外法向量。基于這一法向量，即可利用光照模型求出各頂點處的光強Ik。有了各頂點處的光強，就可以用各種插值法求出每個多邊形邊上各點處的光強。例如對投影到平面z=0上的一多邊形可采用如圖12.15所示的線性插值法：先利用公式(12.4.1)計算出每個角點處的平均法向量，進而計算出角點A、B、C和D處的光強IA、IB、IC和ID；再根據(jù)角點處的光強，用線性插值求出所有邊界線上各點處的光強。圖12.15Gouraud的光強度插值法 例如，欲求多邊形內(nèi)在掃描線y=y1上一點G處的光強度，需先找出它與邊界線的交點：E在邊AB上，F(xiàn)在邊CD上。點E作為邊AB上的一點，其光強為 IE=tIA+(1-t)IB(12.4.2)

其中，t=EB/AB。同理也可以求出作為邊CD上的一點F處的光強為 IF=wIC+(1-w)ID(12.4.3) 其中，w=FD/CD。 最后，把G看作EF上的點，根據(jù)F和E兩點處的光強求出G點處的光強度：IG=uIE+(1-u)IF(12.4.4)

其中，u=EG/EF。在實際應用中，為了進一步減少計算量，我們定義 Iu=IG=uIE+(1-u)IF,ΔI=IE-IF(12.4.5) 則對同一掃描線上各像素點的光強計算通常采用下述的增量公式：Iu+Δu=(u+Δu)IE+(1-u-Δu)IF=Iu+ΔIΔu(12.4.6) Gouraud明暗處理用于完全漫反射表面時效果比較理想，消除馬赫帶效應的效果比較明顯，而且也很容易把它結(jié)合到消除隱藏面的掃描線消隱算法中去。 它的主要不足之處是:在處理鏡面反射時，會使鏡面上的高光亮區(qū)域的形狀和位置發(fā)生變化，甚至模糊不清;同時，也不能有效消除馬赫帶效應。下面的Phong明暗處理較好地解決了這個問題。 12.4.2Phong的法向插值法 Gouraud在求出各個頂點的平均法向量后就立即求出各個頂點上的亮度，然后以插值的方法求出各邊界以及每一小平面內(nèi)各點的亮度。Phong的明暗處理方式也是先求出各個頂點上的平均法向量，但它沒有立即去求頂點上的亮度，而是用與Gouraud所采用的相同的數(shù)學方法求出各邊界以及每一小平面內(nèi)各點的法向量，然后再根據(jù)各點的法向量用明暗模型求出各點的亮度，如圖12.16所示。 也就是說，只要把公式(12.4.2)～公式(12.4.6)中的所有光強變量換成相應點的法向量，就得到了Phong明暗處理方式。在這里，光照模型被調(diào)用的次數(shù)大大增加了，因而計算工作量也將增加很多，但由此可以改善鏡面反射效果。圖12.16Phong的法向插值法 Gouraud和Phong的明暗處理方法在處理靜態(tài)畫面時可以得到很好的效果。 但在處理動畫顯示時，就出現(xiàn)了下述問題：當畫面逐幀更新時，明暗變化太快。這是由于這兩種方法都是在圖像空間中進行的，即對投影后的圖形而不是對原始空間中的三維物體本身的圖形進行明暗處理，因此用這兩種方法得到的處理結(jié)果都不具備對物體旋轉(zhuǎn)的不變性，這樣當三維空間中的物體在動畫過程中發(fā)生旋轉(zhuǎn)時，畫面的明暗變化前后可能相差較大而顯得不真實。12.5光線追蹤法 12.5.1整體光照模型 下面通過圖12.17所示物體的空間位置關系來探討在考慮了反射以后所出現(xiàn)的新情況。假定圖12.17中的球體，長方體和三角塊均不透明，但它們的表面具有鏡面反射能力。圖12.17考慮反射光后的觀察模型 當位于視點O處的觀察者注視球面上的點A時，他所看到的不僅有球面，還能看到三角塊上的點B在球面上的映像。可見，三角塊本來是被兩長方塊擋往而看不見的，但通過球面的反射就可以看見了。 不僅如此，觀察者在球面上的點C處還可以看到三角塊上的點E，這是光線通過左側(cè)的長方塊的一次反射后再通過球面反射而到達人眼的。 因此，觀察者可以直接看到長方塊背面的點D和三角塊上的點E；通過球面的直接反射還可以看到倒立的三角塊；通過長方體背面的反射還可以看到光線較弱的正立的三角塊；而且在三角塊的反射光和環(huán)境光的作用下，通過球面的反射還可以看到立方體的背面。 12.5.2光線追蹤算法原理 光線追蹤算法主要是通過在可能產(chǎn)生光線的方向作射線的方式實現(xiàn)的，因此這一方法也可稱為射線追蹤法。 光線追蹤算法的基本思路可通過圖12.18來說明。 這一追蹤過程可用圖12.19的樹形結(jié)構(gòu)來表示。樹的每一節(jié)點表示一光線與表面的交點，在每一節(jié)點處分叉成兩個子樹，左邊子樹代表該點的反射光線，右邊子樹代表透射光線，當某一光線停止追蹤即跑出畫面時，相應的分叉過程終止。

