2007統(tǒng)計(jì)學(xué)第九章

第九章列聯(lián)分析列聯(lián)分析可進(jìn)行兩類檢驗(yàn)：一致性檢驗(yàn)------檢驗(yàn)若干個(gè)總體的比例是否相同。假設(shè)檢驗(yàn)的形式為：H：旦=旦=…=旦，H:旦，旦，…，旦不全相同。0 1 2 n1 1 2 n獨(dú)立性檢驗(yàn)——檢驗(yàn)兩個(gè)變量是否有關(guān)聯(lián)，是否相互影響。假設(shè)檢驗(yàn)的形式為：H0：變量X與變量Y相互獨(dú)立，H1：變量X與變量Y不相互獨(dú)立?！?列聯(lián)表一、列聯(lián)表的構(gòu)造列聯(lián)表(Contingencytable)是由兩個(gè)變量進(jìn)行交叉分類的頻數(shù)分布表。如下表中，某集團(tuán)公司關(guān)于某項(xiàng)改革方案的調(diào)查結(jié)果一分公司二分公司三分公司四分公司合計(jì)贊成該方案68755779279反對(duì)該方案32453331141合計(jì)10012090110420表的橫行是態(tài)度變量：取值為贊成、反對(duì)表的豎列是總體變量：取值為一分公司、二分公司、…。具有R行C列的列聯(lián)表稱為RxC列聯(lián)表。二、列聯(lián)表的分布列聯(lián)表的分布可反映觀察值的分布------兩個(gè)變量進(jìn)行交叉分類的頻數(shù)分布的客觀情況；也可反映期望值的分布------在原假設(shè)為真的假設(shè)下，應(yīng)有的兩個(gè)變量交叉分類的頻數(shù)分布；也可以兼而有之。我們以例子來說明期望值分布列聯(lián)表的構(gòu)造。1.一致性檢驗(yàn)的情況設(shè)由上表中數(shù)據(jù)，我們要檢驗(yàn)四個(gè)分公司中贊成改革方案的人的比例是否相同。以P,表示第，個(gè)分公司中贊成改革方案的人數(shù)所占比例，則我們即要檢驗(yàn)：H：P=P=P=P,H：P，P，P，P不全相同。0 1 2 3 4 1 1 2 3 4可用如下方法計(jì)算期望值。先求出贊成改革方案的總?cè)藬?shù)，設(shè)為n1與總?cè)藬?shù)（設(shè)為n）相比較。如果P1=P2=P3=P4，則應(yīng)有n第i個(gè)分公司中贊成改革的人數(shù)=第i個(gè)分公司中總?cè)藬?shù)X1；n第i個(gè)分公司中反對(duì)改革的人數(shù)n-n=第i個(gè)分公司中總?cè)藬?shù)X——1.n由此，我們即可得到該問題的期望值的分布，見下表：一分公司二分公司三分公司四分公司合計(jì)贊成該方案66.4285714379.7142857159.7857142973.07142857279反對(duì)該方案33.5714285740.2857142930.2142857136.92857143141合計(jì)10012090110420考慮到人數(shù)應(yīng)為整數(shù)，即有一分公司二分公司三分公司四分公司合計(jì)贊成該方案66806073279反對(duì)該方案34403037141合計(jì)10012090110420進(jìn)一步地，我們可以得到觀察值與期望值頻數(shù)對(duì)比分布表:一分公司二分公司三分公司四分公司合計(jì)贊成該方案68(66)75(80)57(60)79(73)279反對(duì)該方案32(34)45(40)33(30)31(37)141合計(jì)100120901104202.獨(dú)立性檢驗(yàn)的情況例9-3一種原料來自三個(gè)不同的地區(qū)，原料質(zhì)量被分為三個(gè)不同等級(jí)。從這批原料中隨機(jī)抽取500件進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果如下表：一級(jí)二級(jí)三級(jí)合計(jì)甲地區(qū)526424140乙地區(qū)605952171丙地區(qū)506574189合計(jì)162188150500要求檢驗(yàn)各個(gè)地區(qū)和原料質(zhì)量之間是否存在依賴關(guān)系。這是一個(gè)獨(dú)立性檢驗(yàn)問題?？梢老率龇椒?gòu)造期望值分布列聯(lián)表：一般地，設(shè)原列聯(lián)表有r行s列，先對(duì)各行各列求和，記為RT,i=1,2,...,riCT,j=1,2,.,s如果兩變量相互獨(dú)立，則第i行第j列位置上的期望值應(yīng)為竺?以1-n=RTiCTj，n為總的觀察值的個(gè)數(shù)。