圖12.18光線追蹤算法 從理論上來講，光線追蹤樹可以無限地伸展下去，如兩個面對面的鏡面的互相反射就是如此。但實際的分叉過程可在離原始點較遠時自動終止，這是因為光在不斷的反射和透射的傳播過程中不斷地減弱，因此較遠的光起的作用也比較小而可以忽略不計。這也就是說,為了簡化計算，二叉樹分叉的級別可不必太多。 得到二叉樹后，按后序遍歷算法遍歷這棵光線追蹤樹，在二叉樹的每一節(jié)點處，遞歸地調(diào)用整體光照模型，計算出該點的光亮度并存入該節(jié)點的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中，為父節(jié)點計算光亮度作好準備。當整棵二叉樹遍歷完畢時，即按所得的亮度顯示表面1上交點的亮度。 在計算時，對于每一個交點，我們還必須首先確定它是否能為點光源所直接照射，以便確定點光源對該交點處的光亮度的影響(主要是漫反射光的作用)。為此，要將該點與點光源所在點連一條稱為探測光線的直線，如果這一探測光線不與畫面中任何物體相交，則表明點光源的光線能直接照到該點；如果有多個點光源，必須一一判別，并記錄下所有直接照射該交點的點光源。反之，若直線與畫面中的某個物體相交，則表示該交點不能受到光源的直接照射，或說它處于陰影之中。 若所遇到的物體不透明，則點光源的光線無法透過此物體形成透射光。若為透明面，則點光源的光線可以形成透射光照亮該交點。透射光的亮度與點光源的亮度相比有一定程度的衰減。這樣得到的結(jié)果具有陰影效果。 12.5.3提高光線追蹤算法的效率 利用光線追蹤算法實際顯示時，在圖12.18中應首先建立以屏幕為xy平面的坐標系統(tǒng)。光線就是在xy平面上進行投影的。投影平面由兩組相互垂直的直線分割成若干個小方格，每個小方格對應著屏幕上一個像素點。然后，由投影中心出發(fā)，確定穿過每個屏幕像素中心(即每個小方格的中心)的光線路徑，再沿著這束光線按上述方法計算光強度，并將最終的結(jié)果賦予相應的像素。由于該算法是以幾何光學為基礎的，那么場景中的光線將有無數(shù)條，但是只有少量的光線會穿過投影平面。因此，考慮每個像素，反向跟蹤一條由它發(fā)射向場景的光線，會有助于減少計算像素光強度的復雜性。 由上述分析可見，光線追蹤算法原理并不十分復雜，但是，它的計算量卻是相當大的，需要追蹤的光線可能相當多，而且對每一條光線都要計算與物體的交點。特別是有多個點光源以及非點光源時，這個算法的計算量是相當大的。 光線追蹤算法是可以產(chǎn)生質(zhì)量最好的真實感圖像的算法，但同時也是耗費時間最多的算法。因此需要提高光線追蹤算法的效率。下面對此作一簡要介紹。 1.包圍體方法 在光線追蹤算法中最耗時的工作是計算光線與物體的交點。利用如圖12.20所示物體的最小包圍體可以盡早排除可能與光線不相交的物體，從而減少計算工作量。圖12.20包圍物體的球面 2.空間分剖法 空間分剖法也是通過減少判斷射線是否與物體相交的次數(shù)而提高算法效率的。我們可以將所有物體包含在一個立方體中，然后將立方體逐次分割，直至每個子立方體（體元）所包含的物體表面或表面數(shù)目小于等于一個預定的、可一次性處理的最大值為止。 圖12.21表示一束像素光線與包圍場景的立方體的前表面的求交。計算交點時，可以通過計算光線貫穿立方體時的所有體元，尋找與光線相交的物體。圖12.21分割包圍物體的立方體

3.預處理法 預處理法是指在計算從像素發(fā)出的射線與物體的第一次相交的交點時，可以把所有的隱藏面排除在外。 4.綜合方法 綜合方法是指對空間分剖法和包圍體法的綜合運用，是先對包圍所有物體的最小立方體進行分割，直到每個子立方體中包圍的物體數(shù)不超過兩個為止，再對立方體中的物體作包圍體處理。 5.射線分類法 如果兩條射線的起點和方向都比較接近，那么在它們的連續(xù)反射和透射過程中所遇到的表面很可能大多數(shù)是相同的。因此在計算出第一條射線的射線追蹤樹后，與之相近的射線可以先參照第一條射線的追蹤樹來建立自己的射線追蹤樹。 12.5.4光線跟蹤的反走樣 1.像素細分技術 解決這個問題的最直接想法就是增加采樣點，改善在屏幕像素點采樣時圖形的走樣現(xiàn)象。 然而，增加了采樣點無疑又會增加運算量，且直接增加采樣點受到圖形設備顯示分辨率的限制。采用如下的像素細分技術可以解決這個問題。 通常光線跟蹤算法使光線通過每個像素的中心來進行。如圖12.22所示，在光線跟蹤的反走樣技術中是使光線通過每個角點來進行的。像素的光亮度最終是該像素四個角點光亮度的算術平均值。這樣做只是在原來像素點的行和列的方向上各增加了一個采樣點，不會額外花費很多時間。圖12.22角點追蹤的反走樣技術 當然，這樣的結(jié)果仍然可能在某些像素點存在走樣問題。判別像素點存在走樣問題的規(guī)則是像素的某個角點的亮度與其余的三個角點的亮度相差太遠，或四條光線之間有小物體存在，如圖12.23(a)所示。這時可把這個像素均勻地分割成四個小方塊，于是又得到五個新的角點。 如圖12.23(b)所示，這時把相應像素均勻地分割成九個小方塊。于是又得到12個新的角點。注意到12個新的角點有8個被另外的像素點公用，實際上每個像素點平均只增加了8個新的角點。圖12.23一個像素被細分為多個子像素(a)四個子像素;(b)九個子像素 2.像素的區(qū)域采樣技術 反走樣顯示場景的另一種方法是將像素光線看作一個錐體，如圖12.24所示。這時每個像素雖仍然只生成一束光線，但是光線有一個有限的相交區(qū)域。錐體與相交的物體覆蓋了像素區(qū)域的一定部分。按照像素點被相關物體覆蓋部分的面積百分比，并以此面積百分比相應光線對應的光強的加權因子加權平均得出這個像素點的光強。圖12.24將像素光線看作一個錐體 要想確定像素被物體覆蓋部分的面積百分比，需通過計算像素錐體與景物表面的交點獲得。對一個球而言，這就需要計算出兩個圓周的交點；而對多面體而言，則需要求出圓周與多邊形的交點。 像素光線也可看作是一個棱臺錐體，如圖12.25所示。要想確定像素被物體覆蓋部分的面積百分比，需通過計算像素棱臺錐體與景物表面的交點獲得。求解的過程主要是要獲得像素光線棱臺錐體側(cè)面的各平面與物體的交線。圖12.25將像素光線看作一個棱臺12.6陰影處理 當光源從一個方向照射到某物體上時，物體的某些表面會擋住一部分光線，這些表面相對于光源就是可見面，且對光源隱藏了在這些可見面背后的物體的表面，因此這些表面也可稱為物體相對于光源的自隱面。