nn n于是，我們得出本例的期望值分布列聯(lián)表一級(jí)二級(jí)三級(jí)合計(jì)甲地區(qū)45.3652.6442140乙地區(qū)55.40464.29651.3171丙地區(qū)61.23671.06456.7189合計(jì)162188150500§2X2檢驗(yàn)一、 Z2統(tǒng)計(jì)量不論是一致性檢驗(yàn)還是獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們定義X2統(tǒng)計(jì)量,y（f—f）2X2=y o 6 fe其中，fo是觀察值頻數(shù)，fe是期望值頻數(shù)。從X2統(tǒng)計(jì)量的定義可以看出，X2統(tǒng)計(jì)量的值越大，則原假設(shè)成立的可能性就越小。二、 X2統(tǒng)計(jì)量自由度的確定設(shè)列聯(lián)表有r行s列，則共有rxs個(gè)變量，而約束條件有yx=RT,i=1,2,…,r,j=1Zx=CT,j=1,2,...,s,i=1Zrt=Zct.ijj=1這些約束條件中有,+^-1個(gè)是相互獨(dú)立的，所以X2統(tǒng)計(jì)量自由度為rs-(r+s-1)=(r-1)(s-1).三、X2檢驗(yàn)可以證明，由上面定義得到的X2統(tǒng)計(jì)量當(dāng)n較大時(shí)，近似服從自由度為(r-1)(s-1)的X2分布。由假設(shè)檢驗(yàn)的原理，易見不論是一致性檢驗(yàn)還是獨(dú)立性檢驗(yàn)，原假設(shè)的拒絕域的形式均應(yīng)為X2>X：((r-1)(s-1)).所以在給定的顯著性水平a下，計(jì)算X2統(tǒng)計(jì)量的觀察值并與臨界值X決(r-1)(s-1))相比較，如果X2>X；((r—1)(s-1))，則拒絕原假設(shè)；否則，接受原假設(shè)。說明：在用列聯(lián)表作一致性檢驗(yàn)或獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，數(shù)據(jù)要滿足下面的要求：1)n的值要很大，2)每個(gè)交叉位置上的期望值不是很小，實(shí)踐中，要求每個(gè)匕>5，否則，要通過合并事件來滿足這一條件?，F(xiàn)在我們來回答第一個(gè)例子(例9-1)中四個(gè)分公司贊成改革的人數(shù)比例是否相同和例9-3中各個(gè)地區(qū)和原料質(zhì)量之間是否存在依賴關(guān)系的問題。第一個(gè)例中，經(jīng)計(jì)算X2=^^(￥o ￥e)：=3.0319<6.251=X^(3)，e所以，接受原假設(shè)，即認(rèn)為四個(gè)分公司贊成改革的人數(shù)比例相同。第二個(gè)例中，經(jīng)計(jì)算X2=￡(f—匕)2=19.82>9.488=X篇(4)，e所以，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為各個(gè)地區(qū)和原料質(zhì)量之間存在依賴關(guān)系。在列聯(lián)分析中，如果列聯(lián)表為2行2列，則X2統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算就變得較為簡單。設(shè)列聯(lián)表為

12合計(jì)1ab(a+b)2cd(c+d)合計(jì)(a+c)(b+d)n=a+b+c+dn(ad-bc)Xn(ad-bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【例】有人研究抽煙與肺癌之間是否有聯(lián)系。在醫(yī)院門診部搜集了56人的資料（如卜表）。試檢驗(yàn)抽煙與肺癌之間是否有聯(lián)系。抽煙不抽煙合計(jì)有肺癌201636沒有肺癌61420合計(jì)263056解：建立假設(shè)H0:抽煙與肺癌之間沒有聯(lián)系,H1:抽煙與肺癌之間有聯(lián)系。由樣本數(shù)據(jù)，得X2=56x(2。X14-6X16)2=3.37626x30x36x20查表，得X2（1）=3.841，x2（1）=2.7060.05 0.1所以，在顯著性水平0.05下接受原假設(shè)，即認(rèn)為抽煙與肺癌之間沒有聯(lián)系；而在顯著性水平0.1下拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為抽煙與肺癌之間有聯(lián)系。利用Excel進(jìn)行列聯(lián)分析chitest.xls(ex9-3)四、一致性檢驗(yàn)與獨(dú)立性檢驗(yàn)的區(qū)別從形式上看，一致性檢驗(yàn)和獨(dú)立性檢驗(yàn)中X2統(tǒng)計(jì)量的值的計(jì)算公式是相同的。但是一致性檢驗(yàn)的抽樣方法和對(duì)期望值的計(jì)算規(guī)則與獨(dú)立性檢驗(yàn)是不同的。在進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，是從研究的總體中抽取一個(gè)樣本（容量為n），然后根據(jù)樣本的觀察值進(jìn)行兩向分類；一致性檢驗(yàn)則是從比較的兩