設想這部分光線繼續(xù)沿原來的方向前進，但起點已改成光線與物體自隱面的交點，那么這些設想的光線所能到達的空間就是該物體在指定光源下形成的陰影空間?？梢?，陰影空間只與光源和物體有關，而與觀察者的位置無關。 但人們所看到的陰影與觀察者的觀察位置有關。如果只有一個光源，在觀察者站在光源處這種特定情況下時，觀察方向與光線方向一致，觀察者就看不到物體的陰影，而當觀察方向逆著光線方向時，觀察者看到的全是陰影。一般的情況是觀察方向與光線不一致，因此存在著由光源、物體和視點共同決定的陰影。 在畫面中設計客觀存在的陰影可以強化畫面上景物之間的遠近深淺的效果，從而極大地提高畫面的真實感。確定陰影區(qū)域在一些仿真應用中也是重要的，例如建筑物的采光設計、太陽能設施的配置等。 在設計陰影時，我們感興趣的是湮沒在陰影空間中而又為觀察者看得見的表面，而不是陰影所占據(jù)的實際空間。圖12.26所示的陰影就是處于陰影中的表面，它們可以分成兩類：自身陰影和投射陰影。圖12.26物體的陰影 自身陰影是由于物體自身的遮擋使光線不能到達其某些表面而形成的陰影，利用與求自隱面類似的方法可以求出這些陰影（假設視點在光源處）。投射陰影是由于較靠近光源的物體遮擋光線使離光源較遠的物體上的部分或全部表面不能被光線照射而形成的陰影。 假設視點在光源處，則求出的非自隱隱藏面（相對于光源的不可見面）即為投射陰影面。實際出現(xiàn)在畫面上的陰影則是自身陰影和投射陰影相對于觀察者的可見面。因此，畫面中陰影的生成過程基本上相當于相對于光源和相對于觀察者作兩次消隱。 一種簡單而直觀的陰影產(chǎn)生方法是利用光線追蹤法，從視點出發(fā)，作通過像素點的射線，找出與它相交的第一個物體及交點。這是一個可見點，從此點出發(fā)向光源作射線，如果這條射線與不透明物體相交，則此點在陰影中。另外的一些提高光線追蹤算法效率的方法，如預處理方法、陰影體方法和空間分剖法等等也可以用來產(chǎn)生陰影。12.7紋理映射 12.7.1圖案型紋理映射 先考慮物體表面圖案類型的紋理映射。假設花紋圖案已經(jīng)定義好，稱其定義在一個紋理空間上，具有坐標(s,t)；物體的表面有坐標(u,v)。紋理映射實際上是從一個二維的紋理空間到另一個物體表面的二維空間的映射，如圖12.27所示。有了兩個空間中點的對應關系，圖案如何繪制在表面上和表面上的點應取圖案中的什么色彩就確定了。這個過程相當于把一個有圖案的彩紙貼在物體的表面上。圖12.27圖案型紋理映射關系示意圖 設兩個空間中點的映射關系為 u=u(s,t) v=v(s,t)

s=s(u,v) t=t(u,v)(12.7.1) 紋理映射函數(shù)可以根據(jù)需要任意選取，理論上沒有任何附加要求，但通常假設它們是線性函數(shù)，因此可表示為 s=au+b

t=cv+d(12.7.2)

進一步假設紋理空間中的一個圖案為由參數(shù)方程 s=s(w)

t=t(w)w∈［w0,w1］(12.7.3) 定義的曲線給出，要把這一圖案繪制在由參數(shù)方程 x=x(u